第四章 3 多边形和圆的初步认识&综合与实践4 转化思想在线段和角中的应用-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）七年级上 3多边形和圆的初步认识 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列多边形中，不是凸多边形的为 () A B. D. 2.从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m十n的值 为 3.在如图所示的图案中，正多边形有 ,不是正多边形的其他多边 ☒田 形有 (第3题) 4.如图，每个扇形中的数据表示该扇形占圆面积的百分比，其中扇形DOE与扇形AOE的圆心角 的度数之比为1：2. (1)求这五个扇形的圆心角的度数. (2)若扇形所在圆的半径为2，试求扇形BOC与扇形COD的面积. B A15% 25% 2 30% D (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.*过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形对角线的总条数 为 6.[2026周口鹿邑模拟]如图①所示为小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何 示意图（涂色部分为花窗）.通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA=1m,C,D分别为 OA,OB的中点，则花窗的面积为 m2. 0 ① ② (第6题) 7.如图，正方形ABCD的边长为1，依次以点A,B,C,D为圆心，以AD,BE,CF,DG的长为半径 画扇形.求涂色部分的面积 G (第7题) 76 >“答案与解析”见D30 第四章基本平面图形 综合与实践4转化思想在线段和角中的应用 [2025贵港期末]综合与实践， 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移.下面是某节课的学习片段，请 完成探索过程： (1)【探索发现】课上，老师提出问题：如图①，O是线段AB上一点，C,D分别是线段OA,OB的中 点，当AB=20时，求线段CD的长.下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全 解答过程， A C O D B ① 未知线段 辕 因为C,D分别是线段OA,OB的中点，所以OC=2OA,OD= 线段中点的定义， 线段的和、差，等 1 已知线段 2 所以CD=C+0D=专0A+ 式的性质 1 2 因为AB=20,所以CD= (2)【知识迁移】小华举一反三，发现有些角度计算也可以用类似的方法进行转化.如图②， ∠AOB=124°，OC是∠AOB内部的一条射线，OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线，请你求 ∠DOE的度数 (3)【拓展延伸】如果(2)中其他条件不变，将射线OC绕点O旋转到∠AOB的外部，求∠DOE的 度数 ② “答案与解析”见D31 77专题特训八动角问题 1.【特例分析】20°.因为∠AOB=120°，∠AOD=40°， 所以∠DOB=∠AOB-∠AOD=120°-40°=80°.因为 0E平分∠0B,所以∠D0E=号∠D0B=号×80°= 40°.所以∠COE=∠DOC-∠DOE=60°-40°=20° 【拓展探究】∠COE=2∠AOD.理由：设∠AOD=a,则 ∠DOB=120°-a.因为OE平分∠DOB,所以∠DOE= 2∠D0B=2120°-a)=60°-24.因为∠0C=60,所 以∠00E=∠D0C-∠D0E=60-(60°-2）=7a. 所以∠COE=2∠AOD, 2.【问题初探】因为∠AOC=4∠AOB,∠AOC+2∠AOB= 180°，所以4∠AOB+2∠AOB=180°.所以∠AOB=30°」 所以∠AOC=4×30°=120°.所以∠A0C的度数是120°. 【操作探究】因为射线OB在∠AOC内部，∠AOC=120°， ∠AOB=30°，所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=120° 30°=90.若0P与0C重合，则9=120，所以1=9若 0Q与0C重合，则=60，所以：=.因为射线OP绕点 O逆时针旋转，且∠POQ=10°，所以9t+10=30十4t或 9t一10=30十4t.所以t=4或t=8.【拓展延伸】因为 OM平分∠AOP,ON平分∠COP,所以∠POM= 2∠A0P,∠P0N=∠00P.由a)知，∠Ac=120. 射线OP到达OC所需时间为120°÷15°=8（秒），旋转一周 所需时间为360°÷15°=24（秒）.①当0<t≤8时，如图①. ∠MON=∠POM+∠PON=3∠AOP+2∠COP= 号∠A0C=60,@当∠A0P=180,射线OP的旋转时间 为180°÷15°=12（秒）.所以当8<t≤12时，如图②. ∠MON=∠POM-∠PON=2∠A0P-是∠C0P- 合∠A0C=60,③∠C0P=180,射线0p的旋转角度为 ∠AOC+∠COP=300°，则旋转时间为300°÷15°= 20(秒).所以当12<t≤20时，如图③.∠MON=∠POM+ ∠n0N=2∠A0P+号∠Q0P=2(360°-∠A0C)= 120°；④当20<t≤24时，如图④.∠MON=∠PON ∠n0M-2∠COP-2∠A0P=∠A0C=60.综上 所述，运动过程中∠MON的度数为60°或120°. 0 ② ③ ④ (第2题) 3多边形和圆的初步认识 1.B多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧的是凸 多边形. 2.7从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们 将六边形分成4个三角形，所以m十1=7. 3.正三角形、正方形、正六边形梯形、五边形、长方形、平 行四边形 4.(1)因为一个周角为360°，所以∠AOB=360°×15%= 54°，∠B0C=360°×25%=90°，∠COD=360°×30%= 108°.所以∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD= 360°一54°-90°一108°=108°.又因为∠D0E:∠AOE= 1 1:2,所以∠D0E=108X1+2=36,∠A0E=108°× 1十272°、(2)因为扇形所在圆的半径为2，所以 2 S豹无c=元X22X25%=元，S前on=元×2X30%=号元 5.20因为从n边形的一个顶点出发可引出(n一3)条对 角线，可将n边形分成(n一2)个三角形，所以n一2=6.所 以n=&.所以多动形对角线的总条数为，3》_85=20， 22 方法归纳 有关多边形的规律总结 从n边形(n≥4)的一个顶点出发可引出(n一3)条 对角线，可将n边形分成(n一2)个三角形，n边形对角线 的总条数为n(n-3) 2 6(子-8)由题意知，Sm=xX1× 360 平(m).因为C.D分别为0A,0B的中点，所以OC- 30 OD=m所以5w-号×名×号m所 花窗的面积为（牙-日）m。 7.因为正方形ABCD的边长为1，所以扇形的半径分别为 12,3,4圆心角均为90所以5e-x×+}x× 综合与实践4转化思想在 线段和角中的应用 (1)OB:OB:AB;10.(2)因为OD,OE分别是∠AOC, ∠B0C的平分线，所以∠D0C=∠A0C,∠C0E= 2∠0C.所以∠0E=∠0C+∠C0E=2∠A0C+ 2∠B0C=2∠A0B.因为∠A0B=124,所以∠D0E= 名×12=62：(3)因为0D,0E分别是∠A0C, ∠B0C的平分线，所以∠COD=号∠A0C,∠COE 2∠B0C.分三种情况讨论第一种情况：如图①，∠DOE= ∠0DE-∠C0D=2∠B0C-2∠A0C=3∠A0B- 号×124=62.第二种情况：如图@，∠D0E=∠C0D+ ∠CDE=号∠A0C+号∠B0C=2(360°-∠A0B)= 号×360°-1249=18.第三种情况：如图@，∠0E- ∠COD-∠cOE=2∠A0C-2∠0C=2∠A0B 号×12=62.综上所述，∠D0E的度数为62或18. ① ③ D 第四章拔尖自主测评 1.DA地与B地之间的距离20千米是连接A,B两点 的线段的长度，导航提供的路线是曲线，曲线的长度大于 线段的长度，所以蕴含的数学道理是两点之间线段最短. 2.D点D在线段BC的延长线上，故选项A错误；∠1不 可以表示成∠C,故选项B错误；射线BD与射线CD是两 条射线，故选项C错误；∠1十∠ACD=180°，故选项D正确. 3.A根据作图可知∠EOF=∠HOB,不能判断∠AOB= 2∠EO'F,故选项A不正确；由于∠AOB>∠HOB,即 ∠AOB>∠EO'F,故选项B正确；∠THOB=∠EO'F,故选 项C正确；∠AOH=∠AOB一∠HOB=∠AOB一∠EO1 F,故选项D正确！ 4C因为∠BOD=3∠D0C,∠B0D=18,所以 ∠DOC=54°.所以∠BOC=36°.因为OC是∠AOB的平 分线，所以∠COA=∠BOC=36.所以∠AOD=∠BOD+ ∠BOC+∠COA=90°」 互D由BD-子AB=CD,得AB=3BD,CD=BD 由线段的和差，得AD=AB一BD=2BD,AC=AD十 CD=2BD+4BD=6BD.由线段AB,CD的中点E,F,得 AE=AB=BD,FC=7CD=号×4BD=2BD.由 线段的和差，得EF=AC-AE-PC=6BD-号BD 2BD=10cm.所以BD=4cm.所以CD=4×4=16(cm). 6.A因为OA的方向是北偏东15°，OC的方向是北偏西 40°，所以∠AO0C=15°+40°=55°.因为∠AOC=∠AOB, 所以∠AOB=55°.因为15°+55°=70°，所以OB的方向是 北偏东70° 7B当OB与QM重合时，易得∠A0M=2∠B0C 15°；当0C与OD重合时，∠AOC=∠AOD=150°，∠AOB= ∠A0C-∠B℃=150°-30°=120°，易得∠AOM= 号∠A0C-75所以0B旋转了120,0M旋转了75 15°=60°.因为120÷2=60（秒），60°÷60=1°，所以射线 OM的旋转速度为每秒1°.故①错误.设旋转了t秒，则 ∠AOB=(2t)°，∠BOD=(150-2t)°，∠AON=∠BON+ ∠AOB=2∠BOD+∠AOB=(75+t)°，当t=15时， ∠A0N=90.故②正确.由②，易得∠A0M-[2(30十 2t)°=(15+t)°，∠COD=(120-2t)°，∠B0D=(150- 2t)°.因为ON平分∠BOD,所以∠DON=(75-t)°.所以 31