2.1 《认识有理数》 同步分层练习 -2026-2027学年北师大版数学七年级上册

北师大版七年级数学上册 第二章 第一节 认识有理数 同步分层练习 北师大版七年级数学上册 同步分层练习 2.1 认识有理数 （满分100分，建议用时60分钟） 姓名：____________ 班级：____________ 得分：____________ 一、基础巩固（共40分） （一）选择题（每小题3分，共18分） 1. 负数的概念最早出现在我国古代数学名著《九章算术》中。下列各数中，属于负数的是（ ） A. 3 B. 0 C. −2 D. +5.6 2. 如果收入80元记作+80元，那么支出50元记作（ ） A. +50元 B. −50元 C. +30元 D. −30元 3. 下列关于有理数的说法，正确的是（ ） A. 正数和负数统称为有理数 B. 整数和分数统称为有理数 C. 0是最小的有理数 D. 小数都是有理数 4. −2025的相反数是（ ） A. 2025 B. −2025 C. D. − 5. 的值是（ ） A. −3 B. 3 C. ±3 D. 6. 下列各数中，比−2小的数是（ ） A. −3 B. −1 C. 0 D. 1 （二）填空题（每小题3分，共12分） 7. 如果水位升高3 m记作+3 m，那么水位下降5 m记作________ m。 8. 比较大小：−4 ________ −6（填“>”、“<”或“=”）。 9. −(−5) = ________； = ________。 10. 在数轴上，与原点距离为3个单位长度的点表示的数是________。 （三）解答题（共10分） 11. （5分）把下列各数分别填入相应的集合中： −3，+5，0，−1.5，+2.8，−20%，，−7 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 整数集合：{ }； 分数集合：{ }。 12. （5分）化简下列各数： (1) −(+4)； (2) −(−6)； (3) +(−3.2)； (4) −|−5|。 二、综合运用（共40分） 13. （8分）某食品厂生产的袋装食品，每袋标准质量为500 g。质检员抽取6袋进行检测，超过标准质量的克数记为正数，不足的记为负数，记录如下（单位：g）： +3，−2，+5，0，−4，+1 (1) 最重的一袋与最轻的一袋相差多少克？ (2) 这6袋食品的总质量是多少克？ 14. （8分）画一条数轴，并在数轴上表示下列各数： −3，1.5，0，，4，−2.5 15. （8分）如图，数轴上的点A表示的数是−3，点B表示的数是1。回答下列问题： (1) 求A、B两点之间的距离； (2) 在数轴上是否存在点C，使点C到点A和点B的距离相等？若存在，求出点C表示的数；若不存在，请说明理由。 16. （8分）某地某天的气温变化可用温度计量度。凌晨2时的气温是−4 ℃，上午8时气温上升了3 ℃，中午12时又上升了5 ℃，傍晚6时下降了7 ℃。 (1) 中午12时的气温是多少？ (2) 傍晚6时的气温是多少？ 17. （8分）已知 + = 0，求下列各式的值： (1) a + b； (2) |a| + |b|。 三、拓展题（共20分） 18. （10分）阅读下列材料，并解答问题： 我们知道：当a > 0时，|a| = a；当a = 0时，|a| = 0；当a < 0时，|a| = −a。这种按不同情况分类讨论的方法是数学中解决问题的重要思想方法。 (1) 比较大小：|−5| ________ 5（填“>”、“<”或“=”）；|−3| ________ −3（填“>”、“<”或“=”）。 (2) 请仿照上述分类讨论的方法，分析：当a为有理数时，|a| 与 −a 的大小关系。 19. （10分）一只跳蚤从数轴上的原点O出发，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度，……，按此规律跳动。 (1) 第5次跳动后，跳蚤在数轴上表示的数是多少？ (2) 第20次跳动后，跳蚤在数轴上表示的数是多少？ (3) 按此规律，第n次跳动后，你能说出跳蚤所在位置表示的数吗？（直接写出结论，n为正整数） 参考答案与解析 一、基础巩固 1. C。−2是在正数2前面加上负号"−"的数，是负数；3、+5.6是正数；0既不是正数也不是负数。 2. B。收入与支出是一对相反意义的量，收入记为正，则支出记为负，所以支出50元记作−50元。 3. B。整数和分数统称为有理数，B正确；A错（有理数还包括0）；C错（有理数没有最小的数）；D错（无限不循环小数不是有理数）。 4. A。 只有符号不同的两个数互为相反数，−2025的相反数是2025。（注意： 是−2025的负倒数，不是相反数。） 5. B。负数的绝对值是它的相反数，|−3| = 3。 6. A。在数轴上，−3在−2的左边，−3 < −2，所以比−2小的数是−3。 7. −5。升高记为正，下降记为负，下降5 m记作−5 m。 8. >。两个负数比较，绝对值大的反而小。|−4|=4，|−6|=6，4<6，所以−4 > −6。 9. 5；7。 −(−5)表示−5的相反数，等于5；|−7| = 7。 10. ±3（即+3和−3）。距离原点3个单位长度的点有两个，分别在原点两侧，表示+3和−3。 11. 【答案】正数集合：{+5，+2.8，，…}；负数集合：{−3，−1.5，−20%，−7，…}；整数集合：{−3，+5，0，−7，…}；分数集合：{−1.5，+2.8，−20%，，…}。 【解析】百分数、有限小数、无限循环小数都可以化成分数，属于分数（也是有理数）；0既不是正数也不是负数，但属于整数；注意−20% = −，是负分数。 12. 【答案】(1) −(+4) = −4；(2) −(−6) = 6；(3) +(−3.2) = −3.2；(4) −|−5| = −5。 【解析】多重符号化简规律：数一下"−"号的个数，奇数个结果为负，偶数个结果为正；含有绝对值时先算绝对值再化简符号。 二、综合运用 13. 【答案】(1) 最重一袋比标准多5 g，最轻一袋比标准少4 g，相差 5−(−4) = 9(g)；(2) 6袋总偏差为 3+(−2)+5+0+(−4)+1 = 3(g)，总质量为 6×500+3 = 3003(g)。 【解析】"正""负"是相对于标准质量500 g而言。求总质量时，可以先算偏差总和，再加标准总质量：总质量 = 标准总质量 + 偏差总和。 14. 【答案】画数轴（三要素：原点、正方向、单位长度要齐全），在数轴上从左到右依次标出：−3、−2.5、−、0、1.5、4。 【解析】画数轴必须包含原点O、正方向（向右的箭头）和统一的单位长度，三者缺一不可；负分数−位于−1与0的中点；1.5位于1与2的中点。 15. 【答案】(1) AB = |1−(−3)| = 4，所以A、B两点之间的距离为4；(2) 存在。到A、B两点距离相等的点是AB的中点，点C表示的数为 (−3+1)÷2 = −1。 【解析】数轴上两点间的距离等于两数差的绝对值；线段中点所表示的数等于两端点所表示数的平均数。 16. 【答案】(1) 中午12时气温：−4+3+5 = 4(℃)（即零上4 ℃）；(2) 傍晚6时气温：4−7 = −3(℃)（即零下3 ℃）。 【解析】用正负数表示气温变化：上升为正、下降为负，按时间顺序依次列式计算。注意−4+3先得到−1（零下1 ℃），再加5到零上4 ℃。 17. 【答案】由绝对值的非负性知 |a−2| ≥ 0，|b+3| ≥ 0，且两者之和为0，故 a−2=0 且 b+3=0，得 a=2，b=−3。(1) a+b = 2+(−3) = −1；(2) |a|+|b| = |2|+|−3| = 2+3 = 5。 【解析】若干个非负数（如绝对值、平方）的和为0，则每一个非负数都为0。这是绝对值非负性的核心应用，是初中代数常考题型。 三、拓展题 18. 【答案】(1) |−5| = 5；|−3| = 3 > −3。(2) 分三种情况讨论：①当 a > 0 时，|a| = a > 0，−a < 0，所以 |a| > −a；②当 a = 0 时，|a| = 0，−a = 0，所以 |a| = −a；③当 a < 0 时，|a| = −a，所以 |a| = −a。综上：当 a > 0 时 |a| > −a；当 a ≤ 0 时 |a| = −a。 【解析】本题考查绝对值的代数意义和分类讨论思想。关键要按"正、零、负"三种情况逐一讨论，不能漏掉 a = 0 的情形。 19. 【答案】(1) 第5次跳动后位置：1−2+3−4+5 = 3；(2) 第20次跳动后位置：1−2+3−4+…+19−20 = (1−2)+(3−4)+…+(19−20) = (−1)×10 = −10；(3) 规律：当n为奇数时，跳蚤在位置 ；当n为偶数时，跳蚤在位置 −。 【解析】向右为正、向左为负，把每次跳动的位移用正负数表示并求和。n为偶数时可两两分组，每组和为−1，共 n÷2 组；n为奇数时前 n−1 次（偶数次）分组得 −(n−1)÷2，再加最后一次+n，得 (n+1)÷2。规律探究题要注意观察、归纳、验证。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $