3.6 三元一次方程组及其解法&综合与实践3 一次方程组与CT技术-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第3章一次方程与方程组 *3.6三元一次方程组及其解法 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1,下列方程组中，是三元一次方程组的为 () x十x=2, x=9, x+y=8, A.xy十x=4, B. x十之=6， C.x-y=4, D.y-0=3, z-x=1 y-2x=7 z-y=5 2-x=5 x+2y+z=8①， 2.利用加减法解方程组2x一y一之=一3②，下列步骤正确的是 () 3.x+y-2x=-1③， A.要消去x,先将①+②，再将①×2+③ B.要消去之，先将①+②，再将①×3一③ C.要消去y,先将①一③X2,再将②一③ D.要消去y,先将①一②×2，再将②+③ x十y=3, 3.一题多解三元一次方程组y十之=一1，的解是 x十x=-2 4,已知，这是方程组7一号 的解，则x十y十之= 3x+5y+7x=67 5.某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记 1分，负一场记0分，某校队所负场数是所胜场数的2，结果共得20分，则该校队胜 场、 平 场、负 场 3x+2y-x=11, 6.解方程组：x十y十之=6， 2x-y十z=2. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ x+y=9, 7.若方程组y十之=7，的解满足方程3k一x一y一之=6，则常数k的值为 z+x=2 A.1 B.3 C.5 D.7 87 拔尖特训·数学（沪科版）七年级上 8.数形结合思想如图，两个天平都平衡，则下列结论中正确的是 口△OQu 口0△△ (第8题) A.○=2☐ B.O=△ C.△=2☐ D.☐=2O 9.某校七年级有3个班，已知(1)班、(2)班的平均人数与(3)班人数之和为90，(2)班、(3)班的平均 人数与(1)班人数之和为96，(1)班、(3)班的平均人数与(2)班人数之和为94，则三个班的总人 数为 () A.136 B.140 C.144 D.148 10.已知(x-之+4)2+|x-2y十1+(x十y-之+1)2=0，则xyz= 11.每千克价格分别为2元、3元、2元4角、4元的橘子、苹果、香蕉、柿子四种水果共买了83千克， 用去228元.已知买橘子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的 钱的2倍，则橘子买了千克，苹果买了千克，香蕉买了」 千克，柿子买 分 千克 12.情境数学文化在我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，其大意如下：今有上等谷3束、 中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上 等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗.上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 x+2y+x=9①， 13.小北、小仑两人在学习的过程中，发现方程组 虽然解不出x,y,之的具体数 2x+3y+4x=11② 值，但可以解出x十y十x的值 (1)小北的方法如下：②×3一①×2，整理，得y= .①X3一②X2,整理，得x= 所以x+y十之=4.小仑的方法如下：①+②，得 ③.所以 ,得 x十y十2=4. 3x+y+2x=9, (2)已知 试求x十y+之的值， x-3y-x=3. (3)某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔、3块橡皮、7本日记本，共50元；若购买 7支铅笔、4块橡皮、10本日记本，共69元.购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本，共需多少元？ 88 >“答案与解析”见D29 第3章一次方程与方程组 综合与实践3一次方程组与CT技术 素材1CT是X射线计算机断层成像的简称，是一种病情探测仪器.由于CT分辨率高，可使人体 内组织或结构清楚地显影，能清楚地显示出器官是否有病变，因而对于脑瘤、肺癌等疾病，CT检查 作出的诊断都是比较可靠的. 素材2CT的工作程序：X射线射入人体，被人体吸收而衰减，运用灵敏度极高的探测器采集衰减 后的X射线信号，获取数据（由于人体不同器官和病变部位对X射线的吸收程度不同，所以所得数 据也不同)，将这些数据输入电子计算机，进行处理后，就可摄下人体被检查部位的各断层（受检体 的截面薄层)的影像，从而发现体内任何部位的细小病变 素材3在受检体内欲成影像的断层表面上，按一定大小把断层划分成 X射线束2X射线束1 许多小立方体（即体素），一般用吸收值来表示X射线束穿过一个体素 后被吸收的程度，要得到该断层的影像，就需要把它上面的各体素的吸 A、 收值都求出来，如图，设体素A,B,C的吸收值分别为工，y,之，X射线束X射线束3)~图探测器 1穿过体素A和B后，探测器测得的总吸收值为1，则x十y=p1①， 探测器 探测器 同样，X射线束2穿过体素A和C后，测得总吸收值为力2，X射线束3穿过体素B和C后，测得总 吸收值为p,则x十之=p2②，y十之=p3③，将方程①②③联立起来，得到一个含有未知数x,y,之 的三元一次方程组，解此方程组，可以求得体素A,B,C各自的吸收值， 根据上述素材，解答下列问题. (1)在CT检查时，设X射线束穿过健康器官、肿瘤、骨质的体素吸收值如下表： 健康器官 肿瘤 骨质 0.16250.2977 0.26790.3930 0.3857~0.5108 甲、乙、丙三人通过检测后，体素吸收值分别为0.25,0.36,0.48，则这三人中有肿瘤的是 (填“甲”“乙”或“丙”). (2)若素材3中p1=0.82,p2=0.56,p3=0.66,求体素A,B,C的吸收值. (3)若甲、乙、丙三个病人的3个体素A,B,C被X射线束1,2,3分别穿过后所测得的总吸收值如 表1，分别求出体素A,B,C的吸收值，并填入表2. 表1 表2 病人 P P2 P3 病人 y 甲 0.42 0.46 0.38 甲 乙 0.85 0.82 0.83 乙 丙 0.66 0.65 0.63 丙 》“答案与解析”见D30 89面积为y公顷.根据题意，得 4x+3y=24·解得 x=3, 8x+9y=60, y=4. 所以A种农作物的种植面积为3公顷，B种农作物的种植 面积为4公顷 x+y=50, x=24, 9.(1)由题意，得{ 解得 所以这个班男 x=y-2, {y=26. 生有24名，女生有26名.(2)由题意，得男生每小时剪 筒底24×120=2880（个），女生每小时剪简身26×40= 1040(个).因为1个简身配2个简底，2880：1040≠2：1， 所以每小时剪出的筒身与简底不能配套.设调α名男生支 援女生.由题意，得120(24一a)=(26+a)×40×2,解得 α=4.所以应调4名男生支援女生，才能使每小时剪出的 筒身与筒底刚好配套. 10.(1)设1辆A型货车满载时一次可运柑橘xt,1辆 B型货车满载时一次可运柑橘yt.由题意可得， 十y5,。解得二3”所以1辆A型货车满载时一次 4x+3y=18, y=2. 可运柑橘3t,1辆B型货车满载时一次可运柑橘2t. （2)》由题意可得，3m十2m=24,所以m=8-号.因为m, n均为正整数，所以m=6或m二'或m=2故共有 n=3 {n=6 (n=9. 3种租车方案.方案1：租用6辆A型货车，3辆B型货车； 方案2：租用4辆A型货车，6辆B型货车；方案3：租用 2辆A型货车，9辆B型货车. 专题特训八列方程（组）解不同类型的 行程问题 1.(1)设经过x小时两车相遇.根据题意，得(115+ 85)x=450,解得x=2.25.所以经过2.25小时两车相遇， (2)设经过a小时两车相距50千米.分两种情况讨论： ①当相遇前两车相距50千米时，115a+85a=450一50，解 得a=2.②当相遇后两车相距50千米时，115a+85a 450+50,解得a=2.5.综上所述，经过2小时或2.5小时 两车相距50千米. 2.(1)设小明每小时行进akm,小伟每小时行进bkm.根 2 b=4.8 5 据题意，得 解得16， 所以小明每小 1 2 b=4. 10a=5b, 时行进16km,小伟每小时行进4km(2)号×16÷4= 1.6(h),所以相遇后经过1.6h小伟到达A地. 3.设甲每小时行xkm,乙每小时行ykm.根据题意，得 1 +y=x, 解得=20， 所以甲每 40-2x+2=40-(+)y y=16. D 小时行20km,乙每小时行16km 4(①×器=2（千米），所以学生队伍出发2千米发现忘 记带横幅。(2)设学校到东西文化馆的路程是x千米.依 超意，得导一言一品解得一导所以学校到东百文化 馆的路程是千米 5.(1)设船在静水中的速度为v千米/时.根据题意，得 (v+3)X2.7=(v一3)X4.5,解得v=12.所以这艘船在平 静的湖水中航行的平均速度是12千米/时.(2)甲、乙两 港口之间的路程为(12+3)×2.7=40.5（千米）. 6.(1)设男运动员的速度是v,m/s,女运动员的速度是 ℃2m/s,则环形跑道的周长为25(v,十2)m.由题意，得 25(,十)=15X60×(u,-),解得，=1.25.所 4 以男运动员的速度是女运动员的1.25倍.(2)设女运动 员跑了x圈，那么男运动员跑了(x十4)圈.根据题意，得 x+x+4=15×60 25 ,解得x=16.所以男运动员追上女运动 员时，女运动员跑了16圈 7.设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是 偏+0+号=3- y千米.根据题意，得 整理得 品++8=2 4x+3y=180, 解得 x=30, 所以甲地到乙地的行驶过程 (2x+3y=120, (y=20. 中平路是30千米，下坡路是20千米. 8.设这列火车的速度和长度分别为x米/秒和y米.根据 160+y=30x, {x=8, 题意，得 解得 所以火车的速度 (200+y=35x, y=80. 为8米/秒，长度为80米. *3.6三元一次方程组及其解法 1.CA选项中，xy十x=4不是一次方程，故A不是三元 一次方程组：B选项中一子-4不是一次方程故B不是 三元一次方程组；C选项满足三元一次方程组的条件；D选 项中，有x,y,,心四个未知数，故D不是三元一次方 程组. 2.A用加减法解方程组，要消去之，先将①十②，再将 ①X2十③，故A正确，B错误；要消去y,先将①+②×2， 再将②十③，或先将①一③×2，再将②十③，故C,D错误 x=1, x十y=3①， 3.y=2,解法一：记y十z=一1②，将①+②+③，得 z=一3 x十z=-2③. 29 2(x十y十z)=0,则x十y十z=0④，用④分别减去①②③ x=1, 得之=一3，x=1,y=2.所以原方程组的解为y=2, =-3. x十y=3① 解法二：记y十x=一1②，①一②，得x-2=4④.联立③ x十x=-2③. @,得+=-2 解得1.把工=1代人①，得1十 {x一之=4， x=-3. x=1, y=3,解得y=2.所以原方程组的解为 y=2, 2=-3. 4.15设x=7k,y=5k,x=3k,代入方程3x十5y+7x= 67,得21k+25k+21k=67,解得k=1.所以x=7,y=5, 之=3，则x+y+x=7+5+3=15. 5.623设胜x场、平y场、负之场.根据题意，得 x+y+x=11, x=6, 3十y=20,解得y=2,所以胜6场平2场、负3场.。 1 =2x 1x=3. 3x+2y-x=11①， 6.记x+y+x=6②，①+②，得4x+3y=17④，①+ 2x-y十x=2③. ③，得5.x+y=13⑤，⑤×3一④，得11.x=22,解得x=2. 将x=2代入⑤，得5X2+y=13,解得y=3.将=2代 (y=3 入②，得2十3十x=6,解得x=1.所以该方程组的解为 x=2, y=3, x=1. 7.C将方程组中三个方程左右两边分别相加，得（x十 y)+(y十z)十(z十x)=9十7+2，则x十y十z=9.将x十 y十x=9代入3k-x-y-x=6,得3k-9=6,解得k=5. 8.B由题意，得口+O-2△② ☐+△=2○①， ①一②，得△-O= 2○-2△.所以3△=3○，即△=○. 9.B设(1)班有x人，(2)班有y人，(3)班有：人，则 (x十y+z=90, 2 y十+x=96,三式相加，得2(x十y十x)=280,则x+ 2 x十3十y=94. 、2 y十x=140.所以三个班的总人数为140. x-2+4=0, x=1, 10.15由题意，得x-2y+1=0, 解得y=3,所以 x十y一g+1=0, x=5. xyz=1×3×5=15. 11.30201518设橘子买了x千克，苹果买了y千 克，香蕉买了m千克，柿子买了n千克.根据题意，得 x+y十m+n=83①， 2.x+3y+2.4m+4n=228②， 3 2.x=3y③， 由③，得x=2y,由④，得 4n=2X2.4m④， n=2m.把x=多y,n=1.2m代人①@，得 3 2y+y+m+1.2m=83, 解得=20， 所 .3 m=15. 2×2y+3y+2.4m+4X1.2m=28, 1x二号X20=30,11.2X15=18,所以橘子买了30于 克，苹果买了20千克，香蕉买了15千克，柿子买了18千克. 12.设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷 37 4· 3x+2y+x=39, 每束得实之斗.依题意，得2x十3y十：=34，解得y=4, 17 x+2y+3z=26, 所以上等谷每束得实平斗，中等谷每束得实斗，下等谷 每束得实斗. 13.(1)3-2z:z+1;5x+5y+5z=20;③÷5.(2)记 3x+y+2x=9①， ①×3+②，得10x+5x=30.所以之= x-3y-2=3②. 6-2x.①+②×2，得5x-5y=15.所以y=x-3.所 以x十y十之=3.(3)设铅笔的单价为x元，橡皮的单价 为y元，日记本的单价为之元.由题意，得 f5x+3y+7x=50①， ①×7-②×5，得y-z=5.所 7x+4y+10z=69②， 以x=y-5③.将③代人①，得5x+3y+7(y-5)=50, 所以x=17-2y.所以x+y十x=17-2y+y+y-5=12. 所以2(x十y十z)=2×12=24.所以购买2支铅笔、2块橡 皮、2本日记本，共需24元. 综合与实践3一次方程组与CT技术 x+y=0.82, (1)乙.(2)由题意，得x十x=0.56,解得 y+z=0.66, 30 x=0.36, y=0.46,所以体素A,B,C的吸收值分别为0.36,0.46， x=0.2, 0.2.(3)如下表： 表2 病人 y 甲 0.25 0.17 0.21 乙 0.42 0.43 0.4 丙 0.34 0.32 0.31 第3章拔尖自主测评 x+2y=6, 1.B方程组 中含有三个未知数，不是二元一 2y-3z=5 5x+2y=10, 次方程组；方程组 是二元一次方程组；方程 x-y=3 x+6y=4 组 中方程xy=3中含未知数的项的次数不是 xy=3 x+1=7, 1,不是二元一次方程组；方程组 y 中方程x十 2x-y=1 =7不是整式方程，不是二元一次方程组。 y 2.C若a=b,等式两边同时减去4，等式仍然成立，可得 a一4=b一4，故A正确：若a=b,等式两边同时乘以c,等 式仍然成立，可得ac=bc,故B正确：当c=0时，：和2分 母为0，无意义，该推理未限定c≠0，故C推理错误；由c 为有理数，得c≥0，则c2十1≥1≠0，若a=b,等式两边同 时除以不为0的c2十1，等式仍然成立，可得十12+1， a b 故D正确！ 3.C方程8x=2x一12，移项，得8x一2x=一12，故A错 误：方程21-10x+1=1,去分母，得2(2+1) 3 6 (10x+1)=6,故B错误；方程2(x+3)-5(1-x)=3(x 1),去括号，得2x+6-5+5x=3x一3，故C正确；方程 9x=一4，系数化为1，得=一号故D错误 4.C方程组的两式相加，得6(x十y)=5a+1.又因为 x+y=1,所以5a+1=6,解得a=1. 5.A由题意可知，安排x名志愿者包糯米馅棕子，则包 蛋黄馅棕子的志愿者为(60一x)名.每小时包的糯米馅棕 子的数量为20x个，每小时包的蛋黄馅棕子的数量为 15(60一x)个.根据配套要求“每2个糯米馅棕子需要搭配 1个蛋黄馅粽子”，意味着糯米馅棕子的总数必须是蛋黄馅 0 棕子总数的2倍，才能刚好全部配套，即糯米馅棕子的数 量=2×蛋黄馅棕子的数量，因此可列方程为20x=2× 15(60-x). 6C设这列动车的长为x米.根据题意，得300十x 80 3000-2,解得x=200.所以这列动车的长为200米 70 7.D设小长方形的长为xcm,则宽为(7-x)cm.由题 意，得x十3(7-x)=11,解得x=5.所以7-x=7-5=2. 所以涂色部分的面积为7×11一5X5×2=27(cm). 8.D设原来第一堆有x个西瓜，第二堆有y个西瓜，第 2x-)=号×120， 三堆有：个面瓜根搭越意，得2，=号×120，解 1 2-x+y-3×120, x=55, 得y=35,所以原来第一堆有西瓜55个. x=30. 9.一2x=一10（答案不唯-一）方程一2x=一10的未知数 的系数为-2，解是x=5,符合题意， x=1, a.z+by=2025, 10.2025因为 ’是方程组 的解， y=-1 bx-ay=1 a-b=2025, 所以 所以(a+b)(a一b)=1×2025=2025. b+a=1. ,/2x-y=5k+6①， 11.2023记 ①+②，得6x+6y=6+ 4x+7y=k② 6k.所以x+y=1十k.又因为x+y=2024,所以1十k= 2024.所以k=2023. 12.35设甲、乙、丙三种小商品的单价分别为x元、 2x+5y+z=80, y元、之元.根据题意，得{ 两方程相加， 4x+y+52=130. 得6x十6y+6z=210.所以x+y+之=35. 13.(1)去分母，得2(x十1)=3×4-(2-x.去括号，得 2x十2=12一2十x.移项，得2x一x=12一2一2.合并同类 3x+y=7①， 项，得x=8.(2)记 ①X5+②，得 9x-5y=13②. 24x=48,两边都除以24，得x=2.将x=2代人①，得6十 (x=2, y=7,解得y=1.所以原方程组的解为 (y=1. /3x-2y=4①， 14.(1)当k=2时，原方程组变为 -2x十3y=-7②， ①×2+@×8得5y=-13,解得)=吕花y=-号代 31