4.3多边形和圆的初步认识（分层作业，11大题型）数学新教材北师大版七年级上册

分层作业 4.3 多边形和圆的初步认识 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 多边形及其相关的概念 题型02 正多边形及其性质 题型03 多边形的周长 题型04 圆的认识 题型05 圆的周长和面积 题型06 圆心角有关概念辨析 B组 能力进阶 题型01 多边形的截角问题 题型02 多边形的面积 题型03 多边形的对角线 题型04 扇形面积的计算 C组 思维拔高 题型 有关多边形的探究题 多边形及其相关的概念题型01 1．如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了凸多边形的定义，正确理解该概念是解题的关键．根据凸多边形的定义判断，即画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，或者从角的度数来看，凸多边形的每一个内角都小于，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个四边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； B、多边形的某一条边所在的直线，多边形不在这条直线的同一侧，且有一个内角大于，不是凸多边形，符合题意； C、是一个五边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； D、是一个六边形，满足凸多边形的定义，是凸多边形，不符合题意； 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 3．在平面内，由一些线段______________相接组成的图形叫做多边形． 【答案】首尾顺次 【详解】在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． 故答案为首尾顺次. 4．图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形． 【答案】图①②④是多边形，图③不是多边形．其中图①是四边形，图②是五边形，图④是五边形． 【分析】根据多边形的概念进行判断． 【详解】①是多边形，是四边形； ②是多边形，是五边形； ③不是多边形； ④是多边形，是五边形． 【点睛】本题考查的是多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． 5．如图，你能数出多少个不同的四边形？ 【答案】27 【分析】根据四边形的组成方式，分别数出由单个的四边形，由2个四边形，3个四边形，4个四边形，5个四边形，6个四边形，7个四边形组成的大四边形，从而可得答案． 【详解】解：单个的四边形：一共有9个， 由2个四边形组成的四边形有6个， 由3个四边形组成的四边形有4个， 由4个四边形组成的四边形有1个， 由5个四边形组成的四边形有4个， 由6个四边形组成的四边形有2个， 由7个四边形组成的四边形有1个， 故一共有27个四边形． 【点睛】本题主要考查了认识平面图形，做到不重复不遗漏的数图形是解题关键． 正多边形及其性质题型02 1．下列图形中，是正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义判断即可． 【详解】解：由正八边形的定义：即正八边形有八条边，且每个边都相等，每个角都相等，由此可知，C选项中的图形是正八边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的定义，正多边形就是各边相等，各角也相等的多边形． 2．下列说法错误的是（   ） A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的定义，根据各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形的概念判定即可求解，掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解：正多边形的各条边都相等，各个角都相等，A，B正确； 各内角都相等，各条边也相等的多边形是正多边形，C正确， 各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形，故D错误． 故选：D． 3．用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 4．定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段____相连组成的______ 图形叫做多边形，各边相等______也相等的多边形叫做正多边形． 【答案】 首尾顺次 封闭 各内角 【分析】根据多边形及正多边形的定义进行解答即可． 【详解】解：在一个平面内，由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形叫做多边形．如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形． 故答案为∶ 首尾顺次，封闭，各内角． 【点睛】此题考查了多边形和正多边形的定义，解题的关键是熟知它们的定义． 5．举例说明各角相等的多边形不一定是正多边形． 【答案】长与宽不相等的长方形是符合要求的例子，例如长为2，宽为1的长方形． 【分析】根据正多边形的定义，举个反例即可； 【详解】正多边形是指各边都相等，各角也都相等的多边形．长与宽不相等的长方形，例如长为2，宽为1的长方形，它的四个角都是直角，即各角都相等，但它的四条边不都相等，所以它不是正多边形．故各角相等的多边形不一定是正多边形． 多边形的周长题型03 1．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了周长的求解，原正方形边长为30厘米，剪去四个角的小正方形后，虽然原边长被截短，但新增了与原截短部分等长的边，故周长不变． 【详解】解：如图：    因为剪去一个小正方形后，剪掉了与的长度，但又多出了与的长度，并且， 同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变， 故选：B． 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 3．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 4．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和． (1)求出表示第四条边长的代数式； (2)当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形． 【答案】(1)第四边的长为：cm. (2)不能，该图形是一条线段，理由： 当时， 即前三条边的长的和等于第四条边的长， 所以当时，这4条线段首尾相连不能得到四边形，该图形是一条线段. 【分析】（1）先列式表示第三边，第四边的长，再利用周长减去已知的三条边的长可得第四边的长度； （2）分别求解四条线段的长度，再计算前面三条线段的长，与第四条线段的长度比较，从而可得答案. 【详解】（1）解： 第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和， 第二边为cm，第三边为：cm， 第四边长为： 即第四边的长为：cm. （2）略 【点睛】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，多边形的含义，掌握“判断四条线段首尾顺次相连构成四边形的条件”是解本题的关键. 5．如图是长、宽分别为a，b的一个长方形和三边长分别为a，b，c的两个直角三角形．请你用这三个图形无缝拼成新的四边形，并直接写出形状不同的四边形的周长（要求画出示意图形）． 【答案】如图所示， 【分析】本题主要考查了学生的动手操作能力，能够画出所有的情况是解题的关键． 可以拼成梯形，平行四边形或长方形，注意不能漏掉． 【详解】解：一共是6个图形，①和③的周长为，②和⑥的周长为，④的周长为，⑤的周长为． 圆的认识题型04 1．.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（    ） A．圆上各点到圆心的距离相等 B．直径是圆中最长的弦 C．同弧所对的圆周角相等 D．圆是中心对称图形 【答案】A 【分析】根据车轮的特点和功能进行解答. 【详解】车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变， 是利用了圆上各点到圆心的距离相等. 故选：. 【点睛】本题考查了对圆的基本认识，即墨经所说：圆，一中同长也，属于基础知识，难度较小. 2．（24-25七年级·期末）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个说法进行判断，然后作出选择． 【详解】解：①直径是弦，故原说法正确； ②弦不一定是直径，故原说法错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误； ⑤直径是圆中最长的弦，故原说法正确． 综上所述，正确的说法有①③⑤． 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径， ∴直径， ∵弦长满足， ∴， 选项D中，故不可能， 故选：D 4．要画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应是______． 【答案】5 【分析】本题考查了圆的基本知识，熟练掌握圆的直径与半径的关系是解决本题的关键． 根据圆规画圆的原理以及圆的半径与直径的关系来求解． 【详解】解：在使用圆规画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径． 已知圆的直径， 可得该圆的半径， 即圆规两脚间的距离应是． 故答案为：． 5．设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【答案】 证明：如图所示，分别以A、B圆心，以2cm为半径画圆， 到点A的距离小于2cm的点在圆A的内部，到点B的距离大于2cm的点在圆B的外部， 即到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形为图中的阴影部分（不包括阴影的边界）． 【分析】分别以A、B圆心，以2cm为半径画圆，根据题意即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握圆的基本认识． 圆的周长和面积题型05 1．一个半圆的周长10.28厘米，这个半圆的直径（    ）厘米 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了圆的周长．半圆的周长等于圆的周长的一半再加直径，设圆的直径为d，由“一个半圆的周长是10.28厘米”即可求出圆的直径，从而问题得解． 【详解】解：设圆的直径为d厘米， 则， ， ， ； 答：这个半圆的直径是4厘米． 故选：B． 2．如图，的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，重合的点简记为，再将沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，则运动2025秒时，重合的点简记为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长相关知识、数轴上的运动以及周期性规律．求解出的运动终点是解决本题的关键． 先确定圆滚动一周的距离，再根据运动时间计算滚动的周数和额外的距离，从而确定重合点的坐标． 【详解】解：的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标0，1，2，3． 沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动， 运动2025秒时，上的点与数轴上表示的点重合． 的运动起点为， 当时，运动秒的终点为， 运动秒的终点为， 运动秒的终点为， 运动秒的终点为． ， 当时，的运动终点为． 故选：D． 3．一个圆的周长是31.4cm，它的半径是_____cm，面积是_____cm2． 【答案】 5 78.5 【分析】设圆的半径为．先利用圆的周长公式求出，再利用圆的面积公式即可得． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意得：， 解得， 则圆的面积为， 故答案为：5，78.5． 【点睛】本题考查了圆的周长、面积等知识，解题的关键是记住圆的周长公式和面积公式． 4．如图正方形的边长为1，分别以正方形的两个相对顶点为圆心，以1为半径画弧，则图中阴影部分的面积是______（用含有的式子表示）． 【答案】 【分析】利用两个圆的面积减去一个正方形的面积求解即可． 