第三章 3 探索与表达规律-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第三章整式及其加减 3探索与表达规律 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，观察下面的图形和算式：1=1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42， 1十3+5+7+9=25=52.用上面得到的规律计算1十3+5+7+十103的结果是 () A.2704 B.2604 C.2601 D.2519 9米#*** ●碳原子 7米##** 5*#*** ⊙氧原子 3###** 。氢原子 1*米*** ① ② ③ ④ ① ② ③ (第1题) (第2题) (第4题) 2.情境学科融合[2025乐山]醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图所示为这类物质 前四种化合物的分子结构模型图，其中●代表碳原子，⊙代表氧原子，°代表氢原子.第1种（如图 ①)有4个氢原子，第2种（如图②）有6个氢原子，第3种（如图③）有8个氢原子，第4种（如图 ④)有10个氢原子…按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是() A.18 B.20 C.22 D.24 3.已知整数m1,m2,m3,m4,…满足下列条件：m1=0,m2=一|m1十1，m3=一m2十2，m4= 一|m3十3，…，以此类推，则m2o26的值为 4.如图，小雅在数学活动课上用长方形设计了一组有规律的图形，已知图①中有8个白色长方形， 图②中有12个白色长方形，图③中有16个白色长方形…按照这一规律，第@个图中有 个白色长方形（用含n的代数式表示）. 5.小明胸有成竹地对小亮说：“只要你将心中所想的数加上2，乘10，再减去19，最后告诉我结果，我 就能知道你所想的数是多少.”小亮不相信，就与小明试了几次，结果发现小明说的数都是对的、 你知道这是为什么吗？ 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能。 6.数形结合思想[2025平顶山鲁山期未]用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式 和规律拼出图形，拼第1个图形所用两种卡片的总数为7张，拼第2个图形所用两种卡片的总数 为12张…若按照这样的规律拼出的第个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多 11张，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为 () 第1个图形第2个图形 第3个图形 (第6题) A57张 B.50张 C.48张 D.47张 57 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 7.观察等式：2+22=23一2,2+22+23=24一2,2+2+23+24=25一2，….按此规律，2+2+ 23十.十2”= (用含n的代数式表示).请根据以上规律计算：200十2101+212十.十 2199= 8.*生活实际如图，数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校无线网络(W) 密码，根据提供的信息可以推断该校的Wi-Fi密码α是 1 4 9 密码 密码 密码 密码 030609 243054 451055 (2 6 2 5 6 8 xuctio欢迎你！ (第8题) 9.如图，小明在他家的时钟上安装了一个软件，设定当钟声在n时响起后，下次则在(2n一1)h后响 起，例如钟声第1次在3时响起，那么第2次在2×3一1=5(h)后，即8时响起；第3次在2×8 1=15(h)后，即23时响起，以此类推.现在第1次钟声响起为1时，那么第3次响起为几时？第 2025次响起为几时？ u以 (第9题) 10.学习“整式及其加减”后，在一次数学活动中，丽丽对悠悠说：“你在心里想好一个两位数，将个位 上的数字乘5，然后减3得到一个新数，再将所得新数乘2，最后将得到的数加十位上的数字，把 你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数.” (1)如果悠悠的计算结果是21，那么丽丽的答案是 (2)通过两人的对话，你能说明其中的原理吗？请你用多项式的相关知识说明 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.如图，观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式 (1)第6层等号右侧的第一个数是 ,第层等号右侧的第一个数是 (用含n 的代数式表示，n是正整数) (2)数2023排在第几层？ (3)求第99层等号右侧最后三个数的和. 第1层 1+2=3 第2层 4+5+6=7+8 第3层 9+10+11+12=13+14+15 第4层16+17+18+19+20=21+22+23+24 (第11题) 58 >“答案与解析”见D227.(D A=zy-)=x-+ 、4 y2=32y,B=-(2x2y-y)+x2y=-2xy+xy+ xy=-xy+xy.(2)当x-1,y=3时，A-号×1X 3=4,B=-x2y+xy2=-1×3+1×32=-3+9=6.因 为46，所以天平会向右边倾斜. 8.小明的说法正确.原式=3a2b一2ab2+3a一4ab十6a十 2ab2+a2b一1=9a一1.因为9a-1与b的取值无关，所以 这道题不给b的值，照样可以求出结果.当α=一2时，原 式=-18-1=-19 3探索与表达规律 1A由图形和算式规律，得1-52，所以1+3+5十 7+…+103=522=2704. 2.B由所给图形可知，第1种化合物的分子结构模型中 氢原子的个数为4=1×2+2：第2种化合物的分子结构模 型中氢原子的个数为6=2×2十2；第3种化合物的分子结 构模型中氢原子的个数为8=3×2十2；….所以第n种化 合物的分子结构模型中氢原子的个数为21十2.当n=9 时，2m十2=2×9+2=20，即第9种化合物的分子结构模 型中氢原子的个数为20. 3.-1013当m1=0时，m2=-|0+1|=-1,m3= -|-1+2|=-1,m1=-|-1+3|=-2,m5=-|-2+ 4=-2,m6=-|-2+5|=-3,m,=-|-3+6|= -3…发现规律：当n≥2，且n是偶数时，m,=一2，当 n是奇数时m,=-"2,则ms=-2025-1013. 2 2 4.(4n+4)因为题图①中有4×(1+1)=8（个）白色长 方形，题图②中有4×(2+1)=12（个）白色长方形，题图③ 中有4×(3十1)=16（个）白色长方形，，所以第@个图 中有4×(n+1)=(4n+4)个白色长方形 5.设小亮所想的数为x,则10(x+2)一19=10x十20一 19=10x十1.所以小明只要将小亮告诉他的最后结果先减 去1，再除以10，所得的数就是小亮所想的数 6.A由所给图形可知，第1个图形中正方形卡片的张数 为4=1×3十1，等边三角形卡片的张数为3=1×2+1，正 方形卡片比等边三角形卡片多的张数为1×3+1一(1× 2+1)=1×(3一2)：第2个图形中正方形卡片的张数为 7=2×3+1,等边三角形卡片的张数为5=2×2+1，正方 形卡片比等边三角形卡片多的张数为2×3+1一(2×2十 0 1)=2×(3一2)：第3个图形中正方形卡片的张数为10= 3×3+1,等边三角形卡片的张数为7=3×2+1，正方形卡 片比等边三角形卡片多的张数为3×3+1一(3×2+1)= 3×(3一2)；….所以第n个图形中正方形卡片的张数为 3n+1,等边三角形卡片的张数为2n+1,正方形卡片比等 边三角形卡片多的张数为n.当n=11时，3十1十21十1= 5m+2=5×11+2=57. 7.2+1-2220-210由题意，得2+22十23+…十2"= 2"+1-2.所以210+2101+2102+…+21=(2+2+…+ 219)-(2十22+…+29)=(220-2)-(2100-2)= 2200一2100 8.324880第1,2个数字为最上面的数与下面右边的数 的积：第3,4个数字为下面的两个数的积；第5,6个数字为 最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积.4×8= 32,6×8=48,(4+6)×8=80,所以密码是324880 方法归纳 规律探索题的类型及解题方法 规律探索题通常分为两类：一是数式规律探索题， 二是图形规律探索题.解题的关键是从特殊到一般，得 到一般规律，并能用含有序号的算式表示出来，进而解 决问题.注意有时得到的变化规律不一定正确，需要进 行验证」 9.第1次钟声响起为1时，那么第2次在2×1一1=1(h) 后，即2时响起；第3次在2×2-1=3(h)后，即5时响起； 第4次在2×5一1=9(h)后，即14时响起；第5次在2× 14一1=27(h)后，即17时响起；第6次在2×17一1= 33(h)后，即2时响起…从第2次开始，4次为一个循环 因为(2025-1)÷4=506，所以第2025次响起为17时.所 以第3次响起为5时，第2025次响起为17时. 10.(1)72.设悠悠想的两位数的十位上的数字为m,个 位上的数宇为n.依题意，得2(51一3)十m=21,即101一 6十m=21,所以10m十m=27.因为1≤m≤9,0≤n≤9且 m,n为整数，所以m=7,n=2.所以丽丽的答案为72. (2)能.设十位上的数宇为a,个位上的数字为b,则心里想 的数为10a十b.依题意，得计算的结果为(5b一3)×2十a 10b一6十a=10b+a一6.所以计算的结果加6，并且交换十 位上的数字与个位上的数字即可得到悠悠心里想的数. 11.(1)43:n2十n十1.由题图，知第6层等号左侧的第 一个数是62=36.所以第6层等号右侧的第一个数是36十 6十1=43.因为第n层等号左侧的第一个数是n,所以第n 层等号右侧的第一个数是n2十n十1.(2)由题意，知第n 22 层等号左侧的第一个数是n2.因为442=1936,452= 2025,所以442<2023<452.所以数2023排在第44层」 (3)由题意，知第99层等号右侧最后三个数是1002一1， 1002-2,1002-3.所以(1002-1)+(1002-2)+(1002- 3)=3×10000一6=29994.所以第99层等号右侧最后三 个数的和为29994. ☆问题解决策略：归纳 1.A因为(x-2)=x6+6×x5×(-2)+15.x× (一2)2+20x3×(一2)3十+（一2）5，所以(x一2)6的展 开式中含x5项的系数是6×（一2）'=一12. 2.21观察题图可知，第1个图案用了3个长方形，即3= 2×1+1,第2个图案用了5个长方形，即5=2×2+1，第3 个图案用了7个长方形，即7=2×3十1，…，第n个图案用 了(2n+1)个长方形.所以第10个图案需要用的长方形的 个数为2×10+1=21. 3.(1)64.观察第一行数据，得出第一行第n个数为n2 所以第一行第8个数是64.(2)n2一1.观察第一、二行 数据，得出第二行第n个数为n2一1.(3)第三行：2,6， 12,20,30,…,即12+1,22+2,32+3,42+4,52+5，…，所 以第三行第m个数为m2十m.因为第三行第m个数与第 二行第m个数的差为2026，所以m2+m一(m2一1)= 2026.所以m=2025. 4.(1)37.第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋 子，第4个图中有13颗棋于，第5个图中有4×5一3= 17(颗)棋子…由此规律，得第10个图中棋子的颗数为 4×10-3=37.(2)(4n-3).由(1)中规律得第n个图 中棋子的颗数为4n一3.(3)当n=500时，4×500一3= 1997.所以第500个图中棋子的颗数为1997 综合与实践3制作一个尽可能大的 无盖长方体形收纳盒 任务1：(a2一4b2)cm2.用题图①正方形的面积减去四个 角上的小正方形的面积，即为围成长方体纸盒所用纸片的 面积.任务2：b(18一2b)2.因为长方体纸盒的底面积 是一个边长为(18一b)cm的正方形，高为小正方形的边 长，即bcm,所以无盖长方体纸盒的体积=b(18 2b)2cm3.任务3：392；320.将b=2代人V=b(18- 2b)2得V=2×(18-2×2)2=392;将b=5代入V= b(18一2b)2得V=5×(18一2×5)2=320.任务4：因为 6=a=X18=3,所以V=b(18-2b)2=3×(18-22 3)2=432,即无盖长方体纸盒的体积的最大值为432cm3. D 第三章拔尖自主测评 1.C因为一打铅笔有12支，所以n打铅笔支数=12× n=12n. 2C3的系数为号，-罗w:的次数是4，-4x十 5是一个二次三项式，2x2一3x十1一次项的系数为一3. 3.D3a2与2b3不是同类项，不能相加，故选项A错误， 7a2-2a2=(7-2)a2=5a2,故选项B错误；-7a2b+ a2b=(-7+1)ab=-6ab,故选项C错误；一3(a一b)= 一3×a+(-3)×(一b)=一3a+3b,故选项D正确. 4.C因为a2-a-1=0,所以a2-a=1.所以3a2-a- (2a-4)=3a2-a-2a+4=3a2-3a+4=3(a2-a)+4= 3×1+4=7. 5.C原式=2mx-1-x-5=（2m-1)x-6.因为多项式 2(-2） 一(x十5)化简后的结果不含宇母x,所以 2m-1=0.所以m=2: 1 6.D此题以“多项式的和是单项式”的新颖形式，考查整 式的加减及代数式求值，是“不含”“无关”类试题的拓展与 应用.m.x2-mx-2+3x2+mx+m=(m+3)x2十m一2. 因为关于x的多项式mx2一mx一2与3x2十mx+m的和 是单项式，所以m十3=0或m-2=0.所以m=一3或 m=2.当m=-3时，m2-4m+4=9+12+4=25;当m= 2时，m2一4十4=4-8十4=0.综上所述，代数式m2一 4m+4的值是25或0. 7.D由数轴，知x一y十1>0，y一x-3<0,y-x<0,所 以|x-y+1|-2y-x-3|+|y-x|+5=x-y+1+ 2(y-x-3)-(y-x)+5=x-y+1+2y-2x-6-y+ x+5=0. 8.A因为第①个图案中有1+2十3=6（颗）爱心，第②个 图案中有1+2十3+4=(10)颗爱心，第③个图案中有1十 2+3十4+5=15（颗）爱心…第@个图案中有1+2+ 3+4+…十(m十2》=m+2m+3》(颗)爱心.所以第8个 2 国案中爱心的颗数是0X-55 9“,子1将运算程序用代数式表示为，.当x=3 7 时，，号，2-1.所以输出的结果为1， 7 10.h十an由题知，每增加1个纸杯，高度增加a.因为 1个纸杯的高度为h十a,所以H=h十a+(n一1)a=