第3章 圆（举一反三讲义）数学新教材苏科版九年级上册

第3章 圆（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 圆的有关概念】 2 【题型2 点与圆的位置关系】 3 【题型3 求弦心距或弦长】 3 【题型4 利用垂径定理求半径】 4 【题型5 同弧或等弧所对的圆周角相等】 5 【题型6 直径所对的圆周角是直角】 6 【题型7 判断弧、弦、圆心角的对应关系】 7 【题型8 求圆内接四边形的对角】 8 【题型9 确定圆的条件】 9 【题型10 扇形弧长与面积的计算】 10 【题型11 判断直线与圆的位置关系】 11 【题型12 根据直线与圆的位置关系确定半径或距离的取值范围】 11 【题型13 利用切线性质求角度】 12 【题型14 利用切线性质求线段长】 13 【题型15 由切线长定理直接求线段长度】 14 【题型16 三角形内心的有关应用】 15 【题型17 求三角形内切圆的半径】 16 【题型18 切线的判定定理】 16 【题型19 求正多边形的边长、角度】 17 【题型20 由半径和边心距求正多边形面积】 18 【进阶拔高】 20 【题型21 垂径定理的应用】 20 【题型22 利用圆周角定理求角度】 21 【题型23 弧、弦、圆心角关系与证明综合】 22 【题型24 扇形与三角形组合图形面积计算】 23 【题型25 坐标系中求圆的相关量】 25 【题型26 利用圆心角与圆周角关系证明线段相等】 26 【题型27 圆锥的计算】 27 【题型28 切线的判定与性质综合证明】 28 【题型29 切线长定理与三角形周长综合求值】 29 【题型30 由内切圆求三角形面积】 31 【题型31 利用切线长定理求线段之间的数量关系】 32 【题型32 坐标系中直线与圆的位置关系判定】 33 【题型33 平移直线使其与圆相切求平移距离】 34 【题型34 切线与勾股定理综合求线段长】 36 【题型35 内心与角平分线综合求角度】 37 【题型36 作正多边形】 38 【题型37 正多边形与圆综合求边心距】 39 【创新思辨】 40 【题型38 动点问题中圆的相关量最值】 40 【题型39 垂径定理与折叠综合求值】 41 【题型40 圆内接四边形与旋转综合】 43 【题型41 含参数的圆中角度范围探究】 44 【题型42 某点的弧形运动路径长度】 45 【题型43 扇形面积与动点路径综合问题】 46 【题型44 动点问题中切线长的最值探究】 48 【题型45 格点中切线综合】 49 【题型46 与切线有关的定值问题】 50 【题型47 切线长定理与圆内接四边形综合】 52 【题型48 正多边形与几何变换综合】 53 【题型49 圆外切四边形】 55 【题型50 切线与函数综合】 56 【题型51 切线与弧长综合求解】 58 【题型52 切线与扇形面积综合求解】 60 【题型53 三角形内切圆与外接圆综合】 61 【夯实基础】 【题型1 圆的有关概念】 【例1】（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【变式1-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【题型2 点与圆的位置关系】 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）的半径为，则点与的位置关系是___________． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式2-3】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3 求弦心距或弦长】 【例3】（2025·安徽·模拟预测）已知点C在的弦AB上，，则的弦心距为（　　） A． B．3 C． D．2 【变式3-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）半径等于2的圆中，垂直平分半径的弦长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是的直径，弦于点，若，．    (1)求弦心距的长． (2)连接，求的长． 【变式3-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（　　） A．6 B．2 C．6或2 D．以上说法都不对 【题型4 利用垂径定理求半径】 【例4】（24-25九年级下·湖南湘西·阶段检测）如图，圆O 的半径交于点 D，，则圆O的半径为（       ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江·阶段检测）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是_____． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 【题型5 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例5】（2026·安徽淮南·一模）如图，内接于于点，连接，若，则的大小为___________． 【变式5-1】（2026·山东泰安·一模）如图，中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，，是上的点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为___________． 【题型6 直径所对的圆周角是直角】 【例6】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 【变式6-1】（2026·海南三亚·模拟预测）以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【变式6-2】（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 判断弧、弦、圆心角的对应关系】 【例7】（25-26九年级上·福建·期末）如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【变式7-1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，则的度数为_____． 【变式7-2】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【变式7-3】（2026·安徽安庆·二模）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型8 求圆内接四边形的对角】 【例8】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 【变式8-2】（25-26九年级上·江苏扬州·周测）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，若，，则的度数为 _____． 【变式8-3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 【题型9 确定圆的条件】 【例9】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【变式9-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________． 【变式9-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【变式9-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【题型10 扇形弧长与面积的计算】 【例10】（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【变式10-1】（2026·山西临汾·三模）某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（     ）      A．米 B．米 C．米 D．米 【变式10-2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图所示，半径为1的圆中，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【题型11 判断直线与圆的位置关系】 【例11】（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式11-1】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 【变式11-2】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【变式11-3】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）已知平面内有和点．若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为___________． 【题型12 根据直线与圆的位置关系确定半径或距离的取值范围】 【例12】（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 【变式12-1】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【变式12-2】（2025·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在C中，，点O在内部，以O为圆心，长为半径的圆与直线相离，则的取值范围是_________． 【题型13 利用切线性质求角度】 【例13】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，与相切，切点为点A，交于点C，点D在上，若的度数是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式13-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠OBC的度数为______°，∠P的度数为______°． 【变式13-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为(　　) A．40° B．35° C．30° D．45° 【变式13-3】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，切于B，若，则的度数是_____． 【题型14 利用切线性质求线段长】 【例14】（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的切线，是切点，连接，．若，，，则的长为___________． 【变式14-1】（25-26九年级上·重庆彭水·期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，，则的长度为（      ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式14-2】（2025·重庆·三模）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（　　） A．3 B．4 C． D． 【变式14-3】（2025·河南周口·一模）如图，是的直径，是的切线，连接 交 于点 D，连接．若，，则的长度为___________ 【题型15 由切线长定理直接求线段长度】 【例15】（2025·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【变式15-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为______． 【题型16 三角形内心的有关应用】 【例16】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式16-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为________． 【变式16-2】（2025·湖南株洲·三模）如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以_____为半径，可作的内切圆． 【变式16-3】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型17 求三角形内切圆的半径】 【例17】（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式17-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）若三角形的面积是24cm2，周长是24cm，则这个三角形内切圆的半径___cm． 【变式17-2】（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式17-3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【题型18 切线的判定定理】 【例18】（25-26九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【变式18-1】（25-26九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【变式18-2】（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【变式18-3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，点A在以为直径的上． (1)求度数； (2)求证：是的切线． 【题型19 求正多边形的边长、角度】 【例19】（25-26九年级下·广西防城港·期中）如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【变式19-1】一个圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的边长为（　 　） A．2 B．4 C．4 D．8 【变式19-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式19-3】（2026·河北石家庄·二模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为（     ） A． B．2 C． D．1 【题型20 由半径和边心距求正多边形面积】 【例20】（2025·山东烟台·一模）如图，将边长为的正六边形铁丝框（面积记为），变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为），则的值为（    ）    A． B． C．1 D． 【变式20-1】（2025·上海奉贤·一模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径的长为1，如果用它的面积来近似估计的面积，那么的面积约是___． 【变式20-2】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，正六边形内接于，点P在弦上，若的半径为2，则阴影部分的面积是______． 【变式20-3】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【进阶拔高】 【题型21 垂径定理的应用】 【例21】（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【变式21-1】（2025九年级下·广东广州·专题练习）在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦）为，拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为．若点是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式21-2】（25-26九年级上·北京东城·期末）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一． 如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为点D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 解答下列问题： (1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 【变式21-3】（2025九年级上·全国·专题练习）一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度． (1)圆弧形桥拱的半径是______； (2)现有一艘宽，船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 【题型22 利用圆周角定理求角度】 【例22】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【变式22-1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式22-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 【变式22-3】（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【题型23 弧、弦、圆心角关系与证明综合】 【例23】（2026·山西朔州·三模）如图，为的内接三角形，且为的直径，E为的中点，连接，若． (1)求的度数； (2)若的切线交的延长线于点D，的半径为3，求线段的长度． 【变式23-1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【变式23-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式23-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【题型24 扇形与三角形组合图形面积计算】 【例24】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式24-1】（2026·河南开封·模拟预测）在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成东方特有的美学符号．下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为的中点，且弦，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O，若，求阴影部分的面积． 【变式24-2】（2022·宁夏银川·二模）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式24-3】（2026·河南平顶山·三模）如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 【题型25 坐标系中求圆的相关量】 【例25】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有____条． 【变式25-1】（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为______． 【变式25-2】（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式25-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 【题型26 利用圆心角与圆周角关系证明线段相等】 【例26】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求四边形的面积； (3)若点M，N分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，当为直径时，的周长有最大值，请直接写出的值． 【变式26-1】（2022·河北邯郸·三模）已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 【变式26-2】（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【变式26-3】（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 【题型27 圆锥的计算】 【例27】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 【变式27-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 【变式27-2】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【变式27-3】（2021·广西贵港·三模）如图，已知扇形的半径为9，点在上，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面直径为______． 【题型28 切线的判定与性质综合证明】 【例28】（2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式28-1】（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 【变式28-2】（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式28-3】（25-26九年级上·全国·阶段检测）为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． (1)如图1，求证：为圆O切线； (2)如图2，过点A作交于点D，求证； (3)在（2）的条件下，当时，求的长． 【题型29 切线长定理与三角形周长综合求值】 【例29】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为，求直角梯形的周长． 【变式29-1】（25-26九年级上·重庆开州·期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径． (1)若，的度数是多少？ (2)若，，求的周长． 【变式29-2】（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，正方形的边长为6，以为直径向正方形内作半圆O，与是半圆的切线，E，F为切点． （1）直线与，分别交于点P，Q，则的周长为____； （2）的周长为_____． 【变式29-3】（2025九年级·全国·专题练习）如下图，是外一点，分别和相切于点是上任意一点，过点作的切线，交于点．已知的周长为8，，点分别在的延长线上，与相切于点的长是方程的两根． (1)求的度数． (2)求的长． (3)求四边形的周长． 【题型30 由内切圆求三角形面积】 【例30】（25-26九年级·江苏苏州·自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是_____． 【变式30-1】（2025八年级上·上海青浦·专题练习）如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是______． 【变式30-2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，若等边△ABC的内切圆的半径是2，则△ABC的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式30-3】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是矩形，点P是△ABD的内切圆的圆心，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，则四边形PECF和矩形ABCD的面积之比等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．无法确定 【题型31 利用切线长定理求线段之间的数量关系】 【例31】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF． (1)求证：； (2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由． 【变式31-1】（24-25九年级上·重庆江北·期末）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【变式31-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）在中，，，是边上的点且与、都相切，切点分别为、．    (1)求的半径（用含的式子表示）； (2)如果为上的一个动点（不与、重合），过点作的切线分别与边、相交于、．连接、，有两个结论：①四边形的周长不变，②的度数不变．已知这两个结论只有一个正确，找出正确的结论并证明： (3)探究：在（2）的条件下，设，，，为求与之间的数量关系． 【变式31-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）探究问题： (1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论． (2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径． (3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径． 【题型32 坐标系中直线与圆的位置关系判定】 【例32】（25-26九年级上·全国·单元测试）平面直角坐标系中有点，以为圆心，为半径画圆，在同一坐标系中直线与的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上情况都有可能 【变式32-1】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作，下列判断正确的是（    ） A．与轴相交 B．与轴相切 C．点在外 D．点在内 【变式32-2】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)经过A、B、C三点，则点M的坐标是　　； (2)直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 【变式32-3】（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点在以半径为3的上，连接，过点作，与相交于点（其中点、、按逆时针方向排列），连接． (1)、、三点如图中位置，且时，________； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，，当时，求证：直线为的切线． 【题型33 平移直线使其与圆相切求平移距离】 【例33】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【变式33-1】（2026·广东广州·二模）如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【变式33-2】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【变式33-3】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（    ）． A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为 【题型34 切线与勾股定理综合求线段长】 【例34】（2025·四川自贡·模拟预测）如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【变式34-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，半径为1的与直线l相切于点A，C为上的一点，于点B，则的最大值是__． 【变式34-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【变式34-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【题型35 内心与角平分线综合求角度】 【例35】（25-26九年级下·安徽合肥·阶段检测）已知：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC． 求证：（1）DI＝DB； （2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求DI的长． 【变式35-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，为三角形三条角平分线的交点，则的长为_____． 【变式35-2】如图所示，中角平分线与，的外角平分线交于一点，为的内心（三个内角角平分线的交点），交的外接圆于点，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【变式35-3】（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是________________（把正确结论的序号都填上）． 【题型36 作正多边形】 【例36】如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【变式36-1】（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【变式36-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）(1)如图，EF是⊙O的直径，请仅用尺规作出该圆的内接正方形ABCD，要求所作正方形的一组对边AD、BC垂直于EF见示意图；不写作法，但须保留作图痕迹； (2)连接EA、EB，求出、的度数．       【变式36-3】（25-26九年级·全国·单元测试）如图，已知． （1）用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．      【题型37 正多边形与圆综合求边心距】 【例37】（25-26九年级上·青海西宁·阶段检测）如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积． 【变式37-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 【变式37-2】（2024·北京·三模）半径为1的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为（    ） A． B． C． D． 【变式37-3】（2025·上海金山·二模）以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，正边形的边心距为直角三角形的斜边，那么的值可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．12 【创新思辨】 【题型38 动点问题中圆的相关量最值】 【例38】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，的半径为6，点，在上，为内一点，，，垂足为，则的最小值为_______． 【变式38-1】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为______． 【变式38-2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 【变式38-3】（2026·河南·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为4的圆分别与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上一动点，线段于点，线段长度的最小值为_________，最大值为________． 【题型39 垂径定理与折叠综合求值】 【例39】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为________． 【变式39-1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为，如果直线与⊙O相切，那么的值为________． 【变式39-2】（2025·河北·模拟预测）如图1，扇形AOB中，，，点在半径上，连接．把沿翻折，点的对称点为点． (1)当点Q刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为点H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系． 【变式39-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 【题型40 圆内接四边形与旋转综合】 【例40】（2025·广东中山·三模）如图，为圆的内接三角形，，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上，此时旋转角大小为_________° 【变式40-1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，点O为的中点，将绕着点O旋转，得到线段（点D不与点C、点B重合），连接，则为_______________度． 【变式40-2】（2025·贵州毕节·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，绕点旋转得到． (1)求证：点，，三点共线； (2)若，的半径为5，求的长． 【变式40-3】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图①，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接、、．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． 证明过程缺失 请你补全余下的证明过程． 【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． （1）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）若的半径为，则四边形周长的最大值为_____ 【题型41 含参数的圆中角度范围探究】 【例41】（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 【变式41-1】（2026·浙江·一模）如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式41-2】（2022·湖北武汉·一模）在⊙O中，弦BD与弦CE相交于点F，∠DFC=105°，，延长EC至点A，连接DA，设∠A=α，则α所在范围可能是（    ） A．12°＜α＜16° B．15°＜α＜18° C．17°＜α＜20° D．19°＜α＜22° 【变式41-3】（2026·江苏南京·三模）如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧上所有的点都落在的边界及内部，则弧所对的圆心角的取值范围是____________． 【题型42 某点的弧形运动路径长度】 【例42】（2026·福建厦门·三模）如图，圆形铁圈的直径，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等．先将滑杆的左端套在处，再将整根滑杆沿着铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点处，在此过程中滑杆的中点移动的路径长为________． 【变式42-1】（2026·广东广州·二模）如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 【变式42-2】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B顺时针旋转至①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至②位置……以此类推，这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和为（   ） A． B． C． D． 【变式42-3】（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在中，，，点M在以为直径的半圆O上从点A运动到点B时停止，连接，点N是的中点，则点N的运动路径长为_____________． 【题型43 扇形面积与动点路径综合问题】 【例43】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 【变式43-1】（2026·河南周口·二模）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（   ） A．2π B．3π C．4π D． 【变式43-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式43-3】（2025·江苏盐城·二模）如图，两个大小完全相同的直角三角板、，已知，，平分交于点G，M为边的中点．起初边放置在上，点E与点C重合，后拖动三角板，点E沿的延长线方向滑至处，点D沿方向随之滑至C处，则运动中线段所扫过的图形面积为___________________． 【题型44 动点问题中切线长的最值探究】 【例44】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在Rt中，，，以点C为圆心，2为半径作，过上的动点P作的切线，，过劣弧上一点Q作的另一条切线分别交，于点M，N，则周长的最小值为________． 【变式44-1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为_________． 【变式44-2】如图，矩形中，，点E是边上一动点，于点G，连接并延长交于点F，则的最大值为___________． 【变式44-3】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，以边的中点为圆心作半圆，使与半圆相切，点分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【题型45 格点中切线综合】 【例45】（2026·江苏泰州·二模）如图，将的正方形方格纸放在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，以为直径作，过轴上一点，向引两条切线，若两个切点都是格点，则点坐标为_______． 【变式45-1】（2026·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上． （1）线段的长为______； （2）直线与的外接圆相切于点P，点M在上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【变式45-2】（2025·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B在格点上，点C是小正方形的中心，与直线l相切于点T．以点G为圆心的圆经过点A，B，并且与直线l相切． （Ⅰ）直线与的位置关系为______（填“平行”“相交但不垂直”“垂直”）； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点G，并简要说明点G的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【变式45-3】（2026·江西吉安·二模）如图，在的正方形网格中，线段是的半径，为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中找到格点，使得是的切线． (2)如图2，在上作点，使得是等边三角形． 【题型46 与切线有关的定值问题】 【例46】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，的直径的长度为定值a，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于点D，C两点，设，，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【变式46-1】（24-25九年级上·云南西双版纳·期末）如图，四边形内接于，对角线平分，是的直径． (1)求证：； (2)探究的值是否为一个定值？若是，求出这个定值若不是，请说明理由． (提示：将、、转化到同一个三角形中) 【变式46-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，是边上一点，过、、三点，． (1)求证：直线是的切线； (2)如果， ①若的半径为，求的长； ②试问的值是否为定值？若是，直接写出这个比值，若不是，请说明理由． 【变式46-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 【题型47 切线长定理与圆内接四边形综合】 【例47】（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【变式47-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的切线，为切点，点在上．若，则和的度数和为______． 【变式47-2】（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）自然是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一．如图，已知为的外接圆，直径，弦，为延长线上一点，的平分线交于点，交于点，连结，，． (1)求的度数； (2)若，求证：为的切线； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长 【变式47-3】（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断： （1）；（2）； （3）；（4）． 则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型48 正多边形与几何变换综合】 【例48】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． (1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； (2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； (3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 【变式48-1】如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（  ）    A． B． C． D． 【变式48-2】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式48-3】（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的周长． 【题型49 圆外切四边形】 【例49】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【变式49-1】（25-26九年级下·全国·课后作业）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为_________   【变式49-2】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为______．    【变式49-3】阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形． ∴．      （1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r； （2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值. 【题型50 切线与函数综合】 【例50】（2025·广东·模拟预测）将一张边长为4的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把正方形纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点P在边上，过点P作的垂线交的延长线于点H． 【知识技能】 （1）如图1，若点H落在边上，求证：是等边三角形． 【数学理解】 （2）如图2，设，，试求关于的函数解析式． 【拓展探索】 （3）如图3，为的外接圆，若与边相切，求的长． 【变式50-1】（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）在△ABC中，∠BAC=90°，，AB=AC=，圆的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设OB=x，△AOC的面积为y. （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）以点O为圆心，BO长为半径作圆，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积. 【变式50-2】已知：如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D． （1）求B、C两点的坐标； （2）求直线CD的函数解析式； （3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长． 试探究：当点E运动到什么位置时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？ 【变式50-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为（﹣2，0）． （1）求线段AD所在直线的函数表达式； （2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A⇒D⇒C⇒B⇒A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒、求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．    【题型51 切线与弧长综合求解】 【例51】（24-25九年级下·上海徐汇·阶段检测）2025年3月21日“神舟”十九号航天员乘组圆满完成第3次出舱任务，如图，当“神舟”十九号运行到地球表面点的正上方的点处时，从点能直接看到的地球表面最远的点记为点，已知，，，则圆心角所对的弧长约为________________（结果保留）． 【变式51-1】（2025九年级下·江苏南京·专题练习）如图，内接于， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求弦所对的弧长； (3)在（2）的条件下，点C在优弧上运动，是否存在点C，使点O到弦的距离为？若有，请直接写出的长；若没有，请说明理由． 【变式51-2】（2025·河北张家口·二模）如图，以为圆心，为半径的圆与轴交于点，在上，． （1）求的度数； （2）为轴正半轴上一点，且，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； （3）有一动点从点出发，在上按顺时针方向运动一周，当时，求动点所经过的弧长，并写出此时点的坐标． 【变式51-3】如图，是的直径，点在线段的延长线上，且，点在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若为圆上任一动点，的半径为时，当弧长为 时，四边形为菱形，当弧长为 时，四边形为矩形． 【题型52 切线与扇形面积综合求解】 【例52】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求阴影部分的面积． 【变式52-1】（2025·云南昭通·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【变式52-2】（2026·江苏泰州·三模）已知是的直径，点为上一点，平分交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图（1）作出过点的的切线（其中圆规仅使用一次画弧写出简要的作图步骤，保留必要的作图痕迹）； (2)如图（2），设（1）中的交的延长线于点，连接，当时，求线段，与围成的图形的面积． 【变式52-3】（2026·山东日照·三模）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)的直径为20． ①当时，求的长度， ②若，求图中阴影部分的面积． 【题型53 三角形内切圆与外接圆综合】 【例53】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 【变式53-1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【变式53-2】如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为_____． 【变式53-3】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 圆的有关概念】 2 【题型2 点与圆的位置关系】 4 【题型3 求弦心距或弦长】 6 【题型4 利用垂径定理求半径】 10 【题型5 同弧或等弧所对的圆周角相等】 14 【题型6 直径所对的圆周角是直角】 17 【题型7 判断弧、弦、圆心角的对应关系】 20 【题型8 求圆内接四边形的对角】 23 【题型9 确定圆的条件】 26 【题型10 扇形弧长与面积的计算】 28 【题型11 判断直线与圆的位置关系】 30 【题型12 根据直线与圆的位置关系确定半径或距离的取值范围】 32 【题型13 利用切线性质求角度】 34 【题型14 利用切线性质求线段长】 37 【题型15 由切线长定理直接求线段长度】 41 【题型16 三角形内心的有关应用】 44 【题型17 求三角形内切圆的半径】 47 【题型18 切线的判定定理】 51 【题型19 求正多边形的边长、角度】 54 【题型20 由半径和边心距求正多边形面积】 57 【进阶拔高】 60 【题型21 垂径定理的应用】 60 【题型22 利用圆周角定理求角度】 65 【题型23 弧、弦、圆心角关系与证明综合】 70 【题型24 扇形与三角形组合图形面积计算】 75 【题型25 坐标系中求圆的相关量】 80 【题型26 利用圆心角与圆周角关系证明线段相等】 84 【题型27 圆锥的计算】 91 【题型28 切线的判定与性质综合证明】 94 【题型29 切线长定理与三角形周长综合求值】 100 【题型30 由内切圆求三角形面积】 105 【题型31 利用切线长定理求线段之间的数量关系】 109 【题型32 坐标系中直线与圆的位置关系判定】 117 【题型33 平移直线使其与圆相切求平移距离】 122 【题型34 切线与勾股定理综合求线段长】 125 【题型35 内心与角平分线综合求角度】 130 【题型36 作正多边形】 135 【题型37 正多边形与圆综合求边心距】 139 【创新思辨】 143 【题型38 动点问题中圆的相关量最值】 143 【题型39 垂径定理与折叠综合求值】 149 【题型40 圆内接四边形与旋转综合】 155 【题型41 含参数的圆中角度范围探究】 162 【题型42 某点的弧形运动路径长度】 166 【题型43 扇形面积与动点路径综合问题】 171 【题型44 动点问题中切线长的最值探究】 176 【题型45 格点中切线综合】 181 【题型46 与切线有关的定值问题】 186 【题型47 切线长定理与圆内接四边形综合】 195 【题型48 正多边形与几何变换综合】 202 【题型49 圆外切四边形】 209 【题型50 切线与函数综合】 215 【题型51 切线与弧长综合求解】 223 【题型52 切线与扇形面积综合求解】 230 【题型53 三角形内切圆与外接圆综合】 239 【夯实基础】 【题型1 圆的有关概念】 【例1】（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【答案】①②③ 【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确； ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确； ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确； ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确； ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确． 综上所述，不正确的是①②③． 【变式1-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 【题型2 点与圆的位置关系】 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，利用“圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径”这一性质即可求解 【详解】解：∵点P在半径为2的上， ∴是的半径， ∴． 故选：B． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）的半径为，则点与的位置关系是___________． 【答案】点A在外 【分析】通过比较点A到圆心O的距离与圆的半径的大小关系来判断位置. 【详解】解：∵的半径为， ， ∴， 故点A在外. 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 【变式2-3】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 【题型3 求弦心距或弦长】 【例3】（2025·安徽·模拟预测）已知点C在的弦AB上，，则的弦心距为（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，解答本题的关键是求出的长．作于点D，则是的弦心距，根据垂径定理可以得到的长，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点D，如图所示， 则是的弦心距， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故选：B． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）半径等于2的圆中，垂直平分半径的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用垂径定理求值， 根据题意画出图形，则，求出即可求解； 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示： 则， ∴； ∴， 故选：D 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是的直径，弦于点，若，．    (1)求弦心距的长． (2)连接，求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出然后在中由勾股定理求出的长度即可； （2）先求解，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接．得到，    ∵弦于点，， ， ； （2）如图，连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，熟记垂径定理的含义是解本题的关键． 【变式3-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（　　） A．6 B．2 C．6或2 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】如图，分CD＝8和AB＝8这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得． 【详解】解：如图， ①若CD＝8， 则CF＝CD＝4， ∵OC＝OA＝5， ∴OF＝3， ∵EF＝1， ∴OE＝2， 则AE＝， ∴AB＝2AE＝； ②若AB＝8， 则AE＝AB＝4， ∵OA＝OC＝5， ∴OE＝3， ∵EF＝1， ∴OF＝4， 则CF＝3， ∴CD＝2CF＝6； 综上，另一弦长为6或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 【题型4 利用垂径定理求半径】 【例4】（24-25九年级下·湖南湘西·阶段检测）如图，圆O 的半径交于点 D，，则圆O的半径为（       ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先根据垂径定理求出的长，在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，    ∵于点D，， ∴， 在中，， ∴， ∴圆O的半径为． 故选：A． 【变式4-1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，延长交于点设的半径为证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：如图，连接，延长交于点T，设的半径为， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江·阶段检测）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是_____． 【答案】 【分析】根据题意可得，如图所示，连接，设的半径为，，则，在中运用勾股定理可得，则有，由为的直径，得到，在中，运用勾股定理列式，再因式分解求一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， 如图所示，连接， 设的半径为， ∴，则， ∴， 在中，， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧交于点， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的半径长是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了垂直作图，垂径定理，勾股定理的运用，因式分解求一元二次方程，掌握垂径定理与勾股定理的综合，解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理建立方程求解． 延长交于点，连接，可得，由垂径定理得到，则，设，则，再在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， 解得， ∴的半径为， 故答案为：． 【题型5 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例5】（2026·安徽淮南·一模）如图，内接于于点，连接，若，则的大小为___________． 【答案】/度 【分析】延长交于点，连接，由直径所对圆周角为直角得到，由同弧或等弧所对圆周角相等得到，根据直角三角形两锐角互余得到，由角的和差列式计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ∵是直径，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ． 【变式5-1】（2026·山东泰安·一模）如图，中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，，是上的点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握等弧所对的圆周角相等、圆内接四边形对角互补是解题关键．本题根据圆内接四边形对角互补可得度数，结合圆周角定理即可解决的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴，即：， ∵，则 ∴． 故答案为： ． 【题型6 直径所对的圆周角是直角】 【例6】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】（2026·海南三亚·模拟预测）以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及平角的定义. 根据量角器读数确定圆心角的度数，利用互补关系求出，再根据圆周角定理计算的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，为的直径 点在上 由题意得： 与分别是所对的圆周角和圆心角 ． 【变式6-2】（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理以及逆定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是得到为圆的直径． 作辅助线构造等边三角形，连接，，根据可得为圆的直径，根据点和点可求解的长度，可得与的长度，由此可得为等边三角形，可求解的度数，由此可解． 【详解】解：连接，，如图， ∵， ∴为圆的直径， ∵点和点，即，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：D ． 【题型7 判断弧、弦、圆心角的对应关系】 【例7】（25-26九年级上·福建·期末）如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【答案】 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 【变式7-1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，则的度数为_____． 【答案】/72度 【分析】本题主要考查了弧与弦的关系，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握同加油或等圆中，等弧所对弦相等解题的关键．由题意得出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【变式7-3】（2026·安徽安庆·二模）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)BE＝ 【分析】本题考查了圆的相关性质和等腰三角形的性质． （1）由垂直关系得出，再由为的中点得出，从而，故； （2）由结合，可得出的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 为的中点， ， ，‘ ， ； （2）解：为的中点，， ， ． ，由（1）知， 在中，． 在中，由等面积法，得， ， ． 【题型8 求圆内接四边形的对角】 【例8】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，点、、、分别在圆上， ∴， ∵， ∴ 【变式8-1】（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 【答案】 /126度 【分析】连接，由直径所对的圆周角为直角得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 【变式8-2】（25-26九年级上·江苏扬州·周测）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，若，，则的度数为 _____． 【答案】 【分析】由的内接四边形对角互补得，求出和，再根据三角形外角的性质求出和． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵四边形内接于一圆， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． （1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据角平分线的定义得出，再根据圆周角定理推论即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴． 【题型9 确定圆的条件】 【例9】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 【变式9-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________． 【答案】（2，0） 【分析】连接AC，作AC的垂直平分线，交坐标轴于D，D即为圆心，根据图形即可得出点的坐标． 【详解】解：如图所示：D（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题主要考查垂径定理、坐标与图形性质，关键是根据题意确定出圆心D的位置． 【变式9-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 【变式9-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【题型10 扇形弧长与面积的计算】 【例10】（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【答案】 【分析】连接，设，的半径为，根据弧长公式得到，由圆周角定理和已知条件推出，据此由弧长公式可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，的半径为， ∵的长度为， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴的长度是． 【变式10-1】（2026·山西临汾·三模）某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（     ）      A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】利用弧长公式（n为弧对应的圆心角度数，r为弧所在圆的半径）来计算和的长，相减即可求解． 【详解】解：米， 米， 隔离带外侧的长比内侧的长多米． 【变式10-2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图所示，半径为1的圆中，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据扇形的面积公式代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴根据扇形面积公式：， 故选：C． 【变式10-3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 图中阴影部分的面积为：． 【题型11 判断直线与圆的位置关系】 【例11】（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 【变式11-1】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断直线与圆位置关系． 【详解】解：∵半径为，圆心O到直线的距离为，， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即直线与相交． 【变式11-2】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 【变式11-3】（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）已知平面内有和点．若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为___________． 【答案】相交或相切 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 根据点A和点B到圆心O的距离与半径的比较，判断点A和点B与圆的位置关系，从而推断直线与圆的位置关系． 【详解】∵的半径为，线段，线段， ∴点A在以O为圆心长为半径的圆上，点B在以O为圆心长为半径的上 当时，如图1所示，由知，直线与相切； 当与不垂直时，如图2所示，过点O作于点D，则，所以直线与相交； ∴直线与的位置关系为相交或相切． 故答案为：相交或相切． 【题型12 根据直线与圆的位置关系确定半径或距离的取值范围】 【例12】（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查直线与圆的关系，根据直线与圆相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径得出，再根据r为整数且，即可得出答案． 【详解】∵直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离．已知， ∴，即， 又∵r为整数且， ∴r可取1，2，3． 故答案为：3 【变式12-1】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 【变式12-2】（2025·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 【变式12-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在C中，，点O在内部，以O为圆心，长为半径的圆与直线相离，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，勾股定理，设恰好与直线相切时，切点为E，过点C作于D，连接，可由勾股定理得到的长，利用等面积法可得的长，再求出恰好与直线相切时的长的最小值即可得到答案． 【详解】解：设恰好与直线相切时，切点为E，过点C作于D，连接， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当点E为点D重合，且O、C、D三点共线时，有最小值，最小值为， ∴当与直线相离，的取值范围是， 故答案为：． 【题型13 利用切线性质求角度】 【例13】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，与相切，切点为点A，交于点C，点D在上，若的度数是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据切线的性质求出的度数，由圆周角定理即可解答．本题考查了圆的切线性质、圆心角和圆周角的关系及解直角三角形的知识，熟记切线的性质是解题的关键． 【详解】解：切于点， ， ， ， ， 故选：D． 【变式13-1】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠OBC的度数为______°，∠P的度数为______°． 【答案】 29 32 【分析】设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP=90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC=180°-∠A=61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD=∠ODC=61°，求出∠DOC=58°，由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，如图所示： ∵PC是⊙O的切线， ∴PC⊥OC， ∴∠OCP=90°， ∵∠A=119°， ∴∠ODC=180°-∠A=61°， ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC=61°， ∴∠DOC=180°-2×61°=58°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=∠DOC=29°， ∴∠P=90°-∠DOC=32°； 故答案为：29，32． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【变式13-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为(　　) A．40° B．35° C．30° D．45° 【答案】C 【分析】连接OC，由的度数等于120°知∠AOC＝60°，根据OC＝OA可得△AOC是等边三角形，从而知∠ACO＝60°，再根据PC切⊙O于C知∠PCO＝90°，据此可得答案． 【详解】如图，连接OC， ∵的度数等于120°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠AOC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∵PC切⊙O于C， ∴∠PCO＝90°， ∴∠ACP＝30°， 故选C． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径. 【变式13-3】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，切于B，若，则的度数是_____． 【答案】/60度 【分析】此题考查了切线的性质，连接，由切线的性质知是直角三角形，可求出的度数，由于是等腰的外角，由此可求出的度数，已知和互余，即可得解，解题的关键是熟练掌握切线性质，直角三角形性质和三角形外角性质及其应用． 【详解】如图，连接， ∵与相切于， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型14 利用切线性质求线段长】 【例14】（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的切线，是切点，连接，．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键． 连接，根据切线的性质得到，再判断为等腰直角三角形，从而得到，最后利用勾股定理求的长即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线，是切点， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，． 故答案为：． 【变式14-1】（25-26九年级上·重庆彭水·期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，，则的长度为（      ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接 ，根据圆周角定理可得 ，再由CD是⊙O的切线，可得，从而，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵AB是⊙O的直径，∠A=30°， ∴ ， ∵CD是⊙O的切线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键． 【变式14-2】（2025·重庆·三模）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点．连接．根据切线的定义得出，由含30度直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，证明，根据等腰三角形的性质和判定即可求得答案． 【详解】解：如图，连接． 是的切线， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式14-3】（2025·河南周口·一模）如图，是的直径，是的切线，连接 交 于点 D，连接．若，，则的长度为___________ 【答案】 【分析】连接， 由， 证明是等边三角形， 则， 所以， 由是的直径， 得， 则 求得，根据切线的性质证明， 则，所以，于是得到问题的答案. 【详解】连接， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∵是的直径， ， ， ， ， ∵与相切于点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查圆周角定理、切线的性质定理、等边三角形的判定、勾股定理、“等角对等边”等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键. 【题型15 由切线长定理直接求线段长度】 【例15】（2025·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 【变式15-1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线的性质可得，，进而可证明，则，使用三角函数计算出的值即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 【变式15-2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，，再根据三角形周长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：∵、分别切于、两点， ∴， 同理可得：， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选A． 【变式15-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键， 利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于2，可求得，从而利用勾股定理可求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D， ∴，， ∵的周长为2，即， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． 【题型16 三角形内心的有关应用】 【例16】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点M即所求： 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键． 如图：作的角平分线交于M，点M即为所求． 【详解】略 【变式16-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为________． 【答案】/26度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点是的内心， 平分， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ， ， 故答案为：． 【变式16-2】（2025·湖南株洲·三模）如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以_____为半径，可作的内切圆． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内心的定义，等腰三角形的性质，三角形内接圆，根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一可得，进而可得当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 【详解】解：根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 故答案为：． 【变式16-3】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】连接，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接， 点I为的内心， 是的平分线， ， 由平移得：， ， ， ， 同理可得， ， 即图中阴影部分的周长为6． 【题型17 求三角形内切圆的半径】 【例17】（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设的三边分别与相切于点、、，连接，，，，，，然后利用等面积法进行计算即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴， 设的三边分别与相切于点D、E、F，连接，，，，，， ∴，，， 设的半径为， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ， ∴． 【变式17-1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）若三角形的面积是24cm2，周长是24cm，则这个三角形内切圆的半径___cm． 【答案】2 【分析】根据三角形的面积三角形的周长内切圆的半径，即可求解． 【详解】解：如图所示：设三角形ABC面积为S，周长为x，半径为r, ∵⊙O是△ABC的内切圆，OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC， ∴OD＝OF＝OE＝r， ∴S＝AC•r＋AB•r＋BC•r＝（AC＋AB＋BC）r＝xr． ∵三角形的面积是24cm2，周长是24cm，这个三角形的内切圆的半径是， 则， 解得：． 故答案是：2． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的面积，将三角形分割得出面积与半径之间的关系是解题关键． 【变式17-2】（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴， 解得：， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：D． 【变式17-3】（2025九年级上·全国·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据切线长定理和勾股定理可得，进而可求内切圆的半径．本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质． 【详解】解：如图， 根据题意，得 ， 设圆O是等腰的内切圆，切圆于点D，切圆于点E， 连接， ∴， ∴， ∴， 根据切线长定理可知： ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ∴内切圆O的半径为． 故选：C． 【题型18 切线的判定定理】 【例18】（25-26九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【变式18-1】（25-26九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 【变式18-2】（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 【详解】略 【变式18-3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，点A在以为直径的上． (1)求度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接， ，， ， ， ， ，即， 又 是半径， 是的切线． 【分析】本题考查圆周角定理和切线的判定定理，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“直径所对的圆周角是直角”得，计算即可求解； （2）连接，根据角之间的关系，易求，根据切线的判定定理即可求证． 【详解】（1）解： 为的直径， ，即是直角三角形， ， ； （2）略 【题型19 求正多边形的边长、角度】 【例19】（25-26九年级下·广西防城港·期中）如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据正边形的中心角公式求出的值即可． 【详解】解：∵是的圆周角，是的圆心角，且， ∴． ∵是的内接正边形的一边， ∴， 解得． 【变式19-1】一个圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的边长为（　 　） A．2 B．4 C．4 D．8 【答案】B 【分析】圆内接正六边形的边长为4，即圆的半径是4，则圆的内接正方形的对角线长是8，进而就可求解． 【详解】解：∵圆内接正六边形的边长是4， ∴圆的半径为4． 那么直径为8．即圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于8． ∴圆的内接正方形的边长是4． 故选B． 【点睛】本题考查正多边形与圆，关键是利用知识点：圆内接正六边形的边长和圆的半径相等；圆的内接正方形的对角线长为圆的直径解答． 【变式19-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正五边形的性质，进行计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式19-3】（2026·河北石家庄·二模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为（     ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】连接，根据正六边形的性质可得为等边三角形，再结合切线的性质可得，从而得到，从而得到正六边形的边长，同理得到正六边形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的边长为， 同理正六边形的边长为， ……， 正六边形的边长为． 【题型20 由半径和边心距求正多边形面积】 【例20】（2025·山东烟台·一模）如图，将边长为的正六边形铁丝框（面积记为），变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为），则的值为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质的长的长，根据扇形面积公式与弧长公式推得扇形面积可表示为弧长半径，求出；再由正六边形性质，利用等边三角形性质、含的直角三角形性质及勾股定理求出相应线段长度，表示出，作比即可得结果． 【详解】解：，， ， 由题中正六边形变为扇形过程可知：的长度， ， 在正六边形中，，如图所示：    由正六边形性质可知是等边三角形， 在中，，，则， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式、弧长公式、等边三角形性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键． 【变式20-1】（2025·上海奉贤·一模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径的长为1，如果用它的面积来近似估计的面积，那么的面积约是___． 【答案】 【分析】设为正十二边形的边，连接，过作于，由正十二边形的性质得出，由直角三角形的性质得出，求出的面积，即可得出答案． 【详解】解：设为正十二边形的边，连接，过作于，如图所示： ， 的面积 正十二边形的面积， 的面积正十二边形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正十二边形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握正十二边形的性质是解题的关键． 【变式20-2】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，正六边形内接于，点P在弦上，若的半径为2，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定．连接，，，证明四边形是矩形，推出阴影部分的面积为矩形的一半，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，， 依题意可知，，， ∴四边形是平行四边形， ，， ，， ∴四边形是矩形， ∴阴影部分的面积为矩形的一半， ∴与经过点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式20-3】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解的长度，再根据直径所对的圆周角为直角，可求解的长度，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接，如图， 则有，且， ∴为等边三角形， ∴， ∵的直径为12，即， 在中，， ∴的面积是 ． 【进阶拔高】 【题型21 垂径定理的应用】 【例21】（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 【变式21-1】（2025九年级下·广东广州·专题练习）在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦）为，拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为．若点是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理得，点D在上，设，则，根据勾股定理得，即可得关于r的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得， ∵拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为， ∴，，，， ∴点D在上， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴该圆弧的半径是． 【变式21-2】（25-26九年级上·北京东城·期末）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一． 如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为点D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 解答下列问题： (1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1) 月洞门的设计图如图3所示， (2)的半径长为 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理与勾股定理，掌握好尺规作图的规范是解题关键． （1）按照题意进行作图即可； （2）连接，设的半径为，由（1）可知，，垂直平分，在直角中，使用勾股定理构造方程，并解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设的半径为，则，， 由题意可知，垂直平分， ∴，， 在直角中，， ∴， 解得，． 答：的半径长为． 【变式21-3】（2025九年级上·全国·专题练习）一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度． (1)圆弧形桥拱的半径是______； (2)现有一艘宽，船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 【答案】(1) (2)能顺利通过 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用． （1）设拱桥所在圆的圆心为点，过点作于点，连接，在中用勾股定理求的长； （2）设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，连接，在中，用勾股定理求出，再求的长，比较与的大小，即可求解 【详解】（1）如图，点是桥拱所在圆的圆心．过点作于点，连接， 由垂径定理知，是的中点， 设半径是， 由勾股定理，得， 即 解得 桥拱的半径为 故答案为：． （2）这艘轮船能顺利通过．理由如下： 如图，设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，，连接 由（1），得 在中， ， 这艘轮船能顺利通过． 【题型22 利用圆周角定理求角度】 【例22】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 【变式22-1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式22-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】连接，，，，根据圆周角定理得到，，，根据角的和差及等量代换，三角形外角的性质求出，最后利用等腰三角形的性质求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【变式22-3】（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，进而得到，再利用圆周角定理可得结论； （2）连接，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型23 弧、弦、圆心角关系与证明综合】 【例23】（2026·山西朔州·三模）如图，为的内接三角形，且为的直径，E为的中点，连接，若． (1)求的度数； (2)若的切线交的延长线于点D，的半径为3，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，根据弧、圆心角的关系求出，最后根据圆周角定理求解即可； （2）根据切线的性质得出，然后在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的切线， ∴，即， 又，， ∴． 【变式23-1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 【变式23-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】通过角平分线性质定理证明，即可判断①；然后连接，证明，即可判断②③． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； 连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，故②、③正确； 现有条件不足以判断④，故④错误， ∴正确的有3个． 【变式23-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵，点G恰好是的中点 ∴ ∴， ∴； (2)2 【分析】（1）根据同角的余角相等以及直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）连接，连接并延长交于点，先得到，再由垂径定理的推论得到，利用三线合一得到，设，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴ ∵经过圆心， ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴． 【题型24 扇形与三角形组合图形面积计算】 【例24】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 【变式24-1】（2026·河南开封·模拟预测）在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成东方特有的美学符号．下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为的中点，且弦，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）连接，由、，可知为等腰直角三角形，得，半径．则圆心角，分别计算：扇形面积、面积，进而即可计算阴影的面积． 【详解】（1）解：略 （2）解：由题意得，（1）中所作垂直平分线与的交点为圆心O， 连接，如图， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【变式24-2】（2022·宁夏银川·二模）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，易求得⊙O的半径为，扇形的圆心角的度数，根据三角函数求出，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ⊙O的半径为，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式24-3】（2026·河南平顶山·三模）如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】由题意，通过导角计算可证明，则为等边三角形，则可求相关的边长和角度，根据进行计算即可． 【详解】解：连接，作交于， 由题意， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，‘ 则 ． 【题型25 坐标系中求圆的相关量】 【例25】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有____条． 【答案】4 【分析】根据直线必过点，求出最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是圆的直径，得出弦的取值范围，再根据弦的长为整数，即可得出答案． 【详解】解：当时， ∴直线必过点， 最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是是直径， 当弦最短时， 连接，， 则， 点的坐标是， ， 以原点为圆心的圆过点， 圆的半径为13， ， ， ， 的长的最小值为24； 当弦最长时，则， ∴ ∵弦的长为整数 ∴或25或 26（其中是25的有两条）， ∴弦的长为整数的有4条， 故答案为：4． 【点睛】此题考查的是垂径定理，一次函数图象，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出最短、最长时的值． 【变式25-1】（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为______． 【答案】5 【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果． 【详解】解：如图，连接，    为直角，且点都在圆上， 为直径，圆心P在上， ， ， ，， ， ， 故答案为：5． 【变式25-2】（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理的推论得到为的直径，则点为的中点，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，得到点、的坐标，即可得到点坐标． 【详解】解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， 点为的中点， 在中，，， ， ， ，， 点为的中点， ， 故选：B． 【变式25-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 【题型26 利用圆心角与圆周角关系证明线段相等】 【例26】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求四边形的面积； (3)若点M，N分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，当为直径时，的周长有最大值，请直接写出的值． 【答案】(1)是等边三角形 ，， ∴在中，， ． 是的平分线； (2) (3) 【分析】（1）根据是等边三角形，得角相等，进而得到弧与弧相等，结合圆周角定理即可证明平分； （2）先利用旋转法将绕点顺时针旋转得到，可推导出，，进而将四边形的面积转化为等边的面积，代入长度计算即可； （3）当为直径时，先确定点位置及各相关线段、角度的数值，再利用对称法将的三边转化为共线的线段，找到周长最大值对应的情况，结合等边三角形边长计算结果即可． 【详解】（1）略； （2）延长到点，使，连接， ∵四边形内接于， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设边上的高为， ∴在， ∴等边三角形面积公式为，，代入得： ； （3）当为直径时，，作点关于的对称点，关于的对称点，则： ，， 的周长， ∵是的内接等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∴， 由对称性得：，，， ∴，， ∴， 所以周长的最大值． 【变式26-1】（2022·河北邯郸·三模）已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 【答案】(1)证明：∵是直径, ∴. ∵， ∴(相等的圆周角所对的弦相等)， 在和中，, ∴； (2) (3)①   ② 【详解】（1）略 （2）解：如图，过D作于H， ∵半圆O中，直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：①如图2，连接，，，过M作于E． ∵直径，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴当最大时，最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，最大，如图3． ∵是等边三角形，M是的中点， ∴， ∴，即点M到的距离的最小值是； ②如图4． 由①知，， ∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 当C与A重合时，， 同理，当D与B重合时，， ∴, ∴点M的运动路径长为 ． 【变式26-2】（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． 【变式26-3】（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，再结合圆周角定理即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，则为等腰直角三角形，进而可得，作于点，延长交 于点，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 作于点，延长交 于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， ∵， ∴ 解得： ∴ 【题型27 圆锥的计算】 【例27】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，扇形与圆锥的关系，掌握弧长公式是解题关键． 先构造直角三角形求出扇形圆心角，再利用“扇形弧长等于圆锥底面周长”的等量关系列方程，解出底面半径． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意，，， ，， ， 扇形的圆心角，半径， ， 设底面圆的半径为，则， 解得，即圆锥的底面半径为． 故答案为：． 【变式27-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 【变式27-2】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 【变式27-3】（2021·广西贵港·三模）如图，已知扇形的半径为9，点在上，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面直径为______． 【答案】5 【分析】连接，能得的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解． 【详解】解：连接交于． 由折叠的知识可得：，， ， ， ， ，， 设圆锥的底面半径为，母线长为， ， ． ∴圆锥的底面直径为 故答案为：． 【点睛】本题运用了弧长公式和轴对称的性质以及解三角形、圆锥的侧面展开图等知识，关键是运用了转化的数学思想． 【题型28 切线的判定与性质综合证明】 【例28】（2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 【变式28-1】（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 【答案】/60度 【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题． 【详解】解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接， 直径是直角边的两倍， ， ， 垂直平分， ， ， 为半径，， 为切线， 为切线， ， ； 故答案为：． 【变式28-2】（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2)． 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 【变式28-3】（25-26九年级上·全国·阶段检测）为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． (1)如图1，求证：为圆O切线； (2)如图2，过点A作交于点D，求证； (3)在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵切圆O于点C， ∴， ∴ ∴为圆O切线； (2) 证明：如图，连接， ∵为圆O直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）连接，，根据垂径定理得出，进而得出，根据等边对等角得出，，由切线的性质得出，等量代换即可得出结论； （2）由为圆O直径，得出，进而得出，可以判定，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论；， （3）先求出半径，根据勾股定理得出，由，得出，进而得出，设，则，，根据，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，， ∵， ∴， ∴半径， 在中，， ∵， ∴，    在中，， 设，则， ， ∵O，F分别是和的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质与判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，有一定的综合性，掌握这些知识点是解题的关键． 【题型29 切线长定理与三角形周长综合求值】 【例29】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为，求直角梯形的周长． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质、圆的切线的判定得出、均为圆O的切线，再根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长，最后在Rt中，利用勾股定理可求出的长，从而可得出答案． 【详解】设正方形的边长为a 则， 由圆的切线的判定得：、均为圆O的切线 由切线长定理得： 的周长为 ，即 ，即 ，解得 设，则， 在Rt中，，即 解得 ， 则直角梯形周长为： 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质、圆的切线的判定、切线长定理、勾股定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出、均为圆O的切线是解题关键 【变式29-1】（25-26九年级上·重庆开州·期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径． (1)若，的度数是多少？ (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）先利用切线的性质得到，则利用互余计算出的度数，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数； （2）连接，先根据直角三角形的性质求得，再根据切线的性质得到，，推出是等边三角形，进而可得到答案． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴，即． ∴． ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理：， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为． 【变式29-2】（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，正方形的边长为6，以为直径向正方形内作半圆O，与是半圆的切线，E，F为切点． （1）直线与，分别交于点P，Q，则的周长为____； （2）的周长为_____． 【答案】 12 18 【分析】根据切线的判定以及切线长定理解答即可． 【详解】解：在正方形中，，半圆是以为直径的半圆， ∴直线和直线都是半圆的切线． 又∵与是半圆的切线， ∴，，． 又∵，， ∴的周长 ， 的周长 ． 【变式29-3】（2025九年级·全国·专题练习）如下图，是外一点，分别和相切于点是上任意一点，过点作的切线，交于点．已知的周长为8，，点分别在的延长线上，与相切于点的长是方程的两根． (1)求的度数． (2)求的长． (3)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，根据切线长定理和切线定理可推出，从而可求出，在四边形中，利用四边形内角和定理即可求出； （2）根据切线长定理可得到，从而可得到，根据条件即可求出的长； （3）根据切线长定理可得到，从而得到，然后根据根与系数的关系求出的值，就可解决问题． 【详解】（1）解：连接，如图． 分别和相切于点， ． 又， ，， ， ， ． （2）解：分别和相切于点， ， ． ， ． （3）解：分别和相切于点， ， ． 的长是方程的两根， ， ， 四边形的周长为． 【点睛】本题考查了切线长定理和切线的性质、四边形的内角和定理、根与系数的关系等知识，灵活运用切线的性质和切线长定理是解题的关键． 【题型30 由内切圆求三角形面积】 【例30】（25-26九年级·江苏苏州·自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是_____． 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：，根据切线长定理可得：，即有，问题随之得解． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：， 又∵根据切线长定理可得：， ∴， ∴． 又∵内切圆的面积是， ∴它们的比是． 故答案是：． 【点睛】本题考查了切线长定理、内切圆的性质等知识，根据内切圆得出，是解答本题关键． 【变式30-1】（2025八年级上·上海青浦·专题练习）如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是______． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．连接，过点作于点，于点，可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为三角形内心，， ， ． 故答案为：30． 【变式30-2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，若等边△ABC的内切圆的半径是2，则△ABC的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接连接，，并延长交于点，根据是等边的内切圆，求出，求出，根据勾股定理求出，同理求出，得到，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，，并延长交于点， 是等边的内切圆， ，， ， 由勾股定理得：， 同理， ， 是等边三角形，，，三点共线， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形的内切圆，勾股定理，含角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，并求出和的长． 【变式30-3】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形ABCD是矩形，点P是△ABD的内切圆的圆心，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，则四边形PECF和矩形ABCD的面积之比等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．无法确定 【答案】A 【分析】延长EP交AD于M，延长FP交AB于N，设AD＝a，AB＝b，BD＝c，⊙P的半径为r，利用平行线的性质得到PM⊥AD，PN⊥AB，再根据切线长定理得到PM＝PN＝r，根据直角三角形的内切圆半径的计算方法得到r＝，所以PE•PF＝ ，利用完全平方公式和平方差公式得到PE•PF＝ab，然后计算四边形PECF和矩形ABCD的面积之比． 【详解】解：延长EP交AD于M，延长FP交AB于N，如图，设AD＝a，AB＝b，BD＝c，⊙P的半径为r， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴PM⊥AD，PN⊥AB， ∵点P是△ABD的内切圆的圆心 ∴PM＝PN＝r， ∴r＝， ∴PF＝a﹣＝，PE＝b﹣＝， ∴PE•PF＝ ＝＝， 而a2+b2＝c2， ∴PE•PF＝＝ab， ∴四边形PECF和矩形ABCD的面积之比＝ab：ab＝1：2． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心是三角形内角平分线的交点．也考查了切线的性质和矩形的性质． 【题型31 利用切线长定理求线段之间的数量关系】 【例31】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF． (1)求证：； (2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1) 证明：连接OE，即有， ∵AM、DE是的切线， ∴，， 又∵， 在△AOD和△EOD中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， (2)， 理由：连接OC， ∵BC、CE是的切线， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 即， 在Rt△DOC中， ∵F是DC的中点， ∴． 【分析】（1）连接OE，由于AM、DE是的切线，， ,而，于是可证，从而有，根据圆周角定理有，那么，从而有； （2）连接OC，由（1）得，而，于是可得，再由（1）得，易证，从而可知是直角三角形，而F是斜边上的中点，于是． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半等知识，掌握圆的切线的性质是解答本题的关键． 【变式31-1】（24-25九年级上·重庆江北·期末）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【答案】(1) (2) 已知：四边形的四边，，，都于相切于G，F，E，H， 求证：， 证明：，和相切， ， 同理：，，， ， 即： 【分析】此题主要考查了新定义圆的外切四边形，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键． （1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论； （2）根据切线长定理即可得出结论； 【详解】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H， 猜想， （2）略 【变式31-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）在中，，，是边上的点且与、都相切，切点分别为、．    (1)求的半径（用含的式子表示）； (2)如果为上的一个动点（不与、重合），过点作的切线分别与边、相交于、．连接、，有两个结论：①四边形的周长不变，②的度数不变．已知这两个结论只有一个正确，找出正确的结论并证明： (3)探究：在（2）的条件下，设，，，为求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)②的结论正确， 理由如下： 连接、、， 由题意，、以及、与圆相切， 所以，，，， 而， ∴ (3) 【分析】（1）连接、、；构造正方形和直角三角形，利用勾股定理和正方形的性质解答； （2）连接、、；根据切线长定理和圆的半径相等，构造全等三角形，即，；得到相等的角，；进而得到 ； （3）根据切线长定理求得，根据勾股定理建立方程，化简后可得． 【详解】（1）解：连接、、，    是边上的点且与、都相切， ，， 又，且， 四边形为正方形， ， ； 又， 为等腰直角三角形， ，即的半径是； （2） 略 （3）解： ，，，则 ，，，， 所以， 由，可得， 【点睛】本题考查了切线的性质、和圆相关的正方形的性质、切线长定理以及结合切线长定理的点的存在性问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式31-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）探究问题： (1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论． (2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径． (3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径． 【答案】(1) 的周长， 证明：、分别切于、， ， 与为的切线， ， 同理得到， 的周长 ； (2)6cm (3)1或2 【分析】（1）根据切线长定理由、分别切于、得到，由于过点的切线分别交、于点、，再根据切线长定理得到，，然后根据三角形周长的定义得到的周长，用等线段代换后得到三角形的周长等于； （2）连接，，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论； （3）根据题意作出图形，设与射线、射线相切于，，与相切于，于是得到，连接，，，推出四边形是正方形，得到，设的半径为，根据切线长定理列方程即可得到结论；得到三角形的内切圆，根据勾股定理和三角形面积公式可得半径为1． 【详解】（1）解：略． （2）解：如图1所示，连接，， 是的切线， ， ， 的周长为， ， ， 的半径为； （3）解：如图2所示， 设与射线、射线相切于，，与相切于， 则， 连接，，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 设的半径为， ， ，， ， ， ， 即， ． 如图3所示，， ， 解得． 的半径为2或1． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，三角形的周长公式，正方形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型32 坐标系中直线与圆的位置关系判定】 【例32】（25-26九年级上·全国·单元测试）平面直角坐标系中有点，以为圆心，为半径画圆，在同一坐标系中直线与的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上情况都有可能 【答案】C 【分析】画出图形，由题可知AO长度为5，则该圆过原点，再由图可知A点到直线的距离小于AO. 【详解】解：如图，由A点坐标可求解AO=5，则圆过原点， A点到直线的距离为AB，由图可知AB＜AO，故直线与的位置关系是相交，故选择C. 【点睛】本题考查了圆和直线的位置关系. 【变式32-1】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作，下列判断正确的是（    ） A．与轴相交 B．与轴相切 C．点在外 D．点在内 【答案】C 【分析】此题主要考查了直线与圆和点与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点，根据点的坐标得到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系即可求出答案，熟练掌握运用直线与圆和点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵圆心， ∴到轴的距离是，到轴的距离是， ∵的半径为， ∴与轴相离，与轴相交，故选项错误； 由， 则点在外，故选项正确； 设， ∴， 则点在上，故选项错误； 故选：． 【变式32-2】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)经过A、B、C三点，则点M的坐标是　　； (2)直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)直线l与相交， 理由： 连接， ∵直线l经过点，且平行于y轴， ∴直线l交x轴于点，， ∴， ∵， ， ∴， 故直线l与相交． 【分析】本题主经考查了网络作图．熟练掌握垂径定理，勾股定理，直线和圆的位置关系，是解题的关键． （1）根据垂径定理推论，得弦的垂直平分线相交于一点M，点M即为圆心； （2）根据垂直x轴，求出的长，比较即得． 【详解】（1）解：如图， 经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为． 故答案为：． （2）略 【变式32-3】（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点在以半径为3的上，连接，过点作，与相交于点（其中点、、按逆时针方向排列），连接． (1)、、三点如图中位置，且时，________； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，，当时，求证：直线为的切线． 【答案】(1)45 (2)与相离，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据点和点坐标易得为等腰直角三角形，则，由于，所以当、、三点如图中位置时有，从而得出答案； （2）根据圆心到的距离即可得到答案； （3）由于，得出，则可得到，，然后根据“”判断，从而得出，再根据切线的判定定理可确定直线为的切线． 【详解】（1）解：点，点， ， 为等腰直角三角形， ， 当、、三点如图中位置，且时，， 故答案为：45； （2）解：与相离； 过作于， 由已知得， 在中，， ∴， ∴与相离； （3）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴直线为的切线． 【点睛】本题考查了圆的综合题，用到的知识点是切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理进行几何计算是本题的关键． 【题型33 平移直线使其与圆相切求平移距离】 【例33】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 【变式33-1】（2026·广东广州·二模）如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 【变式33-2】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 【变式33-3】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（    ）． A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为 【答案】B 【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断． 【详解】解：A、平移使点与重合，，，解直角三角形得，正确； B、当与圆相切时，，在左侧以及，在，右侧时，或，错误； C、若，连接并延长交于点，则，故，，故上的高为，即到的距离等于半径．正确； D、，两平行线之间的距离为线段的长，即直径，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键． 【题型34 切线与勾股定理综合求线段长】 【例34】（2025·四川自贡·模拟预测）如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，连接，根据切线的性质和平行线的性质可知，由垂径定理可知，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接， 直线与相切于点， ， ， ， ， ， 的半径为， ， ， ， ． 【变式34-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，半径为1的与直线l相切于点A，C为上的一点，于点B，则的最大值是__． 【答案】/ 【分析】延长到点D，使，则，当与相切于点C时，最大，则此时连接并延长交延长线于点E，则，根据，可得，根据勾股定理可得的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，延长到点D，使， 则， 当与相切于点C时，最大，则此时连接并延长交延长线于点E，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与直线l相切于点A， ∴， ∴， ∴， 连接，则， 在中，，根据勾股定理，得 ， ∴． ∴的最大值是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的性质． 【变式34-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】连接，延长交于点M，由垂径定理得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得，解出x的值，进而即可求出答案． 【详解】解：连接，延长交于点M， 与相切， ， 在矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识． 【变式34-3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ， ， ∵， ，， ， 在和中， ， ， ． 与相切于点， ， 又是的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，进而证得，得到，即可证得结论； （2）根据勾股定理求得，得到，然后根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，， ， ， ， 与和都相切， ， 在中，， 即：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【题型35 内心与角平分线综合求角度】 【例35】（25-26九年级下·安徽合肥·阶段检测）已知：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC． 求证：（1）DI＝DB； （2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求DI的长． 【答案】 （1）证明：连接BI，如图， ∵点I是△ABC的内心， 即平分，平分， ，， ，， ． 又，， ， ； （2）DI的长为2． 【分析】（1）据题意可得，进而可得．同理可得，易证为等腰三角形．得到， （2）由结合（1）可得△BCD为底角30°的等腰三角形，由BC=2求出BD即可． 【详解】解：（1）略 （2）， ∴， ∴， 过D点作DH⊥BC，如图： ， ， ， 【点睛】本题主要考查了三角形的内心的性质和圆的基本性质，掌握三角形的内心是三条角平分线的交点、同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 【变式35-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，为三角形三条角平分线的交点，则的长为_____． 【答案】5 【分析】延长交于D，作于E，根据等腰三角形的性质得，再利用勾股定理求出，根据内心的性质知，，设，则，在中，由勾股定理得，，解方程即可． 【详解】解：延长交于D，作于E， ∵平分 ， ∴， 由勾股定理得，， ∵I为三角形三条角平分线的交点， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握内心的性质是解题的关键． 【变式35-2】如图所示，中角平分线与，的外角平分线交于一点，为的内心（三个内角角平分线的交点），交的外接圆于点，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】B 【分析】先利用内心的性质和圆周角定理得到GB=GC，再结合外角角平分线的性质得出三角形∠FBE=90°，再进行导角可得到GB=GF=GE，从而求出GC的长. 【详解】解：∵为的内心 ∴∠ABF=∠CBF，∠BAF=∠CAF， ∠CAF=∠CBG，∠BAF=∠BCG， ∴BG=CG， 又∠BFG=∠FBA+∠FAB，∠GBF=∠GBC+CBF ∴∠GBF=∠GFB ∴GB=GF， 又∵BE为∠ABC外角角平分线， ∴∠EBC+∠CBF=90°， ∴∠EBF=90°， ∴∠BEF+∠BFE=90°， 又∠GBF=∠GFB， ∴∠GBE=∠GEB ∴GB=GE ∴GE=GF=GB 又FE=4 ∴GC=GB=GE=GF=2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角形的内心性质和外角角平分线的应用，解题关键是理解三角形内心的概念. 【变式35-3】（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是________________（把正确结论的序号都填上）． 【答案】①②③ 【分析】连接，由题意易得，然后可得①，根据圆中直径最大可判定②，由内心可知，然后根据三角形外角的定义及圆周角定理可进行排除③，过点P作于点D，进而可得，最后可得出选项． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵的角平分线交于点Q，点I为的内心， ∴， ∴，且是等腰直角三角形， ∴，即点Q是定点，故①正确； 由圆中最长的弦是直径可知的最大值为8，故②正确； ∵，且， ∴， ∴，即的长为定值，故③正确； 过点P作于点D， ∴， 当的值为最大，则的值为最大，即的值为最大， ∴当是半径时，即为， ∴的最大值为；故④错误； 综上所述：正确的有①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型36 作正多边形】 【例36】如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【答案】 如图所示，四边形ABCD即为所求： 【详解】试题分析：画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点BD，连结ABCD就是圆内接正四边形ABCD． 试题解析：略 考点：正多边形和圆；作图—复杂作图． 【变式36-1】（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】(1) 正六边形如图所示， (2)平方米． 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， 平方米． 【变式36-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）(1)如图，EF是⊙O的直径，请仅用尺规作出该圆的内接正方形ABCD，要求所作正方形的一组对边AD、BC垂直于EF见示意图；不写作法，但须保留作图痕迹； (2)连接EA、EB，求出、的度数．       【答案】（1）如图； （2）67.5° 【详解】试题分析：（1）作出八等分点，即可得到圆内接正方形； （2）求出相应圆心角的度数，根据圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 试题解析：（1）作①EF的中垂线， ②直角的平分线OD， ③8等分弧，完成正方形． （2）连接OD，OC， 因为圆周，所以∠EOD=360°×=45°， 所以∠EAD=45°×=22.5°． 因为， 所以∠EBC=3∠EAD=3×22.5°=67.5°． 【变式36-3】（25-26九年级·全国·单元测试）如图，已知． （1）用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．      【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）利用正六边形的性质外接圆边长等于外接圆半径； （2）连接对角线以及利用正六边形性质． 【详解】解：（1）如图所示： , （2）如图所示： 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形和正六边形的性质，根据正六边形性质得出作法是解题关键. 【题型37 正多边形与圆综合求边心距】 【例37】（25-26九年级上·青海西宁·阶段检测）如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积． 【答案】正△ABC的边长为，边心距为1，周长为，面积为 【分析】如图：连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距, 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是；的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 【变式37-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，． 【变式37-2】（2024·北京·三模）半径为1的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与正多边形．根据题意可以求得半径为1的圆内接正三角形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值． 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接， ∵是正三角形，且是半径为1的圆O的内接正三角形， ∴， ∴； 如图，过点A作于点D，连接，， ∵六边形半径为1的圆的内接正六边形， ∴，， ∴是正三角形， ∴， ∴， ∴圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为． 故选：C 【变式37-3】（2025·上海金山·二模）以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，正边形的边心距为直角三角形的斜边，那么的值可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】设是的直径，，四边形是的内接正三角形，正四边形，交于点，可证明，设 ，则，连接，作于点，求得，则，设正边形的边心距为，则 ， 如图，令正边形的一条边为，过点作，则，求得，则，可知为等边三角形，则，即可求解． 【详解】解：如图，是的直径，，四边形是的内接正三角形，正四边形，交于点， ， ， ， ∴是正三角形的边心距，， ， ， 设，则， 连接，作于点， ， ， ， 设正边形的边心距为， ∵以的内接正三角形，正四边形，正边形的边心距为三边作三角形得到直角三角形， ， 如图，令正边形的一条边为，过点作，则， 则， ∴， ∴为等边三角形，则， ， 故选：C． 【点睛】此题重点考查正多边形和圆，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，正六边形的性质，勾股定理等知识，设圆的内角正三角形的边心距为，推导出该圆的内接正边形的边心距为是解题的关键． 【创新思辨】 【题型38 动点问题中圆的相关量最值】 【例38】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，的半径为6，点，在上，为内一点，，，垂足为，则的最小值为_______． 【答案】 3 【分析】连接，作于，利用垂径定理得为中点，由已知条件推导与的数量关系，通过构造直角三角形，利用勾股定理表示，结合求最小值． 【详解】解：连接，作于， ， 为中点，即， ， ， ， ， ， ， 过点作交（或其延长线）于则四边形为矩形， ， 在中，， ， ， 设， 在中，，，， 将代入得：， 当时，即时，，解得， 此时， ． 故答案为：3． 【变式38-1】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，以为边作等边，则，而，则在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，证明，再证明，（当，，三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，则，而， ∴， ∴点在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，， ∴，， ∴ ， ∵，（当，，三点共线时取等号）， 当时，半径最小，此时半径为， ∴此时与长度的和最小，最小值为：． 故答案为：． 【变式38-2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 【答案】 /90度 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质． （1）连接、，说明为等腰直角三角形，可得的度数，即可得到弧的度数； （2）说明，作的外接圆，可知点在上，设为中点，连接并延长，与圆交于点，连接、，可得此时点到的距离最大，说明，再求出的长度即为高，结合求出面积的最大值． 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∵，满足， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，可知点在上，则， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 设为中点，连接并反向延长，与圆交于点，此时点到的距离最大， 连接、， ∵，，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 【变式38-3】（2026·河南·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为4的圆分别与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上一动点，线段于点，线段长度的最小值为_________，最大值为________． 【答案】； 【分析】先将的坐标求出来再用勾股定理求，可得，即F在以为直径的圆上运动，取中点M，M即为新圆圆心，求出其坐标，这样就变成了点G，到上的点的最大距离与最小距离，最大距离为点到圆心距离加半径，最小距离为点到圆心距离减半径． 【详解】解：连接，如图， ，半径是， 在直角三角形中， ，且在轴的负半轴上， 即， ， 即， 在直角三角形中， ， ， ， 即F在以为直径的圆上运动，取中点M，连接， 则，半径为， ， 半径 ， 半径 ． 【题型39 垂径定理与折叠综合求值】 【例39】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为________． 【答案】 【分析】本题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，连接，作于点E，因为将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，所以，根据圆周角定理得，所以，则，由，得，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点E，则， 将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D， ， 与所对的圆周角相等， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式39-1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为，如果直线与⊙O相切，那么的值为________． 【答案】． 【分析】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E，根据折叠的性质得到AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，过O作OH⊥CD，根据垂径定理得到CH＝CD，根据切线的性质得到OG⊥A′D′，设AB＝CD＝CD′＝A′B＝x，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E， 如图所示: ∵将矩形ABCD沿着直线BC翻折， ∴AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B， 过O作OH⊥CD，∴CH＝CD， ∵直线A′D′与⊙O相切，∴OG⊥A′D′， ∵BC∥A′D′，∴OG⊥BC， ∴四边形OECH是矩形，CE＝BE＝BC， ∴CH＝OE， 设AB＝CD＝CD′＝A′B＝x， ∴OE＝x，∴OC＝OG＝x， ∴CE＝，∴BC＝2CE＝x， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质,矩形的性质,折叠的性质,垂径定理,勾股定理,正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式39-2】（2025·河北·模拟预测）如图1，扇形AOB中，，，点在半径上，连接．把沿翻折，点的对称点为点． (1)当点Q刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为点H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）如图所示，连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解； （2）如图所示，过点作，垂足为点，则，根据题意可得，由此即可求解: 【详解】（1）解：扇形中，，， 点P在半径上，连接，如图． 把沿翻折，点的对称点为点， ， ， ， 是等边三角形， ， 弧AQ的长； （2）如图，过点作，垂足为点，则． ， ． ， ， ，即． ，理由如下： ， ，，即， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键. 【变式39-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)∠ACD=38° (3) 【分析】（1）设D在原来弧上的对应点为，连接、，根据折叠的地性质得出，，在根据垂径定理得出，设， 根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设D在原来弧上的对应点为，连接，易得，则，根据圆内接四边形的性质得出，再根据折叠的性质得出，最后根据三角形内角和即可求解； （3）过点C作于点H，易得，则，，通过证明，得出，则，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：设D在原来弧上的对应点为，连接、， ∵点D和点关于对称， ∴，， ∵点D与圆心O重合， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴求出半径为．    （2）解：设D在原来弧上的对应点为，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由沿折叠得到， ∴， ∴．    （3）解：过点C作于点H， ∵，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握折叠前后对应角相等，圆内接四边形对角互补． 【题型40 圆内接四边形与旋转综合】 【例40】（2025·广东中山·三模）如图，为圆的内接三角形，，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上，此时旋转角大小为_________° 【答案】54 【分析】本题考查了旋转性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用三角形内角和性质得，再根据圆内接四边形对角互补，得，因为旋转得，则，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵为圆的内接三角形，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上， ∴， ∴， ∴， 即旋转角大小为， 故答案为： 【变式40-1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，点O为的中点，将绕着点O旋转，得到线段（点D不与点C、点B重合），连接，则为_______________度． 【答案】60或120 【分析】先根据直角三角形性质得出，结合旋转性质得，判断B、C、D共圆，再分两种情况，利用圆周角定理及圆内接四边形性质即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ． 点O为的中点， ． 由旋转的性质可知， 因此，即点B、C、D在以O为圆心，为半径的圆上． ①当点D在优弧上时， 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，与都是弧所对的圆周角， 故． ②当点D在劣弧上时， 根据圆内接四边形的对角互补，， 则． 综上，为60或120度． 【变式40-2】（2025·贵州毕节·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，绕点旋转得到． (1)求证：点，，三点共线； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是的内接四边形， ． 绕点旋转得到， ， ， 点，，三点共线； (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧长公式． （1）根据旋转的性质和圆内接四边形对角互补的性质，得到即可证明结论成立； （2）连接，．利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，． 绕点旋转得， ，， ． 的半径为5， ． ， ． 【变式40-3】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图①，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接、、．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． 证明过程缺失 请你补全余下的证明过程． 【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． （1）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）若的半径为，则四边形周长的最大值为_____ 【答案】 问题解决：解：由题意可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． ∵绕点顺时针旋转至， ∴，． ∴是等边三角形． ∴． ∵、、三点共线， ∴． ∵， ∴． 拓展应用：解：（1）作射线交于点．以为一边，在外作，在上取，连接、，则此时、、三点共线，为所求； 证明：过点作于点． ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ， ∴， ∵，为定值， ∴当取最大值时，取最大值． ∵是的弦， ∴当为直径时，取得最大值． ∵当为直径时，， ∴． ∴当时，的面积最大． （2）． 【分析】问题解决：利用旋转性质得到，为等边三角形，结合、、共线，得到，进而证得． 拓展应用：（1）当为直径时，的面积最大，此时将绕点顺时针旋转得到，的面积也最大． （2）将旋转得到，可知，四边形的周长为，当为直径时，周长最大． 【详解】问题解决： 略 拓展应用：解：（1）略 （2）解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由问题解决可知． ∴四边形． ∵为的弦， ∴当为直径时，最大，最大值为． ∴． 【题型41 含参数的圆中角度范围探究】 【例41】（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，先延长交圆O于点C，则由圆周角定理得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：延长交圆O于点C，连接，如图所示： ∵扇形的圆心角为 ∴圆心角， 根据圆周角定理得：， 当点在扇形内部延长线上时，则； 当点在扇形内部线段上时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【变式41-1】（2026·浙江·一模）如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为得，进而得，结合等腰三角形性质及三角形外角性质可得，由是 的直径得，可得，代入可得，解方程求得的值即可判断其所在范围． 【详解】解：如图，连接、、， 由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是 的直径， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴所在的范围是． 【变式41-2】（2022·湖北武汉·一模）在⊙O中，弦BD与弦CE相交于点F，∠DFC=105°，，延长EC至点A，连接DA，设∠A=α，则α所在范围可能是（    ） A．12°＜α＜16° B．15°＜α＜18° C．17°＜α＜20° D．19°＜α＜22° 【答案】A 【分析】连接CD，根据圆周角定理判断出∠CDB=4∠ECD，再根据三角形内角和定理求出∠DCF的度数，根据三角形外角的性质可得，从而排除B、C、D即可得出结论． 【详解】连接CD， ∵， ∴∠CDB=4∠ECD， ∵∠DFC=105°， ∴∠BFC=75°， 又∠DFC+∠FDC+∠DCF=180°，∠CDF=4∠DCF， ∴∠DCE=15°， ∵∠DCF是△ADC的外角， ∴∠DCF＞∠A， 即． ∴B、C、D均不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的关键是求出∠DCF的度数． 【变式41-3】（2026·江苏南京·三模）如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧上所有的点都落在的边界及内部，则弧所对的圆心角的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据条件弧上所有的点都落在的边界及内部，找出相应的临界情况，结合图形分析即可. 【详解】解：弧必定存在，且当足够小时弧上所有的点必定落在的边界及内部， ， 如右图所示： 通过点的轨迹可知弧与边相切是一种临界情况，如下图所示： ，， ， ， ， 当时，弧上的点会落在边外部，如下图所示： 综上所述，． 【题型42 某点的弧形运动路径长度】 【例42】（2026·福建厦门·三模）如图，圆形铁圈的直径，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等．先将滑杆的左端套在处，再将整根滑杆沿着铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点处，在此过程中滑杆的中点移动的路径长为________． 【答案】 【分析】点为定长滑杆的中点，滑杆两端始终在圆上运动，由滑杆长度等于圆的半径可知弦长恒为，根据垂径定理和勾股定理，点到圆心的距离恒为，故点的轨迹是以为圆心、为半径的圆弧．通过等边三角形性质求得圆弧所对圆心角为，再用弧长公式计算路径长． 【详解】解：设圆形铁圈的圆心为，半径为， 直径， ， 滑杆长度与铁圈半径相等， 滑杆作为圆的弦，弦长为， 连接，，设滑杆初始位置为，其中为右端点， ， 是等边三角形， ， 为中点， ，平分， ， 在中，， 即点移动的路径是以为圆心、为半径的圆弧， 当滑杆右端移动到点时，设此时滑杆左端为，中点为， 同理可得是等边三角形，，平分， ， 滑杆沿逆时针方向移动，且，，在同一直线上，点，在直径的同侧， 点转过的圆心角， 点移动的路径长为． 【变式42-1】（2026·广东广州·二模）如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，从而判定点在以为直径的圆上运动；通过分析点在起点和终点时点的位置，确定点的运动轨迹为以为直径的半圆，最后利用勾股定理求出，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当点在点时，与重合，此时点与点重合， 当点在点时，与重合， ∵为的直径， ∴， 即， 又∵， ∴点与点重合， ∴点运动的路径是以为直径的半圆， ∵的直径为，半径， ∴，， 在中，， ∴点运动的路径长为． 【变式42-2】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B顺时针旋转至①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至②位置……以此类推，这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A的运动路径，计算前几次的路线长，探究一般性规律，然后计算求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形， ∴， 转动一次A的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动第五次A的路线长是：， 以此类推，每四次为1个循环， ∴顶点A转动四次经过的路线长为：， ∵， ∴这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是：． 【变式42-3】（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在中，，，点M在以为直径的半圆O上从点A运动到点B时停止，连接，点N是的中点，则点N的运动路径长为_____________． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角；连接，分别取的中点E和F，连接，由是的直径可得，由三角形中位线的性质可得，进而得出点N在以为直径的半圆上运动，所以点N的运动路径长为以为直径的半圆弧的长. 【详解】解：如图所示，连接，分别取的中点E和F，连接， ， ∴， ∵是的直径， ，即， ∵在中，分别为的中点， ∴， ∵在中，分别为的中点， ， ∴，即， ∴点N在以为直径的半圆上运动， 在中，E为的中点，F为的中点， ∴， ∴点N的运动路径长为． 故答案为：． 【题型43 扇形面积与动点路径综合问题】 【例43】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴. 【变式43-1】（2026·河南周口·二模）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（   ） A．2π B．3π C．4π D． 【答案】D 【分析】整体图形由和一个扇形组成，白色部分由与扇形组成，总体面积减去白色部分面积，就是阴影部分面积． 【详解】解： 中，，， ， ，， ， ， ． 【变式43-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而由勾股定理得出长，同理得到的长，再根据旋转性质可得旋转的圆心角为，半径，最后由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：当点与点重合时，连接，如图所示： ∵点是的中点， ，且， ， 半圆的直径， ， ∴在中，， ， 当在半圆弧上旋转到点与点重合时，如图所示： 此时，同理可得， ， ∵是圆心O到弦CD的弦心距，且在同圆中，弦相等则弦心距也相等， 则弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，则点M在以O为圆心，为半径的圆上运动， 即就绕着点逆时针旋转，如图所示： ，， ， 则， ， 两条平行线之间的距离相等， ， 扫过的面积，即不规则扇形与扇形面积相等， ∴在整个滑动过程中线段扫过的面积， 故选：B． 【变式43-3】（2025·江苏盐城·二模）如图，两个大小完全相同的直角三角板、，已知，，平分交于点G，M为边的中点．起初边放置在上，点E与点C重合，后拖动三角板，点E沿的延长线方向滑至处，点D沿方向随之滑至C处，则运动中线段所扫过的图形面积为___________________． 【答案】 【分析】此题考查了求扇形面积，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解直角三角形等知识，连接，交于点N，证明出三角形是等边三角形，得到，得出点G，M，F三点围成的图形即为运动中线段所扫过的图形，求出，然后证明出，得到，然后得到，得到运动中线段所扫过的图形面积，解题的关键是掌握以上知识点，得到线段所扫过的图形形状． 【详解】解：如图，分别为滑动的对应点， ， ， 根据滑动可得， ， 四点共圆， ， 为直径，即为圆的圆心， ，即点到的距离固定， 点的运动轨迹是以点为圆心的圆上的弧， 如图所示，连接，交于点N， ∵两个大小完全相同的直角三角板、，，， ∴， ∴， ∵，M为边的中点， ∴， ∴三角形是等边三角形， ∴，， ∴线段和圆弧围成的图形即为运动中线段所扫过的图形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴运动中线段所扫过的图形面积． 故答案为：． 【题型44 动点问题中切线长的最值探究】 【例44】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在Rt中，，，以点C为圆心，2为半径作，过上的动点P作的切线，，过劣弧上一点Q作的另一条切线分别交，于点M，N，则周长的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理，垂线段最短，先根据切线长定理得到的周长为，然后连接，，则，即可得到当时，最小时，最小，的周长最小，然后根据勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，，， ∴的周长为， 连接，，则， ∵的半径不变， ∴长随着的变化而变化， 即当最小时，最小，的周长最小； ∴当时，最小， ∵，， 这时，，且点是的中点， 则， ∴， ∴的周长最小为， 故答案为：． 【变式44-1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】如图1，设运动时间为秒，则，由，，证明，可求，如图1，记的中点为，则在以为直径的上运动，由题意知，、均为的切线，如图1，作的切线，交于，切点为，由题意知，的最小值为，由切线长定理可知，，，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图1， ∵矩形， ∴，，， 设运动时间为秒，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图1，记的中点为， ∴在以为直径的上运动， 由题意知，、均为的切线， 如图1，作的切线，交于，切点为， 由题意知，的最小值为， 由切线长定理可知，，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦为直径，切线长定理，勾股定理等知识．明确线段最小值的情况是解题的关键． 【变式44-2】如图，矩形中，，点E是边上一动点，于点G，连接并延长交于点F，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】要想求出的最大值，首先要找到当与圆弧相切时最大；在根据斜边上的中线等于斜边上的一半时求出3，根据切线长定理求出再根据相似即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点在以为直径的一段圆弧上 显然当与圆弧相切时最大， 设圆心为，连接 ∴ 又， ∴ ∵是圆的切线， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， ∴ 即 即AF的最大值为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的切线，切线长定理，相似三角形等知识点，解决此题的关键是找出当与圆弧相切时最大． 【变式44-3】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，以边的中点为圆心作半圆，使与半圆相切，点分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图，设⊙O与BC相切于点E，连接OE，P、Q重合时PQ最小值为0，如图当Q在AB边上时，P与A重合时，PQ最大值，由此不难解决问题． 【详解】解：如图，设⊙O与BC相切于点E，连接OE，作OP1⊥AC垂足为P1交⊙O于Q1， 此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OQ1-OP1， ∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°， ∵∠OPA=90°，∴OP∥BC． ∵O为AB的中点，∴PC=PA，OP=BC=3． 又∵BC是⊙O的切线，∴∠OEB=90°， ∴OE∥AC,又O为AB的中点， ∴OE=AC=4． ∴P、Q重合时PQ最小值为0， 当Q在AB边上时，P与A重合时，PQ经过圆心，经过圆心的弦最长， PQ最大值=AO+OQ=5+4=9， ∴PQ长的最大值与最小值的和是9． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，三角形中位线定理，勾股定理的逆定理以及平行线的判定等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型． 【题型45 格点中切线综合】 【例45】（2026·江苏泰州·二模）如图，将的正方形方格纸放在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，以为直径作，过轴上一点，向引两条切线，若两个切点都是格点，则点坐标为_______． 【答案】或 【分析】先根据点的坐标特征建立坐标系，由于切点都是格点，故在网格中确定可以为切点的格点，再过满足条件的格点作对应半径的垂线，即可确定满足条件的点的坐标． 【详解】建立坐标系如图所示， 点、的坐标分别为、， ， ， ，， ，，，， ，，，均为直角三角形， ，，，， ，，，均为的半径， ，，，均为的切线， 满足条件的点坐标为或． 【变式45-1】（2026·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上． （1）线段的长为______； （2）直线与的外接圆相切于点P，点M在上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点 【分析】（1）可利用勾股定理计算线段的长度； （2）先借助网格特点确定的垂直平分线；观察图可知，根据切线的性质，得到圆心在上，则的垂直平分线与的交点即为圆心；再结合的条件，利用圆的相关性质，即可找到符合条件的点M． 【详解】（1）由网格可知，、的水平间距为，竖直间距为， 根据勾股定理得： ； （2）先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点． 【变式45-2】（2025·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B在格点上，点C是小正方形的中心，与直线l相切于点T．以点G为圆心的圆经过点A，B，并且与直线l相切． （Ⅰ）直线与的位置关系为______（填“平行”“相交但不垂直”“垂直”）； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点G，并简要说明点G的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 垂直 如图，取与网格线的交点D，连接并延长，与直线l相交于点E；连接与交于点F；连接并延长，与网格线交点为P，Q；连接与网格线相交于点R；连接并延长，与网格线相交于点S；连接并延长，与相交于点G，则点G即为所求． 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质，三角形外接圆的性质，垂直平分线的性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练应用切线的性质构造平行线是解答本题的关键． (1)先根据图形计算求出，得到点C在线段的垂直平分线上，而根据三角形外心的性质可知过A、B两点的圆其圆心也在线段的垂直平分线上，从而得出直线就是线段的垂直平分线． (2)假设与直线l相切于点H，易得，连接交直线l于点E，然后连接交于点F，过点A作交于点G．通过平行线分线段成比例可得，结合进而得出．即可得出为的半径． 【详解】解：（Ⅰ）连接，如图 ， 点C在线段AB的垂直平分线上． 又 ∵ 过A、B两点的其圆心G也在线段的垂直平分线上， C、G两点都在线段AB的垂直平分线上， ． 故答案为：垂直． （Ⅱ）略 【变式45-3】（2026·江西吉安·二模）如图，在的正方形网格中，线段是的半径，为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中找到格点，使得是的切线． (2)如图2，在上作点，使得是等边三角形． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形全等的判定和性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得是的切线； （2）由（1）得，同理可得，可得，由平行线分线段对应成比例，结合全等三角形的性质，可得，四边形为矩形，可得为线段的垂直平分线，可得，结合，即可得是等边三角形． 【详解】（1）解：点、、为格点， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵线段是的半径， ∴是的切线． （2）解：点、、、为格点，与竖格线交于点，与竖格线交于点，连接，交于点，连接，， 由（1）得，， 同理可得，，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 【题型46 与切线有关的定值问题】 【例46】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，的直径的长度为定值a，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于点D，C两点，设，，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作交于F，由切线的性质可证得四边形是矩形，于是可得，，根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理即可求出y与x的关系，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点D作交于F， ，与切于点A、B，是的直径， ，， 又， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ， 切于E，与切于点A、B， ，，则， 在中， 由勾股定理得：， 即：， 整理，得：， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定与性质，切线长定理，勾股定理，完全平方公式等知识点，正确作出辅助线，综合运用以上知识点是解题的关键． 【变式46-1】（24-25九年级上·云南西双版纳·期末）如图，四边形内接于，对角线平分，是的直径． (1)求证：； (2)探究的值是否为一个定值？若是，求出这个定值若不是，请说明理由． (提示：将、、转化到同一个三角形中) 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∴， ∴． (2)是定值，值为 【分析】（1）根据角平分线得到相等的圆周角，利用“相等的圆周角所对的弧相等”推出，再由“等弧对等弦”证明； （2）采用截长补短法构造全等三角形，将转化为线段，结合直径所对圆周角为直角、角平分线的性质，证明是等腰直角三角形，从而建立与的数量关系，求出比值． 【详解】（1）略 （2）解：是定值，定值为，理由如下： 延长到点，使得，连接，如图， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴，，即， ∴， 又∵平分， ∴， 由得， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式46-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，是边上一点，过、、三点，． (1)求证：直线是的切线； (2)如果， ①若的半径为，求的长； ②试问的值是否为定值？若是，直接写出这个比值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； (2)① ；②的值是定值， 【分析】（1）由，得，为等腰直角三角形，进而得，根据垂线定义及切线判定即可得证； （2）①由，，得，又根据直角三角形得 ， ， ，从而即可得解；②设的半径，则 ，在和中，利用解直角三角形得 ， ， ，进而代入即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：①由（）得，为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴ ， ， 作于，如图， 在中， ∵， ∴ ， 在中， ∵， ∴ ； ②的值是定值． 设的半径，则 ， 在中， ∵， ∴ ， ， 在中，∵， ∴ ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，垂线定义，圆周角定理，等边对等角，熟练掌握切线的判定，解直角三角形是解题的关键． 【变式46-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 【答案】(1) (2)7 (3)①；②的值是定值96． 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）延长到点F使，首先证明出是等边三角形，求出，然后证明出，即可得到； （3）①首先由（2）可得，，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为；当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可； ②延长到点F使，过点A作，由（2）得，是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，进一步得到，然后结合，代入得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴ ∵四边形内接于 ∴； （2）如图所示，延长到点F使， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴ ∴； （3）①由（2）可得， ∵点P在劣弧上运动 ∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度 ∵是等边三角形 ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为； 当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示， ∴此时是的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，负值舍去 ∴的最大值为8 ∴的最大值为8； ∴的值的取值范围是； ②如图所示，延长到点F使，过点A作 由（2）得，是等边三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ． ∴的值是定值96． 【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形． 【题型47 切线长定理与圆内接四边形综合】 【例47】（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)， 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (3)30 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式47-1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的切线，为切点，点在上．若，则和的度数和为______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质和圆内接四边形的性质，掌握切线长定理以及圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键． 根据切线长定理，得到，依据三角形内角和定理和圆内接四边形的性质即可得到角的度数． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵． 故答案为：． 【变式47-2】（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）自然是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一．如图，已知为的外接圆，直径，弦，为延长线上一点，的平分线交于点，交于点，连结，，． (1)求的度数； (2)若，求证：为的切线； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长 【答案】(1) (2) 证明：如图所示，连接和． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又 ∵是半径， ∴为的切线． (3) 【分析】（1）根据“半圆 （或直径）所对的圆周角是直角”，即可求得答案； （2）连接和．由圆周角定理可证得，进而得到，结合，可求得； （3）连接，，，可证得，进而求得，点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵平分角， ∴． （2）略． （3）解：如图所示，连接、、． ∵的内心为， ∴，． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上． 如图所示，设点所在圆为，在上取点，连接、． 根据题意可知，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ ∴内心所经过的路径长． 【变式47-3】（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断： （1）；（2）； （3）；（4）． 则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内心，圆周角定理，等腰三角形的判定，掌握三角形的内心的定义是解题的关键． 根据三角形内心的性质可对（1）进行判断；根据圆内接四边形对角互补直接可对（2）进行判断；根据三角形内心的性质，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形等角对等边可对（3）进行判断；根据三角形内心的性质，等弧和等弦的关系可对（4）进行判断． 【详解】解：（1）∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故（1）不正确； （2）∵的延长线和的外接圆相交于点， ∴四边形是的外接圆的圆内接四边形， ∴， ∴， 故（2）正确； （3）∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故（3）正确； （4）∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故（4）正确； ∴正确的结论是：（2）（3）（4）， ∴正确结论的个数为3． 故选：C． 【题型48 正多边形与几何变换综合】 【例48】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． (1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； (2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； (3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 【答案】(1)或； (2)， 理由如下， 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； (3)1． 【分析】（1）连接，求得，利用圆周角定理结合圆内接四边形即可求解； （2）在上截取，连接，，推出，，再证明是等腰直角三角形，据此得到； （3）根据对称的性质求得，，当边上的高最小时，面积取得最小值，则当点与点A重合，此时点E与点D重合，所以边上的高就是的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形， ∴， 当点E在优弧AD上时，， 当点E在劣弧AD上时，， 综上，的度数为或； （2）略 （3）解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点， ∴， ∵四边形与四边形关于直线对称， ∴，， ∴当边上的高最小时，面积取得最小值， ∴当点与点A重合，此时点E与点D重合， ∴边上的高就是的长， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式48-1】如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC，根据正方形的性质得到∠B=90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可． 【详解】连接AC，    设正方形的边长为a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=90°， ∴AC为圆的直径， ∴AC=AB=a， 则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：， 故选C. 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键． 【变式48-2】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，正六边形 的边长为1，将正六边形 绕点A旋转得到正六边形，连接，．若，分别是，的中点，连接，则旋转过程中的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线性质和线段和最小值问题，正多边形性质等，解题关键是取的中点构造两条中位线． 连接，取的中点，连接、，，根据中位线可得、，而根据三角形两边之和大于第三边可得，当、M、Q三点共线时成立，等号成立，由此即可得出答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接、，，如图1， ∵若P，Q分别是，的中点， ∴，，，， ∵，当、、三点共线时成立，等号成立， ∴当旋转过程中的最大值时，，， 过点作，垂足为H，如图1， ∵在正六边形中，，， ∴，， ∴，，， ∴的最大值为， 当旋转过程中的最大值时，，如图2， 由正六边形性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：将正六边形 绕点A逆时针旋转时，，的最大值为， 故选B． 【变式48-3】（25-26九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接， ∵点为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由圆内接四边形可得，，结合是的直径可得，，根据三角形内角和定理，计算出； （2）连接，由内心的性质可知，平分，平分，则，．结合圆周角定理可得，，由三角形外角的性质可证明，于是得到； （3）作，垂足为，结合内心的性质和圆周角定理，容易证明进而都是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质并使用勾股定理，依次计算出、、和，相加求得求的周长． 【详解】（1）解：由圆内接四边形的性质可知，， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）略 （3）解：作，垂足为， 由（2）可得，平分， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴的周长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理与外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确添加辅助线是解题关键． 【题型49 圆外切四边形】 【例49】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，由切线长定理可以推出，．根据内切圆半径与多边形面积和周长之间关系可以算出，梯形的高为4，使用勾股定理和矩形的性质算出下底，，最后使用勾股定理算出的值． 【详解】解：如图，设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，设半径为， 与四边形各边都相切，由切线长定理可知，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 由切线的性质可知，，，，， ∴， ， ， ， ， ∵在四边形中，，， ∴四边形是等腰梯形， 设梯形的高为h， 则，即， 解得，， ∵，， ∴， 在直角中，， 同理，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，解得，， ∴， 在直角中，． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，梯形的性质和勾股定理，熟练掌握切线相关的定理是解题关键． 【变式49-1】（25-26九年级下·全国·课后作业）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为_________   【答案】 【分析】首先作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，则O为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1交AB1于点F，则OF即为所求，根据角平分线的性质可得∠OAF=30°，∠AB1O=45°，根据等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形性质可得B1F=x，AF=-x，接下来在Rt△OFA，利用勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求解. 【详解】作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，过O作OF⊥AB1交AB1于点F， AB=AB1=，∠BAB1=30°， ∵四边形AB1C1D1是正方形，∠DAF与∠AB1C1的角平分线交于点O，∠BAB1=30° ∴∠OAF=30°，∠AB1O=45° ∵OF⊥AB1 ∴B1F=OF=OA 设B1F=x，则AF=-x ∴（-x）2+x2=（2x）2 解得x=或x=（舍去） 即四边AB1ED的内切圆的半径为. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了正方形中的旋转问题，添加合适的辅助线是解题关键. 【变式49-2】（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为______．    【答案】 【分析】连接，由题意可知过点，，且 ，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ， ，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ． ， ， （） 解得： ． 即的直径为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 【变式49-3】阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形． ∴．      （1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r； （2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值. 【答案】（1）（2）. 【分析】（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，则△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形，根据即可求得四边形的内切圆半径r. （2）过点D作DE⊥AB于点E，分别求得AE的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD的长；然后根据，，两式相除，即可得到的值. 【详解】解：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD. ∵ ∴ （2）如图（3），过点D作DE⊥AB于点E， ∵梯形ABCD为等腰梯形， ∴ ∴ 在Rt△AED中， ∵AD=13，AE=5，∴DE=12， ∴ ∵AB∥DC，∴. 又∵， ∴.即. 【题型50 切线与函数综合】 【例50】（2025·广东·模拟预测）将一张边长为4的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把正方形纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点P在边上，过点P作的垂线交的延长线于点H． 【知识技能】 （1）如图1，若点H落在边上，求证：是等边三角形． 【数学理解】 （2）如图2，设，，试求关于的函数解析式． 【拓展探索】 （3）如图3，为的外接圆，若与边相切，求的长． 【答案】 （1）证明：∵，四边形 是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴是等边三角形； （2）； （3） 【分析】（1）证明四边形是矩形，再结合折叠的性质可得，从而得到，即可解答； （2）过点 H 作于点M，则四边形是矩形，可得，可得，从而得到，然后在中，由勾股定理解答即可； （3）如图，设与边相切于点M，连接并延长，交边于点N．根据是的中位线，可得，，然后在中，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解∶如图，过点 H 作于点M，则四边形是矩形， 由折叠的性质得：． 同理， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴ 整理，得：， ∴y关于x的函数解析式为． （3）解∶如图，设与边相切于点M，连接并延长，交边于点N． 设， 由（2）可知， ∵， ∴是的直径． ∵与边， ， ∴，即， ∴是的中位线． ∴， ， ， 在中，由勾股定理，得 解得： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，垂径定理，切线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式50-1】（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）在△ABC中，∠BAC=90°，，AB=AC=，圆的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设OB=x，△AOC的面积为y. （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）以点O为圆心，BO长为半径作圆，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积. 【答案】（1）y= -x+4（0<x<4）；（2）或 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，S△AOC=OC×AD=×2×（4-x）= 4-x ； （2）圆O与圆A相切，分外切和内切两种情况讨论：，在Rt△AOD中，根据AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8，求出x的值，可求 【详解】（1）过点A作AD⊥BC于点D ∵∠BAC=90° ，AB=AB= ∴BC= 4，AD=BC=2， ∴S△AOC=OC×AD=×2×（4-x）= 4-x， 即y= -x+4（0<x<4） （2）当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意 当点O与点D不重合时，在Rt△AOD中， AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8， ∵⊙O1的半径是1，⊙O2的半径是x， ∴①当⊙A与⊙O外切时， （x+1）2=x2-4x+8，解得x= 此时，△AOC的面积是y= 4- ②当⊙A与⊙O内切时（x+1）2=x2-4x+8 解得x= 此时，△AOC的面积是y= 4- ∴当⊙A与⊙O相切时，△AOC的面积为或． 考点：1. 直线与圆的位置关系；2.求一次函数的解析式及一次函数的应用. 【变式50-2】已知：如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D． （1）求B、C两点的坐标； （2）求直线CD的函数解析式； （3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长． 试探究：当点E运动到什么位置时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）B（1，）． C（0，）（2）y=（3）当t=时，S最大= 【分析】(1)连接AC，作BG⊥OA于G，如图，根据等边三角形的性质得OA=AB=OB=2，∠ABO=60°，∠OBH=30°，根据含30°的直角三角形求出OH，BH，然后在Rt△OAC中求出OC的长，即可写出B，C坐标；（2）由∠AOC=90°，得出AC是圆的直径，再根据CD是圆的切线，得CD⊥AC，由∠OCD=30°，计算出OD=得到D点坐标为（-，0），然后用待定系数法求CD的函数解析式；（3）先求出AB,OA,OD,CD,BC,OC的长，得出四边形ABCD的周长，设AE=t，△AEF的面积为S，得出S的二次函数，根据点E、F分别在线段AB、AD上，求出t的取值范围，再利用二次函数的最值求出S的最大值. ． 【详解】解：（1）∵A（2，0）， ∴OA=2． 作BG⊥OA于G， ∵△OAB为正三角形，∴OG=1，BG=， ∴B（1，）． 连AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°． ，∴OC=． ∴C（0，） （2）∵∠AOC=90°，∴AC是圆的直径， 又∵CD是圆的切线，∴CD⊥AC． ∴∠OCD=30°，OD=．∴D（-，0）． 设直线CD的函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 则，解得 ∴直线CD的解析式为y= （3）∵AB=OA=2，OD=，CD=2OD=，BC=OC=， ∴四边形ABCD的周长6+． 设AE=t，△AEF的面积为S， 则AF=3+－t，S=（3+-t）． ∵S=（3+-t）=． ∵点E、F分别在线段AB、AD上， ∴ ∴ ∴当t=时，S最大= 【变式50-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD＝60°，点A的坐标为（﹣2，0）． （1）求线段AD所在直线的函数表达式； （2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A⇒D⇒C⇒B⇒A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒、求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．    【答案】（1）；（2）当t＝2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切． 【分析】（1）在Rt△AOD中，根据OA的长以及∠BAD的正切值，即可求得OD的长，从而得到D点的坐标，然后利用待定系数法可求得直线AD的解析式． （2）由于点P沿菱形的四边匀速运动一周，那么本题要分作四种情况考虑：在Rt△OAD中，易求得AD的长，也就得到了菱形的边长，而菱形的对角线平分一组对角，那么∠DAC＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCA＝30°；①当点P在线段AD上时，若⊙P与AC相切，由于∠PAC＝30°，那么AP＝2R（R为⊙P的半径），由此可求得AP的长，即可得到t的值；②③④的解题思路与①完全相同，只不过在求t值时，方法略有不同． 【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∠BAD＝60°，∠AOD＝90°， ∴OD＝OA•tan60°＝， ∴点D的坐标为（0，）， 设直线AD的函数表达式为y＝kx+b， ， 解得． ∴直线AD的函数表达式为． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DCB＝∠BAD＝60°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝30°， AD＝DC＝CB＝BA＝4， 如图所示： ①点P在AD上与AC相切时， 连接P1E，则P1E⊥AC，P1E＝r， ∵∠1＝30°， ∴AP1＝2r＝2， ∴t1＝2． ②点P在DC上与AC相切时， CP2＝2r＝2， ∴AD+DP2＝6， ∴t2＝6． ③点P在BC上与AC相切时， CP3＝2r＝2， ∴AD+DC+CP3＝10， ∴t3＝10． ④点P在AB上与AC相切时， AP4＝2r＝2， ∴AD+DC+CB+BP4＝14， ∴t4＝14， ∴当t＝2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．    【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握解直角三角形、待定系数法、菱形的性质、切线的性质是解题的关键． 【题型51 切线与弧长综合求解】 【例51】（24-25九年级下·上海徐汇·阶段检测）2025年3月21日“神舟”十九号航天员乘组圆满完成第3次出舱任务，如图，当“神舟”十九号运行到地球表面点的正上方的点处时，从点能直接看到的地球表面最远的点记为点，已知，，，则圆心角所对的弧长约为________________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解． 设，由是的切线，可得，由此构建方程求出半径，再利用弧长公式求解． 【详解】解：设， 由题意，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长． 故答案为：． 【变式51-1】（2025九年级下·江苏南京·专题练习）如图，内接于， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求弦所对的弧长； (3)在（2）的条件下，点C在优弧上运动，是否存在点C，使点O到弦的距离为？若有，请直接写出的长；若没有，请说明理由． 【答案】(1) 直线与相切．理由如下： 如图1，延长交于点M，连接 是直径， ， ， 在中，，且， ，即； 又直线经过半径的外端点A， 直线与相切． (2)或 (3)存在，或 【分析】本题考查了圆的综合题：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半；三角形中位线定理；垂径定理等知识点是综合运用． （1）如图1，延长交于点M，连接欲证直线与相切，只需证明即可； （2）如图2，连接、利用圆周角定理证得为等边三角形；分类讨论：①当求劣弧的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为；②当求优弧的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为； （3）①如图3，过点O作为的直径时，根据圆周角定理、三角形中位线定理可知； ②如图3，过点O作当时，利用切线的性质、垂径定理可知 【详解】（1）略 （2）解：连接、，如图， 在中，， ， ， 为等边三角形， ， ∴，或者； （3）解：2或 作直径，则， 又， ∴ ， 则当是直径时满足条件，此时； 过点O作当时，垂径定理可知则是等边三角形． 则 【变式51-2】（2025·河北张家口·二模）如图，以为圆心，为半径的圆与轴交于点，在上，． （1）求的度数； （2）为轴正半轴上一点，且，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； （3）有一动点从点出发，在上按顺时针方向运动一周，当时，求动点所经过的弧长，并写出此时点的坐标． 【答案】（1）；（2）位置关系是相切，理由见解析：（3）对应的点坐标分别为：、、、，对应的M点所经过的弧长为：、，和． 【分析】（1）由A、C在⊙O上知OA=OC，容易得到△OAC是正三角形，问题得解． （2）判定OC⊥CP于C，可得PC与⊙O相切． （3）△MAO和△CAO有公共边AO，所以只要它们AO边上的高相等即能使，由题意知当M点在⊙O上，并且点M与点C关于x、y轴对称及点M与点C关于原点O对称时，它们面积相等，由此容易求出点M坐标及对应弧长． 【详解】（1），， 是等边三角形， 故 （2）由（1）知：，已知，即 ，因此是直角三角形，且， 而是的半径， 故与的位置关系是相切 （3）如图； 有四种情况： ①取点关于轴的对称点，则此点符合点的要求，此时点的坐标为：； 劣弧的长为： ②取点关于原点的对称点，此点也符合点的要求，此时点的坐标为：； 劣弧的长为 ③取点关于轴的对称点，此点也符合点的要求，此时点的坐标为：； 优弧的长为： ④当、重合时，点符合点的要求，此时； 优弧的长为：； 综上可知：当时，动点所经过的弧长为，，，对应的点坐标分别为：、、、． 【点睛】本题属动图问题，考查圆的基本概念、圆弧长计算以及圆切线的判定，这些都是中考的热点．在动图形问题中往往需要分论讨论，分类讨论时要全面，不要有遗漏． 【变式51-3】如图，是的直径，点在线段的延长线上，且，点在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若为圆上任一动点，的半径为时，当弧长为 时，四边形为菱形，当弧长为 时，四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)cm；cm 【分析】（1）添加辅助线，，若要证明是的切线，则问题转化为证明即可．其中，圆的半径都相等，得出，由三角形外角的性质求得，△是等边三角形，最后利用得出即可证明． （2）若要的长度，根据弧长公式可知，需求圆的半径和圆心角即可．①由（1）知，利用圆心角的性质、圆周角定理、菱形的性质求出，，再由弧长公式得出结果；②由（1）可知，四边形是矩形时，，再由弧长公式得出结果． 【详解】（1）解：如图连接，． ， ， ， ， △是等边三角形， ，， ， ， ， 是的切线． （2）①的长为cm时，四边形是菱形． 四边形是菱形，， ， 的长cm． ②当四边形是矩形时，易知， 的长cm． 故答案为：cm，cm． 【点睛】本题考查的是几何动点—圆的综合应用，主要考查切线的判定、菱形的性质、矩形的性质、圆周角定理、弧长的计算以及三角形的外角性质．利用转化及等量代换的思想，圆的性质及切线判定方法（有点连接证明垂直；无点作垂线证明线段等于半径）是解题的关键． 【题型52 切线与扇形面积综合求解】 【例52】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接 ， ． ， ． ， ，即． 为的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，结合已知条件得到，即，根据切线的判定可证得结论； （2）连接，设的半径为，则，．在中，利用勾股定理求得，则．利用特殊角的三角函数值求得．根据圆周角定理求得，，则，根据含30度角的直角三角形的性质求得，然后利用扇形面积公式及求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 设的半径为，则，． 在中，， ，解得， ． ， ． ． ， 是的直径， ， ． ． ． ， ． ∴． 【变式52-1】（2025·云南昭通·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，，，由题意易得，则有，然后可得是等边三角形，进而根据扇形面积公式及等积法可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，， 点是劣弧的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 又， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 【变式52-2】（2026·江苏泰州·三模）已知是的直径，点为上一点，平分交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图（1）作出过点的的切线（其中圆规仅使用一次画弧写出简要的作图步骤，保留必要的作图痕迹）； (2)如图（2），设（1）中的交的延长线于点，连接，当时，求线段，与围成的图形的面积． 【答案】(1)如图所示，作图步骤如下： 1、连接交于点； 2、连接，并延长交射线于点； 3、把圆规两只脚分别与点重合，即此时圆规两脚的距离为线段长，以点为圆心以长为半径画弧交线段于点； 4、作直线即为过点的的切线； (2) 【分析】（1）由切线的定义可得，作出过点的的切线，即要作，题意要求圆规仅使用一次画弧，常规尺规作，需要不止一次使用圆规画弧，所以需要利用现有的点、线来作图，连接交于点；连接，并延长交射线于点；以点为圆心以长为半径画弧交线段于点；作直线即为过点的的切线； （2）连接，可得四边形是菱形，得出，从而得出，则线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积，由是等边三角形，得出扇形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，作图步骤如下： 1、连接交于点； 2、连接，并延长交射线于点； 3、把圆规两只脚分别与点重合，即此时圆规两脚的距离为线段长，以点为圆心以长为半径画弧交线段于点； 4、作直线即为过点的的切线； 在作图步骤中只在第3步中使用圆规画了一次圆弧，符合题意， 此时直线为过点的的切线，理由如下： 连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，，即，， ∴，即， 由垂径定理可得：点为的中点， 在与中 ∴， ∴，即点为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵， ∴点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴直线为过点的的切线． （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点是中点， 由（1）得：，， 在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积， ∵， ∴是等边三角形，即， ∴， ∴线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积为． 【变式52-3】（2026·山东日照·三模）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)的直径为20． ①当时，求的长度， ②若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴为的切线． (2) 或； 【分析】（1）连接，先证明，由，可得，即可证明结论； （2）①连接，过点作于点，先证明四边形是矩形，可得，，设，则，，在中，利用勾股定理列出方程即可求解；②连接，过点作于点，由，可得，则是等边三角形，再利用，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，连接，过点作于点，则， ∵的直径为20， ∴， 由（1）可知，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， 设，则，， ∵， ∴在中，， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，，则， 当时，，则， ∴的长度为或． ②如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵的直径为20， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【题型53 三角形内切圆与外接圆综合】 【例53】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由同弧所对的圆周角相等可得，则，再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论； （2）连接，先证明，由垂径定理得到，由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）过点D作交延长线于E，于H，可求出，则，可证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，；证明四边形是矩形，得到，；证明，得到，则，；设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接，根据，可求出；再证明四边形是矩形，得到，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即的半径为； （3）解；如图3所示，过点D作交延长线于E，于H， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4所示，设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的内心与点O的距离为． 【变式53-1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1) 证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 【变式53-2】如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的内切圆和外接圆，连接，，，取中点，连接，过作于点，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，最大值为，然后由勾股定理求出的值即可，解题的关键是熟练掌握切线长定理，三角形中位线性质定理和勾股定理的应用． 【详解】解：如图，连接，，，取中点，连接，过作于点， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， 则点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点三点共线时，最大，为的值， ∵为的内心，过作于点，于点， ∴四边形为正方形， 由直角三角形的内切圆半径为，即， ∴， 取的中点G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴最大值为， 故答案为：． 【变式53-3】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又 ， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $