第1章 有理数 单元小测 2026-2027学年沪科版数学 七年级上册

沪科版七年级上册 · 第1章　有理数 单元小测 沪科版 七年级数学上册 第1章　有理数 单元小测（含知识点梳理、答案及解析） 文档结构 内容说明 第一部分 知识点梳理 正数和负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较、有理数的加减乘除与乘方、混合运算、科学记数法、近似数（含典型例题与易错提醒） 第二部分 单元小测 选择题10道、填空题8道、解答题7道，满分100分，建议用时90分钟 第三部分 参考答案及解析 逐题给出答案、详细解题过程与易错点分析 第四部分 课后巩固练习 A组基础巩固、B组能力提升，附参考答案 单元学习目标 1．理解正数、负数的意义，会用正、负数表示具有相反意义的量； 2．掌握有理数的概念与分类，会画数轴，理解相反数、绝对值的意义； 3．会比较有理数的大小； 4．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律，能熟练进行混合运算； 5．会用科学记数法表示较大的数，了解近似数与精确度。 使用建议 1．先复习“知识点梳理”，理解概念、法则并完成其中的例题； 2．在规定时间内独立完成“单元小测”，完成后再对照“参考答案及解析”批改订正； 3．根据错题情况选做“课后巩固练习”，A组人人必做，B组选做提升。 第一部分 知识点梳理 知识结构图 板块 核心内容 对应课节 有理数的概念 正数、负数、0；整数、分数；有理数的分类 1.1 数轴与相关概念 数轴三要素；相反数；绝对值 1.2 大小比较 数轴法；法则法（两个负数比较绝对值） 1.3 有理数的运算 加、减、乘、除、乘方及混合运算，运算律 1.4～1.6 近似与记数 科学记数法；近似数与精确度 1.6、1.7 知识点1　正数和负数 （1）像3、1.5、这样大于0的数叫做正数；在正数前面加上“-”号的数，如-3、-1.5、-，叫做负数。 （2）0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。 （3）正数和负数可以用来表示具有相反意义的量。例如：向东走5米记作+5米，那么向西走3米记作-3米；收入200元记作+200元，那么支出80元记作-80元。 【例1】 如果水位上升2 m记作+2 m，那么水位下降1.5 m记作________；“-6 m”表示________。 解：水位下降1.5 m记作-1.5 m；-6 m表示水位下降6 m。 易错提醒 ① 带“-”号的数不一定是负数，如-(-3)=3是正数；不带“-”号的数也不一定是正数，如0。 ② “相反意义的量”必须是同一类量，且意义相反，如“收入”与“支出”，“上升”与“下降”。 知识点2　有理数及其分类 整数和分数统称为有理数。有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此它们都是有理数。 （1）按定义分类 有理数 整数 正整数、0、负整数 分数 正分数、负分数 （2）按符号分类 有理数 正有理数 正整数、正分数 0 0 负有理数 负整数、负分数 【例2】 下列各数：-5，，0，-2.3，12，-，3.14。其中整数有________，负分数有________。 解：整数有-5，0，12；负分数有-2.3，-。 易错提醒 ① 0是整数，也是有理数，但0既不是正数也不是负数。 ② 圆周率π是无限不循环小数，不是有理数（本章不研究）。3.14是有限小数，属于分数。 知识点3　数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（这三者称为数轴的三要素，缺一不可）。 图1　数轴（点A表示-3，点B表示-1.5，点C表示2） （1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 （2）正数在原点右边，负数在原点左边，0在原点处。 （3）数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数。例如，图1中A、C两点间的距离是2-(-3)=5。 【例3】 数轴上点P表示的数是-1，将点P向右移动4个单位长度得到点Q，点Q表示的数是________；与点P距离为2的点表示的数是________。 解：-1+4=3，所以点Q表示3。与点P距离为2的点在点P左边或右边：-1-2=-3，-1+2=1，所以是-3或1。 知识点4　相反数 （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数是0。 （2）在数轴上，互为相反数的两个数对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等。 （3）若a、b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a、b互为相反数。 （4）多重符号的化简：数一数“-”号的个数，奇数个“-”结果为负，偶数个“-”结果为正。如-[-(-5)]=-5，-(-(+2))=2。 知识点5　绝对值 （1）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 （2）代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即：当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a。 （3）非负性：任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。若|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 【例4】 若|x-3|+|y+2|=0，求x+y的值。 解：因为|x-3|≥0，|y+2|≥0，且它们的和为0，所以x-3=0，y+2=0，即x=3，y=-2，所以x+y=3+(-2)=1。 易错提醒 ① 绝对值等于它本身的数是非负数（正数和0），不仅仅是正数。 ② 绝对值等于5的数有两个：5和-5。 知识点6　有理数的大小比较 （1）数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）法则法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 【例5】 比较-与-的大小。 解：|-|==，|-|==，因为<，所以->-。 知识点7　有理数的加法与减法 （1）加法法则 ① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ② 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； ③ 一个数同0相加，仍得这个数。 （2）加法运算律 加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 简便技巧：相反数结合、同号结合、凑整结合、同分母结合。 （3）减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。 【例6】 计算：(-)+(+2.25)-(-)+(-1)-(+1)。 解：原式=(-+)+(2.25-1.25)-1=+1-1=。 知识点8　有理数的乘法与除法 （1）乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 多个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个时，积为负；负因数有偶数个时，积为正。 （2）倒数 乘积是1的两个数互为倒数。a（a≠0）的倒数是；0没有倒数。注意：带分数求倒数要先化为假分数，如-1=-，其倒数是-。 （3）乘法运算律 乘法交换律：ab=ba；乘法结合律：(ab)c=a(bc)；分配律：a(b+c)=ab+ac。 （4）除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=a×（b≠0）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【例7】 计算：(1)(-+)×(-12)；(2)(-81)÷×÷(-16)。 解：(1)原式=×(-12)-×(-12)+×(-12)=-6+8-9=-7。 (2)原式=81×××=1。（负因数有2个，结果为正） 知识点9　有理数的乘方 （1）求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数。例如23=2×2×2=8，读作“2的3次方”或“2的立方”。 （2）符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 易错提醒 (-2)4表示4个-2相乘，结果是16；而-24表示24的相反数，结果是-16。 ()2=，而=，底数不同，意义不同。 知识点10　有理数的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右进行；有括号的先算括号里面的（按小括号、中括号、大括号的顺序）。 【例8】 计算：-22+(-3)2×(-)-|-4|÷2。 解：原式=-4+9×(-)-4÷2=-4-6-2=-12。 知识点11　科学记数法与近似数 （1）把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。n等于原数的整数位数减1。例如：3 080 000=3.08×106。 （2）接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数。近似数与准确数的接近程度用精确度表示，一般说一个近似数精确到哪一位。 例如：3.1416精确到百分位是3.14；近似数2.60精确到百分位（末尾的0不能去掉）；近似数1.5×104精确到千位。 【例9】 2025年某市常住人口约为12 460 000人，用科学记数法表示为________；将它精确到十万位为________。 解：12 460 000=1.246×107；精确到十万位为1.25×107。 第二部分 单元小测 （满分：100分　　时间：90分钟） 姓名：__________　班级：__________　学号：________　得分：________ 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。每小题只有一个选项符合题意） 1．如果收入50元记作+50元，那么支出30元记作（　　） A．+30元 B．-30元 C．+80元 D．-80元 2．-的相反数是（　　） A．3 B．-3 C． D．- 3．下列各数中，是负数的是（　　） A．-(-2) B．|-2| C．(-2)2 D．-22 4．下列说法正确的是（　　） A．0是最小的有理数 B．一个数的绝对值一定是正数 C．绝对值等于它本身的数是正数 D．有理数分为正有理数、0和负有理数 5．某地区人口约为3 870 000人，将3 870 000用科学记数法表示为（　　） A．3.87×105 B．3.87×106 C．38.7×105 D．0.387×107 6．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b>0 B．ab>0 C．|a|<|b| D．a-b<0 7．计算(-3)×÷(-)的结果是（　　） A．-4 B．4 C．-1 D．1 8．近似数2.40精确到（　　） A．个位 B．十分位 C．百分位 D．千分位 9．将-，-，-0.7按从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．-<-0.7<- B．-<-0.7<- C．-0.7<-<- D．-<-<-0.7 10．若|a|=3，|b|=2，且a<b，则a+b的值为（　　） A．-1 B．-5 C．-1或-5 D．1或5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．-2的倒数是________。 12．数轴上点A表示的数是-2，与点A相距3个单位长度的点表示的数是________。 13．比较大小：-|-5|________-(-3)（填“>”“<”或“=”）。 14．计算：(-1)2026+(-1)2025=________。 15．若|x-2|+(y+3)2=0，则(x+y)2027=________。 16．某天的最高气温是8 ℃，最低气温是-3 ℃，这天的温差是________℃。 17．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，则+cd-m2=________。 18．观察下列各式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，……，根据规律，22026的个位数字是________。 三、解答题（本大题共7小题，满分46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分）把下列各数填入相应的集合中： -3，+2.5，0，-，15，-0.3，，-(-4)。 正数集合：{　　　　　　　　　　…}；负数集合：{　　　　　　　　　　…}； 整数集合：{　　　　　　　　　　…}；分数集合：{　　　　　　　　　　…}。 20．（6分）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”把它们连接起来： -2.5，3，0，-，|-1.5|，-(+2)。 21．（12分）计算： (1) -12-(-18)+(-7)-15；　　　　(2) (-+-)×(-24)； (3) -14-(1-0.5)××[2-(-3)2]；　　(4) (-2)3÷×(-)2-|-5|。 22．（6分）出租车司机小王某天下午的营运全是在东西走向的大街上进行的。如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程（单位：千米）如下： +15，-3，+14，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-17。 (1) 将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车地点的什么方向？距下午出车地点多远？ (2) 若汽车耗油量为0.1升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ (3) 在行驶过程中，小王离出车地点最远是多少千米？ 23．（5分）已知|a|=5，|b|=3，且ab<0，求a-b的值。 24．（5分）某粮库有10袋大米，每袋大米以50千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称得的结果如下（单位：千克）： +0.5，-0.3，+0.2，0，-0.4，+0.6，-0.1，+0.3，-0.2，+0.4。 (1) 这10袋大米中，最接近标准质量的是哪一袋？ (2) 这10袋大米的总质量是多少千克？ 25．（6分）阅读理解：观察下列等式： =1-，=-，=-，…… (1) 猜想并写出：=________（n为正整数）； (2) 利用上述规律计算：+++…+。 第三部分 参考答案及解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D B D B C A C 1．【答案】B 【解析】收入与支出是具有相反意义的量，收入记为正，则支出记为负，所以支出30元记作-30元。 2．【答案】C 【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，-的相反数是。注意不要与倒数（-3）混淆。 3．【答案】D 【解析】-(-2)=2，|-2|=2，(-2)2=4，-22=-4，只有-22是负数。 易错点：-22的底数是2，不是-2。 4．【答案】D 【解析】A项：负数比0小，没有最小的有理数，错误；B项：0的绝对值是0，不是正数，错误；C项：0的绝对值也等于它本身，应为“非负数”，错误；D项：按符号分类正确。 5．【答案】B 【解析】3 870 000是7位整数，n=7-1=6，a=3.87，所以3 870 000=3.87×106。C、D项中a不满足1≤|a|<10。 6．【答案】D 【解析】由数轴可知-2<a<-1，0<b<1，所以|a|>|b|。 A项：异号两数相加取绝对值较大者的符号，a+b<0，错误；B项：异号两数相乘得负，ab<0，错误；C项：|a|>|b|，错误；D项：a在b的左边，a<b，所以a-b<0，正确。 7．【答案】B 【解析】原式=(-3)××(-2)=+(3××2)=4。有两个负因数，结果为正。 8．【答案】C 【解析】近似数2.40的最后一位数字0在百分位上，所以精确到百分位。末尾的0不能随意去掉，2.4与2.40的精确度不同。 9．【答案】A 【解析】三个数的绝对值分别为≈0.667，=0.75，0.7，所以>0.7>。两个负数比较，绝对值大的反而小，所以-<-0.7<-。 10．【答案】C 【解析】由|a|=3得a=±3，由|b|=2得b=±2。因为a<b，若a=3，则b无论取2还是-2都小于3，不符合；所以a=-3，b=2或b=-2。 当a=-3，b=2时，a+b=-1；当a=-3，b=-2时，a+b=-5。所以a+b=-1或-5。 二、填空题 11．【答案】- 【解析】-2=-，它的倒数是-。带分数求倒数要先化成假分数。 12．【答案】1或-5 【解析】在点A右边3个单位：-2+3=1；在点A左边3个单位：-2-3=-5。注意分两种情况，不要漏解。 13．【答案】< 【解析】-|-5|=-5，-(-3)=3，负数小于正数，所以-|-5|<-(-3)。 14．【答案】0 【解析】-1的偶次幂是1，奇次幂是-1，所以原式=1+(-1)=0。 15．【答案】-1 【解析】因为|x-2|≥0，(y+3)2≥0，两个非负数的和为0，所以x-2=0，y+3=0，即x=2，y=-3。 x+y=-1，(-1)2027=-1。 16．【答案】11 【解析】温差=最高气温-最低气温=8-(-3)=8+3=11（℃）。 17．【答案】-3 【解析】a+b=0，cd=1，|m|=2，所以m2=4。 原式=+1-4=0+1-4=-3。 18．【答案】4 【解析】2的正整数次幂的个位数字按2，4，8，6循环，每4个一循环。 2026÷4=506……2，余数为2，所以个位数字与22的个位数字相同，是4。 三、解答题 19．（6分） 解：先化简：-(-4)=4。 正数集合：{+2.5，15，，-(-4)，…}； 负数集合：{-3，-，-0.3，…}； 整数集合：{-3，0，15，-(-4)，…}； 分数集合：{+2.5，-，-0.3，，…}。 易错分析 0既不属于正数集合也不属于负数集合，但属于整数集合；有限小数2.5、-0.3属于分数。 20．（6分） 解：先化简：|-1.5|=1.5，-(+2)=-2。在数轴上表示如下： 由数轴上右边的数总比左边的数大，得： -2.5<-(+2)<-<0<|-1.5|<3。 21．（12分） 解：(1) 原式=-12+18-7-15=18-(12+7+15)=18-34=-16。 (2) 原式=(-)×(-24)+×(-24)-×(-24) 　　　　=18-20+14 　　　　=12。 (3) 原式=-1-××(2-9) 　　　　=-1-×(-7) 　　　　=-1+ 　　　　=。 (4) 原式=(-8)÷×-5 　　　　=(-8)××-5 　　　　=-8-5 　　　　=-13。 易错分析 第(3)题中-14=-1，不是1；第(4)题中除法与乘法是同级运算，应从左到右依次计算，不能先算×(-)2。 22．（6分） 解：(1) 15-3+14-11+10-12+4-15+16-17=1（千米）。 答：小王在下午出车地点的东边，距出车地点1千米。 (2) 总路程为各数的绝对值之和： 15+3+14+11+10+12+4+15+16+17=117（千米）， 117×0.1=11.7（升）。 答：这天下午汽车共耗油11.7升。 (3) 依次计算每次行驶后离出车地点的位置： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 位置/千米 15 12 26 15 25 13 17 2 18 1 答：离出车地点最远是26千米（第3次行驶后）。 23．（5分） 解：因为|a|=5，|b|=3，所以a=±5，b=±3。 又因为ab<0，所以a，b异号。 当a=5，b=-3时，a-b=5-(-3)=8； 当a=-5，b=3时，a-b=-5-3=-8。 所以a-b的值为8或-8。 24．（5分） 解：(1) 绝对值越小越接近标准质量，|0|=0最小，所以第4袋（记作0的那袋）最接近标准质量，其质量恰为50千克。 (2) 0.5-0.3+0.2+0-0.4+0.6-0.1+0.3-0.2+0.4 =(0.5+0.2+0.6+0.3+0.4)-(0.3+0.4+0.1+0.2) =2.0-1.0=1.0（千克）， 50×10+1.0=501（千克）。 答：这10袋大米的总质量是501千克。 25．（6分） 解：(1) =-。 (2) 原式=(1-)+(-)+(-)+…+(-) =1- =。 方法点拨 这种方法叫做“裂项相消法”：把每一项拆成两个分数的差，相邻两项中间的部分互为相反数，相加后抵消，只剩首尾两项。 第四部分 课后巩固练习（附答案） 说明：A组为基础巩固题，B组为能力提升题，供学生课后分层练习使用。 A组　基础巩固 1．计算：(1) (-8)+(+5)-(-3)；　(2) (-)÷；　(3) (-3)3×(-)2。 2．写出所有绝对值小于3.5的整数，并求出它们的和与积。 3．用科学记数法表示下列各数：(1) 5 600 000；(2) -120 300。 4．按括号内的要求，用四舍五入法取近似数：(1) 0.030 49（精确到0.001）；(2) 2.995 2（精确到百分位）。 B组　能力提升 5．计算：-32×[-+(-)2]-(-2)3÷4。 6．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|-|a-b|+|b|。 7．定义一种新运算“※”：a※b=a×b-a+b。例如：2※3=2×3-2+3=7。 (1) 求(-3)※4的值；(2) 求[(-2)※(-1)]※3的值。 8．一只蚂蚁从数轴的原点出发，先向右爬行3个单位长度，再向左爬行5个单位长度，最后向右爬行4个单位长度。问：蚂蚁最后停在数轴上表示哪个数的点处？它一共爬行了多少个单位长度？ 巩固练习参考答案 1．(1) 原式=-8+5+3=0； (2) 原式=-×=-； (3) 原式=(-27)×=-3。 2．绝对值小于3.5的整数有：-3，-2，-1，0，1，2，3。 它们的和：互为相反数的两数之和为0，所以和为0；因为其中有因数0，所以积为0。 3．(1) 5 600 000=5.6×106；(2) -120 300=-1.203×105。 4．(1) 0.030 49≈0.030；(2) 2.995 2≈3.00。 注意：近似数末尾的0表示精确度，不能省略。 5．原式=-9×(-+)-(-8)÷4 =-9×(-)+2 =5+2=7。 6．由数轴可知a<0<b，且|a|>|b|，所以a+b<0，a-b<0。 |a+b|-|a-b|+|b|=-(a+b)-(b-a)+b=-a-b-b+a+b=-b。 7．(1) (-3)※4=(-3)×4-(-3)+4=-12+3+4=-5； (2) (-2)※(-1)=(-2)×(-1)-(-2)+(-1)=2+2-1=3， 3※3=3×3-3+3=9，所以[(-2)※(-1)]※3=9。 8．规定向右为正，则0+3-5+4=2，所以蚂蚁最后停在表示2的点处。 一共爬行了|+3|+|-5|+|+4|=3+5+4=12（个单位长度）。 附：本单元学习自我评价 评价内容 掌握情况（在相应栏打“✓”） 能正确区分正数、负数和0，对有理数进行分类 □熟练　□基本掌握　□需加强 能画数轴，并利用数轴比较有理数大小 □熟练　□基本掌握　□需加强 理解相反数、绝对值、倒数的意义并能求值 □熟练　□基本掌握　□需加强 能按运算顺序正确进行有理数混合运算 □熟练　□基本掌握　□需加强 会用科学记数法表示数，理解近似数的精确度 □熟练　□基本掌握　□需加强 第 页（共 页） 学科网（北京）股份有限公司 $