第3章 圆 单元复习讲义2026—2027学年苏科版数学九年级上册-

该初中数学圆单元复习讲义以思维导图为统领，系统梳理圆的相关概念、性质定理及位置关系，通过章节化结构（3.1-3.7）和对比表格（如三角形外心位置）呈现知识脉络，突出垂径定理、圆周角定理等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固点与圆位置关系等概念，中等题强化切线性质应用，优质题融入阿基米德折弦定理等拓展内容，培养推理能力与创新意识。配套月考、期中期末真题，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

第3章 圆 思维导图 3.1 圆的相关概念 1. 圆的定义 在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 圆也可以看作是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。 2. 圆的相关基本概念 · 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径长度等于半径的2倍。 · 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，半圆是特殊的弧，既不是优弧也不是劣弧。 · 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。 · 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，等弧不仅长度相等，弧度也必须相等。 · 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 3.2 确定圆的条件 1. 确定圆的基本条件 过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心都在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2. 三角形的外接圆与外心 · 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 · 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 三角形类型 外心位置 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边的中点 钝角三角形 三角形外部 特别地，直角三角形外接圆半径等于斜边长度的一半。 3.3 圆的对称性 1. 圆的对称性 · 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 · 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆绕圆心旋转任意角度都能和自身重合，具有旋转不变性。 2. 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 可以总结为：对于一个圆，满足以下五个条件中的任意两个，就可以推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧（注意当条件为①③时，弦不能是直径）。 3. 圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.4 圆周角 1. 圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 3. 圆周角定理的推论 · 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 · 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 4. 圆内接四边形 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角。 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有： · 点在圆外 ⇨ d > r · 点在圆上 ⇨ d = r · 点在圆内 ⇨ d < r 反过来也成立，即如果已知d和r的大小关系，就可以确定点和圆的位置关系。 2. 直线与圆的位置关系 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线和圆的位置关系可总结为： 位置关系 公共点个数 d与r的关系 名称 相离 0个 d > r 无 相切 1个 d = r 直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 相交 2个 d < r 直线叫做圆的割线，公共点叫做交点 3. 切线的性质与判定 切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 常见辅助线添加方法：要证明切线时，若直线过圆上一点，连接圆心和该点，证明垂直；若直线没有明确给出过圆上一点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4. 切线长定理 经过圆外一点作圆的切线，这个点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 5. 三角形的内切圆与内心 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三个内角角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆半径公式：若直角三角形两条直角边为a、b，斜边为c，则内切圆半径r =，任意三角形内切圆半径r = ，其中S是三角形面积，a、b、c是三边长。 3.6 正多边形与圆 1. 正多边形的相关概念 · 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 · 正多边形的外接圆：把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆，外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。 · 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，n边形中心角的度数为。 · 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 2. 正多边形的性质 · 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。 · 如果正多边形的边数是偶数，那么它也是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心。 · 正n边形的中心角等于它的外角，度数都是。 3.7 扇形 1. 弧长公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l = 。 2. 扇形面积公式 圆心角为n°，半径为R的扇形面积S =；如果已知扇形的弧长为l，半径为R，扇形面积也可以表示为S = lR。 3. 圆锥的相关计算 · 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长l，弧长等于圆锥底面圆的周长2πr（r是底面圆半径）。 · 圆锥侧面积公式：S侧 = πrl · 圆锥全面积公式：S全 = πrl + πr² = πr(l + r) 【类型一】点与圆的位置关系 1．如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 2．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 3．在平面直角坐标系内，点的坐标是．如果与两坐标轴有且只有3个公共点，那么的半径长是______． 【类型二】圆的相关概念 1．下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 2．下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 3．在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 【类型三】确定圆的条件 1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 【类型四】三角形的外接圆与外心 1．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 2．如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图中外接圆的圆心坐标是______． 【类型五】圆心角、弧、弦的关系 1．如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 3．如图，于点，于点，若，求证：． 【类型六】垂径定理求值 1．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 3．如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 【类型七】圆周角定理1 1．如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是上一点，则______． 3．如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【类型八】圆周角定理2 1．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 3．四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 【类型九】圆周角定理3 1．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 3．如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 【类型十】直线与圆的位置关系 1．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 3．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 【类型十一】正多边形与圆 1．如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 3．如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【类型十二】扇形的弧长与面积 1．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 3．如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 【类型一】切线的性质求长度与角度 1．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰中，，延长AC到D，，G为上一点，以为直径的⊙与斜边相切于点P，与的延长线段交于点F，若的长为，则的长是（     ） A． B． C． D． 3．如图，与相切于点，交于点，交于点，连接．若，则的度数为__________． 【类型二】垂径定理平行弦分类 1．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 2．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 3．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【类型三】切线长定理 1．如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 3．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、． (1)求证：； (2)若是大圆的第三条弦，且，则与小圆相切吗？请说明理由． 【类型四】三角形的内切圆 1．如图，，，，内切圆半径为（     ） A． B． C． D． 2．是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________． 3．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【类型五】尺规作图一正多边形与圆 1．如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 2．如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 3．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【类型六】切线的判定 1．如图，在中，，以为直径的与相交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若弦垂直于，垂足为，，，求的半径． 2．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） (1)在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． (2)在图②中，画出圆周角，使得． 3．按要求作图： (1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径； (2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，BAC50，利用无刻度直尺在图中画一个含有50角的直角三角形； (3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； (4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置． 【类型七】无刻度尺作图 1．按要求作图： (1)如图（1），已知，，以为直径的与相交于点，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线； (2)如图（2），已知中，，以为直径的经过、、三点，请你用无刻度的直尺作出的平分线． 2．问题探究： （1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长） （2）如图②所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程． （3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程． 3．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【类型八】圆锥侧面展开最短问题 1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； (2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 2．如图，在中，，点在上，经过点，分别与、相交于点、，与相切于点．于点，连接交于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 3．【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图，是的直径，，沿弦 折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 小鹿说：取弦和弦的中垂线的交点即可； 小鸣说：如图，只需作点关于弦的对称点，点即为所求； 小鹿说：这样看来，折叠后，切点E在直径上运动，可以看成'在直径上滚动； 小鸣说：所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是 ； 【拓展】如图，若切点为的中点，求弦的长． 【类型一】求不规则图形面积 1．如图，半圆的直径是，图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，以为直径作半圆交于点，若点两侧的阴影部分的面积相等，则的长度为______． 3．根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 【类型二】圆中的折叠问题 1．如图，将半径为4的沿折叠，与垂直的半径交折叠后的劣弧于点D，且，则折痕的长为 （   ） A． B． C． D． 2．如图，将扇形沿弦折叠，折叠后的分别与，相切于点A，B，若，则阴影部分的面积为____________．    3．如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【类型三】秦九韶—海伦公式 1．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明． 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 如图，在中，，，．    (1)用海伦公式求的面积； (2)求的内切圆半径r． 2．阅读下列材料并回答问题： 材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． ① 古希腊几何学家海伦（，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式． 我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：． ② 下面我们对公式②进行变形： ． 这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式． 问题：如图，在中，，，，内切于，切点分别是D、E、F． (1)求的面积； (2)求的半径． 3．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 【类型四】婆罗摩笈多定理 1．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：， ，． ． 又_______，， ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的条件为_______________． (2)补全后面的证明过程． 2．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日   晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为． ． ，． ． 与都是所对的圆周角， ．（依据1） ． ． ．（依据2） 同理，． ． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． (2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 3．阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理： 如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ． … 任务： (1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【类型五】阿基米德折弦定理 1．阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 【定理模型】如图①，已知AB和BC是的两条弦（即折线ABC是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程： 如图②，延长DB至点F，使，连接MF，AB，MC，MA，AC，… 【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】如图③，内接于，已知，D为上一点，连接AD，DC，，，求的周长． 2．阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即， 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，延长到点F，使得，连接DA，DB，DC和DF． ∵是的中点 ∴ … 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，．于点，则的周长是______． 【类型六】托勒密定理 1．【定理感知】 克罗狄斯•托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论． 【定理理解】 如图，在四边形中，有，特别地，当时，有． 【定理运用】 请直接运用该定理解决下列问题： (1)如图（1），四边形为的内接四边形，为直径，，，且，则的长为 ． (2)如图（2），半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，，B为半圆上的一点，以为一边作等边三角形，求的最大值及此时的长． (3)如图（3），已知四边形中，，，，求的最大值． 2．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下： 圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形内接于，则有______． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______． （2）已知，如图2，四边形内接于，平分，，求证：． 3．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　． （2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长． 【类型七】新定义圆—几何 1．【定义】数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”． 【理解】 （1）如图①，点A、B是上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使为“智慧三角形”．（画出点C的位置，保留作图痕迹） （2）如图②，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． 【运用】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，的半径为1，Q是直线上的一点，若上存在一点P，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标． 2．【定义】对于给定的一个锐角，我们这样定义它的等弦圆：以角内一点为圆心画圆，若圆与该角的两边相交所截的两条弦相等，我们把这个圆叫作这个角的等弦圆．例如：如图①，为内一点，在射线、截得弦、，，所以为的等弦圆． 【探究】 (1)求证：点在角平分线上． 小明的证明思路：过点向和作垂线，连接，，通过三角形全等和利用角平分线逆定理来证明． 以下是小明的部分证明过程： 过点向和作垂线，分别交和于点，，连接，， 则， ，，， … 又， ∴点在角平分线上 请你帮助小明完成上述证明过程． 【应用】 (2)如图②，为的等弦圆，若，当时，则_____； 【拓展】 (3)如图③，为的等弦圆，若，连接，若当，且与相切，则的等弦圆半径的取值范围为_____． 3．【定义1】如图1所示，像这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角； 【定义2】站在某一位置观察测物体时，视线范围所成的角度称为视角，如图2，在M和N点对矩形观测，会有不同的视角． (1)【判断】如图3，连接，_____．（，，） (2)【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中，，，直线，P为直线l上一点，连接，求的最大值． (3)【拓展应用】学校计划组织学生春游，一条北偏东走向的路上经过紫色大厦时，小明发现在观察紫色大厦时的最大视角为，小明认为，可以通过将公路和建筑物放在如图所示的平面直角坐标系中，可以计算出此时公路距离紫色大厦的最近距离的长度．请你协助小明完成计算，直接写出答案．    【类型八】新定义圆—函数 1．定义：P、Q分别是两条线段a，b上任意一点，线段长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知，，，，是平面直角坐标系中四点． (1)根据上述定义，当，时，如图1，线段与线段的距离为__________； (2)当，时，如图2，线段与线段的距离（即线段的长）为__________； (3)如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段与线段的距离记为d，求d关于m的函数解析式． 2．点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 3．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段长度的最小值叫做线段a与线设b的“冰雪距离”．已知，，，是平面直角坐标系中四点． (1)根据上述定义，完成下面的问题： ①当，时，如图1，线段与线段的“冰雪距离”是 ②当时，线段与线段的“冰雪距离”是1，则n的取值范围是 (2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当时，线段与线段的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值； (3)当m的值变化时，动线段与线段的“冰雪距离”始终为1，线段的中点为M．求点M随线段运动所走过的路径长． 【类型九】动圆相切求t 1．在矩形中，，点从点出发沿边以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒： (1)如图1， 秒后，的面积等于； (2)在运动过程中，若以为圆心、为半径的与相切（如图1），求值； (3)如图2，若以为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 2．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，． (1)当　　时，与所在直线第一次相切；点到直线的距离为 ； (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切； (3)当的一边所在直线与圆相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 3．在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动，P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒（），回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 1．（25-26九年级下·重庆开州·阶段检测）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·西藏·阶段检测）如图，是的直径，若，，则的长等于（    ） A． B． C．5 D． 4．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，是地球示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．点P表示北京的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）若一个正多边形的每一个外角都为，则这个正多边形的中心角度数为________． 6．（25-26六年级下·上海·阶段检测）若一圆锥的底面周长是，母线长是，则圆锥的侧面积为__________ ． 7．（25-26九年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在正方形中，，以为圆心，长为半径作，以中点为圆心，以为半径作弧与半圆交于点，则图中阴影部分的面积为_____. 8．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 9．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）点均在上，仅用无刻度的直尺分别在给定图中按要求作图，点均不与点重合． (1)在图①中，画一个与相等的圆周角； (2)在图②中，画一个与互补的圆周角； (3)在图⑧中，画一个与互余的圆周角． 10．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，以、为边作平行四边形，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，且，求图中阴影部分面积． 1．（25-26九年级下·江苏南通·期中）若扇形的半径为，圆心角是，则此扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·重庆忠县·期中）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级下·上海·期中）小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的内部，连接，，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 6．（25-26九年级下·云南昭通·期中）已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 7．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形，又称“莱洛三角形”，是一种特殊的图形．若等边三角形的边长为，则该鲁洛克斯三角形的周长为________． 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向下平移5个单位后得到，请画出； (2)将绕原点O逆时针旋转后得到，请画出；的坐标为__________； (3)在（2）的条件下，点B绕原点O逆时针旋转的路径长为__________． 9．（25-26九年级下·湖北宜昌·期中）已知内接于，且是的直径，点为线段的中点，点在的延长线上，连接，，， ． (1)求证：为的切线； (2)若，，求半径． 10．（25-26九年级下·陕西西安·期中）解答下列各题： (1)问题提出 如图1，在四边形中，，，若，则的大小为________； (2)问题探究 如图2，的半径为13，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值． (3)问题解决 某新建小区中央有一块正方形的空地，边长，规划为居民建设一个休闲场地（如图3）．其中区域为牡丹园，，为长的休闲走廊，，为边上的安全出入口，，和为两条安全通道，为赏花小道． 请问：在满足上面的设计中，能否让两条安全通道之和（）最短时，赏花小道也最短？若能，求出满足要求的赏花小道的最小值；若不能，请说明理由．（安全通道、休闲走廊和赏花小道的宽忽略不计）      1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是半的直径，点在半圆周上，连接，，垂足为，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26八年级下·山东日照·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 6．（25-26七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 7．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 8．（25-26九年级下·吉林通化·期末）图①、图②是由边长为1的小正方形组成的66网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中点、为格点，经过点、，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． (1)如图①，过点作的垂线，交于点、； (2)如图②，点在上，过点作弦． 9．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，在中，为的直径，C为上一点，为的平分线交于点D，连接交于点E，过点A作的切线交延长线于点F，过点D作，交于点G． (1)求证：； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)若，，求的长． 10．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图1，已知是的外接圆，，         (1)的长为________ (2)尺规作图在图1中画出圆心O（不必写作法，保留作图痕迹），并求出半径． (3)将绕点B逆时针旋转一周 ①如图2，当点恰好落在上时，判断直线与的位置关系，并说明理由； ②如图3，点M在优弧上，且，连接，，在旋转过程中，当时，直接写出点的运动路径长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆 思维导图 3.1 圆的相关概念 1. 圆的定义 在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 圆也可以看作是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。 2. 圆的相关基本概念 · 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径长度等于半径的2倍。 · 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，半圆是特殊的弧，既不是优弧也不是劣弧。 · 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。 · 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，等弧不仅长度相等，弧度也必须相等。 · 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 3.2 确定圆的条件 1. 确定圆的基本条件 过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心都在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 2. 三角形的外接圆与外心 · 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 · 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 三角形类型 外心位置 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边的中点 钝角三角形 三角形外部 特别地，直角三角形外接圆半径等于斜边长度的一半。 3.3 圆的对称性 1. 圆的对称性 · 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 · 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆绕圆心旋转任意角度都能和自身重合，具有旋转不变性。 2. 垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 可以总结为：对于一个圆，满足以下五个条件中的任意两个，就可以推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧（注意当条件为①③时，弦不能是直径）。 3. 圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.4 圆周角 1. 圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 3. 圆周角定理的推论 · 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 · 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 4. 圆内接四边形 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角。 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有： · 点在圆外 ⇨ d > r · 点在圆上 ⇨ d = r · 点在圆内 ⇨ d < r 反过来也成立，即如果已知d和r的大小关系，就可以确定点和圆的位置关系。 2. 直线与圆的位置关系 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线和圆的位置关系可总结为： 位置关系 公共点个数 d与r的关系 名称 相离 0个 d > r 无 相切 1个 d = r 直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 相交 2个 d < r 直线叫做圆的割线，公共点叫做交点 3. 切线的性质与判定 切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 常见辅助线添加方法：要证明切线时，若直线过圆上一点，连接圆心和该点，证明垂直；若直线没有明确给出过圆上一点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4. 切线长定理 经过圆外一点作圆的切线，这个点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 5. 三角形的内切圆与内心 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三个内角角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆半径公式：若直角三角形两条直角边为a、b，斜边为c，则内切圆半径r =，任意三角形内切圆半径r = ，其中S是三角形面积，a、b、c是三边长。 3.6 正多边形与圆 1. 正多边形的相关概念 · 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 · 正多边形的外接圆：把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆，外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。 · 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，n边形中心角的度数为。 · 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 2. 正多边形的性质 · 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。 · 如果正多边形的边数是偶数，那么它也是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心。 · 正n边形的中心角等于它的外角，度数都是。 3.7 扇形 1. 弧长公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l = 。 2. 扇形面积公式 圆心角为n°，半径为R的扇形面积S =；如果已知扇形的弧长为l，半径为R，扇形面积也可以表示为S = lR。 3. 圆锥的相关计算 · 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长l，弧长等于圆锥底面圆的周长2πr（r是底面圆半径）。 · 圆锥侧面积公式：S侧 = πrl · 圆锥全面积公式：S全 = πrl + πr² = πr(l + r) 【类型一】点与圆的位置关系 1．如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 【答案】C 【分析】已知的半径，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解． 【详解】解：为直径作， ∴的半径 ∵在直角中，为斜边上的中线， ∴ ∴点C在圆上． 2．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 3．在平面直角坐标系内，点的坐标是．如果与两坐标轴有且只有3个公共点，那么的半径长是______． 【答案】4或5/5或4 【分析】本题考查圆与坐标轴的位置关系，掌握根据圆心到坐标轴的距离及圆的半径，分析公共点数量是解题的关键． 分析圆心到坐标轴的距离，分圆与轴相切、圆经过原点两种情况，判断圆与坐标轴的公共点数量，从而确定半径． 【详解】解：圆心到轴距离为4，到轴距离为3，到原点距离为． 当圆与轴相切时，半径，此时圆与轴相交于两点，公共点共个； 当圆经过原点时，半径，此时圆与轴、轴各有一个除原点外的交点，公共点共个． 其他情况：当时，无公共点； 当时，与轴相切，有个交点，与轴无交点，公共点数为； 当时，与轴有两个交点，与轴无交点，公共点数为； 当或时，与轴和轴各有两个交点，公共点数为； 故半径为或时，圆与坐标轴有且只有个公共点． 故答案为：或． 【类型二】圆的相关概念 1．下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 2．下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 3．在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 【答案】② 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．根据圆的相关概念，半圆是扇形的一种，也是弧的一种；但弧不一定是半圆，圆上两点间的线段是弦而非弧。 【详解】解：半圆不是扇形，故①错误； 半圆是圆上一条特殊的弧，故②正确； 弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆，故③错误； 圆上任意两点间的曲线是弧，线段是弦，故④错误． 故答案为：②． 【类型三】确定圆的条件 1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 2．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关概念． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 【答案】②①④③ 【分析】同一平面内，不共线的三点可确定一个圆，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，因此第一步在圆弧上任意找三点，进而可得圆的两条弦，作这两条弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心，进而可作出对应的圆，据此可得答案． 【详解】解：首先在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C，即步骤②，然后连接和，将这三点转化为三角形的边（即圆的弦），即步骤①．根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，分别作出和的垂直平分线，它们的交点即为圆心，即步骤④． 最后以点O为圆心，为半径作，即可得到原来的圆形玻璃，即步骤③． 故正确的操作步骤是②①④③． 【类型四】三角形的外接圆与外心 1．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】连接，由题意易得是的中位线，是的中位线，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点O是的外心，，， ∴点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 2．如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图中外接圆的圆心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形外心的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，即外心是三角形三边中垂线的交点． 【详解】解：和的垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心，由图知．     故答案为：． 【类型五】圆心角、弧、弦的关系 1．如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ，，，． 2．如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．如图，于点，于点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、圆心角与弧的关系，证明是解答的关键． 利用定理证明，得到，再根据同圆中圆心角相等则所对的弧相等即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ． 【类型六】垂径定理求值 1．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 2．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 3．如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 【类型七】圆周角定理1 1．如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【详解】解：， ， 又， ， 2．如图，在中，，是上一点，则______． 【答案】 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解即可． 【详解】∵， ∴优弧所对应的圆心角为， 根据圆周角定理得： ∴优弧所对应的圆周角为 ． 3．如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角进行证明即可； （2）求出，，在中利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴，， ∵于点E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∴ 【类型八】圆周角定理2 1．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． 3．四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 【答案】(1)证明：连接， ，且经过、、三点， 为直径， ， 点在上． (2)证明：取中点O，连接，， ∵， ∴ ， 垂直平分 ． 【分析】（1）连接，由，且经过、、三点，得到为直径，再根据，得到点在上． （2）取中点O，连接，，由直角三角形斜边中线得到，即可得到垂直平分，得到． 【详解】（1）略 （2）略 【类型九】圆周角定理3 1．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数 = ． 2．如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【答案】/100度 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 3．如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知识； （1）先根据垂径定理可得：，再由圆周角定理可得结论； （2）如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，证明，则四边形的面积四边形的面积，可以解答． 【详解】（1）证明：为直径，， ， ； （2）解：如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，， ， ， ， ， ， 四边形的面积四边形的面积， ，， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 四边形的面积四边形的面积． 【类型十】直线与圆的位置关系 1．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 2．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 3．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 【答案】当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时， 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、含30度的直角三角形，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点作于点，则，根据三角形内角和定理可得，则有，由题意得，再分所在直线与相切或相离两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵为边上一点，， ∴， ∵的半径为1， ∴当所在直线与相切时，则，即，解得； 当所在直线与相离时，则，即，解得， ∴； ∴综上所述，当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时，． 【类型十一】正多边形与圆 1．如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】作出圆心，连接，由圆周角定理得到，利用弦相等则弧相等得出 ，最后根据正多边形中心角公式求解． 【详解】解：作出圆心，连接 ∴ ∴ 是正边形的两条邻边 正边形的一边所对的圆心角为 ． 2．如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 【答案】/112.5度 【分析】设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则，求出正八边形中心角，再利用三角形内角和定理求出，最后再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接， 则， ∵， ∴， ∴． 3．如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． （2）解：与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆的综合，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 【类型十二】扇形的弧长与面积 1．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 2．如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 3．如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 【答案】扇形（即阴影部分）的面积为 【分析】连接，先根据切线性质得到，进而得到，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，继而得到，最后根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接． 与相切于点． ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 【类型一】切线的性质求长度与角度 1．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的切线的定义得出，由直角三角形两个锐角互余可得出，最后由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的切线，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在等腰中，，延长AC到D，，G为上一点，以为直径的⊙与斜边相切于点P，与的延长线段交于点F，若的长为，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设半径为r，结合可知，所以，，因为是的切线，所以，结合是等腰直角三角形，可得，因此是等腰直角三角形，得到与的关系．结合第一步得到的与r的关系，代入的长度列方程求解r．最后根据勾股定理计算的长度． 【详解】解：连接， 设的半径为， 因为是直径，为圆心， 所以， ， ． 是等腰直角三角形，，， 到圆心的距离为：． 是的切线， ，， 为等腰直角三角形， ． ， 解得． ，． ． 3．如图，与相切于点，交于点，交于点，连接．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质可得，推出，由圆周角定理可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ． 【类型二】垂径定理平行弦分类 1．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 2．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 3．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况． 【类型三】切线长定理 1．如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 2．如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接、，在优弧上取一点，连接、，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而得出是等边三角形，根据四边形内角和为求出，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，在优弧上取一点，连接、， ∵，为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 3．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、． (1)求证：； (2)若是大圆的第三条弦，且，则与小圆相切吗？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)相切；理由见解析 【分析】本题考查了切线的性质、切线长定理、垂径定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． （1）先由切线的性质及切线长定理得出，，，再由垂径定理得出，，即可证明． （2）连接，过点作，垂足为，利用全等三角形证明，即可根据切线的判定定理得出结论. 【详解】（1）证明：连接、． 是小圆的两条切线，切点分别为， ． ． ． （2）MN与小圆相切． 连接，过点作，垂足为， ． ， ． 在和中， ， ． 与小圆相切． 【类型四】三角形的内切圆 1．如图，，，，内切圆半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图中A、B、C、D四点共圆，且，可得，因此是圆的直径，进一步可得，同时．先在中用勾股定理求的长度，再在中求出的长度．过点A作于点E，用勾股定理求出的长度，即得的长度。设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H，则，由，代入的值，即可求出内切圆半径． 【详解】解：连接，∵， ∴，， ∴， ∴是圆的直径． ∴， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴ ． 过点A作于点E， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H， 则， ∵， ∴， 化简得， 解得． 2．是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________． 【答案】/ 【分析】过点作，交于点，连接，由题意易得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可知要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆，然后根据内心的性质可得的半径，进而问题可求解． 【详解】解：过点作，交于点，连接，如图所示： ∴，即垂直平分， ∴当点在上时，则根据线段垂直平分线的性质可知：， ∴， ∴要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴点到的三边距离都是的半径， ∵， ∴， ∴半圆的面积为， 即所有点组成的区域的面积为． 3．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 【类型五】尺规作图一正多边形与圆 1．如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理，正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键． （1）作出直径，再作的线段垂直平分线，与相交于、，顺次连接、、、即可； （2）利用正方形的性质可得，，再结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形． 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 是的直径， ， 四边形是正方形； （2）解：的半径为，四边形是正方形， ，， ． 即正方形的边长为． 2．如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 【详解】略 3．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 【类型六】切线的判定 1．如图，在中，，以为直径的与相交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若弦垂直于，垂足为，，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2)4 【分析】（1）连接，先判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论； （2）连接，先求出，设的半径为r，则，，进而求出，最后用勾股定理求解，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，且为的直径，， ， 设的半径为，则， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ． 即的半径为4． 2．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） (1)在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． (2)在图②中，画出圆周角，使得． 【答案】(1)如图，图中点即为所求的圆心， ， (2)如图，图中即为所求（答案不唯一）， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及，得到是的直径，根据矩形的对角线相等且相互平分，作矩形的对角线交于点，点即为所求；根据勾股定理即可求得的直径的长度． （2）根据格点的性质作等腰直角三角形，即可得，则与的交点即为所求，连接，根据同弧所对的圆周角相等，即可得到． 【详解】（1）解：根据作图可知，，，是的直径， ∴在中，， 故答案为：； （2）略． 3．按要求作图： (1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径； (2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，BAC50，利用无刻度直尺在图中画一个含有50角的直角三角形； (3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； (4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】（1）根据垂径定理可知，AB 的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可； （2）延长AC交⊙O与点E，连接BO并延长交⊙O于点F，在连接EF，则即为所求； （3）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可； （4）过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可． 【详解】（1）解：根据垂径定理可知，AB 的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可，如图：EF即为直径； （2）解：延长AC交⊙O与点E，连接BO并延长交⊙O于点F，在连接EF，则即为所求； （3）解：作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可，如图； （4）解：过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可，如图： 【点睛】本题考查作图，圆周角定理，切线性质，垂直平分线，解题的关键是理解题意，综合运用所学知识，是中考中常见题型． 【类型七】无刻度尺作图 1．