期中综合检测试卷（三）-【名校作业】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

2026-2027学年第一学期期中综合检测试卷（三） 九年级数学北师版 (考试范围：上册第一章一第三章) (说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分120分) 三 题号 二 总分 水 16 17 18 19 20 21 22 23 得分 第I卷 选择题（共30分） 一选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题意，请将其字母 标号填入下表相应题号的空格内) 题号 1 2 3 4 5 6 8 10 答案 恝 1 将一元二次方程3x2-2=x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是 A.3,1 B.3,-2 C.3,-1 D.3,0 2 则下列变形不正确的是 若3 智想 A.老+y7 B.x+33 y+44 C.4x=3y D.43 3 如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=9,DB=3,EC=2,则AC的长为 A.6 B.7 C.8 D.9 E D B C B 第3题图 第4题图 第5题图 4 如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E是AC的延长线上一点，且OE=2OC=2,则BE 的长为 A.3 B.V3 C.V5 D.2V2 ① 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC与△DEF是第一象限内以点0为位似中 心的位似图形.若OA:OD=1:3,点D的坐标为(6,9)，则点A的坐标为 A.(2,3) B.(3,4.5) C.(4,6) D.(3,2) 6若关于x的一元二次方程2x2-4x+k=0没有实数根，则k的取值范围是 A.k<2 B.k>2 C.k>4 D.k≥2 7如图，下列添加条件正确的是 A.①可表示邻边垂直 B.②可表示对角线互相平分、垂直 C.③可表示对角线相等 D.④可表示一组对边平行，另一组对边相等 矩形 ① ② 平行四边形 正方形 个 菱形 ③ ④ 四边形 第7题图 第8题图 8如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是BC的中点.若AC=6,BD=8,AD=5,则 OE的长是 A.3 B.2.5 C.2.4 D.4 9 临近毕业，相处三年的同学们建立了深厚的友谊，九年级(1)班组织每名同学给其他同学写一 份毕业留言作为纪念，全班共写了1560份留言.设全班有x名学生，则可列方程为 1 1 A2(x-1)-1560 B.2(x+1)=1560 C.x(x-1)=1560 D.x(x+1)=1560 10如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,延长BC至点E,使AD=CE.已知∠E=25°， 则∠AOB的度数是 D 0 A.50° B.40° C.45° D.65 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，请将正确答案填在题中横线上）》 1如图，某公司设计了两款正六边形地砖，用于拼接艺术地板.已知大号地砖与小号地砖的相 似比为5：2.若小号地砖的边长为20cm,则大号地砖的边长为 cm. 小号砖 大号砖 第11题图 第12题图 12如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8,BD=6,则菱形ABCD的周长为 3在技能学习中，有“一天不练手生，两天不练眼生，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”的说 法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘.假设某人学习了一项技能，初始掌握程度 为100分，且每天“遗忘”的百分比相同.若经过两天后，技能掌握程度为49分，则每天“遗 忘”的百分比为 14如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，分别以点A,B为圆心，大于2AB的长为半径作弧，两弧交于 点M,N,作直线MN,交AD于点E,连接CE.若AB=4,则CE的长为 B B O NX E 第14题图 第15题图 15如图，在矩形ABCD中，延长CD至点F,使DF=CD,点E为BC边上一点，且AE⊥AF,连接AC, DE,相交于点O.已知AD=2V3,AB=2,则线段OE的长为 三解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16(本题共2个小题，每小题5分，共10分)解方程： (1)3x2-7x+4=0; 智想 (2)2(x+2)2=3x+6. 17(本题6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DELAC,DF⊥BC,垂足分 别为点E,F,求证：四边形CEDF是正方形. E D 18（本题7分)下面是小年解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解方程：2x2-4x-6=0 解：二次项系数化为1，得x2-2x-3=0.…第一步 移项，得x2-2x=3.…第二步 配方，得x2-2x+1=3,即(x-1)2=3.… 第三步 由此，可得x-1=士V3.… 第四步 所以，x,=V3+1,x2=-V3+1.… 第五步 任务： (1)小年运用“配方法”，将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是 A.方程思想 B.转化思想 C.整体思想 (2)第二步变形的依据是 (3)小年的解题过程从第 步开始出现错误，请直接写出正确的解 9（本题8分)长治市沁州黄小米享有“天下米王”的美誉，富含蛋白质、矿物质与膳食纤维等营 养物质，口感软糯香甜，养胃健脾，深受消费者的青睐.某电商平台销售精品包装的沁州黄 小米，已知每盒小米的进价为30元.当售价为每盒45元时，每天可售出1200盒.为提升销 量，平台开展促销活动，调研发现：售价每降低2元，每天可多售出100盒.电商平台需把销 售单价降低多少元，才能使每天所获利润为15400元？ 斯 扬 想 20 (本题8分)利用相似三角形可以计算某些无法直接测量的物体的高度，某校综合与实践小 组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成 了如下活动报告. 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案1：利用镜子 方案2：利用标杆 D 测量示意图 E C D B 小慧在地面上放置镜子C,然后向后退， 小智在前方立一根标杆EF,当小智的眼睛C、标 直到她刚好在镜子中看到旗杆顶A.测 杆顶部E、旗杆顶部A在同一条直线上时，测得 测量过程 得小慧的眼睛距地面的高度DE=1.5米， 标杆EF=2米，小智的眼睛距地面的高度CD 小慧到镜子的距离EC=2.1米，旗杆到镜 1.55米，小智与旗杆AB的距离DB=40.35米 子的距离BC=21米， 计算结果 反思 。。。 (1)请根据方案1的测量示意图求旗杆AB的高度； (2)小智在利用方案2计算旗杆AB的高度时，发现还缺少数据，你认为还需测量哪个数据？ (不需写出计算过程) 21（本题11分)如图，在△ABC中，AB=AC,点P为AC的中点.将线段AB沿射线BC平移得到线 段DE,点A的对应点为点D,点B的对应点为点E.当线段DE恰好经过点P时，连接AD,AE, CD. (1)判断四边形ADCE的形状，并说明理由； （2)若AB=6,BC=4,则△CPE的面积为 E 22（本题12分)阅读下面材料： 小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是CD,BC边上的点，∠EAF= 45°，连接EF,设DE=a,EF=b,BF=c,则把关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0叫作正方形 ABCD的关联方程，正方形ABCD叫作方程ax2-bx+c=0的关联四边形， 探究关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0是否存在常数根t. 小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线 段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题.将△ADE绕点 A顺时针旋转90°得到△ABG(如图2)，此时△AFG兰△AFE,得到EF的长就是DE+BF的长， 从而可得到常数根t: 小元的解题过程如下： .四边形ABCD是正方形，.∠D=∠ABC=∠BAD=90° 由旋转，得AG=AE,∠ABG=∠D=90°，∠GAB=∠EAD,BG=DE. ∴.∠ABG+∠ABC=180°. ∴G,B,F三点共线 (1)将小元的解题过程补充完整 参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (2)如图1，若AD=10,DE=4,求正方形ABCD的关联方程 (3)正方形ABCD的关联方程是2x2-bx+3=0,请直接写出正方形ABCD的面积 图1 图2 23（本题13分)综合与探究 探究： (1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD边上的点，且BE=CF,AE,BF相交于点 O,猜想AE与BF之间的数量和位置关系，并说明理由. 迁移： (2)如图2，在矩形ABCD中，点F为CD的中点，点E为BC边上一点，且AE⊥BF于点O.若CF= 2,BC=8,求CE的长. 应用： (3)如图3，在矩形ABCD中，点E,F分别是BC,CD边上的点，AE垂直平分BF于点O.若AB= 4,BE=2,请直接写出CF的长 D F B E B E C 图1 图2 图3 卓育 参考答 一、1-5.CDCCA6-10.BCBCA 解析： 3.DE∥BC, 品瓷即号些解得4E6 3 21 ∴.AC=AE+EC=6+2=8 6..·一元二次方程2x2-4x+k=0没有实数根， ∴.△=b2-4ac=16-8k<0 .k>2 10..四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,AC=BD. .'AD=CE,.四边形ACED是平行四边形 ∴.AC∥DE,AC=DE .∠ACB=∠E=25° .AC=BD,AC=DE ∴BD=DE .∴.∠DBC=∠E=25° .∠AOB=∠DBC+∠ACB=50° 二、11.5012.2013.30%14.2V615.4v2 15 解析： 14.如图，连接BE,设直线MN交AB于点F. D M米 ·四边形ABCD为菱形， ∴.BC=AB=4,AD∥BC ∴.∠ABC=180°-∠A=135° 由作图可知，直线MW为线段AB的垂直平分线， .'.AE=BE. ∴.∠ABE=∠A=45 .∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°，∠AEB=90° 在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE,即42=2BE, ∴.BE=2V2 在Rt△BCE中，CE=VBC2+BE2=√42+(2V2)2=2V6. 15.·.·四边形ABCD是矩形. .:.AD∥BC,CD=AB=2,BC=AD=2V3,∠BAD=∠B=∠BCD= 案及详解 .DE=DF. (5分) 由平移，得DE∥AB. 矩形CEDF是正方形. (6分) ∴.∠CEP=∠B,∠CPE=∠CAB ∠ADC=90° 18.(1)B (2分) .,△CPE∽△CAB. .∴.∠ADF=90° (2)等式的基本性质1【或等式的两边都加（或减）同一个 S△cPE_(CE21 .FD=CD,..FD=2. 代数式，所得结果仍是等式】 (4分) SAcu BC)4 .·AE⊥AF, (3)三 (5分) 1 六SACPE4Sac=2W2. ∴.∠EAF=90°. x=3,x2=-1 (7分) 22.解：(1).·∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°， ,LBAD=∠EAF. 19.解：设需把销售单价降低x元 (1分) .∠BAE+∠BAG=90°，即∠GAE=90° .∠BAD-∠DAE=∠EAF-∠DAE,即∠BAE=∠DAF 根据题意，得(45-x30120+2×10 15400.(5分) ∴.∠GAF=∠GAE-∠EAF=45° 又：∠B=LADF=90°， 解这个方程，得x,=4,x2=-13(不合题意，舍去). (7分) .∴.∠GAF=∠EAF (1分) .∴.△ABE∽△ADF 答：电商平台需把销售单价降低4元，才能使每天所获利 又.AG=AE,AF=AF, AB BE ADDF,即 2 BE 2V32 ,解得BE2V3 3 润为15400元. (8分) .△AFG≌△AFE(SAS) CE=BC-BE=2V3-2V3_4V3 20.解：(1)由已知，可得∠DCE=∠ACB,∠DEC=∠ABC=90°， .∴.GF=EF. (2分) 3 3 (1分) .GF=BG+BF,..EF=DE+BF 43 ..DE=VCE2 CD2 +22=2vV21 ∴.△DEC∽△ABC (3分) DE=a,EF=b,BF=c, 3 器即品品 .∴b=a+c,即a-b+c=0 (3分) AD∥BC, AB 21 .关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0有一个根x=1. 解得AB=15 (5分) .∴.∠OAD=∠OCE,∠ODA=∠OEC. 智想卓 .t1. (4分) :旗杆AB的高度为15米 (6分) ∴.△OAD∽△OCE. (2).四边形ABCD是正方形， (2)还需测量DF(或BF)的长度 (8分) OD AD 2V3 3 ∴.BC=CD=AD=10. OE CE 4V3 2 21.解：(1)四边形ADCE是矩形 (1分) .:DE=a=4, 3 理由：由平移，得AB=DE,AD∥BC, (2分) 2 .CE=CD-DE=6. .OE-2DE-4V21 ∴.∠ADP=∠CEP,∠DAP=∠ECP. 15 由阅读材料知DE+BF=EF=b,BF=c. .…点P为AC的中点，.PA=PC 三、16.解：(1)这里a=3,b=-7,c=4 (1分) .EF=4+c,CF=BC-BF=10-c. (5分) .△ADP≌△CEP(AAS) (4分) ·.b2-4ac=(-7)2-4×3×4=1>0, (2分) 在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2,即(10-c)2+62=(4+c)2 .'.AD=CE. (5分) x=7±VT7±1 2×36, (4分) 又：AD∥CE, 解得c30 (7分) 4 即x1=1,x3 ·.四边形ADCE是平行四边形 (6分) (5分) b=atc=58 (8分) .AB=AC,AB=DE,..AC=DE. (7分) (2)原方程可变形为2(x+2)2-3(x+2)=0. (2分) .:口ADCE是矩形 (8分) ·正方形ABCD的关联方程为458x+30-0. 7x+7 (9分) (x+2)(2x+4-3)=0 (3分) (2)2V2. (11分) (3)36. (12分) x+2=0,或2x+1=0. (4分) 解析：由(1)知四边形ADCE是矩形」 解析：由阅读材料知，正方形ABCD的关联方程2x2-bx+3 1 x1=-2,x222 (5分) .LAEC=90°.AELBC. 存在常数根x=1. 17.证明：.DE⊥AC,DF⊥BC, .AB=AC, .2×12-b+3=-0. .·.∠DEC=∠DFC=90°. (1分) BE=-8C=2 解这个方程，得b=5. 又：∠ACB=90°， .正方形ABCD的关联方程为2x2-5x+3=0. ..AE=VAB2 BE2=4V2. .四边形CEDF是矩形 (3分) ∴.DE=2,BF=3,EF=5 CD是∠ACB的平分线，DELAC,DFLBC, Sacw-2BC-AE-8V2. 设正方形ABCD的边长为m. 在Rt△CEF中，CF+CE=EF,即(m-3)2+(m-2)2=52 腰即 BCCFBC-2CF. 解这个方程，得m1=6,m2=-1(不合题意，舍去). 设CF=x,则BC=2x, .正方形ABCD的边长为6. .CE=2x-2. .正方形ABCD的面积为36. 在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2 23.解：(1)AE=BF,AE1BF (2分) 8 理由：：四边形ABCD是正方形， .(2x-2)2+x2=22,解得x 5x0(舍去). .AB=BC,LABE=LC=90° CF的长为 5 在△ABE和△BCF中，AB=BC,∠ABE=∠C,BE=CF, 方法二：如图，连接EF,AF. .△ABE≌△BCF(SAS). (3分) .AE=BF,∠BAE=∠CBF (4分) 在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90° .∠CBF+∠AEB=90° ∴LB0E=900 AE垂直平分BF, ..AELBF (5分) ∴.AB=AF=4,BE=EF=2 (2).·四边形ABCD是矩形， 在△ABE和△AFE中，AB=AF,BE=EF,AE=AE, .∴.AB=CD,∠ABE=∠C=90° (6分) ,:.△ABE≌△AFE. .∠BAE+LAEB=90°. ∴.∠ABE=∠AFE=90° .AELBF, ·.∠AFD+∠CFE=90°」 ∴.∠B0E=90° .'∠FEC+∠CFE=90°， .LCBF+LAEB=90° ..∠AFD=∠FEC ∴.∠BAE=∠CBF (7分) 又∠D=LC, 又：LABE=LC, :.△AD∽△FCE ..△ABE∽△BCF (8分) 智想 AF DF AB BE ·BCCF EF CE 与(2)同理，得△ABE∽△BCF 点F是CD的中点， .CD=2CF=4..AB=4 船卿总品 BC CF 4 BE …82 ,解得BE=1. (9分) .·.BC=2CF 设CF=x,则BC=2x, .CE=BC-BE=8-1=7. (10分) ∴.CE=2x-2. a (13分) ..AD=BC=2x,DF=DC-CF=AB-CF=4-x. 解析：方法一：如图，连接EF 44-x 8 小22-2解得9 GF的长为号 :AE垂直平分BF, ∴.BE=EF=2 与(2)同理，得△ABE△BCF. 具空