第二章 专题特训三 有关数轴的探索&综合与实践2 除方及其运算-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）七年级上 专题特训三 有关数轴的探索 类型一用数轴表示有理数 1.[2025衡东期末]【问题初探】 阅读以下材料，并回答问题 如图，把一根长度为acm的木棒MN放在数轴(1个单位长度表示1cm)上，它的两端，点M,N 分别落在，点A,B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到，点B处时，点N与，点D重合，此 时点N对应的数为25，当点N移动到点A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4. (1)点C,D间的距离为 cm,a的值为 (2)点A所表示的数是 ,点B所表示的数是 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下面的问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是 140岁的老寿星了.”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路： 04(C)A(M)B(N)25(D) (第1题) 类型二数轴中的折叠问题 2.[2025龙泉期末]数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的 基础工具.小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，点A, B表示的数分别是一8,4. (1)若点C在点A,B之间，且CA=2CB,求点C表示的数. (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示数一20的点与表示数 的 点重合 (3)如图，以C为折叠点，将此数轴向右折叠后，若点A在点B的右边，且AB=1,求点C表示 的数 A C B (第2题) 38 第二章有理数及其运算 类型三数轴中的距离问题 3.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是 个单位长度；表示一2和1的两点之间的距 离是 个单位长度；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m一n|个单 位长度 (2)如果x+1=2,那么x= (3)若a一3|=4，b+2=3,且数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,求A,B两点间的最大 距离和最小距离、 (4)求a+3+a一5的最小值 类型四数轴中的动点问题 4.如图，一个点从数轴上的原点出发，先向左移动4cm到达点A,再向右移动5cm到达点B,最后 向右移动号cm到达点C,数轴上的一个单位长度表示1cm (1)请你在数轴上表示出A,B,C三点的位置，并写出A,B,C三点分别表示的数. (2)已知AB的长为点A到点B的距离，AC的长为点A到点C的距离，则AB的长为 cm,AC的长为 cm. (3)若点A沿数轴以1cm/s的速度向右运动，经过多少秒，AC的长为3cm? 6-5-4-3-2-10123456 (第4题) 5.如图，点A,B在数轴上表示的数分别为一12和8，点M,N分别从A,B两点同时出发，相向而 行.点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒3个单位长度， (1)当运动 秒时，点M,N在点P处相遇，点P在数轴上表示的数是 (2)当运动t秒时，点M,N之间的距离为10个单位长度，求出t的值， 0B→ (第5题) “答案与解析”见D15 39 拔尖特训· 数学（北师版）七年级上 综合与实践2除方及其运算 【概念学习】 定义：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫作除方，如2÷2÷2、（一3）÷（一3）÷（一3）÷（一3） 等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的下3次方”，（一3）÷（一3）÷（一3)÷（一3） 记作（一3）4，读作“一3的下4次方” 一般地，把a÷a÷…÷a÷a(a≠0)记作am,读作“a的下n次方”. n个a 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：33= 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有 理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：2=2÷2÷2÷2=2x号×号×() 除列 幕的形式 (2)仿照上面的算式，将下面的运算写成幂的形式： a6= a为有理数且a≠0(，= 【归纳结论】 (3)一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式为am= 【结论应用】 (0计算：12÷（日），×(-20，-（写），÷3 40 >“答案与解析”见D16(←号)-()×24=云+号×24=号×1+2) 8×25=8.(3)25×(-号)-16÷(-)-30× 最=25×（←）-16×（←-号）-30×号=-25×是 16×号-30×号-(-25+16-30×号=-9×号 2. 2 -6.(4(-12号)14-(-83）(-0+93 1 14-12号×号-8×号+0×号-号 (←12号-8号+9号)-×(-）=空 4(1山☆十文6+8十+0号 (侵+好名+日g+80+品)-名× (号-)-员(2)是十是8+十…十 2 2720-号×(-+日-+日+… 0d)号×（号-2d)0器 5.令M=1+7+7+73+…+725①，则7M=7+72+ 73+71+…+72026②.②-①，得6M=72026一1，所以M= 72-1.所以1十7+7+7十…+7205--1 6 6 专题特训三有关数轴的探索 1.(1)21;7.当点N移动到点A处时，点M与点C重 合，此时点M对应的数为4，当点M移动到点B处时， 点N与点D重合，此时点N对应的数为25，所以CD= 25-4=21(cm).因为CD=3MN,所以3a=21.所以a 7.(2)11;18.由(1)可得，点B所表示的数是4+7+ 7=18,点A所表示的数是4+7=11.(3)如图，点B表 示奶奶现在的年龄，点A表示孙子现在的年龄，则孙子与 奶奶的年龄差可以看作木棒MN的长度.奶奶像孙子那么 大时可看作当点N移动到点A处时，点M与点E重合， 点E所对应的数为2；孙子像奶奶那么大时可看作当点M 移动到点B处时，点N与点F重合，点F所对应的数为 140,所以奶奶比孙于大1402=46（岁）.因为2+46 3 48(岁)，140-46=94（岁），所以孙子现在48岁，奶奶现在 94岁. 02(E)AM0_B(N)140(F) (第1题) 2.(1)因为点A,B表示的数分别是-8,4，所以AB=4一 (-8)=12.因为点C在点A,B之间，且CA=2CB,所以 CA=号AB=8,则-8+8=0所以点C表示的数为0 (2)16.因为A,B表示的数分别是一8,4，将此数轴沿着 某一点折叠，使点A与点B重合，所以折叠点对应的数为 4+(-8) 2 =一2.所以表示数-20的点到折叠点的距离为 一2一（一20）=18，即折叠后与表示-20的点的重合的点 与表示一2的点间的距离为18.因为一2+18=16，所以表 示一20的点与表示16的点重合.(3)因为以C为折叠 点，将此数轴向右折叠后，点A在点B的右边，AB=1,点 B表示的数是4，所以折叠后，点A表示的数为4十1=5.所 以折叠点对应的数为5十()一8》-一1,5，即点C表示的数 2 为-1.5. 3.(1)1:3.(2)1或一3.因为x+1=x一（一1）= 2,即在数轴上，x的对应点到一1的对应点的距离为2个单 位长度，所以x=1或-3.(3)因为1a-3|=4,lb+2= 3,所以a=7或a=-1,b=1或b=一5.易知当a=7,b= 一5时，A,B两点间的距离最大，是12个单位长度；当a= 一1，b=1时，A,B两点间的距离最小，是2个单位长度.所 以A,B两点间的最大距离是12个单位长度，最小距离是 2个单位长度.(4)当数轴上表示数a的点位于表示数 -3与5的点之间时，la+3|+la-5取得最小值，为8. 4.(1)A,B,C三点的位置在数轴上表示如图所示.点A 表示的数为一4，点B表示的数为1，点C表示的数为 7 (2)5:受（3)0当点A在点C的左侧时，受-3 号(m号÷1= 9 9. 1X 2（s):②当点A在点C的右侧时， m号1号（0.综上所述经过立或号 3-cm 9 .21 AC的长为3cm. -6-5-4-3-2-10123456 (第4题) 5.(1)4:一4.由题意，得A,B两点间的距离为8一 (一12)=20（个）单位长度，所以当运动20÷(3十2)= 4(秒)时，点M,N在点P处相遇，且点P表示的数是8一 4×3=一4.(2)由题意，可知A,B两点之间的距离为 8十12=20（个）单位长度.当运动t秒时，点M向右运动了 2t个单位长度，点N向左运动了3t个单位长度.若在相遇 之前距离为10个单位长度，则2t+3t十10=20，易得t= 15 2.若在相遇之后距离为10个单位长度，则2t十3t一10 20,易得t=6.综上所述，t的值为2或6. 综合与实践2除方及其运算 ①3-33=3÷3÷3-3（←号）-(-3) (-号)÷(-3）=-3.(2)()）广(-3).a=a aa*aa*aax×××x是-（日） (-3),=（-3)÷（-3）÷(-3)÷(-3) (-3)÷(-3)÷(-3)=-3×(-3)×(-3)× (-3)X(-3)×(-3)×(-3)=(-3.3)(日） a.-uaa…=a××}X…X-(） n个a m-1D个 412÷(号），×(-2。-（号）÷3=14÷3× (-2）八-8÷8=144×g×6-81÷27=1-3=-2 第二章拔尖自主测评 1.C因为一117<一38.8080.5，所以酒精的凝固点 最低。 2.C24.2亿=2420000000=2.42×10° 3.A因为一（一2）=2，一一5=一5，（一3）2=9，所以正 有霾数有号，-(-2，(-3)，共3个 4.A数轴上点A,M,B分别表示数a,a+b,b,AM a十b一a=b(个)单位长度，所以原点在A,M之间.由题 图，可得a<0,a+b>0,b>0且|a|<|b,则a-b<0, ab<0,a|-b<0,故运算结果一定是正数的为a十b. 5.C甲：9-÷8=9-9÷8=9-号-g放甲微错了， 乙：24-(4×32)=24-(4×9)=24-36=-12，故乙做错 了：丙：36-12)÷号=(36-12)×号=36×号-12× 号-21-8=16故丙做对了：丁：（一3）9÷号×3=9时 1 X3=9X3×3=81,故丁做错了.综上所述，做对的同学 是丙. 6.B①有理数包括整数和分数，因此一个有理数不是整 数就是分数，故①正确；②如果|a=a,那么a≥0，故②错 误：③因为a十b=0,所以a,b互为相反数，故③正确； 0 ④平方等于本身的数只有0和1，故④错误.⑤几个不等 于0的有理数相乘，其中负数的个数是偶数，则积为正数， 故⑤正确， 7D当输人的数a为1时，运算结果为-多.因为 一名>一2，所以箭要耳重复-次运算过程，即省入的数。 为一号则运算结果为-号因为-号<一2所以箱出的 结果为一器 8D由题意得，A=8×(十十…十 1x(1+2+片+片前高--应》-12+ 12121212 1212_12-12≈ 4+3-99-100101-102=25-9-100101-1021 24.52.所以与A最接近的正整数为25. 9.1因为a为有理数，所以|a一1≥0.所以|a一1|+1 的最小值为1. 10.一5根据题意，得当天的气温比0℃低了0.055÷ 0.011=5(℃)，即当天的气温是0-5=-5（℃）. 11.一4一共7个数，每次操作后少1个数，和多1，当第 6次操作结束后，黑板上只剩下1个数，和多6，所以所剩的 这个数是-10十6=-4. 12.21(-2)￥8=(-2)2-(-2)×8+1=21. 13.2因为3=3,32=9,3=27,34=81,35=243，…，所 以个位数字每四个为一组循环.因为3,9,27,81四个数的 个位数字之和的个位数字是0,2026÷4=506…2,3十 9=12,所以3+32+…十320的结果的个位数字是2. 14.(1)如图所示.(2)一3<-1.5.(3)一1.5.因 为点A,B表示的数分别为一3，一1.5，所以点A,B间的距 离为-1.5-(-3)=1.5（个）单位长度.当点B为原点时， 易得点A表示的数为一1.5. 有4名0文方时 A B (第14题) 15)-13+2-(-7)21+2÷(-号）=-1+12 491-2×号-1+7-号-46号2)(-)‘× 号÷1-3+(-025)（分）》=号×号÷3-子： 号×号×号片×4-合-16=-15分8-3× 16