第二章 专题特训二 有理数的巧算-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）七年级上 专题特训二 有理数的巧算 类型一凑整法 通过调整算式中的数使计算结果能得到整数等易计算的数，简化运算过程，提升计算速度和准确度. 1.计算： +(-)-(-)+(-2》 (2)5.6-0.9+4.4+(-8.1)-(+0.1). (3)3.76-39-53+68-476-26+12.(④1-0.751+(+3)-(-0.125)-1-0.125. 类型二 拆项重组 带分数相加时，可将带分数先拆成整数和真分数的和，再利用加法的运算律进行计算。 2对于算式(-5)+(-9)+17是+(-3》，可以这样计算：原式=[(-5)+(-】+ -9)+(-引+(7+)+【K-+(号=[(-)+-9)+17+(-3+ (》+()+星+(】-0+(-1)=-1京这种方法叫作拆项法。 仿照上面的方法，计算： -14+(-23)+7吾+(-42)： 2-38+(-12)+2-(-22》 类型三活用分配律 在有理数的混合运算中，可以利用运算律（特别是乘法对加法的分配律）来改变运算顺序，从而简化运算.其中， 乘法分配律可正用、逆用、拆项应用等. 3.计算： 1)462x号-5.39×(-》+3.01×(-引.(2(-)×(--（←-是）×24 36 第二章有理数及其运算 (3)25×6-16÷(2)-30×8(④(-12号)÷1.4-(-83÷(-1.④0+93÷1.4 类型四裂项相消 把一个分数拆成两个分数相减，让前后项互相抵消，最后只剩头和尾 4.观察下面两组等式： 1=日☆方 1 x7×行》0×附 用简便方法计算： 1 1 1 (1)2X4+4X6+6X8+8×10+10X12 （27灵5+与灵8+8n++202720a0 22 2 类型五错位相减 多个数求和，且相邻两数的比值为定值，可以先令和为一个字母，写出一个等式。将这个等式两边同乘这个定 值，再将所得的等式与原等式错位相减，进而进行计算 5.计算：1+7+72+73+…+7225 >“答案与解析”见D14 379》=-1-(←8) (4)原式=1-(-8十9)× (-7)=1+7=8. 6.D23-(-2)3=23+23=16.因为-3的符号是负号， 所以在气)”里填人的运算符号应是“+”或“÷”.因为 -3+2=-81+16=-,-3÷2=-- -65,所以要使算式一3（○2-（-2）]的计算结果最 大，在气”里填入的运算符号应是“：” 7.c箱入18，得18×-引=[-（侵）门=18× (-)=-36<10同理，把-36输入，得72<10.再把 72输入，得-144<100.接着把-144输人，得288>100. 所以输出的结果为288. 8.3 思路导引 -382 -3<2 -ab(a≤b) -(-3)×22=12 【-3)8218(号》 128(号》 12>-7 abi(a>b) 12×(-3 由题意得，[(-3)⑧2]8(-2)-[-(-3)×2]8 (-2)=(3×40®（号）=12®(2)=12× (-2)》°=12x=8 9.(1)①.(2)15÷5×(-3)-6×（号+号）=3× (-3)-6×2-6×号 =-9-9-4=-22. 方法归纳 有理数混合运算的顺序及技巧 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减 2.同级运算，要按照从左到右的顺序计算 3.如果有括号，要先算括号里面的. 4.合理使用运算律可以改变运算顺序，简化运算 D 10.(1)(-3)★2=|2-(-3)21÷2+1=|2-91÷2+1= 7÷2+1=3+1=号.(2)3★2=2-31÷2+1=2- 91÷2+1=7片2+1=号+1=号由(1)知，(-3)*2的结 果是号，所以小明得到的运算结果与(1)中的结果相同， (3)淇淇输入的第二个数为0，b是除数，且除数不能为0， 没有意义，所以该操作无法进行. 11.(1)如图所示.(2)-2+|5-8|+24÷(-3)× -4什3+(-8)x =-4+3-8-马 -多（号）x2 2 25 (第11题) 12.答案不唯一，如(1)一3×(-1)×(5+3)=3×8=24. (2)3×(10-6+4)=3×8=24;10-3×(-6)-4=10+ 18-4=24.(3)2-[8×11÷(-4)]=2-[88÷(-4)]= 2+22=24. 专题特训二有理数的巧算 10原成日层+号日号是号+号品 (2)原式=(5.6+4.4)+(-0.9一8.1-0.1)=10一9.1= 0.9.(3)原式=(3.76-4.76)+(-39+68)+ (-5号-2后+1号)=-1+29-6=2.(4)原式 (0.75+3.25)+(0.125-0.125)=4+0=4. 2(1)-1+(-23)+7号+(42) [-1+(-】+【-2+(-号)〗+(+号)+ [-0+(2]=[(-1)+(-2)+7+(-]+ [(-)+(-3)+8+(-】=0+(-) -子.2)-3品+(-12）+2是-(-22) [(-3+(-)】+[-1+(】+(2+)+ (2+2)=[(-3)+(-1)+2+2]+ [（-品)+(-)++】-0+品-是 31)462×号-5.39×(-号)+a01×(-2)- 号×4.62+539-3.01)=2×7=8(2)（←号）× (←号)-()×24=云+号×24=号×1+2) 8×25=8.(3)25×(-号)-16÷(-)-30× 最=25×（←）-16×（←-号）-30×号=-25×是 16×号-30×号-(-25+16-30×号=-9×号 2. 2 -6.(4(-12号)14-(-83）(-0+93 1 14-12号×号-8×号+0×号-号 (←12号-8号+9号)-×(-）=空 4(1山☆十文6+8十+0号 (侵+好名+日g+80+品)-名× (号-)-员(2)是十是8+十…十 2 2720-号×(-+日-+日+… 0d)号×（号-2d)0器 5.令M=1+7+7+73+…+725①，则7M=7+72+ 73+71+…+72026②.②-①，得6M=72026一1，所以M= 72-1.所以1十7+7+7十…+7205--1 6 6 专题特训三有关数轴的探索 1.(1)21;7.当点N移动到点A处时，点M与点C重 合，此时点M对应的数为4，当点M移动到点B处时， 点N与点D重合，此时点N对应的数为25，所以CD= 25-4=21(cm).因为CD=3MN,所以3a=21.所以a 7.(2)11;18.由(1)可得，点B所表示的数是4+7+ 7=18,点A所表示的数是4+7=11.(3)如图，点B表 示奶奶现在的年龄，点A表示孙子现在的年龄，则孙子与 奶奶的年龄差可以看作木棒MN的长度.奶奶像孙子那么 大时可看作当点N移动到点A处时，点M与点E重合， 点E所对应的数为2；孙子像奶奶那么大时可看作当点M 移动到点B处时，点N与点F重合，点F所对应的数为 140,所以奶奶比孙于大1402=46（岁）.因为2+46 3 48(岁)，140-46=94（岁），所以孙子现在48岁，奶奶现在 94岁. 02(E)AM0_B(N)140(F) (第1题) 2.(1)因为点A,B表示的数分别是-8,4，所以AB=4一 (-8)=12.因为点C在点A,B之间，且CA=2CB,所以 CA=号AB=8,则-8+8=0所以点C表示的数为0 (2)16.因为A,B表示的数分别是一8,4，将此数轴沿着 某一点折叠，使点A与点B重合，所以折叠点对应的数为 4+(-8) 2 =一2.所以表示数-20的点到折叠点的距离为 一2一（一20）=18，即折叠后与表示-20的点的重合的点 与表示一2的点间的距离为18.因为一2+18=16，所以表 示一20的点与表示16的点重合.(3)因为以C为折叠 点，将此数轴向右折叠后，点A在点B的右边，AB=1,点 B表示的数是4，所以折叠后，点A表示的数为4十1=5.所 以折叠点对应的数为5十()一8》-一1,5，即点C表示的数 2 为-1.5. 3.(1)1:3.(2)1或一3.因为x+1=x一（一1）= 2,即在数轴上，x的对应点到一1的对应点的距离为2个单 位长度，所以x=1或-3.(3)因为1a-3|=4,lb+2= 3,所以a=7或a=-1,b=1或b=一5.易知当a=7,b= 一5时，A,B两点间的距离最大，是12个单位长度；当a= 一1，b=1时，A,B两点间的距离最小，是2个单位长度.所 以A,B两点间的最大距离是12个单位长度，最小距离是 2个单位长度.(4)当数轴上表示数a的点位于表示数 -3与5的点之间时，la+3|+la-5取得最小值，为8. 4.(1)A,B,C三点的位置在数轴上表示如图所示.点A 表示的数为一4，点B表示的数为1，点C表示的数为 7 (2)5:受（3)0当点A在点C的左侧时，受-3 号(m号÷1= 9 9. 1X 2（s):②当点A在点C的右侧时， m号1号（0.综上所述经过立或号 3-cm 9 .21 AC的长为3cm. -6-5-4-3-2-10123456 (第4题) 5.(1)4:一4.由题意，得A,B两点间的距离为8一 (一12)=20（个）单位长度，所以当运动20÷(3十2)= 4(秒)时，点M,N在点P处相遇，且点P表示的数是8一 4×3=一4.(2)由题意，可知A,B两点之间的距离为 8十12=20（个）单位长度.当运动t秒时，点M向右运动了 2t个单位长度，点N向左运动了3t个单位长度.若在相遇 之前距离为10个单位长度，则2t+3t十10=20，易得t= 15