按要求作图： (1)如图（1），已知，，以为直径的与相交于点，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线； (2)如图（2），已知中，，以为直径的经过、、三点，请你用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键． （1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求； （2）如图，连接，延长交于点Q，连接，可证，进而得到，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得，故为所求． 【详解】（1）解：如图，连接，则平分，说明如下： ∵ 是直径， ∴，即， 又∵， ∴， ∴即为所求； （2）解：如图，连接，延长交于点Q，连接，即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．问题探究： （1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长） （2）如图②所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程． （3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】（1）蚂蚁爬行的最短路程为5; （2）最短路程为;（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】（1）蚂蚁爬行的最短路程为圆柱侧面展开图即矩形的对角线的长度，由勾股定理可求得； （2）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中的AA′的连线，可求得△PAA′是等边三角形，则AA′=PA=4； （3）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中点A到PA的距离． 【详解】（1）由题意可知： 在 中， 即蚂蚁爬行的最短路程为5． （2）连结则的长为蚂蚁爬行的最短路程，设为圆锥底面半径，为侧面展开图（扇形）的半径， 则由题意得： 即 是等边三角形 最短路程为 （3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过作于点则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 在Rt△ACP中， ∵∠P=60°， ∴∠PAC=30° ∴PC=PA=×4=2   ∴AC== 蚂蚁爬行的最短距离为 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，圆周长公式，弧长公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握相关公式和性质定理是本题的解题关键． 3．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 【类型八】圆锥侧面展开最短问题 1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度； (2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查圆锥的几何性质． （1）求出底面周长即为这个圆锥的侧面展开图中弧的长度 （2）侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为AC的距离． 【详解】（1）解：弧的长度=底面圆的周长； （2）解：设的度数为n． ， 解得， 所以，的度数为； （3）解：连接，过B作于D， ∴，， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即这根绳子的最短长度是 2．如图，在中，，点在上，经过点，分别与、相交于点、，与相切于点．于点，连接交于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴直线与相切． (2) 【分析】（1）连接．证明．由是的半径，即可得到结论； （2）设的半径为，连接，证明四边形是正方形，得到，在中，，即，解得，利用进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，连接． ∵与相切于点， ， ，且， ∴四边形是正方形， ∴， ， ， 在中，，即， 解得（负值舍去）． ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． 3．【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图，是的直径，，沿弦 折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 小鹿说：取弦和弦的中垂线的交点即可； 小鸣说：如图，只需作点关于弦的对称点，点即为所求； 小鹿说：这样看来，折叠后，切点E在直径上运动，可以看成'在直径上滚动； 小鸣说：所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是 ； 【拓展】如图，若切点为的中点，求弦的长． 【答案】；平行； 【分析】发现：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变，与的半径相等，即半径为； 探究：根据切点在直径上运动，与相切于点，可得折叠后圆的半径为定值，即可得出点的运动路线与直径平行； 拓展：设与交于点，连接，，如图，则，，根据轴对称可得，，得，根据勾股定理，，即可解答． 【详解】发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变， ∵是折叠得到， ∴与的半径相等，即半径为， 故答案为：； 探究：连接，则， ∵的半径为， ∴， 即到的距离始终为， ∴点的运动路线和直径的位置关系是平行， 故答案为：平行； 拓展：设与交于点，连接，，如图，则，， 根据轴对称可得，， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． 【点晴】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，折叠的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【类型一】求不规则图形面积 1．如图，半圆的直径是，图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不规则的图形分割成规则的图形，利用扇形的面积公式和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：如下图所示，点为半圆圆心， 由题意可知：， ， 点、分别为两个小半圆的圆心， ， ， ． 2．如图，在中，，以为直径作半圆交于点，若点两侧的阴影部分的面积相等，则的长度为______． 【答案】 【分析】由于点两侧的阴影部分的面积相等，则它们分别加上空白部分的面积后的面积相等，即半圆的面积等于的面积，据此求解即可． 【详解】解：∵点两侧的阴影部分的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 【答案】(1) 如图，即为所求： (2) 如图，即为所求： 【分析】（1）先任意作一条直径，再分别以直径的端点为圆心，的半径为半径画与相交的弧，间隔一个弧连接可得等边； （2）过M作直线，交于D，过D作的垂线，过M作的垂线，交于E，过E作的垂线交于C，作射线交于F，过F作的垂线交于A，交于B，则即为所求． 【详解】（1）解：由作图痕迹得， ∴，则为等边三角形； （2）解：由作图痕迹，，又是的半径， ∴与相切， ∵， ∴， ∵，是的半径， ∴与相切，， 同理与相切， ∴为的一个外切直角三角形． 【类型二】圆中的折叠问题 1．如图，将半径为4的沿折叠，与垂直的半径交折叠后的劣弧于点D，且，则折痕的长为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及折叠的性质，解决本题的关键是添加辅助线设出未知数，求出的长度． 设，即可得，根据折叠的性质可得，由此可求解x的值，根据垂直半径所在的直线可得，由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】解：延长交于点E，交于点F，如图， 设， ∵半径为4， ∴， ∵，即， 由折叠可得，， ∴，解得， ∴， ∵垂直半径所在的直线，即， 在中，， ∴． 故选：B ． 2．如图，将扇形沿弦折叠，折叠后的分别与，相切于点A，B，若，则阴影部分的面积为____________．    【答案】/ 【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，翻折变换，解决本题的关键是掌握扇形面积的相关计算．作点关于的对称点，连接、，如图，利用对称的性质得到，则可判断四边形为菱形，再根据切线的性质得到，，则可判断四边形为正方形，然后利用正方形的面积减去扇形面积即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，   ， 四边形为菱形， 折叠后的与、相切， ，， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 3．如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2)平方米． 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【详解】（1）解：正六边形如图所示， （2）解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 平方米． 【类型三】秦九韶—海伦公式 1．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明． 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 如图，在中，，，．    (1)用海伦公式求的面积； (2)求的内切圆半径r． 【答案】(1)的面积； (2)的内切圆半径． 【分析】（1）先根据的长求出的值，再代入到公式即可求得S的值； （2）根据公式，代入可得关于r的方程，解方程得r的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； 故的面积； （2）解：∵， ∴， 解得：， 故的内切圆半径． 【点睛】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键． 2．阅读下列材料并回答问题： 材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． ① 古希腊几何学家海伦（，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式． 我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：． ② 下面我们对公式②进行变形： ． 这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式． 问题：如图，在中，，，，内切于，切点分别是D、E、F． (1)求的面积； (2)求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的应用，切线的性质，三角形面积计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握切线的性质． （1）由已知的三边，，，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦﹣秦九韶公式求解即可； （2）连接、、、、、，根据切线的性质得出，，，，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：连接、、、、、，如图所示： 设的半径为r， ∵内切于，切点分别是D、E、F， ∴，，，， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴． 3．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 【答案】(1) 解： ， 又的周长的一半， 的内切圆的半径． (2)1 【分析】本题考查实数的混合运算，三角形的内切圆，正方形的判定和性质，正确运用材料中的公式是解题的关键． （1）利用二次根式及有理数的运算法则计算出，再根据计算的内切圆的半径； （2）先利用勾股定理求出，进而求出的周长的一半和，根据即可求出的内切圆的半径，再证四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接和， 在中，， ， 设，p为的周长的一半， 则，， 的内切圆的半径． ； 又为的内切圆， ，， ， 四边形是正方形， ． 故答案为：1． 【类型四】婆罗摩笈多定理 1．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：， ，． ． 又_______，， ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的条件为_______________． (2)补全后面的证明过程． 【答案】(1) (2) 证明：，， ，， ， 又，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． （1）由等量代换作答即可； （2）根据等边对等角可得，由，可得，则，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，材料中横线部分缺少的条件为， 故答案为：； （2）略 2．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日   晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为． ． ，． ． 与都是所对的圆周角， ．（依据1） ． ． ．（依据2） 同理，． ． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． (2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等，等角对等边 (2)正确，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等以及等腰三角形的性质即可得到答案； （2）根据，，可推出，再由圆内接四边形的性质可知，从而得到，结合，可得，则，同理，，即可得到结论； （3）取的中点，连接，，利用三角形中位线的性质可推出，，，，结合，可知，最后利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：与都是所对的圆周角， ，（同弧所对的圆周角相等） 依据1为同弧所对的圆周角相等； ， ，（等角对等边） 依据2为等角对等边； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；等角对等边． （2）解：正确，理由如下， ，， ，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 又， ， ， 同理，， ． （3）解：取的中点，连接，，如图， 则， 根据题意可知，， 为中位线， ，， 同理，，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 3．阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理： 如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ． … 任务： (1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【答案】(1)①；② (2)1 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边的性质，关键是能熟练应用圆的有关性质，掌握相应角的定义和计算是关键． （1）根据圆周角定理和等角对等边的性质可得结论； （2）应用（1）的结论，圆内接四边形的性质，可求解．． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴． … 故答案为：①；②； （2）解：四边形是内接四边形， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 【类型五】阿基米德折弦定理 1．阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 【定理模型】如图①，已知AB和BC是的两条弦（即折线ABC是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即． 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程： 如图②，延长DB至点F，使，连接MF，AB，MC，MA，AC，… 【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程． 【问题解决】如图③，内接于，已知，D为上一点，连接AD，DC，，，求的周长． 【答案】[定理证明]见解析；[问题解决] 【分析】[定理证明] 证明，则，再证明，则，可得； [问题解决]过点A作交于E，可得为等边三角形，则，根据阿基米德折线定理，，即可求的周长为． 【详解】[定理证明]证明：∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； [问题解决] 解：过点A作交于E， ∵，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 根据阿基米德折线定理，， ∴的周长为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，理解阿基米德折线定理，熟练掌握圆的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 2．阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据“折弦的中点”定义可得：； （2）证法一：在上截取，连接、、、．先证明，再证明，得到，进而证明，即可证明； 证法二：过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、，先证明，，再证明，得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：根据“折弦的中点”定义可得：， 故答案为：． （2）证法一：如图所示，在上截取，连接、、、． ∵为的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    证法二：如图所示，过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、， ∵为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ．    【点睛】本题为新定义问题，考查了圆周角定理，弧、弦的关系，熟知相关知识，理解题意，根据题意添加适当辅助线构造全等三角形是解题关键． 3．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即， 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，延长到点F，使得，连接DA，DB，DC和DF． ∵是的中点 ∴ … 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，．于点，则的周长是______． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据题意证明，得，再证明得。进一步可得结论； （2）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，结合已知即可证明△ABF≌△ACD，可得AF=AD，再根据等腰三角形的性质可得CD+DE=BE，进而由求出BE的长，再求的周长即可． 【详解】解：（1）证明：∵是的中点 ∴ ∵，AE=CF ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ （2）如图，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD， 根据题意得，AB=AC，, 在△ABF和△ACD中， ∴△ABF≌△ACD ∴AF=AD ∵AE⊥BD ∴FE=DE ∴CD+DE=BF+FE=BE ∵ ∴ ∴BD+CD=2BE= ∵是等边三角形，且AB=BC=6 ∴的周长为： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了圆的有关知识的综合运用，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 【类型六】托勒密定理 1．【定理感知】 克罗狄斯•托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论． 【定理理解】 如图，在四边形中，有，特别地，当时，有． 【定理运用】 请直接运用该定理解决下列问题： (1)如图（1），四边形为的内接四边形，为直径，，，且，则的长为 ． (2)如图（2），半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，，B为半圆上的一点，以为一边作等边三角形，求的最大值及此时的长． (3)如图（3），已知四边形中，，，，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为3， (3)最大值为5 【分析】（1）根据圆周角定理，结合含特殊角的直角三角形，求出的长，利用托勒密定理，求出的长即可； （2）设，利用托勒密定理求出的最大值，过点B作，利用勾股定理求出的长即可； （3）勾股定理，求出的长，利用托勒密定理得到，进而求出的最大值即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形是内接四边形， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由托勒密定理得：， ∴， ∴． （2）解：由题得，， ∵是等边三角形， ∴设， 在四边形中，由托勒密定理得： ， ∴， ∴， 当且仅当时，等号成立， 又∵， ∴， 如图（4），过点B作， ∴在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴的最大值为3，． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴A，B，C，D四点共圆，在四边形中，由托勒密定理得： ， ∴， ∴， 又∵A，B，C，D四点共圆，且为直径， ∴， 如图（5），当且仅当为直径时，等号成立 ∴， ∴的最大值为5． 2．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下： 圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形内接于，则有______． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______． （2）已知，如图2，四边形内接于，平分，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）由托勒密定理可直接求解； （2）连接AC，通过证明△ACD是等边三角形，可得AC=AD=CD，由AC•BD=AB•CD+BC•AD，可求解． 【详解】解：（1）由托勒密定理可得： 故答案为： （2）如图，连接 ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∵四边形是圆内接四边形 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的有关知识，阅读理解题意是本题的关键． 3．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　． （2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由托勒密定理可直接求解； （2）连接，根据圆周角与弦的关系可得，设，在四边形中，根据托勒密定理有，，建立方程即可求得的长 【详解】（1）由托勒密定理可得： 故答案为： （2）如图，连接， 五边形是正五边形，则, 设， 即 解得（舍去） 【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关键． 【类型七】新定义圆—几何 1．【定义】数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”． 【理解】 （1）如图①，点A、B是上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使为“智慧三角形”．（画出点C的位置，保留作图痕迹） （2）如图②，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． 【运用】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，的半径为1，Q是直线上的一点，若上存在一点P，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）是“智慧三角形”，理由见解析；（3）存在，点P的坐标为或 ． 【分析】（1）连结并且延长交圆于，连结并且延长交圆于，即可求解； （2）设正方形的边长为，表示出、以及、的长，然后根据勾股定理列式表示出、、，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，由直角三角形的性质可得为“智慧三角形”； （3）根据“智慧三角形”的定义可得为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解． 【详解】解：（1）如图1所示： ∵是直径， ∴，， ∴为“智慧三角形”， 同理为“智慧三角形”； （2）是“智慧三角形”， 理由如下：设正方形的边长为， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形， ∵斜边上的中线等于的一半， ∴为“智慧三角形”； （3）如图3所示： 由“智慧三角形”的定义可得为直角三角形， 根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为3， 由勾股定理可得， ∵，即， ∴， 由勾股定理可求得， 故点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出的各边的平方，熟练掌握“智慧三角形”的定义是解题的关键． 2．【定义】对于给定的一个锐角，我们这样定义它的等弦圆：以角内一点为圆心画圆，若圆与该角的两边相交所截的两条弦相等，我们把这个圆叫作这个角的等弦圆．例如：如图①，为内一点，在射线、截得弦、，，所以为的等弦圆． 【探究】 (1)求证：点在角平分线上． 小明的证明思路：过点向和作垂线，连接，，通过三角形全等和利用角平分线逆定理来证明． 以下是小明的部分证明过程： 过点向和作垂线，分别交和于点，，连接，， 则， ，，， … 又， ∴点在角平分线上 请你帮助小明完成上述证明过程． 【应用】 (2)如图②，为的等弦圆，若，当时，则_____； 【拓展】 (3)如图③，为的等弦圆，若，连接，若当，且与相切，则的等弦圆半径的取值范围为_____． 【答案】(1)过点向和作垂线，分别交和于点，，连接，， 则， ，，， ∵， ， 在和中， ， ， 又， ∴点在角平分线上 (2)； (3) 【分析】（1）借助垂径定理得到弦一半相等，结合半径相等用HL证直角三角形全等，推垂线长相等，利用角平分线逆定理证P在角平分线上． （2）由角平分线得，垂径定理求，设半径结合勾股定理解出垂线长，再用直角三角形边长关系求 （3）先判定为等边三角形，算出到距离；依据在角平分线、与相切（到距离），找两个临界：与边相切、过顶点，从而确定半径取值范围． 【详解】（1）解：略； （2）解：过点向和作垂线，分别交和于点，，连接，， 则，， ，由（1）得平分， ， ， ， ， ∴， 设 ， ， ∴， ， ， ； （3）解：，， 是等边三角形， ∴，， 由（1）得平分， ∴垂直平分，令垂足为， ∴ ∵，平分， ， ①临界1：与相切，到距离 到距离，， ， 到距离， 与相切， 到距离， ， ， ②临界2：过点，设， 到距离， 与相切， 到距离， ， ， ． 3．【定义1】如图1所示，像这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角； 【定义2】站在某一位置观察测物体时，视线范围所成的角度称为视角，如图2，在M和N点对矩形观测，会有不同的视角． (1)【判断】如图3，连接，_____．（，，） (2)【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中，，，直线，P为直线l上一点，连接，求的最大值． (3)【拓展应用】学校计划组织学生春游，一条北偏东走向的路上经过紫色大厦时，小明发现在观察紫色大厦时的最大视角为，小明认为，可以通过将公路和建筑物放在如图所示的平面直角坐标系中，可以计算出此时公路距离紫色大厦的最近距离的长度．请你协助小明完成计算，直接写出答案．    【答案】(1)＜ (2)的最大值为 (3) 【分析】（1）由图可得，即可得到答案； （2）当以为弦的圆，与直线l相切时．P即为切点时，最大，根据，即可求解； （3）当以为弦的圆P与直线相切时，切点（H）处观察紫色大厦的视角最大，令，根据条件可证为等腰直角三角形，从而求出边长，同理可证为等腰直角三角形，从而求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：当以为弦的圆，与直线l相切时．P即为切点时，最大． 因为此时只有点P在圆上，直线上的其它点都在圆外．如图所示：      令直线l与x轴，y轴的交点记为E，F， 因为直线， 则，与x轴夹角是， 将这个圆记为，令， 则，即． 又，． 所以， 解得，（舍去）． 所以． 在中，，所以，则． 所以． 即的最大值为． （3）解：令公路与x轴，y轴的交点记为E，F；与y轴交点为Q．如图所示：    当以为弦的圆P与直线相切时，切点（H）处观察紫色大厦的视角最大． 令，则． 又，所以． 则， 所以为等腰直角三角形． 所以， 则． 又为等腰直角三角形， 所以． 故． 所以． 过点作垂线，则垂线经过点A，且垂线段的长为， 所以最近距离的长为：． 【点睛】本题为一次函数应用的综合题，同时考查了圆的相关知识及解一元二次方程． 【类型八】新定义圆—函数 1．定义：P、Q分别是两条线段a，b上任意一点，线段长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知，，，，是平面直角坐标系中四点． (1)根据上述定义，当，时，如图1，线段与线段的距离为__________； (2)当，时，如图2，线段与线段的距离（即线段的长）为__________； (3)如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段与线段的距离记为d，求d关于m的函数解析式． 【答案】(1)2； (2)； (3)当时，；当时，． 【分析】本题考查了圆的相关性质、点的坐标、勾股定理等重要知识点，根据新定义得出线段之间距离是解决本题的关键． （1）理解新定义，按照新定义的要求求出两个距离值； （2）利用勾股定理求出的长即可； （3）当点B落在上时，m的取值范围为，然后对m的范围分类讨论表示出d，即可当和时，这两种情况讨论． 【详解】（1）解： 如图1， 当，时，线段与线段的距离就是线段与x轴之间的距离，即为2， 故答案为：2； （2）解：如图2，过点B作轴交x轴于点N， 当，时，B点坐标为，线段与线段的距离，即为线段的长， 由题意得，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：； （3）解：如图3，当点B落在上时，m的取值范围为； + 当，显然线段与线段的距离等于半径，即； 当时，线段与线段的距离等于长， ，， 在中，由勾股定理得：． 2．点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题综合考察了函数图象的性质，最值问题，难度较大，综合运用函数图象，几何图形性质是解题的关键． （1）设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M，先求b值，再确定，由，得到，从而求得； （2）设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作，当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度，由，先求得，再求出，最后得到t的范围； （3）先由直线恒过定点，得到，即在直线上，因为，所以直线和正方形相交，分点F在上和点E在上两种情况，求出m的取值范围． 【详解】（1）解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 则，， ∴，， 如图1，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M， 由题意得：与反比例函数只有一个交点，故， 整理得：， 则， 解得：（负值已舍去）， 则， 解得：， 故点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故； （2）解：如图2，设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作， 当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度， ∵，的半径为， ∴， 由，可知， ，， 在中， ∵， ∴， 则， 在中， ， ∵， ∴，即， 解得：或； （3）解：∵直线恒过定点， ∴， 整理得：， ∴且， 解得：且，即， ∴在直线上， ∵， ∴直线和正方形相交， ∵点， ∴点E在直线上运动； ①当点E所对顶点F在上时，如图3， 即点E、F关于原点对称， ，， ∵点F在上， ∴， 解得：， 当点E向上运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向下运动， ∴； ②当点E运动到时，如图4， ， 将E点坐标代入的表达式得：， 解得：， 当点E向下运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向上运动， ∴； 综上，或． 3．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段长度的最小值叫做线段a与线设b的“冰雪距离”．已知，，，是平面直角坐标系中四点． (1)根据上述定义，完成下面的问题： ①当，时，如图1，线段与线段的“冰雪距离”是 ②当时，线段与线段的“冰雪距离”是1，则n的取值范围是 (2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当时，线段与线段的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值； (3)当m的值变化时，动线段与线段的“冰雪距离”始终为1，线段的中点为M．求点M随线段运动所走过的路径长． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查新定义下的点到直线距离、圆的性质和动点运动路径，关键在于找出满足条件的运动轨迹，并求出临界点的值． （1）①结合图形可判断为“冰雪距离”，②注意到A到的距离为1，可知点A到的垂足正好在线段上； （2）结合图象观察B在移动时，根据运动变化情况求得d对应值，并判断出取最小值的点； （3）首先找出运动的情况，画出运动轨迹图，并注意点M运动的路径长为点B、C运动的路径长加临界点M的上下移动路径长，转化为求点B或点C运动的路径长加在点D和点G时位置转换路径即可． 【详解】（1）解：①当，时，，， 线段与线段的“冰雪距离”为； ②当时，点A到线段距离是1， 若线段与线段的“冰雪距离”为1，则点A到的垂线的垂足在线段上， ∴，即． （2）连接和，过点作交于点D，过点作交于点E，如图： ∵， ∴线段在的上半部分运动， 当， ∴， ∴， 则， 线段沿运动，线段与线段的“冰雪距离”为点B到点A的距离，； 是与y轴的切点，当线段沿运动，线段与线段的“冰雪距离”为点B到线段的距离，最小值为线段与线段的“冰雪距离”，即为点到线段的距离， ∵，，，， ∴； 故当B在右侧时，“冰雪距离”；当B在上时，“冰雪距离”；当且仅当B在时，d取最小值． （3）解：如图， 由于动线段与线段的“冰雪距离”始终为1，则点B沿图中、线段、、、线段、运动， 整个运动过程中，线段中点M对应走过半圆、线段、半圆和线段，但是在经过点G时，点M从的中点向下平移得到的中点对应走过路径长为2，在经过点D时，点M从的中点向上平移得到的中点对应路径长为2， 故中点M对应所走过的路线长为：． 【类型九】动圆相切求t 1．在矩形中，，点从点出发沿边以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒： (1)如图1， 秒后，的面积等于； (2)在运动过程中，若以为圆心、为半径的与相切（如图1），求值； (3)如图2，若以为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)0或或 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）先判断不与，相切，然后分与相切；与相切，根据半径等于构建方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴，即， 解得， 故当运动时间为3秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解∶①由题意知不与，相切， 当与相切时，设切点为E，连接， 则，， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得或； 当与相切时， 则， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当t的值为0或或时，正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 2．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动时间为，当时，半圆在的左侧，． (1)当　　时，与所在直线第一次相切；点到直线的距离为 ； (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切； (3)当的一边所在直线与圆相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 【答案】(1)1， (2)当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切 (3)或 【分析】（1）求出路程的长，即可以求时间，作到的距离，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半可以得：； （2）根据到的距离为，圆的半径为，所以与重合，即当点运动到点时，半圆与的边相切，秒；当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于，在中，求出的长度，进行求解即可； （3）有两种情况：①当半圆与边相切于时，如图2，重叠部分的面积是半圆面积的一半；②当半圆与相切于时，如图4，连接，重叠部分的面积是扇形的面积的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 当时，与所在直线第一次相切； 如图1，过作于， 中， ，， ， 故答案为：1，； （2）如图2，过作于， 同理（1）得：， 当直线与半圆所在的圆相切时， 又圆心到的距离为6，半圆的半径为6， 且圆心又在直线上， 与重合， 即当点运动到点时，半圆与的边相切， 此时，点运动了，所求运动时间； 如图3，当点运动到点的右侧时，且，过作，交直线于， 在中，，则， 即与半圆所在的圆相切，此时点运动了， 所求运动时间， 综上所述，当为4秒或16秒时，直线与半圆所在的圆相切； （3）有两种情况： ①当半圆与边相切于时，如图2， 重叠部分的面积； ②当半圆与相切于时，如图4，连接， ， 与重合，与重合， ， ， ， 过作于， ， ， 由勾股定理得：， ， 此时重叠部分的面积； 综上所述，重叠部分的面积为或． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的求解，含30度角的直角三角形的特征，分情况求解，准确作出辅助线是解答本题的关键． 3．在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动，P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒（），回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)为直角三角形，理由见解析 (3)存在，当或时，与四边形的一边相切 【分析】（1）先设运动时间为t秒时，再表示出，即可得，然后根据的面积等于得出方程，求出解； （2）先根据秒时，求出，，，再根据勾股定理求出，，，然后根据勾股定理的逆定理得出答案； （3）先由题意可知与不相切，再分两种情况：当时，点P与点A重合，点B与点Q重合，与相切；当正好与四边形的边相切时，再由题意可得，然后根据勾股定理得 ，求出解即可﹒ 【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，， ∴． ∵的面积等于， ∴， 解得， 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于； （2）解：为直角三角形，理由如下： ∵当秒时，，，， 在中，由勾股定理得，， 同理，在和中， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴为直角三角形； （3）解：由题意可知与不相切； ①如图，当时，点P与点A重合，点B与点Q重合，与相切； ②当正好与四边形的边相切时，如图所示， 由题意可得， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）﹒ 综上，当或时，与四边形的一边相切． 1．（25-26九年级下·重庆开州·阶段检测）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵半径 ，圆心角 ， ∴这段弯管中的长为． 3．（25-26九年级下·西藏·阶段检测）如图，是的直径，若，，则的长等于（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】连接，由圆周角定理可得，证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， 由圆周角定理可得：， ∴， ∵是的直径，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 4．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，是地球示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．点P表示北京的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的切线，得出，根据，，求出，在中，求出，最后根据，即可得． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴． 5．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）若一个正多边形的每一个外角都为，则这个正多边形的中心角度数为________． 【答案】 【分析】先根据多边形外角和为求出正多边形的边数，再计算中心角度数即可． 【详解】解：∵一个正多边形的每一个外角都为，任意多边形的外角和为． ∴这个正多边形的边数为． ∵正多边形的中心角和为． ∴这个正多边形的中心角度数为． 6．（25-26六年级下·上海·阶段检测）若一圆锥的底面周长是，母线长是，则圆锥的侧面积为__________ ． 【答案】 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，扇形面积公式为弧长×半径，把数值代入扇形面积公式即可计算出结果． 【详解】解：∵ 圆锥底面周长为，母线长为， ∴圆锥侧面积为． 7．（25-26九年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在正方形中，，以为圆心，长为半径作，以中点为圆心，以为半径作弧与半圆交于点，则图中阴影部分的面积为_____. 【答案】 【分析】先根据正方形和圆的性质，连接、，证明四边形是正方形，得出扇形与扇形的面积相等，再通过割补法，用扇形的面积减去正方形的面积，求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、． ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵是的中点， ∴． ∵为圆心，为半径作弧， ∴． ∵为圆心，为半径作弧， ∴． ∵以为半径作弧与半圆交于点， ∴ ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形． ∴ ∴， ∴扇形的面积扇形的面积． 阴影部分面积． 8．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1) ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，        ∴为的中点； (2) 【分析】本题考查圆的知识，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握以上定理，进行解答，即可． （1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线是性质，可得， 根据垂径定理，即可； （2）根据三角形的中位线，则，根据，求出，根据勾股定理求出，即可． 【详解】（1）略 （2）解：为的中点，为的中点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）点均在上，仅用无刻度的直尺分别在给定图中按要求作图，点均不与点重合． (1)在图①中，画一个与相等的圆周角； (2)在图②中，画一个与互补的圆周角； (3)在图⑧中，画一个与互余的圆周角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质． （1）利用圆周角定理作出图形即可； （2）利用圆内接四边形的性质作出图形即可； （3）作出直径，连接，则，，由圆周角定理得到，此时与是互余的圆周角． 【详解】（1）解：与相等的圆周角如图所示； （2）解：与互补的圆周角如图所示； （3）解：与互余的圆周角如图所示； 10．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，以、为边作平行四边形，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，且，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)证明：连接并延长，交于点，连接， ， 垂直平分 为平行四边形 是圆的半径， 为圆的切线 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点，根据，得出垂直平分，根据平行四边形的形状可得，即可得证； （2）连接，根据圆周角定理可得，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，连接， 为平行四边形 1．（25-26九年级下·江苏南通·期中）若扇形的半径为，圆心角是，则此扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵扇形的半径为，圆心角是， ∴此扇形的弧长为． 2．（25-26九年级下·重庆忠县·期中）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合同弧所对圆周角相等、直径所对的圆周角是直角即可得解． 【详解】解：， ， 是的直径， ， ． 3．（25-26六年级下·上海·期中）小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的内部，连接，，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形性质推出，点在以点为圆心，为半径的半圆上，取的中点，连接，由勾股定理得，再根据圆外一点到圆上点的距离最值求出的最小值即为的值． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， 取的中点，则， 即点在以点为圆心，为半径的半圆上， 连接， 在中，，， 由勾股定理得， 根据圆的性质与三角形三边关系得， 当、、共线时，取得最小值，如下图： 此时最小值为，选项符合题意． 5．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 【答案】12 【分析】根据，，可求得的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案． 【详解】解：∵弦于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26九年级下·云南昭通·期中）已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 【答案】8 【分析】圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，圆锥侧面展开图的半径即为圆锥的母线长，可得圆锥母线长，圆锥底面半径． 设圆锥的高为h，根据勾股定理得：． 7．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形，又称“莱洛三角形”，是一种特殊的图形．若等边三角形的边长为，则该鲁洛克斯三角形的周长为________． 【答案】 【分析】根据题意得到扇形的圆心角为，半径为，直接套用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示： ， ∵三角形是等边三角形， ∴， 根据题意可知，等边三角形的边长是扇形的半径， ∵等边三角形的边长为， 根据弧长公式可得， ∴该鲁洛克斯三角形的周长为． 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向下平移5个单位后得到，请画出； (2)将绕原点O逆时针旋转后得到，请画出；的坐标为__________； (3)在（2）的条件下，点B绕原点O逆时针旋转的路径长为__________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可． （2）分别作出，，的对应点，，即可． （3）根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）略． （2）解：图略． 由图可得． （3）解：， ∴点B绕原点O逆时针旋转的路径长为． 9．（25-26九年级下·湖北宜昌·期中）已知内接于，且是的直径，点为线段的中点，点在的延长线上，连接，，， ． (1)求证：为的切线； (2)若，，求半径． 【答案】(1)证明：如图，连接，交于点， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， 又是半径， 为的切线． (2)5 【分析】（1）要证切线，连接圆心与切点,只需证;利用圆周角性质、等角转换、等腰三角形内角推导直角； （2）是直径，，为弧中点，垂直平分，用勾股定理结合垂径定理列方程求解． 【详解】（1）略． （2）解：点为的中点 ，， 又，，， 是的中位线， ． 设半径为， ， ，，， ，（舍去）， 所以半径为5． 10．（25-26九年级下·陕西西安·期中）解答下列各题： (1)问题提出 如图1，在四边形中，，，若，则的大小为________； (2)问题探究 如图2，的半径为13，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值． (3)问题解决 某新建小区中央有一块正方形的空地，边长，规划为居民建设一个休闲场地（如图3）．其中区域为牡丹园，，为长的休闲走廊，，为边上的安全出入口，，和为两条安全通道，为赏花小道． 请问：在满足上面的设计中，能否让两条安全通道之和（）最短时，赏花小道也最短？若能，求出满足要求的赏花小道的最小值；若不能，请说明理由．（安全通道、休闲走廊和赏花小道的宽忽略不计）      【答案】(1) (2)18 (3)能，的最小值为 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，根据平行四边形对角相等即可解答； （2）连接，根据垂径定理和勾股定理可求得，根据即可解答； （3）过点F作交于点，连接，过点作于点G，易证四边形是正方形，可推出点F在上，取得最小值，最小值为，利用勾股定理可求得；然后以为斜边，在的左侧作等腰直角三角形，则，，以点O为圆心，为半径画圆，点为优弧上的一点，连接、，根据圆周角定理和圆内接四边形可推出点P在劣弧上时，满足条件，进而确定当三点共线，且当取得最小值时，取得最小值，接着过点O作于点L，交于点K，过点O作，垂足为点H，连接、，则由垂线段最短可知，即为最小值，最后利用面积的和差求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； （2）解：如图2，连接， ∵的半径为13，弦，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴当三点共线时（点在线段上），取的最大值，最大值为； （3）解：能，的最小值为， 如图，过点F作交于点，连接，过点作于点G， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值，最小值为，此时点F在上，满足条件，如图， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 如图，以为斜边，在的左侧作等腰直角三角形，则，，以点O为圆心，为半径画圆，点为优弧上的一点，连接、， 则，， 当点P在劣弧上时，此时四边形为圆内接四边形， 则此时， 即当点P在劣弧上时，满足条件， 如图，连接、，则， ∵为定值， ∴当三点共线，且当取得最小值时，取得最小值， 如图，过点O作于点L，交于点K，过点O作，垂足点H，连接、，则由垂线段最短可知，即为最小值， 此时点F与点L重合，点P与点K重合，满足条件， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴的最小值为． 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ． 3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆锥主视图和左视图的信息得到圆锥的母线长和底面直径，再利用圆锥侧面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形， ∴圆锥的母线长，底面圆的直径为， 可得底面圆的周长 ， ∵， ∴ . 4．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，是半的直径，点在半圆周上，连接，，垂足为，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质； 连接，作于F，设，则，利用勾股定理求出，可得，然后证明，可得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴， 作于F， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级下·山东日照·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 6．（25-26七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 7．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 【答案】 【分析】将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，作的中点，连接，利用旋转的性质进一步证明，得到，确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，利用圆外一点到圆上的最短距离求解． 【详解】解：如图所示，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形， 取的中点，连接， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵， ∴点共线， ∵, ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，     ∵E是的中点，为的中点，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为定点，为定长， ∴点是在以点为圆心，半径为半径的圆上运动， ∴， ∴的最小值为． 8．（25-26九年级下·吉林通化·期末）图①、图②是由边长为1的小正方形组成的66网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中点、为格点，经过点、，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． (1)如图①，过点作的垂线，交于点、； (2)如图②，点在上，过点作弦． 【答案】(1)解：即为所求作： (2)解：即为所求作： 【分析】（1）取格点，连接 交于，过作直线交于 即可； （2）取格点，连接 交于，过作直线交于 ，连接交于，连接 并延长交于，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：理由：由格点图形可得：四边形为正方形， ∴， ∴，即 ； （2）解：理由：同（1）得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 9．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，在中，为的直径，C为上一点，为的平分线交于点D，连接交于点E，过点A作的切线交延长线于点F，过点D作，交于点G． (1)求证：； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形ACDO为菱形，证明见解析 (3)4 【分析】（1）因为为的平分线，所以；又因为，所以，进而可得，根据内错角相等两直线平行，可证． （2）根据，得为的平分线，得，根据直径证明，可得，得，得四边形为平行四边形，由，得平行四边形为菱形； （3）设的半径长为r，根据切线性质得，可得，，证明，得，由勾股定理得，得，解得，即得的长为4． 【详解】（1）证明：∵在中，为的直径，点D是圆上一点， ∴， ∴， 又∵为的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：四边形为菱形， 证明：∵，为的平分线， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； （3）解：设的半径长为r， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， （舍）或， ∴． 答：的长为4． 10．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图1，已知是的外接圆，，         (1)的长为________ (2)尺规作图在图1中画出圆心O（不必写作法，保留作图痕迹），并求出半径． (3)将绕点B逆时针旋转一周 ①如图2，当点恰好落在上时，判断直线与的位置关系，并说明理由； ②如图3，点M在优弧上，且，连接，，在旋转过程中，当时，直接写出点的运动路径长． 【答案】(1) (2)作图见解析，半径为2 (3)①直线与相切，理由见解析；②点的运动路径长为或 【分析】（1）过点作于点，由三线合一得，再利用含的直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （2）分别作线段和线段的垂直平分线，可得，则两线的交点即为圆心O；连接、、，通过证明是等边三角形即可求解； （3）①连接、，证明是等边三角形，得出，则可得，即可得出直线与相切； ②连接、、、，通过证明是等边三角形，求出，再证明，得出，分当点在线段左侧和点在线段右侧两种情况分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，分别作线段和线段的垂直平分线，两线的交点即为圆心O， 连接、、， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即半径为2； （3）解：①直线与相切，理由如下： 如图，连接、， 由（2）可知， 由旋转可知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转可知， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； ②如图，连接、、、， 由（2）知是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转知，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点在线段左侧时，如图， 旋转角即为， ∴点的运动路径长为； 当点在线段右侧时，如图， 旋转角即为， ∴点的运动路径长为； 综上，点的运动路径长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，熟练掌握圆的相关性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $