第1章 有理数 拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第1章有理数 第1章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.在-(-5)，(-202)3，-|一1|，-π，-2.12121212中，负有理数共有 () A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.2026年，农历丙午年，也是马年.中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票，邮票上的 骏马，扬蹄奋起，呼啸前行.此次计划发行套票26680000套，数据26680000用科学记数法表 示为 A.2668×10 B.2.668×107 C.2.668×108 D.0.2668×108 3.如图，A,B,C,D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过A→B>C→D顺序的运算，可列式为 (5×2一3)2+4,8经过B→D→AC顺序的运算，可列式为{[(8一3)+4幻×2}2，则一3经过C→ D→A→B顺序的运算结果为 () 乘以2 减3 平方 加4 B D (第3题) A.23 B.19 C.18 D.17 2027 4,若x,y为有理数，且x十2+(y一2)=0，则()的值为 A.1 B.-1 C.2021 D.-2021 5.有下列说法：①若a=b,则a=b;②若1a=a,则a>0;③若ah0,则a+b+lab= ab 一1.其中，正确的个数是 () A.3 B.2 C.1 D.0 6.舒考新定义题若a&.b是新规定的一种运算法则：a&.b=a2十ab,例如：1&.(3&.2)=1&.(3十 3×2)=18.15=12+1×15=16,则(-2)8.[38.(-2)]的值为 () A.-2 B.10 C.2 D.-4 7.表示有理数a,b,c,d的点在数轴上的位置如图所示，有下列结论：①四个数中，最小的是a; ②b>-2;③ab>0;④a+c<0;⑤a2<c2;⑥|b|-c<0.其中，正确的个数是 () (第7题) A.3 B.4 C.5 D.6 8.当a,b都是整数时，我们称(a,b)为一个有序整数对，如（一2,2）和(2，一2)是两个不同的有序整 数对，则满足a一b+ab|=1的有序整数对共有 () A2个 B.3个 C.4个 D.6个 31 拔尖特训·数学（沪科版）七年级上 二、填空题（每小题5分，共20分） 9.某种鲸的体重约为1.4×105kg,这个近似数精确到 位 10.已知a,b互为相反数，且a≠0，cd互为倒数，m是最小的正整数，则2m十2026(a+b》-cd 的值为 11.如图，某学校“桃李餐厅”把Wi-Fi密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入 密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，那么她输入的密码是 账号：Tao Li Can Ting 5*3⊕6=301848 2*6⊕7=144256 9*2④5=451055 桃李餐厅欢迎你！4*8①6=密码 (第11题) 12.[2025合肥庐阳期中]如图，数轴上A,B两点对应的有理数分别为一3和9，动点P从点A出 发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴在A,B两点之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以 每秒2个单位长度的速度沿数轴在B,A两，点之间往返运动，当点Q返回至点B时，整个运动 过程停止.设运动时间为t秒， (1)当t=3时，点P对应的有理数是 (2)当点P运动到原点时，点Q表示的数是 B (第12题) 三、解答题（共40分） 13.(10分)计算： (经+=( 2)-2-×3×(-3》--2到÷(-1D@, 14.(14分)综合实践：根据背景素材，探索解决问题. 爷爷的生日快到了，小丽打算先去几家店铺购买一些生日礼物，然后到饭店为爷爷庆生： 素材1准备计划路线图：家→礼品店→蛋糕店→水果店→饮料店→饭店. 素材2这条路线近似看成东西走向.如果规定向东为正，向西为负，她这天的乘车里程（单位： km)如下：-3，+6，十2.5，-4，-10. 素材3出租车价目表：起步价（不超过3km时）车费8元，超过3km时，超过部分每千米收费 2元 32 第1章有理数 (1)饭店在小丽家的哪个方向？求出饭店与小丽家的距离. (2)求打车从礼品店到蛋糕店所用的车费. (3)现在打车有优惠，每天第一次付费满10元即获赠一张8折优惠券和一张7折优惠券（优惠 券只能在后续打车时使用，且每次只能使用一张).请问小丽在该路线如何使用优惠券，才能使 总车费最低？求出最低总车费 15.(16分)已知C是线段AB上一点，若点C到线段AB两个端点的距离之比为1：2，则称C为 线段AB的“理想点”.例如，如图①，点A,C,B在数轴上表示的数分别为1,2,4，此时C为线段 AB的“理想点” (1)如图②，A,B分别为数轴上的两点，点A对应的数为一10，点B对应的数为80. ①点A,B之间的距离为 ②求线段AB的“理想点”C所对应的数 (2)现将一张纸条AB按如图③所示的方式放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重 叠部分某处剪一刀得到三张纸条，将纸条展开复原.若这三张纸条的长度之比为1：1：3，则折 痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ A C A B 01234 -10 80 ① ② B -10 80 折痕 剪断处 ③ (第15题) “答案与解析”见D10 3370告@器+20因为 ×1-号)小+放=合×(1-)+日× (信）☆++=合×1-)+2× (行一号)+2×（号-号）…，所以易得及3十十 +…+9Xo=号×1-)- .②1- 9900 =1-（2 kg+4t…+9X)=1-(1-)-o 第2课时科学记数法 1.C14960万=149600000=1.496×108. 易错警示 对科学记数法理解不透彻致错 把带计数单位的数用科学记数法表示的关键是数 的转换，把转换后的数用科学记数法表示成a×10”时， a应满足1a<10,n应比原数的整数位数少1. 2.B6850亿=685000000000=6.85×10". 3.(1)720000(2)21000(3)577000000000000 4.B根据题意可知，需要H提供约50×10千焦的能 量，需要H提供约50×102千焦的能量，需要H2提供约 50×10千焦的能量，需要H,提供约50×10千焦的能 量.因为50×101=5×10，所以需要H1提供约5×10千 焦的能量 5.C设飞船t小时飞行的距离为s千米.因为1小时= 3600秒，所以s=7.9×3600t=28440t.又因为1t≤10， 所以28440s284400.用科学记数法表示为2.844× 10≤s≤2.844×10.因为28.44>10，不符合科学记数法 对a的要求，故A错误；若t=1,则s=2.844×10,因 为2.844不是正整数，故B错误；因为2.844×101s2. 844×10,所以n只能为4或5.故C正确；当t=1时，s= 28440,则原数末尾的0的个数为1，故D错误. 6.(1)50×1×10÷500=1(克)，所以全班一天可节约大米 约1克.(2)1400000000×365×1×10÷500=1.022× 10°（克），所以全国一年可节约大米约1.022×100克. (3)1.022×10°÷(100×1000)=1.022×10（人），所以节 约的大米大约可以供1.022×10°人食用一年 1.7近似数 1.A34.51,34.99,35.01四舍五人精确到个位都是35， 34.49四舍五入精确到个位是34. 2.百因为6.4×103=6400，数字4在百位上，所以这个 近似数精确到百位， 易错警示 难以根据近似数确定精确度 用科学记数法表示近似数为aX10的形式，精确 度由a的末位数字还原后所在的数位决定 3.(1)2056.2≈2056（精确到个位）.(2)一4.07× 10≈一4.1×10（精确到千位）.(3)1.5218≈1.52（精 确到0.01).(4)5.896亿≈5.90亿（精确到百万位）. 4.C根据题意可知，该同学的实际身高最矮可能是 1.675米，最高小于1.685米，所以1.675≤x<1.685. 5.0.204因为一个三位小数按要求四舍五入后约是 0.20,所以这个三位小数要大于或等于0.195，且小于 0.205.所以这个三位小数最大是0.204. 6.因为1Gb=2°M,1M=20Kb,所以80Gb=20× 2×80=1024×1024×80=83886080≈8.4×10(Kb). 所以它相当于8.4×10Kb. 7.(1)根据题意和四舍五入的原则可知，x的最大值为 3444,最小值为2445.(2)因为x的最大值为3444，最 小值为2445，所以3444一2445=999≈1.0×103. 综合与实践1二维码与幂 (1)如图①所示.(2)由题图②可知，小张同学所在的年 级：(1001)2=1×2+0×2+0×2十1=9，即为九年级； 小张同学所在的班级：(110)2=1×22+1×2+0=6，即 为(6)班.(3)13=1×2+1×22+0×2+1=(1101)2， 完善二维码如图②所示. ① ② 第1章拔尖自主测评 1.C-(-5)=5,是正有理数；(-202)3=-2023，是负 有理数；一|一1|=一1，是负有理数；一x不是有理数： 一2.12121212是负有理数，所以负有理数共有3个. 2.B26680000=2.668×10. 3.A根据题意，可以列出算式[（一3）2+4]×2一3=(9+ 4)×2一3=13×2一3=23，所以一3经过C→D→A-→B顺 序的运算结果为23. 4.B因为|x+2|+(y-2)2=0,|x+2|≥0，(y-2)2≥ 0,所以x十2=0，y一2=0，解得x=一2，y=2.所以 (号）”-(-1-1 0 5.C若|a=|b|,则a=±b,故①错误：若a=a,则 a≥0，故@错误；若ab<0,则a,b一正一负，易得a+ bl+labl-一1，故③正确.所以正确的个数是1. ab 6.A因为a&b=a2+ab,所以3&(-2)=32+3× (-2)=9+(-6)=3.所以(-2)&[3&(-2)]=(-2)&3= (-2)2十（一2）×3=4+（一6）=-2. 7.B根据题意可知，a,b,c,d四个数中，最小的是a, 一2<b<0,故①②正确.因为a<0,b<0,所以ab>0.故 ③正确.因为一4<a<-3,0<c<1,所以a十c<0a2> c2.故④正确，⑤错误.因为|b>1.所以|b|一c>0.所以⑥ 错误综上所述，正确的共4个 8.D因为a,b都是整数，且|a一b十ab=1,所以 (la-61=0,la-b1=1, a-b=0, 或 满足 的有序整 labl=1文labl=0. (labl=1 效对有11D.(-1,-1D:满足la-61=1, 的有序整数对 (labl=0 有(1,0)，(0,1)，（一1,0），(0，一1).综上所述，满足a b+|ab=1的有序整数对有(1,1)，(-1，一1)，(1,0)， (0,1),(-1,0),(0,-1),共6个 9.万因为1.4×10=140000，以这个近似数精确到 万位. 10.1或-3由题意可知，a十b=0,cd=1.因为lm|是最 小的正整数，所以|m|=1,即m=1或m=一1.当m=1 时，2m+2026Ca+b)-cd=2X1+2026X0-1=2+0 a 1=1:当m=-1时，2m+2026(a+b》-cd=2×(-1)+ a 2026X0-1=-2+0-1=-3. a 11.244872将5￥3个6=301848的右边分解成三个数 据，依次是5×6=30,3×6=18,6×(5+3)=48；将2* 6⊕7=144256的右边分解成三个数据，依次是2×7=14， 6×7=42,7×(2+6)=56;将9*2①5=451055的右边分 解成三个数据，依次是9×5=45,2×5=10,5×(9+2)= 55.因为4×6=24,8×6=48,6×(4+8)=72，所以4* 8个6=244872. 12.(1)6当t=3时，点P对应的有理数为一3+3×3= 6.(2)7或-1或3因为AB=3+9=12,12×2÷2= 12(秒)，所以0≤t≤12.当点P第1次运动到原点时，t= 3÷3=1,此时点Q所表示的数为9-1×2=7；当点P第 2次运动到原点时，1=9+？+9=7，此时点Q所表示的数 3 D 为一3十(2×7-12)=-1；当点P第3次运动到原点时， t=(12+12+3)÷3=9,此时点Q所表示的数为-3+ (2×9一12)=3；当点P第4次运动到原点时，t>12,情况 不存在.所以当点P运动到原点时，点Q表示的数是7 或-1或3. 1aD原式-（导-号+号）×(-5)-是×(-6) 8×(-6)+号×(-36)=-27+30-16=-1R 2)原式=-4-子×(9x号-2)÷1=-4-子×1 2》÷1=-4是×21=-4号=-5 1 14.(1)由题意，可得一3+6+2.5一4一10=一8.5(km), 所以饭店在小丽家的西边8.5km处.(2)由题意，可得 8+(6-3)×2=14(元)，所以打车从礼品店到蛋糕店所用 的车费为14元.(3)由题意，可得若不使用优惠券，则水 果店到饮料店的车费为8十(4一3)×2=10（元）；饮料店到 饭店的车费为8十(10一3)×2=22（元）.因为家到礼品店 的车费为8元，不满10元，礼品店到蛋糕店的车费为 14元，满10元，所以此时获赠一张8折优惠券和一张7折 优惠券.易知从水果店到饮料店用8折优惠券，从饮料店到 饭店用7折优惠券，可使总车费最低，最低总车费为8十 14+8+10×0.8+22×0.7=53.4(元). 15.(1)①90.②如图①，当AC:BC=1:2时，AC= 3AB=30,所以点C对应的数为20.如图②，当4C: BC=2:1时，BC-号AB=30,所以点C对应的数为50. 综上所述，线段AB的“理想点”C所对应的数为20或50. (2)因为AB=90,三张纸条的长度比为1：1：3，所以三 张纸条的长度分别是18,18,54.①如图③，当从点A到点 B三张纸条的长度分别为18,18,54时，易得折痕表示的数 为一10十18十9=17.②如图④，当从点A到点B三张纸 条的长度分别为18,54,18时，易得折痕表示的数为一10+十 18+27=35.③如图⑤，当从点A到点B三张纸条的长度 分别为54,18,18时，易得折痕表示的数为一10+54+9= 53.综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17 或35或53. A C B -10 80 ① A C B -10 80 ② 11 11899 54 A18 2727 18B 54 9918B 折痕 折痕 折痕 ③ ④ ⑤ (第15题) 第2章 整式及其加减 2.1 代数式 6B由题意可知，某人骑自行车的速度为三千米/时，步 第1课时用字母表示数 行的速度为产3干米/时，则骑自行车每小时比步行多走 1.B连续奇数相差2，最大的是n十2，中间一个是n,最 小的是n一2. (仔庄)千米 2.C由题意可知，先提价10%，再降价10%，现价是a· 7.班长小强买4个足球，3个篮球后剩余的钱 (1+10%)(1-10%)=0.99a(元). 3.2ab立方米因为体积增加的部分，就是高增加的部分 8G+只.(2)2z+33)x2+. 的体积，所以体积比原来增加2ab立方米。 9.B当2写到n的右边组成一个三位数时，2在个位上， 4.C由题意，得这个长方形的另一边长为2×20一a n在原来的基础上扩大了10倍，所以这个三位数为 10m+2. (10一a)cm.所以这个长方形的面积为a(10一a)cm. 10.D因为9月的利润比8月增加了12%，9月获得的利 5.答案不唯一，如b一a=c一b由题图可知，a,b,c之间 依次大8，所以b一a=c一b=8. 润为a元，所以8月的利润为1十12%元.因为去年8月 6.(1)(a+b)(a-b)a2-b2(2)a2-b2(3)6.92 的利润比7月减少5%，所以7月获得的利润为 7.105k+23一个正整数，除以3余2，除以7余2，所 以这个正整数除以21也余2.所以除以21余2的最小正 (1-5%)1+12%元. 整数为23.又23÷5=4…3，所以满足条件的最小正整数 方法归纳 为23.因为3,5,7的最小公倍数为3×5×7=105，所以符 实际问题中列代数式的方法 合条件的正整数为105k十23. 根据实际问题列代数式，关键是要掌握各类实际问 第2课时代数式 题中基本量的关系和公式.若最后的结果是加法或减法 的代数式，且后面有单位，则要用括号把整个代数式括 1.D代数式有名5，心2-1，共4个 起来，再在后面写单位 2.C数字与字母相乘，数字在前，字母在后，故①错误：代 11.D对折1次后，可以得到折痕条数为1=2一1，连续 数式不出现÷号，写成分数的形式，故③错误；带分数要化 对折2次后，可以得到折痕条数为3=2一1，连续对折3次 成假分数，故④错误， 后，可以得到折痕条数为7=2一1，连续对折4次后，可 方法归纳 以得到折痕条数为15=2一1…以此类推，连续对折 代数式的书写要求 n次后，可以得到折痕条数为2”一1. (1)在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者 12.(2+2n)因为第1个图案中有2+2×1=4（个）白色 省略不写：(2)数字与字母相乘时，数字要写在字母的前 圆片，第2个图案中有2十2×2=6（个）白色圆片，第3个 面：(3)在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写 图案中有2十2×3=8（个）白色圆片，…，所以第n个图案 法来写，带分数要写成假分数的形式！ 中有(2十2)个白色圆片 3.B5支水笔需5m元，9本笔记本需91元，共需(5m十 13.6因为第1个图案中圆点的个数为5=4×1+1，第 9n)元. 2个图案中圆点的个数为9=4×2+1，第3个图案中圆点 4.Cx2十y2表示x,y的平方和 的个数为13=4×3+1…所以第n个图案中圆点的个数 5.C由题意，可得促销方法是每本在原价的基础上减去 为4n十1.由4n+1=25,得n=6,所以第6个图案有25个 15元后再打8折. 圆点 D12