3.3 探索与表达规律 分层提升练习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

3.3 探索与表达规律 分层提升练习2026-2027学年 北师大版七年级数学上册 一、单选题 1．观察下列数据：，，，，，…根据以上数据中的规律，你认为第11个数字是（   ） A． B． C． D． 2．某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是（    ） A．275717 B．571035 C．143549 D．351014 3．小丽在学习了“密码中的数学”后，编制了如图的密码规则，这种规则在数字和汉字之间建立了一种对应关系，其中数字为密文，汉字为明文．例如，密文“8，2，17，5，14，，6，12”翻译成明文为“台湾是中国的领土”．现在小丽给出一段密文 “23，25，29，35”，请写出相应的明文（   ） A．我爱学习 B．我爱中华 C．爱我中国 D．我爱祖国 4．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（  ） A．297 B．301 C．303 D．400 5．如图，市民公园进行地砖美化工程，工人按下图规律拼出装饰图案（第1个图案用5块彩砖、第2个图案用9块彩砖、第3个图案用13块彩砖，…，依次排列），施工队接到任务，需要拼出使用101块彩砖的图案，请问这个图案是第几个？（    ） A． B． C． D． 6．把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，…，则第5个数字是（    ） A．78 B．80 C．82 D．89 7．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 8．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（     ） A．6264 B．4176 C．1467 D．6174 二、填空题 9．有一组数：0，，8，，24，，…根据你所探索的规律第20个数是______． 10．观察下列两行数： ； ；则第二行的第个数是___________． 11．密码学是研究编制和破译密码规律的一门学科，它与数学有密切关系，我们规定一套“明文”与“密文”的对应规则：将“明文”中的26个英文字母a，b，c，……，z，依次对应“密文”中的自然数1，2，3，…26．若“密文”中的数字x为奇数，则“明文”对应的序号为，如果“密文”中的数字x为偶数，则“明文”对应的序号为．若“密文”中的数字为“26，2，19，7”，则对应的“明文”为______．（小写字母即可） 12．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 13．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第12个图案中，菱形的个数是___________个 三、解答题 14．观察下列各式：……； (1)猜想它的规律，用含n的代数式表示出来 (2)用你得到的规律，计算：，并求出当时代数式的值； 15．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数的个数n 连 续 偶 数 的 和 S 1 2 3 4 5 (1)根据表中的规律猜想：用n的代数式表示S的公式为：___________； (2)根据上题的规律计算：的值．（要求写出过程） 16．观察下表中三角形个数变化的规律，填表并回答下面问题： 图形 … 横截线条数 0 1 2 … n 三角形个数 6 （   ） （   ） … （   ） (1)填表； (2)如果图中三角形的个数是102个，那么图中应有多少条横截线？ 17．如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 18．数、形都可以用来表示数量关系．请解决下列问题： (1)如图，用图形________（填序号）可以直观表示等式； (2)对于等式，请画出可以直观表示它的图形； (3)计算：_______，请画出相应的直观图形，并结合图形说明等式成立． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B C A B D 1．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律题，正确找到规律是解题的关键． 拆分数据的符号、分子、分母分别寻找规律，推导第n项的表达式后，代入计算第11个数字即可． 【详解】解：观察数列可得： 1. 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用表示（n为项数）， 2. 分母规律：第n项的分母为n， 3. 分子规律：第n项的分子为（如第1项分子，第2项分子，以此类推）， 则第n项的表达式为 当时， 故选：C． 2．【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数字类规律探索 【分析】根据题中密码规律确定出所求即可． 【详解】解：根据图中规律可得 原式 ． 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现数字和汉字的对应关系是解题的关键． 根据图示和实例找到对应数字所对应的汉字即可解答． 【详解】解：由题意得，密文“23，25，29，35”翻译成明文为我爱中华． 故选B． 4．【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数． 【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0， 第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1； 第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2； 第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3； 第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1， ……， 第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 5．【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形规律的探究，关键是找出第个图案所需彩砖数的代数式，再通过解方程求解对应的图案序号． 【详解】解：观察图案可知，第1个图案用5块彩砖，第2个用9块(比第1个多），第3个用块(比第2个多），即每两个图案的彩砖数的差为4， ∴第个图案的彩砖数为； 令， 解方程得：； 故选：C． 6．【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察根据排列的规律得到第1个数字为0，第2个数字为0加6个数即为6，第3个数字为从6开始加15个数得到21，第4个数字为从21开始加24个数即45，…，由此得到后面加的数比前一个加的数多9，由此得到第5个数字为0+6+（6+9×1）+（6+9×2）+（6+9×3）． 【详解】解：∵第一个数字为0， 第二个数字为0+6=6， 第三个数字为0+6+15=21， 第四个数字为0+6+15+24=45， 第五个数字为0+6+15+24+33=78， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了数字变化规律，发现数在变化过程中各边上点的数字的排列规律是解题关键． 7．【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】根据前面的规律，求解即可； 【详解】解：最上层的四个数字自左到右依次十位数字平方得到的两位数，个位数字平方得到的两位数，平方不是两位数时，十位数字用0补齐位； 中间行的数字是最右边一个空出来，计算十位数字与个位数字积的2倍，把结果的个位数字写在空格后的最右边空里，依次向左写， 故 故． 8．【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据题意，按照运算程序依次计算前几次的差，找出运算规律，即可得到第100次运算的结果． 【详解】解： 原四位数为， 第一次运算：排列得到最大数，最小数，差为； 第二次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第三次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第四次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差仍为； 从第三次开始，每次运算得到的差都是； 因此第次得到的差为． 9．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据所给各数，发现其变化规律即可解决问题． 【详解】 解：由题知，第奇数个数为正数除外，第偶数个数为负数； 各数的绝对值依次可表示为：…， 所以第n个数可表示为：， 当时，第20个数是：， 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的乘方的数字变化规律．解题关键是由特殊到一般，找出数字规律，符号规律．由第一行可知，每个数字为的乘方，即第n个数字为，第二行每一个数比第一行对应的数小2，由此得出答案． 【详解】解：∵第一行每个数可以写成： ∴第一行第n个数是 ∵第二行每个数可以写成： ∴第二行第n个数是； 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律探索，核心是准确应用题目给定的密文转明文的奇偶对应规则，通过判断每个密文数字的奇偶性，计算出明文对应的序号，再匹配对应英文字母得到结果． 【详解】解：根据题目中密文与明文的转换规则： 密文数字26为偶数，明文对应序号为，对应字母m， 密文数字2为偶数，明文对应序号为，对应字母a， 密文数字19为奇数，明文对应序号为，对应字母t， 密文数字7为奇数，明文对应序号为，对应字母h， 综上，对应的明文为． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察图形，得出第个图中所贴剪纸“〇”的个数为个，据此求解即可． 【详解】解：当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； … 从而可以探究：第n个图案所贴剪纸“○”的个数为个， ∴第个图中所贴剪纸“○”的个数为个． 13．【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】根据图形总结出规律：第n个图案中有个菱形，然后代入计算即可． 【详解】解：由图可得： 第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， … 所以第n个图案中有个菱形， 所以第12个图案中，菱形的个数是个． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查探索与表达规律，通过观察，归纳，找规律是解题的关键． （1）根据观察，归纳，即可得到答案； （2）利用第（1）题的规律，把每项都进行裂项，再求和，即可求解． 【详解】（1）由；；；…， 可得：； （2）当时， = ． 15．【答案】(1)n（n+1） (2)37650 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】考查了数列求和，解题的关键是注意所给的具体式子，观察结果和数据的个数之间的关系． （1）根据表中的规律发现：第n个式子的和是． （2）根据（1）中发现的规律求解即可； 【详解】解：（1）观察表格： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可以发现规律：； 故答案为：; （2）令，则， ， ， ， ． 16．【答案】(1)12，18， (2)16 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据三角形的概念和定义进行分析，注意不要遗漏．观察简单图形，得到当横截线条数为条时应有个三角形，即可作答． （2）依题意，列式，再计算即可作答． 本题考查了图形规律，代数式表达式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，没有横线的时候，只有6个三角形； 有一条横线的时候，有个三角形； 有2条横线的时候，有个三角形； 有3条横线的时候，有个三角形； 当横截线条数为条时应有个三角形． （2）解：依题意，， 解得． ∴图中应有条横截线． 17．【答案】(1)210 (2) (3) 【知识点】两个有理数的乘法运算、图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】本题主要考查图形类规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形类的一般规律； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为210； （2）解：由题意得：（n为正整数且）； （3）解： ． 18．【答案】(1)② (2) （答案不唯一）．方法一如图①，方法二如图② (3) ，证明：图不唯一，如图③，画边长为4的正方形，依次分割其面积的一半，即8、4、2、1、、，该式可以表示为图③中去掉阴影区域（面积为）的面积，即． 【知识点】有理数加法运算律、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的加法，利用数形结合的思想，找规律，作图即可． （1）根据两图形中方格的规律即可得出结论； （2）根据第一问的启发，根据数字有规律画出方格，并涂色区分，作出符合题意的图形即可； （3）画边长为4的正方形，依次分割其面积的一半，即8、4、2、1、、，最后剩余面积为，画出图形即可得出结论． 【详解】（1）②中的方格符合， 故答案为：②； （2）略 （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $