第一章 2 第2课时 棱柱、圆柱、圆锥的展开与折叠&第3课时 截一个几何体-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第一章丰富的图形世界 第2课时 棱柱、圆柱、圆锥的展开与折叠 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025济宁期末]下列图形经过折叠不能围成柱体的是 () A B D. 2.如图，在直角三角形ABC中，绕AC所在直线旋转一周，所得到的几何体是 ,其侧面展 开图是 侧面展开图 (第2题) (第3题 3.如图，用高为6cm、底面直径为4cm的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B, 则圆柱B的体积为 cm2. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能。 4,数形结合思想如图所示为一个食品包装盒的表面展开图（图中长方形大小相同），则这个包装盒的 几何体名称是 ;根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积为 cm2. 20cm产 3 cm M E D N F C (第4题) (第5题) 5.新考向探究题数学实践课上，同学们探究用一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒.如图， 在长方形ABCD中，AD=20cm,AB=4cm,小郑沿MN将长方形ABCD剪成两部分，并将长 方形ABNM折叠成纸盒的侧面，将长方形CDMN沿EF剪成两部分，分别作为纸盒的上、下底 面，制成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是 cm3. 6.一张正方形硬纸片通过裁剪、折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒 (1)如图①②③所示为小亮设计的三种方案（剪去涂色部分，沿虚线折），可行的方案是 (填序号). (2)你有何发现？ (3)请你再设计一种方案， ① ② ⊙ (第6题) ●“答案与解析”见D3 5 拔尖特训·数学（北师版）七年级上 第3课时截一个几何体 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，用一个平面截一个长方体，则所得截面的形状是 ( A. B. C. D. (第1题) 2.舒情境科技创新通过读取截面相关的信息，用特定材料将截面逐层打印出来，再将各层截面以多 种方式粘起来，从而制造出一个实体，这就是3D打印技术.某数学兴趣小组读取到某几何体截 面的相关信息有三角形、梯形和六边形，那么3D打印机可能打出来的一种几何体是 () A圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.正方体 3.[2025达州期末]若用平面分别截下列几何体：①三棱柱；②正方体；③球；④圆锥，得到的截面 可能是三角形的是 (填序号). 4.如图，用一个平面去截一个正方体，则截面形状、大小相同的是 ① ② ③ ④ (第4题) 5.如图所示为一张长4cm、宽3cm的长方形纸片ABCD,将该长方形纸片绕一条边所在的直线旋转 一周，然后用平面沿与AB平行的方向去截旋转所得的几何体，求截面的最大面积（结果保留π）. 4cm D 3cm C (第5颗) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.舒向探究题如图，一圆柱形油桶中恰好装有半桶油，现将油桶由直立状态放倒成水平放置状 态.在整个过程中，桶中油面的形状不可能是 () A D. 放倒 (第6题) (第7题) 7.易错题如图，往一个密封的正方体容器内持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置 关于水面的形状有下列结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角 形；④可能是平行四边形.其中，正确的是 () A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③④ 6 第一章丰富的图形世界 8.如图，把底面周长是18.84cm、高是8cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积 增加了 cm,这个近似的长方体的体积是 cm'. @ (第8题) (第9题) 9.如图①，一个物体的形状是长方体，其内部构造不详.用一个平面自上而下截这个物体时，得到的 一组截面形状如图②所示，这个长方体的内部构造可能是 10.用一个平面截一个直n棱柱，得到的截面的边数最多是8，且这个直n棱柱的每个侧面都是正 方形，且每个正方形的面积为4，则这个直n棱柱的棱长之和为 11.将一个长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm的大长方体切割成两个小长方体，则表面积最多可增 加 cm2. 12.如图①所示为一个正方体，它的表面展开图如图②所示，四边形APQC是正方体的一个截面， 且EP=FP,FQ=GQ.试在图②中画出截面的四条线段AC,CQ,QP,PA. ② (第12题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 13.(1)如图①所示为一个三棱柱（有三条侧棱AA',BB',C℃'）.如果沿着平行于某条侧棱的方向 (即从上到下)切一刀，可得到两个棱柱，设它们的侧棱数分别为m和n,把这样的结果记作(， n)(规定m≤n).显然，结果有两种情况，即(3,3)和(3,4).在图②和图③中分别画出这两种情 况的上底面（即图①中的三角形ABC)的切痕位置. ① ② ③ (第13题) (2)如果要把一个六棱柱切成两个棱柱，用(1)中的方法表示出所有不同的情况，并画出上底面 及切痕的相应图形 ●“答案与解析”见D3第2课时棱柱、圆柱、圆锥的展开与折叠 1.A选项A中的图形底面是三角形，但有四个侧面，所 以该图形不能折叠成棱柱；选项B中的图形可以折叠成三 棱柱；选项C中的图形可以折叠成圆柱；选项D中的图形 可以折叠成长方体，即可以折叠成四棱柱 2.圆锥扇形由面动成体可知，绕AC所在直线旋转 周，所得到的几何体是一个圆锥，且侧面展开图是扇形. 3.36根据题意，得圆柱B的底面周长是6cm,高是 4红em.则圆柱B的体积为x(会)广X4=36(am). 4.六棱柱360该表面展开图可以折叠成六棱柱，且该 六棱柱的底面各边的长都相等，所以这个几何体的侧面积 为(2+4)×20×3=360(cm2). 5.48如图，由题意，得AG=IK=AB=4cm,GI= KM=ME=ED.因为AD=20cm,所以GI=子×(20 4X2)=3(cm).所以该纸盒的体积=4×3×4=48(cm3). K M E D B HJ L N F C (第5题) 6.(1)②③.题图①剪去涂色部分后，折成无盖的长方 体：题图②剪去涂色部分后，能折成封闭的长方体：题图③ 剪去涂色部分后，能折成封闭的长方体.(2)发现：长方 体的相对面大小相同（合理即可）.(3)答案不唯一，如图 所示（剪去涂色部分后，沿虚线折） (第6题) 第3课时截一个几何体 1.B由长方体各个面间的关系及其特征，可知截面的形 状是长方形 2.D选项A:圆柱的截面的形状不可能是六边形；选项 B:圆锥的截面的形状不可能是梯形、六边形；选项C:三棱 柱的截面的形状不可能是六边形：选项D:正方体的截面的 形状可能是三角形、梯形和六边形 3.①②④用平面去截三棱柱、正方体、圆锥可以得到三 角形的截面，而用平面去截球只能得到圆形的截面，不能 得到三角形的截面 4.①与②，③与④题图①与②中的截面都是正方形且边 长等于正方体的棱长，题图③与④中的截面都是长方形， 且长是正方体中一个面的对角线长，宽是正方体的棱长， 故截面形状、大小相同的是①与②，③与④. 5.把长方形纸片ABCD绕边AB(或边DC)所在的直线旋 转一周，得到的几何体为圆柱，圆柱的底面半径为4cm,高 为3cm,用平面沿与AB平行的方向去截旋转所得的几何 体，截面是长方形，且此时截面的面积为4×2×3= 24(cm).把长方形纸片ABCD绕边AD(或边BC)所在的 直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，圆柱的底面半径为 3cm,高为4cm,用平面沿与AB平行的方向去截旋转所 得的几何体，截面是圆，且此时截面的面积为π×32 9π(cm).因为9r>24,所以截面的最大面积为9πcm. 6.C将油桶水平放置可得到选项A的形状；将油桶斜着 放可得到选项B的形状；油桶直立时可得到选项D的形 状：因为油桶中恰好装有半桶油，所以不能得到选项C的 形状， 7.B用一个平面去截正方体，得到的截面可能是三角形、 四边形、五边形、六边形，且三角形只能是锐角三角形，不可 能是直角三角形或钝角三角形，四边形可能是平行四边 形，故①④正确 易错警示 正方体截面的形状 截面与正方体的几个面相交，截面就是几边形.因 为正方体共有六个面，所以截面的形状可能是锐角三角 形（不可能是直角三角形或钝角三角形）、四边形、五边 形、六边形，不可能是七边形或边数更多的多边形 8.48226.08根据题图可知，增加的面积是宽等于底面 半径、长等于圆柱高的？个长方形的面积之和；这个近似的 长方体的体积等于圆柱的体积.圆柱的底面半径为 18.84÷3.14÷2=3(cm),增加的表面积为8×3×2-24× 2=48(cm2),体积为3.14×32×8=226.08(cm3). 9.圆锥形空洞或球体观察题图可以发现：自下而上截面 的形状由大圆逐渐变成小圆、点，所以这个物体的内部构 造为圆锥形空洞或球体， 10.36因为用一个平面截一个直n棱柱，得到的截面的 边数最多是8，所以这个直棱柱有8个面.所以这个直棱 柱是直六棱柱.因为这个直棱柱的每个侧面都是正方形， 且每个正方形的面积为4，所以这个直六棱柱的所有棱长 都是2.所以这个直六棱柱的棱长之和为2×6×3=36. 11.40将大长方体切割成两个小长方体，要使增加的表 面积最多，则可以沿平行于面积最大的面进行切割，这样 3 切割后，表面积增加了两个长和宽分别为5cm和4cm的 长方形的面积，即增加了5×4×2=40(cm2).所以表面积 最多可增加40cm. 12.如图所示， H (第12题) 13.(1)画法不唯一，如图①所示.(2)切痕过2个顶点， 有(3,5)，(4,4)，如图②所示；切痕过1个顶点，有(3,6)， (4,5),如图③所示：切痕不过顶点，有(3,7)，(4,6)，(5,5) 如图④所示 ② ③ ④ (第13题) 第4课时从三个方向看物体的形状 1.B选项A为该几何体从正面看到的形状图；选项B不 是该几何体从三个方向看到的形状图；选项C为该几何体 从上面看到的形状图：选项D为该几何体从左面看到的形 状图！ 2.B甲从正面看到的形状图的左边有2个小正方形，右 边有2个小正方形：乙从正面看到的形状图的左边有2个 小正方形，右边有1个小正方形；丙从正面看到的形状图的 左边有2个小正方形，右边有2个小正方形.所以甲和丙 从正面看到的形状图相同. 3.左该几何体从正面看到的形状图由5个小正方形组 成，从左面看到的形状图由3个小正方形组成，从上面看到 的形状图由5个小正方形组成，故从左面看到的形状图的 面积最小 4.(1)从正面、左面、上面看到的形状图如图所示 (2)32.将这个立体图形的表面涂上红色（底面不涂），需 D 要涂(6+6)×2+6+2=32（个）面 从正面看 从左面看 从上面看 (第4题) 方法归纳 画或判断从不同方向看物体的形状图 画或判断从不同方向看物体的形状图，关键是观察 方向正确，无论从哪个方向观察，一定要做到正对观察 面，由几何体到形状图是由立体图形向平面图形的转化. 5.A画出变化前后从三个方向看到的形状图，可知从左 面看到的形状图不变， 6.B此题由形状图判断几何体的多种可能性中的特殊情 形，设题新颖.平台上至少需再放正方体的情形如图所示， 即在位置①②上各放一个正方体，则可得到题图②中的两 个形状图. 从正面看 (第6题) 7.4因为从上面看和从左面看，所得到的形状图不变，所 以可以在第2列前面的小立方块上添加1个，后面的小立 方块上添加2个，在第3列的小立方块上添加1个，即最多 可以再添加这样的小立方块的个数为1十2十1=4. 8.4由从三个方向看到的形状图可以得出，这个几何体由 6个小立方块组成.由从正面看到的形状图，得第一层有 5个，第二层有1个，并且在最右端的下面的小立方块的前 面是3，则后面是4；由从左面看到的形状图，得下面左数第 1个小立方块的左面是1，则下面最右端小立方块的左、右面 分别是1和6，所以下面最右端小立方块的上、下面上的数字 为2和5.因为重合的两个面上的数字之积为6，所以最右端上 面的小立方块的下面为3，上面为4，即“※”所代表的数字是4. 9.10根据题意，画出如图①所示的从上面看到的形状图 并标上字母，其中每个字母表示的数均表示在该位置上小 立方块的个数.因为一共有16个小立方块，最下面一层有 9个小立方块，所以上面共有7个小立方块.由从正面和左 面看到的形状图，得a=4,f=3,且一定有2个字母表示 2,其余5个字母表示1.从前往后第一行至少有1个2，中 间一列至少有1个2.根据2所在的不同位置，可得这个几 何体的搭法共有10种，如图②所示. a b c d e f g h i ① 4