第二章 有理数及其运算 拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第二章有理数及其运算 第二章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.[2025淮北期未]几种物质在一个标准大气压下的凝固点如下表，其中凝固点最低的是() 物质 水 萘 酒精 水银 凝固点/℃ 0 80.5 -117 -38.8 A.水 B.萘 C.酒精 D.水银 2.[2025淮安]2025年“五一”假期，淮安各大景区景点人气爆棚.经了解，准安全市共接待全城游客 约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元.数据“24.2亿”用科学记数法表示为 () A.24.2×10 B.2.42×10 C.2.42×10 D.0.242×1010 3在号。-(-2》，--51（一3,0元中，正有理数的个数是 A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，数轴上点A,M,B分别表示数a,a十b,b,那么下列运算结果一定是正数的为 () y M B (第4题) A.a+b B.a-b C.ab D.lal-b 5.[2025永春期中]数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数运算题（如图），做 对的同学是 () 甲：9-32÷8=0÷8=0」 乙：24-(4×32)=24-4×6=0. 丙：(36-12)÷号=36×号-12×号=16 丁：(-3)2÷号×3=9：1=9. (第5题) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.[2025江油期末]有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②如果a|=a,那么a>0; ③若a十b=0,则a,b互为相反数；④平方等于本身的数是士1和0；⑤几个不等于0的有理数 相乘，其中负数的个数是偶数时，积为正数.其中，正确的个数为 () A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图所示为小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图.如果输入的数α为1，那么输出的 结果是 () 否 输入a 平方 ×(-3) ÷2 结果小于2> 是 输出 (第7题) A 3 27 27 B. 2 C. 8 D. 8 41 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 8设A=48×g十十…十10-利用等式，2十2a≥8，可知与 A最接近的正整数是 () A.18 B.20 C.23 D.25 二、填空题（每小题4分，共20分） 9.[2025灵武期末]已知a为有理数，则|a一1|+1的最小值为 10.在0℃时测得某跨河铁路大桥长400米.气温每升高或降低1℃，钢桥伸长或缩短0.011米.某 天，技术人员对此桥进行测量，发现此桥比0℃时的长度短了0.055米.据此可知当天的气温约 是 ℃. 11.黑板上写着7个数，分别为一8，a,1,13,b,0,一6，它们的和为一10.若每次从中任意擦除2个 数，同时写上1个新数（新数为所擦除的2个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩 下1个数，则所剩的这个数是 12.[2025裕华期末]定义一种新运算￥，规定运算法则为m￥n=m2一m十1(m,n均为整数，且 m≠0).例：3￥4=32一3×4+1=一2，则（一2）￥8的值为 13.观察下列等式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243，…，根据规律，可得3十32十…十32026的 结果的个位数字是 三、解答题（共48分） 14.(6分)已知数轴上点A,B,C分别表示-3，一1.5，(-2)2，请解答下列问题. (1)画出数轴，并在数轴上标出A,B,C三个点. (2)比较-3与一1.5的大小 (3)若把数轴的原点取在点B处，其余都不变，写出点A表示的数： 15.（12分)计算： ①-1+12-(-791+号÷(-).2)(-)°×号÷1-31+(-0.25)÷号° 3)-×(3)°+（层合+）×(-2.④-3+1÷4x4-1×(-0.5月 42 第二章有理数及其运算 16.(8分)如图，现有4张写着不同运算的卡片A,B,C,D.乙同学随机想一个有理数，让甲同学任意 选择A,B,C,D的顺序，进行一次列式计算.例如乙同学想的有理数为一2，随后甲同学将一2按 A→CBD的顺序进行运算，列式为[（一2+3一2）×（一3）]2. (1)计算：[(-2+3-2)×(-3)]2. (2)当乙同学想的有理数为2时，甲同学按DC→ 的顺序进行运算，列式 运算的结果为一3，请通过计算说明甲同学选择的运算顺序！ +3 ×(-3) -2 平方 B C D (第16题) 17.(10分)[2025柳州期中]生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例如 212=2×10+1×10+2;计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数， 满二进一，例如二进制数10000转化为十进制数：1×24+0×23+0×2+0×2+0=16；其他进 制也有类似的算法… 【发现】 (1)根据以上信息，将二进制数101110转化为十进制数是 【迁移】 (2)将八进制数72转化为十进制数. 【应用】 (3)在远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图所示为远古时期一位 母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一.求孩子已经出 生的天数 (第17题) 43 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 18.12分)我们知道1十2+3+…十m=n十1，那么1+22+3+…十m2的结果等于多少呢2 2 在如图①所示的三角形数阵中，第1行一个圆圈中的数为1，即12； 第2行两个圆圈中数的和为2+2，即2； … 第n行n个圆圈中数的和为n十n十…十n(n个n),即n2. 文样该三角形数阵中共有”2少个圆圈，所有圆圈中数的和为+2+3+…十 第1行 ① 第2行 第3行 (③-3)③ 第(n-1)行-)- 第n行(n气n)-- n (第18题①) 【规律探究】 (1)将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一 位置圆圈中的数[如第(n一1)行的第一个圆圈中的数分别为n一1,2，n],发现每个位置上三个 圆圈中数的和均为 由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3×(12十 22+32+…+n2)= 由此可得，12+22+32+…十n2= 第1行 ① n 第2行 ®② n n 第3行 33-3 旋转 旋转 n-1 … 3) 3 第(n-1)行 第n行气0 0⑦①②-③-G)D0-)- (第18题②) 【解决问题】 12+22+32+…+20262 (2)根据以上发现，计算：1十2+3+…+2026 44 >“答案与解析”见D162.若在相遇之后距离为10个单位长度，则2t十3t一10 20,易得t=6.综上所述，t的值为2或6. 综合与实践2除方及其运算 ①3-33=3÷3÷3-3（←号）-(-3) (-号)÷(-3）=-3.(2)()）广(-3).a=a aa*aa*aax×××x是-（日） (-3),=（-3)÷（-3）÷(-3)÷(-3) (-3)÷(-3)÷(-3)=-3×(-3)×(-3)× (-3)X(-3)×(-3)×(-3)=(-3.3)(日） a.-uaa…=a××}X…X-(） n个a m-1D个 412÷(号），×(-2。-（号）÷3=14÷3× (-2）八-8÷8=144×g×6-81÷27=1-3=-2 第二章拔尖自主测评 1.C因为一117<一38.8080.5，所以酒精的凝固点 最低。 2.C24.2亿=2420000000=2.42×10° 3.A因为一（一2）=2，一一5=一5，（一3）2=9，所以正 有霾数有号，-(-2，(-3)，共3个 4.A数轴上点A,M,B分别表示数a,a+b,b,AM a十b一a=b(个)单位长度，所以原点在A,M之间.由题 图，可得a<0,a+b>0,b>0且|a|<|b,则a-b<0, ab<0,a|-b<0,故运算结果一定是正数的为a十b. 5.C甲：9-÷8=9-9÷8=9-号-g放甲微错了， 乙：24-(4×32)=24-(4×9)=24-36=-12，故乙做错 了：丙：36-12)÷号=(36-12)×号=36×号-12× 号-21-8=16故丙做对了：丁：（一3）9÷号×3=9时 1 X3=9X3×3=81,故丁做错了.综上所述，做对的同学 是丙. 6.B①有理数包括整数和分数，因此一个有理数不是整 数就是分数，故①正确；②如果|a=a,那么a≥0，故②错 误：③因为a十b=0,所以a,b互为相反数，故③正确； 0 ④平方等于本身的数只有0和1，故④错误.⑤几个不等 于0的有理数相乘，其中负数的个数是偶数，则积为正数， 故⑤正确， 7D当输人的数a为1时，运算结果为-多.因为 一名>一2，所以箭要耳重复-次运算过程，即省入的数。 为一号则运算结果为-号因为-号<一2所以箱出的 结果为一器 8D由题意得，A=8×(十十…十 1x(1+2+片+片前高--应》-12+ 12121212 1212_12-12≈ 4+3-99-100101-102=25-9-100101-1021 24.52.所以与A最接近的正整数为25. 9.1因为a为有理数，所以|a一1≥0.所以|a一1|+1 的最小值为1. 10.一5根据题意，得当天的气温比0℃低了0.055÷ 0.011=5(℃)，即当天的气温是0-5=-5（℃）. 11.一4一共7个数，每次操作后少1个数，和多1，当第 6次操作结束后，黑板上只剩下1个数，和多6，所以所剩的 这个数是-10十6=-4. 12.21(-2)￥8=(-2)2-(-2)×8+1=21. 13.2因为3=3,32=9,3=27,34=81,35=243，…，所 以个位数字每四个为一组循环.因为3,9,27,81四个数的 个位数字之和的个位数字是0,2026÷4=506…2,3十 9=12,所以3+32+…十320的结果的个位数字是2. 14.(1)如图所示.(2)一3<-1.5.(3)一1.5.因 为点A,B表示的数分别为一3，一1.5，所以点A,B间的距 离为-1.5-(-3)=1.5（个）单位长度.当点B为原点时， 易得点A表示的数为一1.5. 有4名0文方时 A B (第14题) 15)-13+2-(-7)21+2÷(-号）=-1+12 491-2×号-1+7-号-46号2)(-)‘× 号÷1-3+(-025)（分）》=号×号÷3-子： 号×号×号片×4-合-16=-15分8-3× 16 (←3)》°+（是-日+）×(-24)=-9xg+是× 1×23+1×22+1×2+0=32+0+8+4+2+0=46 (2)将八进制数72转化为十进制数是7×8+2=58. (-24-×(-24+号 ×(一24)=-1一18+4-9= (3)由于满五进一，类似于五进制数，且题图表示的五进制 数为132，转化为十进制数为1×5+3×5+2=42，所以 -2.4)-8+1÷4x号--1×(-05 孩子已经出生了42天. 9+1x×x=-9+6 15 =一941 18.(1)2m+1,nn+1D(2n+1,nn+1D(2n+1) 6 16.(1)原式=[（一1）×(-3)]2=3=9.(2)若选择 (2) 12+22+32+…+2026 1+2+3+…+2026 DCA>B的顺序，则(22一2+3)×（一3）=(4-2+ 1 3)×(-3)=5×(-3)=一15；若选择D→C>B→A的顺 ×2026×(2026+1)×(2×2026+1) 6 1 ·×(2×2026+ 序，则(22-2)×(-3)+3=(4-2)×(-3)+3=2× ×2026×(2026+1D 1 (一3)十3=一6十3=一3.所以甲同学选择的运算顺序为 1)=1351. D-C-B-A. 17.(1)46.101110转化为十进制数是1×2+0×2+ 第三章 整式及其加减 1代数式 7.C由题意，得30m十7=，35m-8=,故选项A,B正 第1课时代数式 确”=m,-m,故选项C错误，地项D正确 35 1.A3(m十2)的意义是m与2的和的3倍，故选项A 8.C在组成的四位数中，b原本是一个一位数，居于千位 错误 的位置后，代表b个1000，a原本是一个三位数，其数值不 2B选项A正确的书写格式为，选项C正确的书写格 变，所以这个四位数是1000b十a. 9.乙此题需先将三家超市的价格计算出来，再作比较 16 式为5xy,选项D正确的书写格式为(x十12)克. 甲超市：(1-20%)m=0.64m(元/件)；乙超市：(1 3.4③⑤⑥中含有不等号或等号，所以不是代数式.①② 40%)m=0.6m(元/件)；丙超市：(1一30%)×(1- ④⑦都是代数式，所以是代数式的有4个. 10%)m=0.63m(元/件).易知乙超市的价格最低，所以应 4.(a一5x)购买5件单价为x元的文具，总花费为 去乙超市最划算， 5x元.用a元购买，应找回的钱数等于总钱数减去总花费， 10.一36根据定义的新运算，可得a一1=b+1+1,即 即(a-5x)元， 5.r2)2 b一a=一3.然后利用整体的思想进行计算，得(b一a)3 .把 3 3用代数式表示运算程序为红二2》 3 3a+3b=(b-a)3+3(b一a)=(-3)3+3×(-3)= x=-1代人，得-1-2) -27-9=-36. 3 二3 方法归纳 6.当a=-2,b=-1,c=3时，2abc-4ab=2× 代数式求值的技巧 (-2）×(-1Dx3-4×(-2)×(-10=3+2=5. 代数式求值的考查方式通常是先给定某（几）个字 母或式子的值，或给定某个等式，再求相关的代数式的 易错警示 求代数式的值的注意点 值.解题时除了直接代入求值外，还要掌握常用的技巧， (1)恢复乘号：在含有字母的乘法里，乘号通常写作 如整体求值、整体变换、整体代入、多次代入、特殊值代 “·”或省略不写，反过来，将代数式中的字母换成数后， 入等 原来省略的乘号要恢复，“·”也要恢复成“X” 11.(1)0.5:85. 每本数学课本的厚度为(88一86.5)： (2)添加括号：字母简洁，本身具有整体性，但将字 (6一3)=0.5(cm),课桌的高度为86.5一0.5×3= 母换成负数或分数时，常要根据实际情况，添加括号，以 85(cm). (2)因为x本数学课本的厚度为0.5xcm,课 体现整体性，避免混淆运算顺序」 桌的高度为85cm,所以高出地面的高度为(85十0.5x)cm D17