【详解】解：如图所示 S阴影=-S正方形=-12=． 故答案为：． 【点睛】本题考查阴影面积的求解，利用S阴影=-S正方形进行求解是解决本题的关键． 5．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】这个运动场的周长是米，面积是平方米． 【分析】本题考查了长方形，圆的周长和面积，运动场的周长是中间长方形的两条长加上圆的周长，运动场的面积是中间长方形的面积加上圆的面积，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：这个运动场的周长是：（米）， 这个运动场的面积是：（平方米）， 答：这个运动场的周长是米，面积是平方米． 圆心角有关概念辨析题型06 1．下列图形中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆心角是角的顶点在圆心的角，由此进行判断即可． 【详解】解：图中的符合圆心角的特征． 故选：B． 2．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴相邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 3．若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为________． 【答案】120 【分析】根据圆的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为： 故答案为：120． 【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握圆和圆心角的性质，从而完成求解． 4．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________. 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 5．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：； ∵，，， ∴ (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 多边形的截角问题题型01 1．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角上方一点剪，进而得出结论． 【详解】解：如图所示： ， 故选D． 【点睛】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 3．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的与截面，理解多边形边与角的关系，图形结合分析是解题的关键． 根据题意作图分析，即可求解． 【详解】解：A、如图所示，四边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； B、如图所示，五边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； C、如图所示，六边形纸片剪下一个三角形后，可以能是五边形，不符合题意； D、如图所示，七边形纸片按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个七边形，按方式剪下一个三角形后得到一个六边形，不可能得到五边形，故该项符合题意； 故选：D ． 4．一个n边形共有n条对角线，将这个n边形截去一个角后它的边数为__． 【答案】6、5、4 【分析】根据一个n边形对角线条数公式共有n条对角线，列等式，求出边数，再利用分类将五边形截去一个角的情形求解即可． 【详解】解：由这个n边形共有n条对角线，可得， 解得n＝5或0（不合题意，舍去）， 所以这个多边形是五边形， 将一个五边形截去一个角，根据截法不同可以有三种情况如图， 其结果分别是6、5、4条边， 故答案为：6、5、4． 【点睛】本题考查由对角线条数与边关，分类思想，数形结合思想截取一个角实质看边是否减少是解题关键． 5．从四边形中剪去一个三角形，剩余部分可能是几边形？从五边形中剪去一个三角形，剩余部分可能是几边形？……由此，请探究：从n边形中剪去一个三角形，剩余部分可能是几边形？ 【答案】三或四或五，四或五或六，或n或 【分析】需根据截线经过n边形顶点的数量分类讨论即可解答． 【详解】解：四边形剪去一个三角形：按切割线经过顶点的数量分种情况： 截线过0个顶点：边数加1，剩余五边形； 截线过1个顶点：边数不变，剩余四边形； 截线过2个顶点：边数减1，剩余三角形． 五边形剪去一个三角形：同理分种情况： 截线过0个顶点：边数加1，剩余六边形； 截线过1个顶点：边数不变，剩余五边形； 截线过2个顶点：边数减1，剩余四边形． 边形（）剪去一个三角形：由上述规律推广： 截线过0个顶点：剩余边形； 截线过1个顶点：剩余边形； 截线过2个顶点：剩余边形． 【点睛】本题考查了多边形的边数变化规律，熟练掌握根据截线经过顶点的数量分类讨论多边形剪去三角形后的边数变化是解题的关键． 多边形的面积题型02 1．如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（　 　） A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 【答案】B 【详解】试题分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答． 试题解析：如图： 小方格都是边长为1的正方形， ∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25 S△AED=DE•AE=×1×2=1， S△DCH=•CH•DH=×2×4=4， S△BCG=BG•GC=×2×3=3， S△AFB=FB•AF=×3×3=4．5． S四边形ABCD=S□EFGH-S△AED-S△DCH-S△BCG-S△AFB=25-1-4-3-4．5=12．5． 故选B． 考点：三角形的面积． 2．如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系． 【详解】观察图形可得 ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系． 3．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 【答案】1∶4 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ∴的面积与的面积比为1∶4． 故答案为1∶4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 4．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 5．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，用两种不同的方法求出图中四边形的面积．（请在图中作必要标注并写出必要的计算过程） 【答案】四边形的面积为28 【分析】本题需要用两种不同方法求方格纸中四边形的面积，可考虑割补法（将四边形分割成熟悉的图形，如三角形、矩形等）和补全法（用大图形面积减去周围多余三角形面积），利用方格纸小正方形边长为，结合图形面积公式计算． 【详解】解：解法不唯一 方法：如图画线，将四边形分成两个三角形，那么四边形面积就是两个三角形面积相加． 方法：如图画线，将四边形补成一个长方形，那么四边形面积就是长方形面积减去四个三角形面积． 方法：如图画线，将四边形分成一个梯形和两个三角形，那么四边形面积就是梯形面积加上两个三角形面积． 【点睛】求方格纸中不规则图形的面积，常用割补法（把不规则图形分割成规则图形，分别求面积再求和）和补全法（用规则大图形面积减去周围多余图形面积），关键是利用方格纸的边长，结合规则图形（三角形、矩形等）的面积公式进行计算． 多边形的对角线题型03 1．过多边形的一个顶点共有3条对角线，则这个多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】C 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，得出n-3=3，求出n即可； 【详解】设这个多边形的边数是n，由题意得， n−3=3， 解得n=6， 即这个多边形为六边形， 故选C. 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，掌握多边形的对角线是解题的关键. 2．（24-25下·山东烟台·期中）自八边形一个顶点能引（　　）条对角线，这些对角线可将八边形分成（　　）个三角形． A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的相关概念，解题关键是画出图形求解． 直接画出图形求解． 【详解】解：如图， 自八边形一个顶点能引5条对角线，这些对角线可将八边形分成6个三角形， 故选：B． 3．九边形的对角线的条数是（       ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【分析】根据多边形对角线条数公式计算即可． 【详解】解： 因此九边形对角线的条数为27． 4．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的_______． 【答案】对角线 【分析】本题考查多边形对角线的概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，据此解答即可 【详解】解：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线， 故答案为：对角线． 5．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 扇形面积的计算题型04 1．在一个圆中，有个圆心角为160°的扇形，则这个扇形的面积是整个圆面积的________. 【答案】 【分析】求160°的扇形的面积是整个圆面积的几分之几，就是求160°的角是整个圆周角360°的几分之几，就用160°除以360°列式计算即可解答． 【详解】160°÷360°= 故答案为. 【点睛】此题考查圆的面积，解题关键在于掌握运算公式. 2．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 3．某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可． 【详解】解： ； . 答：阴影部分的周长为，阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键． 有关多边形的探究题题型 1．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 【答案】C 【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解． 【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形， 则这个多边形的边数为2003+1＝2004． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键． 2．（25-26八年级上·福建福清·质检）与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．年，瑞士数学家欧拉得出了表示n边形的不同三角剖分方法数（）的公式．后来数学家发现并证明：当时，（）．六边形的三角剖分方法数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义——多边形的三角剖分，根据给定的递推公式 和初始值 ，逐步计算、和，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋b－1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是___. 【答案】6 【分析】观察图像，得出a,b的值即可. 【详解】由图可知，a=4,b=6, ∴ S＝a＋b－1=6 【点睛】本题考查的是多边形，仔细观察图像是解题的关键. 4．（24-25七年级上·广东茂名·期末）【综合实践】以长方形的4个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手； 【探究一】 (1)以长方形的4个顶点和它内部的1个点（如图①），共5个点为顶点，显然，此时可把长方形分割成________个互不重叠的小三角形． 【探究二】 (2)以长方形的4个顶点和它内部的2个点、，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点，那么点的位置会有两种情况： 一种情况是，点在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点在上（如图②）； 另一种情况是，点在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成________个互不重叠的小三角形． 【探究三】 (3)长方形的4个顶点和它内部的3个点、、，共7个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形，请在图④中画出一种分割示意图． 【问题解决】 (4)以长方形的4个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【实际应用】 (5)以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成多少个互不重叠的小三角形． 【拓展延伸】 (6)以五边形的5个顶点和它内部的2个点，共7个点作为顶点，可把原五边形分割成多少个互不重叠的小三角形；以边形的个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原边形分割成________个互不重叠的小三角形． 【答案】(1)4 (2)6 (3)如图所示，即为所作的图形， (4) (5) (6)五边形分割得7个，边形的结果为 【分析】（1）观察图形直接数即可； （2）观察图形直接数即可； （3）总结规律可知分割后共8个互不重叠的小三角形，分割示意图不唯一：在内部3个点中任选两个点按探究二方式分割后，第三个点无论在某个三角形内部还是三角形的边上，都会增加2个三角形，最终得到8个三角形即可； （4）根据每增加1个内部点，三角形个数增加2个总结规律即可； （5）梯形本质是四边形，和长方形规律一致，将代入公式计算即可； （6）根据边形分割出的三角形个数以及增加点后三角形增加的个数总结规律即可． 【详解】（1）当长方形内部有1个点时，直接计数可得共4个互不重叠的小三角形； （2）在长方形有1个内部点、分成4个三角形的基础上再增加1个内部点：无论新点落在原有三角形内部，还是落在两个三角形的公共边上，都会比原来增加2个三角形， ∴总个数为 ； （3）按规律，再增加1个内部点，总个数继续增加2，因此共有 个三角形； （4）归纳规律：长方形内部没有点时，可分割为个三角形；每增加1个内部点，三角形个数增加2个，因此内部有个点时，总个数为 ； （5）将代入得：； （6）对于边形，内部没有点时，可分割为个三角形；每增加1个内部点，三角形个数增加2个， ∴内部有个点时，总个数为 ； 当时，代入得． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3 多边形和圆的初步认识 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 多边形及其相关的概念 题型02 正多边形及其性质 题型03 多边形的周长 题型04 圆的认识 题型05 圆的周长和面积 题型06 圆心角有关概念辨析 B组 能力进阶 题型01 多边形的截角问题 题型02 多边形的面积 题型03 多边形的对角线 题型04 扇形面积的计算 C组 思维拔高 题型 有关多边形的探究题 多边形及其相关的概念题型01 1．如图所示，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 3．在平面内，由一些线段______________相接组成的图形叫做多边形． 4．图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形． 5．如图，你能数出多少个不同的四边形？ 正多边形及其性质题型02 1．下列图形中，是正八边形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（   ） A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 3．用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段____相连组成的______ 图形叫做多边形，各边相等______也相等的多边形叫做正多边形． 5．举例说明各角相等的多边形不一定是正多边形． 多边形的周长题型03 1．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 2．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 3．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 4．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和． (1)求出表示第四条边长的代数式； (2)当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形． 5．如图是长、宽分别为a，b的一个长方形和三边长分别为a，b，c的两个直角三角形．请你用这三个图形无缝拼成新的四边形，并直接写出形状不同的四边形的周长（要求画出示意图形）． 圆的认识题型04 1．.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（    ） A．圆上各点到圆心的距离相等 B．直径是圆中最长的弦 C．同弧所对的圆周角相等 D．圆是中心对称图形 2．（24-25七年级·期末）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 3．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 4．要画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应是______． 5．设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 圆的周长和面积题型05 1．一个半圆的周长10.28厘米，这个半圆的直径（    ）厘米 A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，的周长为4个单位长度，在的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，重合的点简记为，再将沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，则运动2025秒时，重合的点简记为（    ） A． B． C． D． 3．一个圆的周长是31.4cm，它的半径是_____cm，面积是_____cm2． 4．如图正方形的边长为1，分别以正方形的两个相对顶点为圆心，以1为半径画弧，则图中阴影部分的面积是______（用含有的式子表示）． 5．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 圆心角有关概念辨析题型06 1．下列图形中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 2．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 3．若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为________． 4．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________. 5．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 多边形的截角问题题型01 1．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．一个n边形共有n条对角线，将这个n边形截去一个角后它的边数为__． 5．从四边形中剪去一个三角形，剩余部分可能是几边形？从五边形中剪去一个三角形，剩余部分可能是几边形？……由此，请探究：从n边形中剪去一个三角形，剩余部分可能是几边形？ 多边形的面积题型02 1．如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（　 　） A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 2．如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 3．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 4．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 5．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，用两种不同的方法求出图中四边形的面积．（请在图中作必要标注并写出必要的计算过程） 多边形的对角线题型03 1．过多边形的一个顶点共有3条对角线，则这个多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 2．（24-25下·山东烟台·期中）自八边形一个顶点能引（　　）条对角线，这些对角线可将八边形分成（　　）个三角形． A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8 3．九边形的对角线的条数是（       ） A．25 B．26 C．27 D．28 4．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的_______． 5．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 扇形面积的计算题型04 1．在一个圆中，有个圆心角为160°的扇形，则这个扇形的面积是整个圆面积的________. 2．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是________． 3．某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 有关多边形的探究题题型 1．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 2．（25-26八年级上·福建福清·质检）与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．年，瑞士数学家欧拉得出了表示n边形的不同三角剖分方法数（）的公式．后来数学家发现并证明：当时，（）．六边形的三角剖分方法数是（   ） A． B． C． D． 3．各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋b－1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是___. 4．（24-25七年级上·广东茂名·期末）【综合实践】以长方形的4个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手； 【探究一】 (1)以长方形的4个顶点和它内部的1个点（如图①），共5个点为顶点，显然，此时可把长方形分割成________个互不重叠的小三角形． 【探究二】 (2)以长方形的4个顶点和它内部的2个点、，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点，那么点的位置会有两种情况： 一种情况是，点在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点在上（如图②）； 另一种情况是，点在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成________个互不重叠的小三角形． 【探究三】 (3)长方形的4个顶点和它内部的3个点、、，共7个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形，请在图④中画出一种分割示意图． 【问题解决】 (4)以长方形的4个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【实际应用】 (5)以梯形的4个顶点和它内部的2021个点作为顶点，可把梯形分割成多少个互不重叠的小三角形． 【拓展延伸】 (6)以五边形的5个顶点和它内部的2个点，共7个点作为顶点，可把原五边形分割成多少个互不重叠的小三角形；以边形的个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原边形分割成________个互不重叠的小三角形． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $