第三章 专题特训四 整式的化简求值-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第三章整式及其加减 专题特训四 整式的化简求值 类型一化简后直接代入求值 1,先化简，再求值：m一(m-1+3(4-m),其中m的倒数等于它本身. 2.先化简，再求值：2ab+6(号a2b+ab）-[3ab-2(1-ab-2ab2)],其中a为最大的负整数，b为 最小的正整数， 类型二整体代入求值 3.[2025金华兰溪期未]已知A=3x2-x+2y-4xy,B=2x2-3.x-y十xy. (1)化简2A-3B. 6 (2)当x十y=7,zy=-1,求2A-3B的值。 4.阅读材料： 我们知道，4x一2x十x=(4一2+1)x=3x.类似地，我们把a十b看成一个整体，则4(a十b)一 2(a十b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b).“整体思想”是中学数学中的一种重要的思想 方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛， (1)把(a-b)2看成一个整体，3(a-b)2-5(a一b)2+7(a-b)2合并同类项的结果是 (2)已知x2-2y=1,求3x2-6y-5的值 (3)已知a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9,求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值. 55 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 类型三利用特征条件代入求值 5.先化简，再求值：5x2- 2xy-3(3y+2)+5x2,其中2x-1+(3y+22=0. 6.已知8x2ay与-3.x4y2+b是同类项，且A=a2十ab-2b2,B=3a2-ab-6b2,求2B-3(B A)的值. 类型四化简求值的说理题 7.[2025惠州期末]已知天平左边托盘中的物体质量为Akg,右边托盘中的物体质量为Bkg.其中 A=x0y-y2+3(xy+3y),B=-(2xy-xy)+x2. (1)化简A和B. (2)请你想一想，当x=1,y=3时，天平会向哪一边倾斜？为什么？ 8.学习了整式的加减运算后，老师给同学们布置了一道课堂练习题：已知a=一2，b=2026,求 (3a2%-2a2+3a)-2(2n26-a)+2ab2+2a2b-1的值.小明做完后对同桌说：这道题不 给b的值，照样可以求出结果.”你认为小明的说法正确吗？请说明原因，并求出多项式的值， 56 >“答案与解析”见D216.A由题意，得m=x2-2y2,n=1十y2-(一2x2)=1+ y2+2x2.所以2m-4n=2(x2-2y2)-4(1+y2+2x2)= 2x2-4y2-4-4y2-8x2=-6.x2-8y2-4. 7.A设①号正方形的边长为x,②号正方形的边长为y, 则③号正方形的边长为x十y,④号正方形的边长为2x十 y,则上面涂色部分的长为(2x十y)一x一y=x,宽为 (2a十y)一(x十y)=x,即是一个边长为x的正方形，下面 涂色部分是一个长为(2x十y)一y=2x、宽为(2x十y) (x十y)=x的长方形.所以涂色部分的周长和为4x十2X (2x十x)=10x,与①号正方形的边长有关， 8.A由题意，得总成本为(30m+20m)元，总收入为(30+ 20)×m十=50×m十”=[25(m十m)门元.所以利润=总 2 2 收人-总成本=25(m+n)-(30m+20m)=25m+25n- 30m-20m=-5m+5m=[5(n-m)]元.因为m>n,所以 n一m<0.所以5(n一m)0,即利润<0，是赔了 9 2P-3Q=2(xy-5x+3)-3(x-3ay+1)= 2xy-10x+6-3x+9xy-3=11xy-13x+3=(11y 13)x十3.因为无论x取何值，代数式2P-3Q的值都等于 3所以1y-13=Q所以y是 10.一99a一18由题意，得原三位数为100×2a+10a+ (a一2)=211a-2,新的三位数为100a+10(a一2)+2a= 112a一20.所以新的三位数减原三位数的差为112a一20一 (211a-2)=-99a-18. 11.(1)由题意可得m十2=0，n一1=0，所以m=一2，n 1.所以5m-6+3m+(一7m+3n-12)=-2m+6m-18= -2×(-2)+6×1-18=-8.(2)能.理由：5m-6+ 31-(-7m+31-12)=5m-6+31+7m-3m+12= 12m+6=6(2m+1).因为m为正整数，所以2m+1也为 正整数.所以5m-6+3n-(-7m+3m-12)=6(2m+1). 所以5m一6+31减去-7m+3-12的差能被6整除. 12.(1)因为B=2x2+3x-4,所以3B=3(2x2+3x 4)=6.x2+9x-12.因为A+3B=x2+5.x-12,所以A= (x2+5.x-12)-(6.x2+9x-12)=x2+5x-12-6x2 9x十12=一5x2一4x.所以多项式A中最高次项的系数 “☐”为-5.(2)因为A=-5x2-4x,A+C=x2-7x 3,所以C=(x2-7x-3)-(-5x2-4x)=x2-7x-3+ 5x2十4x=6x2一3x-3.所以A一C=(-5x2-4x) (6x2-3x-3)=-5.x2-4x-6x2+3x+3=-11x2 x+3. 微专题·利用数轴去绝对值符号并化简 1.A由数轴知-2<a<-1,所以a+2>0.所以 la|-la+2|=-a-(a+2)=-a-a-2=-2a-2. 2.D若1b-a|-la+b1=2b,则b-a+a+b=2b,所 以b>a,且a十b<0. 3.根据有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置，可知 c<b<0<a,且|a|=|b1.(1)a+b=0.(2)|a- bI+lb+cl-lc-al=a-6-6-c+c-a=-26. 专题特训四整式的化简求值 1原式=号m一号m+1十12-3m=-n+18因为m 5 的倒数等于它本身，所以m=士1.当m=1时，原式= 一4×1+13=-4+13=9：当m=-1时，原式=-4× (-1)+13=4+13=17. 2.原式=2ab+3a2b+6ab2-(3a2b-2+2ab+4ab2)= 2ab+3a2b+6ab2-3a2b+2-2ab-4ab2=2ab2+2.因为 a为最大的负整数，b为最小的正整数，所以a=一1，b=1. 所以原式=2×(-1)×1+2=0. 3.(1)2A-3B=2(3x2-x+2y-4y)-3(2x2-3x y+xy)=6x2-2x+4y-8xy-6.x2+9x+3y-3ay= 7x+70-11.(2)因为x+y=号，w=-1,所以 2A-3B=7+7y-11y=7(x+y）-11y=7X号 11×(-1)=6+11=17. 4.(1)5(a-b)2.3(a-b)2-5(a-b)2+7(a-b)2= (3-5+7)(a-b)2=5(a-b)2.(2)3x2-6y-5= 3(x2-2y)-5.把x2-2y=1代人，得原式=3×1-5= -2.(3)(a-c)+(2b-d)-(2b-c)=a-c+2b-d 2b十c=(a-2b)+(c-d)+(2b-c).把a-2b=2,2b- c=-5,c-d=9代入，得原式=2+9-5=6. 552-2y-3(号y+2+5x=5r2-(2y-y 6+5x2)=5x2-xy+6-5x2=-xy+6.因为|2x-1|+ (3y十2)2=0，所以2x-1=0,3y+2=0.所以x=2y= 号所以原式-+6-子×（号）+6-号 6.因为8x2“y与-3xy2+b是同类项，所以2a=4,1=2+ b.所以a=2,b=一1.因为A=a2+ab一2b2,B=3a2一ab一 6b,所以2B-3(B-A)=3A-B=3(a2+ab-2b2)- (3a2-ab-6b2)=4ab.当a=2,b=-1时，原式=4×2× (-1)=-8. 21 7.(D A=zy-)=x-+ 、4 y2=32y,B=-(2x2y-y)+x2y=-2xy+xy+ xy=-xy+xy.(2)当x-1,y=3时，A-号×1X 3=4,B=-x2y+xy2=-1×3+1×32=-3+9=6.因 为46，所以天平会向右边倾斜. 8.小明的说法正确.原式=3a2b一2ab2+3a一4ab十6a十 2ab2+a2b一1=9a一1.因为9a-1与b的取值无关，所以 这道题不给b的值，照样可以求出结果.当α=一2时，原 式=-18-1=-19 3探索与表达规律 1A由图形和算式规律，得1-52，所以1+3+5十 7+…+103=522=2704. 2.B由所给图形可知，第1种化合物的分子结构模型中 氢原子的个数为4=1×2+2：第2种化合物的分子结构模 型中氢原子的个数为6=2×2十2；第3种化合物的分子结 构模型中氢原子的个数为8=3×2十2；….所以第n种化 合物的分子结构模型中氢原子的个数为21十2.当n=9 时，2m十2=2×9+2=20，即第9种化合物的分子结构模 型中氢原子的个数为20. 3.-1013当m1=0时，m2=-|0+1|=-1,m3= -|-1+2|=-1,m1=-|-1+3|=-2,m5=-|-2+ 4=-2,m6=-|-2+5|=-3,m,=-|-3+6|= -3…发现规律：当n≥2，且n是偶数时，m,=一2，当 n是奇数时m,=-"2,则ms=-2025-1013. 2 2 4.(4n+4)因为题图①中有4×(1+1)=8（个）白色长 方形，题图②中有4×(2+1)=12（个）白色长方形，题图③ 中有4×(3十1)=16（个）白色长方形，，所以第@个图 中有4×(n+1)=(4n+4)个白色长方形 5.设小亮所想的数为x,则10(x+2)一19=10x十20一 19=10x十1.所以小明只要将小亮告诉他的最后结果先减 去1，再除以10，所得的数就是小亮所想的数 6.A由所给图形可知，第1个图形中正方形卡片的张数 为4=1×3十1，等边三角形卡片的张数为3=1×2+1，正 方形卡片比等边三角形卡片多的张数为1×3+1一(1× 2+1)=1×(3一2)：第2个图形中正方形卡片的张数为 7=2×3+1,等边三角形卡片的张数为5=2×2+1，正方 形卡片比等边三角形卡片多的张数为2×3+1一(2×2十 0 1)=2×(3一2)：第3个图形中正方形卡片的张数为10= 3×3+1,等边三角形卡片的张数为7=3×2+1，正方形卡 片比等边三角形卡片多的张数为3×3+1一(3×2+1)= 3×(3一2)；….所以第n个图形中正方形卡片的张数为 3n+1,等边三角形卡片的张数为2n+1,正方形卡片比等 边三角形卡片多的张数为n.当n=11时，3十1十21十1= 5m+2=5×11+2=57. 7.2+1-2220-210由题意，得2+22十23+…十2"= 2"+1-2.所以210+2101+2102+…+21=(2+2+…+ 219)-(2十22+…+29)=(220-2)-(2100-2)= 2200一2100 8.324880第1,2个数字为最上面的数与下面右边的数 的积：第3,4个数字为下面的两个数的积；第5,6个数字为 最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积.4×8= 32,6×8=48,(4+6)×8=80,所以密码是324880 方法归纳 规律探索题的类型及解题方法 规律探索题通常分为两类：一是数式规律探索题， 二是图形规律探索题.解题的关键是从特殊到一般，得 到一般规律，并能用含有序号的算式表示出来，进而解 决问题.注意有时得到的变化规律不一定正确，需要进 行验证」 9.第1次钟声响起为1时，那么第2次在2×1一1=1(h) 后，即2时响起；第3次在2×2-1=3(h)后，即5时响起； 第4次在2×5一1=9(h)后，即14时响起；第5次在2× 14一1=27(h)后，即17时响起；第6次在2×17一1= 33(h)后，即2时响起…从第2次开始，4次为一个循环 因为(2025-1)÷4=506，所以第2025次响起为17时.所 以第3次响起为5时，第2025次响起为17时. 10.(1)72.设悠悠想的两位数的十位上的数字为m,个 位上的数宇为n.依题意，得2(51一3)十m=21,即101一 6十m=21,所以10m十m=27.因为1≤m≤9,0≤n≤9且 m,n为整数，所以m=7,n=2.所以丽丽的答案为72. (2)能.设十位上的数宇为a,个位上的数字为b,则心里想 的数为10a十b.依题意，得计算的结果为(5b一3)×2十a 10b一6十a=10b+a一6.所以计算的结果加6，并且交换十 位上的数字与个位上的数字即可得到悠悠心里想的数. 11.(1)43:n2十n十1.由题图，知第6层等号左侧的第 一个数是62=36.所以第6层等号右侧的第一个数是36十 6十1=43.因为第n层等号左侧的第一个数是n,所以第n 层等号右侧的第一个数是n2十n十1.(2)由题意，知第n 22