第4章 几何图形初步 拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）七年级上 第4章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.如图所示为四个几何体.关于这四个几何体，下列叙述中，不正确的是 A.面数最多的几何体是图④ B.图②有4个面是平的 C.图①由1个面围成，这个面是曲的 D.只有1个顶点的几何体是图③ ① ② ③ ④ (第1题) 1 2.下列各图中，能表示线段x=2(a十c一b)的为 b2x A. B. C D. 3.如图，线段AF表示某趟列车的行驶路线图，线段上的6个点表示行驶途中共有6个站点（包括 端点)，则这趟列车往返行驶途中共需印制车票的种数是 () A.15 B.20 C.30 D.45 北 A 东 40 C467 A B C D E F B 4 P (第3题) (第4题) (第6题) (第7题) 4.如图，下列描述错误的是 A.点A位于点B的北偏西20°方向 B.点A位于点C的北偏东40°方向 C.点C位于点B的北偏西67方向 D.点B位于点A的南偏东20°方向 5.已知0°<∠1<180°，0°<∠2<180°，且∠1的补角等于∠2的余角，则下列结论一定正确的是 () A.∠1是锐角 B.∠2是钝角 C.∠1-∠2=90° D.∠1+∠2=180° 6.如图，线段AB表示一根对折以后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的 一段为12cm若AP:PB=1:3,则这根绳子的原长为 () A.16 cm B.28 cm C.16cm或32cm D.16cm或28cm 7.一副三角尺AOB与COD按如图所示的方式摆放，∠AOB=60°，∠COD=45°，ON平分 ∠COB,OM平分∠AOD,则∠MON的度数为 () A.60° B.45 C.62.5 D.52.5 8.已知点C在直线AB上，AC=a,BC=b,且a≠b.若M为线段AB的中点，则线段MC的长为 () A.6 2 B.a6 2 n或列 2 114 第4章几何图形初步 二、填空题（每小题5分，共20分） 9.如图，小羽每天下午6：20放学，此时时钟上的时针和分针之间的夹角为 D上节 中节 10 21 下节 DEBC 3 ① ② D' (第9题) (第10题) (第11题) 10.“会当凌绝顶，一览众山小.”登山有益身体健康.小华新购入一根可伸缩登山杖（如图①），这款 可伸缩登山杖共有三节，我们把登山杖的三节近似看成三条线段（如图②），其中上节EF是固 定不动的，长度是54cm,它比中节CD长7cm,中节CD又比下节AB长3cm,中节CD和下 节AB可根据实际需要进行伸缩，在无伸缩的初始状态下，点D与点E重合，点B与点C重 合.如图③，在登山过程中，需要根据不同的地形调整登山杖的长度，当总长度AF缩短到 116cm,且C恰为AE的中点时，则缩进部分DE的长为 11.如图，在长方形ABCD中，点E在AD上，∠AEB=60°，分别以BE,CE为折痕进行折叠并压 平，点A落在点A'处，点D落在点D处，∠AED'=n°，则∠DEC的度数为 12.点A,B在数轴上对应的数分别为一12和4，动点P和Q分别从A,B两点同时出发向右运动， 点P的速度是每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度.设运动时间为t秒. (1)AB= (2)记数轴的原点为O,则在运动过程中，当OP=2OQ时，点Q在数轴上所对应的数为 三、解答题（共48分） 13.(12分)如图，平面内有A,B,C,O,D五点，其中C,O,D三点在同一直线上，请按要求作图（保 留作图痕迹，不写作法). (1)画出直线CD,射线OA. (2)利用直尺和圆规，作∠EOD=∠AOC,且点E与点A在直线CD的同一侧. (3)在射线OA和射线OE上分别作出P,Q两点，使得BP+PQ+QD的值最小.这样作图的 依据是 B 0 (第13题) 14.(16分)如图，直线AB上有一点P,M,N分别为线段AP,BP的中点. (1)当点P在线段AB上时，若AP=8,AB=14,求线段MN的长. (2)当点P在直线AB上运动时，设AP=x,BP=y,请分别计算下列情况时MN的长： 115 拔尖特训·数学（沪科版）七年级上 ①点P在线段AB上 ②点P在点A的左边 ③点P在点B的右边. 可以发现什么规律？ A M P N B (第14题) 15.(20分)从∠α(45°<∠a<90°)的顶点出发，在角的内部作一条射线.若该射线将∠α分得的两 个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”. (1)如图①，∠AOB=70°，∠AOC=50°，请判断OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由. (2)若OC平分∠AOB,且OC为∠AOB的“分余线”，则∠AOB的度数为 (3)如图②，∠AOB=160°，在∠AOB的内部作射线OC,OM,使OM为∠AOC的平分线，在 ∠BOC的内部作射线ON,使∠BON=2∠CON.当OC为∠MON的“分余线”时，求∠BOC 的度数 -B ① ② (第15题) 116 >“答案与解析”见D412AM'+A'B+号BB=号(M+AB+B'B)十 AB-2(AB+A'B)=(0+2）cm.当点A'落在 点B'的右侧时，AA'+BB'=AB+A'B'=(60+n)cm, 所以AM+BN=2AM+号BB=号(AM'+B那) 合×(60+m)-(30+2r)cm所以MN=AB-(AM+ BN)=60-(30+2）=(0-2)m.综上所述，MN 的长为(30+2）em或(30-3)em 3.(1)因为EN平分∠AEF,EM平分∠BEF,所以 ∠NEF=2∠AEF,∠MEF=∠BEF,所以∠MEN= ∠NEF+∠MEF-是∠AEF+ ·∠BEF= 2(∠AEF+∠BEF)-Z∠AEB.因为∠AEB-18O, 所以∠MN=2×180°=90.(2)因为EN平分 ∠AEP,EM平分∠BEG,所以∠NEF=号∠AEF, ∠MG=∠BEG.所以∠NEF+MIG= 2∠AEF+∠BDG=合（∠AEP+∠BEG) 2(∠AEB-∠FG).因为∠AEB=180,∠FRG=30. 所以∠NEF+∠MBG=2×(180°-30)=75°.所以 ∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG=75°+30°=105°. (3)若点G在点F的右侧，∠FEG=2a一180°；若点G在 点F的左侧，∠FEG=180°-2a. 4.(1)∠BOD=∠AOB-∠COD=90°-60°=30°. (2)因为OB平分∠COD,∠COD=60°，所以∠BOD= ∠C0D=30°.因为∠A0B=90,所以∠A0D 1 ∠AOB+∠BOD=90°+30°=120°.(3)∠MON的度数 不发生变化.因为∠AOB=90°，∠COD=60°，所以 ∠BOD+∠AOC=∠AOB-∠COD=30°.因为OM平分 ∠A0C,ON平分∠BOD.所以∠NOD=∠BOD, ∠QOM=∠A0c.所以∠N0D+∠OM=司 ∠BOD+号∠A0C-2(∠B0D+∠A0C)=15.所以 ∠MON=∠NOD+∠COM+∠COD=15°+60°=75°. 所以∠MON的度数不发生变化，其值为75°. 综合与实践4探究钟面上的数学 (1)因为时针每分钟转动0.5°，所以0.5°×40=20°.又 因为360°÷12=30°，所以此时时针和分针所成钟面角的度 数=30°+20°=50°.(2)设此时为2时x分，则60十 7 0.5x+180=6x,解得x=43立所以此时对应的时刻 为下车2时437分。3)设原时刻为2时x分，此时分 针从“12”转过的角度是(6x)°，时针从“12”转过的角度是 (60十0.5x)°.设对调后的时刻为y时之分.由题意，得 30y+0.5x=6x,6x=60+0.5x,所以y=143x二120. ,= 720 10叶因为y是整数，<<20，且当=时， 120 y=2,当x=20时，y=3 6所以y=3,此时x=15135 2 143 所以此时（原位置）具体的时刻是2时151355 15分 第4章拔尖自主测评 1.A题图①由1个面组成，题图②由5个面组成，题图③ 由2个面组成，题图④由5个面组成.故面数最多的几何体 是题图②④，A不正确.题图②由5个面组成，其中1个曲 面，4个平面.故B正确.题图①是球，由1个曲面围成.故 C正确.题图①没有顶点，题图②显然不只有1个顶点，题 图③有1个顶点，题图④有6个顶点.故D正确. 2C因为x=2a+c-b),所以2x=a+c-b,即2x+ b=a十c.故A,B,D不符合题意，C符合题意 3.C题图中的线段有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD, BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15条，则15×2= 30(种)，所以这趟列车往返行驶途中共需印制车票的种数 是30. 4.C点A位于点B的北偏西20方向，故A正确，不符合 题意；如图，易得∠ACD=40°，则点A位于点C的北偏东 40°方向，故B正确，不符合题意；易得∠MBC=∠BCE= 180°一40°-67°=73°，则点C位于点B的北偏西73°方向， 故C错误，符合题意；易得∠NAB=∠ABM=20°，则点B 位于点A的南偏东20方向，故D正确，不符合题意. 北 A 东 167° M E B (第4题) 41 5.C根据题意，得180°一∠1=90°-∠2，化简得∠1一 ∠2=90°.由0°<∠1<180°，0°<∠2<180°，可得90°< ∠1<180°，0°<∠2<90°，所以∠1是钝角，∠2是锐角，故 A,B不符合题意，C符合题意；无法判断∠1+∠2=180°， 故D不符合题意。 6.C因为AP:PB=1:3,AP+PB=AB,所以AP= AB,PB-子AB.①当在点A处对折绳子时：绳子被剪 成2AP,PB,PB三段，而2AP=子AB,PB=AB, 2AP<PB,所以PB=12cm=子AB.所以AB=16cm此 时绳子长为2AB=32cm.②当在点B处对折绳子时，绳 于被剪成AP,AP,2PB三段.所以2PB=12cm,即PB= 6cm,即三AB=6cm所以AB=8cm.此时绳子长为 2AB=16cm.综上所述，这根绳子的原长为16cm或 32cm. 7D因为ON平分∠Q0B,所以∠c0N=是∠c0B. 因为∠COB=∠COD+∠BOD,所以∠CON= 号（∠COD+∠OD)=∠COD+号∠BOD.所以 ∠0D=∠c0D-∠0N-∠c0D-2∠c0D- 号∠OD=∠0D-号∠OD.因为OM平分 1 ∠AOD,所以∠MOD=号∠AOD.因为∠AOD= ∠AOB+∠BOD,所以∠MOD=（∠AOB+∠OD) 3∠A0B+号 ∠BOD.所以∠NOD+∠MOD= 2∠C0D-2∠BOD+号∠AOB+∠OD 3∠00D+号∠A0B.因为∠A0B=60,∠0D=45, 所以∠MON=∠OD+∠MOD=是×45°+？× 60°=52.5°. 8.D因为M为线段AB的中点，所以AM=BM= 2AB.当点C在线段AB上，且a<b时，MC=7AB- AC=2a+b)-a=622.当点C在线段AB上，且u>b 时，MC=AB-=(a+6)-6=“22所以当点C D 在线段AB上时.M=.当点C在线段AB的延长 线上时，M=AB+BC=a-)+b=当点C 在线段AB的反向延长线上时，MC=AB十AC= 是6-a)+a="综上所途，线段c的长为兰或 la-b 2 9.70如图，∠AOB=∠BOC=360°÷12=30°，∠COD= ,20 30°×60 10°，所以∠AOD=30°×2+10°=70°. 1121 10 0 8 A DC B (第9题) 10.16m根据题意可得，CD=54-7=47(cm),所以 AB=47一3=44(cm).由题意可得，EF的长不变.因为 AF=116cm,所以AE=AF-EF=116-54=62(cm). 因为C为AE的中点，所以AC=CE=号AE=31cm 所以DE=CD-CE=47-31=16(cm). 1.(30+之n)°根据折叠的性质，可得∠A'EB= ∠AEB=60°，∠CED'=∠CED,则∠A'EA=2∠AEB= 120,∠D'EC=2∠DED.所以∠D'EC=2(180°- 1 ∠A'EA+∠A'ED)=2(180°-120°+n)= (30+2n月 12.(1)16因为点A,B在数轴上对应的数分别为一12 和4，所以AB=4-(一12)=16.(2)4氵或4分两种 情况：①当点P在线段OA上时，AP=5t,BQ=2t,则 OP=OA-AP=12-5t,OQ=OB+BQ=4+2t.因为 0P-20Q,所以12-5=24+2)，解得1=号所以 0Q=4+2×号=48②当点P在点0的右侧时，0P AP-OA=5t一12，OQ=4+2t.因为OP=20Q,所以5t 12=2(4+2t),解得t=20.所以0Q=4+2×20=44.所 以点Q在数轴上所对应的数为48或4 42 13.(1)如图，直线CD,射线OA即为所求作.(2)如图， 合B--y-号之-号A.发现规当点P在 2 ∠EOD即为所求作.(3)如图，点P,Q即为所求作.两 点之间的所有连线中，线段最短 直线AB上时，N=AB, P M A N B E ① A M B N P ② (第14题) 0 D (第13题) 15.(1)OC为∠AOB的“分余线”.理由：因为∠AOB= 14.(1)当点P在线段AB上时，因为AP=8,M为AP的 70°，∠AOC=50°，所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=70° 50°=20°.因为∠B0C+∠AOB=20°+70°=90°，所以OC 中点，所以PM=2AP=4因为AP=8,AB=14,所 为∠AOB的“分余线”.(2)60°.设∠AOB=m°.因 以BP=AB一AP=6.又因为N为BP的中点，所以 为OC平分∠A0B,所以∠A0C=∠B0C=号m:因为 PN=专BP=3所以MN=PM+PN=?.(2)D当点 OC为∠AOB的“分余线”，所以∠BOC+∠AOB=90°或 P在线段AB上时，因为M为AP的中点，N为BP的中 ∠A0C+∠A0B=90所以7m+m=90,解得m=60, 点，所以PM=号AP,PN=号BP.因为AP=,BP=, 所以∠AOB=60°.(3)设∠CON=x°.因为∠BON= 2∠CON,所以∠BON=2x°.所以∠BOC=∠CON+ 所以MN=PM+PN=2AP+号BD=(x+) ∠BON=3x°，∠AOC=∠AOB-∠CON-∠BON= =AB.②当点P在点A的左边时，如图0. 160°-3x°.因为OM为∠AOC的平分线，所以∠COM= 2 ∠AC-160-3r)-0-号r所以∠M0N 1 因为M为AP的中点，N为BP的中点，所以PM= 2AP,PN=3BP.因为AP=x,BP=y,所以MN= ∠C0M+∠CON=80-号x因为0C为∠M0N的分 余线”，所以分两种情况讨论：①当∠COM+∠MON=90 PN-PM-2BP-ZAP-2>-2--AB. 时，80-号+80-=90，解得x=35.所以 ③当点P在点B的右边时，如图②.因为M为AP的中 ∠BOC=105°.②当∠CON+∠MON=90°时，x°+80°- 点，N为BP的中点，所以PM=2AP,PN=2BP.因 2x=90,解得x=20.所以∠0C=60°.综上所述， 为AP=x,BP=y,所以MN=PM-PN=号AP ∠BOC的度数为105或60°. 第5章 数据的收集与整理 5.1数据的收集 方法归纳 全面调查和抽样调查的选择 1.D了解一批节能灯的使用寿命，适宜采用抽样调查，故 选择全面调查还是抽样调查要根据所要考察的对 A错误；调查全市中学生每天的睡眠时间，适宜采用抽样 象的特征灵活选用，一般来说，适合全面调查的特征如 调查，故B错误；调查所在班级同学的视力情况，适宜采用 下：①总体中个体数目较少；②要研究的问题要求情况 全面调查，故C错误；环保部门调查京杭大运河某段水域 真实、准确性较高：③调查工作较方便，没有破坏性.适 的水质情况，适宜采用抽样调查，故D正确. 合抽样调查的特征如下：①总体中个体数目较多，全面 调查的工作量大：②受客观条件限制，无法对所有个体 进行调查：③调查具有破坏性 D43