专题01 期中复习压轴25大题型归纳（考试范围：第1章 有理数～第4章 代数式）（举一反三讲义）数学新教材浙教版七年级上册

专题01 期中复习压轴25大题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 有理数~第4章 代数式） 【新教材浙教版】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 由点在数轴上的位置判断结论正误】 1 【题型2 数轴与绝对值的化简】 5 【题型3 幻方与程序框图】 8 【题型4 数轴中的动点问题】 12 【题型5 有理数运算的实际应用】 18 【题型6 绝对值的最值问题】 22 【题型7 利用算术平方根的非负性求值】 25 【题型8 无理数大小估算比较】 28 【题型9 无理数整数小数部分求解】 29 【题型10 平方根立方根估算综合计算题】 31 【题型11 数式或图形的变化规律】 34 【题型12 整式加减的无关性问题】 36 【题型13 整式的加减与周长应用】 40 【解答压轴】 43 【题型14 数轴上点的运动问题】 43 【题型15 绝对值的几何意义】 50 【题型16 带绝对值的式子化简问题】 58 【题型17 算术平方根、立方根的应用】 65 【题型18 实数混合化简计算】 68 【题型19 平方根立方根估算综合计算题】 71 【题型20 实数与数轴】 74 【题型21 与实数有关的规律探究】 80 【题型22 整式加减无关性问题（几何类）】 84 【题型23 整式加减的新定义运算】 90 【题型24 整式加减的应用综合】 96 【题型25 整式加减与数轴、绝对值综合】 102 【选填压轴】 【题型1 由点在数轴上的位置判断结论正误】 【例1】（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是__________． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查数轴概念，相反数的定义，根据题意得到判断①，根据，判断②，根据特殊值判断③，根据相反数的定义，表示出，结合，判断④即可． 【详解】解：①∵，即 ∴①成立，故正确； ②∵ ∵， 又∵在线段上取点，其表示的数为， 在线段上取点，其表示的数为 ∴，成立，故②正确 ③若，而，当时，不能找到， ∴当时，对于任意的点，不一定找到点，使得，故③不正确． ④如图，设点表示的数即为，则， 将线段向右平移1个单位得到，则点与点重合，则表示的数为， 对于任意的点，都在上，则对任意的表示的点都在上 表示的点都在上， ∵当时，即，则 ∴在上总能找到点表示，即，即 ∴当时，对于任意的点，总能找到点，使得，故④正确． 故答案为：①②④． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【答案】D 【分析】本题考查数轴表示数，数的大小比较，根据题意得到是解题的关键． 由题可知，再分和讨论可知，进而得到即可． 【详解】根据题意，，且， 若，则，不符合； 当时，，符合， ，又，所以，即， 故表示数1的点的位置在点的右边． 故选：D． 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆渝北·期中）是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、绝对值、有理数加减运算、不等式的性质等知识点，理解绝对值、不等式的性质是解题的关键． 根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且，再根据绝对值、相反数的意义、有理数加减运算、不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，因此A选项正确； B．由，则，因此B选项错误； C．由，则，因此C选项错误； D．由，则，因此D选项错误． 故选：A． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川达州·期末）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（   ） ①若，则 ②若，，则或 ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，正确通过数轴判断绝对值符号里式子的正负是解题的关键．利用数轴可得，再根据每项的关键信息，逐一判断各项对错即可解答． 【详解】解：①若，则或， 当时，，则， 当时，，则，故①不正确； ②若，，由图可知，则或， 当时，， 当时，，故②正确； ③∵， ∴，，， 则， ∵， ∴，，为一负二正或两负一正， 其中两种情况为，或，， 当，时， 当，时，故③不正确； ④∵为一个五位自然数，由数轴可得，， 则 当，，时取最大值为17，故④正确； ∴正确的有②④； 故选B． 【题型2 数轴与绝对值的化简】 【例2】（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，明确整式的加减的计算方法，利用绝对值和数轴的相关知识是解答本题的关键． 根据数轴和，可以判断，，的正负和大小，可得到，，，，从而可以化简题目中所求的式子的值． 【详解】解：由数轴可知，，，，且， ∴，，，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简－－＝________． 【答案】a+b-c 【分析】根据数轴，可以判断a，b，c的正负情况，从而可以将所求式子的绝对值符号去掉，然后化简即可解答本题． 【详解】解：由数轴可知，， ∴原式 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是数轴与绝对值的性质，根据绝对值的性质将所求式子绝对值符号去掉是解此题的关键． 【变式2-2】（25-26七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知有理数a，b在数轴上的位置如图，化简：|2﹣3b|﹣2|2+b|+|a+2|﹣|3b﹣2a|的结果为_____． 【答案】8+2b﹣a． 【分析】根据有理数a，b在数轴上的位置可判断绝对值内部各代数式的正负，进而对绝对值进行化简计算即可． 【详解】解：根据有理数a，b在数轴上的位置可知： 2﹣3b＞0，2+b＜0，a+2＞0，3b﹣2a＜0， ∴|2﹣3b|﹣2|2+b|+|a+2|﹣|3b﹣2a| ＝2﹣3b+2(2+b)+a+2+(3b﹣2a) ＝2﹣3b+4+2b+a+2+3b﹣2a ＝8+2b﹣a， 故答案为：8+2b﹣a． 【点睛】本题考查整式的加减，根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加法运算和有理数的减法运算，化简绝对值.解题关键是能根据有理数a，b在数轴上的位置，结合有理数的加法运算和有理数的减法运算判断绝对值内各式子的符号，据此化简绝对值. 【变式2-3】（25-26七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列结论正确的个数是（　　） ①若，，则；②若，则B为AC的中点；③化简；④若数轴上点M到A，B，C距离之和最小，则点M与点B重合；⑤若，，点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若，则最小值为12134． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】①不知道表示的数字无法确定的值；②根据线段的中点的定义，以及中点公式进行判断；③根据点在数轴上的位置，化简绝对值，进行判断；④根据两点间的距离公式，以及两点之间线段最短，进行判断；⑤根据两点间的距离公式，列方程计算进行判断；⑥根据，得到，推出，，，得到当时，有最小值，进而求出最小值即可． 【详解】解：①不知道表示的数字无法确定的值，故①错误； ②∵， ∴为的中点，故②正确； ③由图可知：， ∴，故③错误； ④∵数轴上点M到A，B，C距离之和最小， ∴点M与点B重合；故④正确； ⑤设点表示的数为， 当点在点左边时，依题意有：， 解得： 当点在点右边时，依题意有：， 解得：； 综上，点表示的数为或5，故⑤错误； ⑥∵， ∴， ∴，，， ∴当时：有最小值为，故⑥正确； 综上：正确的是②④⑥，共3个； 故选A． 【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及绝对值的意义和根据数轴上点的位置判断式子的符号，是解题的关键． 【题型3 幻方与程序框图】 【例3】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是，如图所示幻方中，若，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了列出一元一次方程、求代数式的值以及绝对值等知识，找准等量关系，正确掌握有理数的运算法则是解题的关键．根据三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，列出一元一次方程，求出，再求出、的值，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ，， ，， 又， ， ，， 当，时，； 当，时，； 故选：． 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的为2，则第1次输出的结果是0，第2次输出的结果是，第3次输出的结果是3，…，以此类推，第次输出的结果是___________． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：设输出的数为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得每6次输出的结果循环一次， 又，与的数字一致， ∴2026次输出结果为， 故答案为：． 【变式3-2】（2026·宁夏固原·三模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________． 【答案】或 【分析】由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， 两个圈的和各为，横、竖的和也各为， 则， 得， 由， 得， 由， 得， 当时，，则， 当时，，则， 【变式3-3】（25-26七年级上·重庆渝中·阶段检测）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵_________；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为_________； 【答案】 7 1572 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据程序流程图代值计算，求出时的熵，根据n为自然数，得到最后结果为1时，一定是，进而推出熵时，输入的所有可能的自然数，再求和即可． 【详解】解：当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算：， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 故自然数3的熵； 当时： 第十次运算时输入为：， 第九次运算时输入为：， 第八次运算时输入为：， 第七次运算时输入为：， 第六次运算时输入为：，或， 第五次运算时输入为：或， 第四次运算时输入为：或或或， 第三次运算时输入为：或或或， 第二次运算时输入为：或或或或或， 第一次运算时输入为：或或或或或， ∴当时，满足题意， ∴； 故答案为：7，1572． 【题型4 数轴中的动点问题】 【例4】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在数轴上，点A表示的数为0，点B表示的数为7，若C为线段上的一点，P从C出发，以每秒3个单位长度的速度，先向A运动，到达A之后再以原速向右运动．若在运动过程中，当运动时间为时，满足，则C在数轴上表示的数为______． 【答案】6或2 【分析】设C表示的数为c，且，则，当点P未到达A时，点P表示的数为，易得，易得求解即可；当点P到达A之后再以原速向右运动时，根据运动关系可得点P表示的数为：，再表示出，易得，再分两种情况可求得,进而完成解答． 【详解】解：设C表示的数为c，且，则， 当点P未到达A时，点P表示的数为， ∴， ∵， ∴，解得：，符合题意； 当点P到达A之后再以原速向右运动时，点P表示的数为：， ∴， 当，即时，有，该方程无解； 当，即时，有，解得：，符合题意； 综上，点C表示的数为6或2． 【变式4-1】（25-26七年级上·北京·阶段检测）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当时，；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出、、、所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，即，两点之间的距离不会随着的变化而变化，正确，①符合题意； ②，， 当时，， 解得或，故②不符合题意； ③ ，， ，故正确，③符合题意． 故选：B． 【变式4-2】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，两点同时出发．点，的初始速度分别是3个单位长度秒和6个单位长度秒，点和点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为秒，有下列结论： ①当时，点表示的数为数轴的原点； ②当点到达点时，； ③当点到达点时，； ④运动过程中，点和点在线段上相遇； ⑤当或18时，． 以上结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先理解题意，得出，，，，结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，故当时，点表示的数为数轴的原点；结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，当点到达点时，；依题意，，即当点到达点时，，再进行讨论，得出点M和点N相遇只可能在之间，再设未知数以及列方程，分别算出当时，点M表示的数为，当时，即点M表示的数为，当时， 即点M表示的数为27，然后算出的值，即可作答． 【详解】解：∵点表示12，点表示24，点表示36，表示， ∴，，，， ∵ 点表示36，点的初始速度是6个单位长度秒，点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍， ∴， 即当时，点表示的数为数轴的原点； 故①符合题意； ∵点初始速度是3个单位长度秒，点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度． ∴ , 即当点到达点时，； 故②符合题意； 依题意， , 即当点到达点时，， 故③不符合题意； 依题意，点M到达点的时间是 点M到达点的时间是， 点N到达点的时间是， 点N到达点的时间是， 故点M和点N相遇只可能在之间， 设相遇时间为 点M在线段上的速度是， 则点M表示的数为， 点N在线段 上的速度是， 则， 故， 解得， 即运动过程中，点和点在线段上相遇，且相遇时间为， 故④符合题意； 依题意，当时，， 即点M表示的数为， 则 ， ∵， 由②得当点到达点时，； 依题意，， 即当时，点M表示的数为27， 则， 故⑤不符合题意；即结论正确的有3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的几何问题，数轴上两点的距离，在数轴上表示有理数，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式4-3】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，点和点分别表示的数为与，点从点出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从点出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，、两点同时开始运动，两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点在线段上，且，当__________时，满足． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间距离公式、中点坐标公式以及一元一次方程的应用，熟练掌握用代数式表示数轴上点的位置，结合绝对值的性质分情况讨论是解题的关键． 先确定点的位置，再用含的代数式表示、、三点的坐标，接着分别表示出、、的长度，最后代入方程求解，并结合运动时间的取值范围确定最终答案． 【详解】解：∵点表示的数为， 点表示的数为， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴点表示的数为， ∵点从出发以个单位长度/秒向右运动， ∴点表示的数为， ∵点从出发以个单位长度/秒向左运动， ∴点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为， ∴， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵、相遇时停止运动，相遇时间满足， ∴， ∴，即， ∵， ∴，可正可负，， ∴，， 分情况讨论： 当时，，代入， 得， 解得； 当时代入， 得， 解得 故答案为：或 【题型5 有理数运算的实际应用】 【例5】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）联欢会有四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下：已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的所有演员的候场时间之和为______分钟；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按______的先后顺序彩排． 节目 演员人数 2 1 彩排时长 6 【答案】 / 【分析】本题考查了有理数的实际应用，解题关键是按“演员人数与彩排时长”的比值降序安排节目． 第一部分计算顺序时节目的演员候场时间之和，开始时间为和时长之和，即分钟，有名演员，故总和为分钟，第二部分为使总候场时间最小，按演员人数与彩排时长的比值降序排列节目． 【详解】对于顺序，节目的开始时间为节目和节目的彩排时长之和，即分钟，节目的演员人数为，故节目的所有演员的候场时间之和为分钟； 若使这23位演员的候场时间之和最小，计算各节目演员人数与彩排时长的比值： 节目比值为， 节目比值为， 节目比值为， 节目比值为， 按比值降序排列，得节目顺序为， 故答案为：；． 【变式5-1】（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）年“湘超联赛”极大激发了湖南人民的足球热情，常规赛中全省共有个队进行单循环比赛，每场比赛胜队积分，败队积分，平局时两队各积分，常规赛结束以后，总积分最高的个队进入下一轮的淘汰赛，如果总积分相同，还要按净胜球等排序，若年常规赛规则不变，长沙队想要保证进入淘汰赛，则长沙队至少要积多少分？针对该问题，甲，乙，丙，丁四位同学进行了以下讨论： 甲：一共进行了场比赛，我们需要考虑最理想的情况，假设每一场都分出胜负，可以让前名积分相同，并且积分尽可能低一点． 乙：不仅要考虑前名，还要让第名的积分尽可能高一点，可以先考虑和前名积分一样，这样个队尽可能平分个胜场，积分就能保证进入前八名． 丙：前个队不可能包揽全部个胜场，比如后面个队之间的比赛胜场． 丁：刚刚都是理想情况下的分析，还要验证一下能不能实现． 结合四位同学的讨论，长沙队至少要积______分，才能保证进入淘汰赛． 【答案】 【分析】要保证长沙队进入前名，需考虑最坏情况，即让第名的积分达到最大可能值，若长沙队积分高于该最大积分即可保证晋级，最坏情况为前名均击败后名，且前名内部积分平均分配，使第名积分最高即可求解． 【详解】解：支球队单循环比赛，总比赛场数为， 若所有比赛均分出胜负，每场产生个胜场，总胜场为， 要使前名积分尽可能高且平均，所有比赛分出胜负，则： ① 后支球队内部共有场比赛，总胜场为，全部为后支球队获得； ②前支球队对阵后支球队共场比赛，前支球队全部获胜，每队在此得到分，共获得个胜场； ③ 前支球队内部共有场比赛，总胜场为，平均分给支球队，每队获得个胜场，每队在此得到分； 因此每支前球队总积分为，总胜场为，符合总胜场要求，该情况成立，说明支球队可以同时积分，所以分无法保证进入前， 若长沙队积分，若存在支球队积分不低于分，则每队至少需要个胜场，总胜场至少为，矛盾，因此不可能存在支球队积分不低于分，故分一定可以保证进入前， 所以长沙队至少要积分，才能保证进入淘汰赛． 【变式5-2】（25-26七年级上·北京·期中）在黑板上写下一列不同的自然数，每次同时擦去任意两个数，再把这两个数的和或者差（以擦前位置为准，“前面的数”减去“后面的数”）写在这列数的最后面，重复这样的操作，直至在黑板上仅留下一个数为止，下列说法中①若在黑板上写下2、3、4，按此操作，最后留下的那个数可能是5；②若在黑板上写下1、3、5、7，按此操作，最后留下的那个数可能有种不同的结果；③若在黑板上写下1、3、5、7，按此操作，最后留下的那个数可能是；④若在黑板上写下1、2、3、．．．、、，按此操作，最后留下的那个数可能是．正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算以及数字规律的探索，明确题意，是解答本题的关键． ①按照题意直接判断即可；②每轮操作减少一个数，共需要三轮才剩下一个数，4个数中选出2个数共有6种方法，补充的数为和或者差，此时又需要乘以2；3个数中选出2个数共有3种方法，补充的数为和或者差，此时又需要乘以2；2个数中选出2个数共有1种方法，补充的数为和或者差，此时又需要乘以2；每一轮都直接影响下一轮，但会出现重复情况，根据计算最终结果，据此即可作答；③通过操作可能得到；④每次去掉两个最大的数，新加入的数为这两个数的和，依次类推，最后得到的两个数为：1和，据此问题得解． 【详解】①2、3、4，擦去2和4，写差，得到3、， 再擦去3和，写差， ∴可能得到5，即最后留下的那个数可能是5，故①正确； ②每轮操作减少一个数，共需要三轮才剩下一个数， 4个数中选出2个数共有6种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 3个数中选出2个数共有3种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 2个数中选出2个数共有1种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 每一轮都直接影响下一轮， 即总的可能情况有：（种）， 但是出现的数的可能结果会有重复的情况， 通过计算得知最后留下的那个数可能为：，共种情况， 即最后留下的那个数可能有种不同的结果，故②错误； ③1、3、5、7，擦去1和5，写和，得到3、7、6； 擦去3和7，写和，得到6、； 擦去6和，写和， ∴可能得到，故③正确； ④除1之外，后面个数的和为：， 操作：每次去掉两个最大的数，新加入的数为这两个数的和，依次类推， 最后得到的两个数为：1和， 最后去掉1和，新加入的数为， 即可知：是经过操作之后可能出现的最小的数， 故最后结果不可能是，故④错误； 综上正确的是：①③． 故选：C． 【变式5-3】（25-26九年级下·北京·阶段检测）化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 【答案】 11 【分析】（1）分别求出整理大实验台和小实验台的时间，即可得到答案； （2）根据所需要的时间，多人协作分析最优耗时得到答案． 【详解】（1）解：整理大实验台：（分钟）， 整理小实验台：（分钟）； 一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费（分钟）； （2）解：设学生负责步骤①，学生负责步骤②，学生负责步骤③， 由题意可知，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，且必须在①②完成后再进行， 则学生和学生两个人可以在10分钟内做完三个实验台的步骤①和步骤②，在此期间学生可以做一个大实验台和一个小实验台的步骤③，耗时2分钟是包含在前面两人的10分钟里的，然后等学生1和学生2两人做完后，学生再分别整理小试验台的步骤③，耗时1分钟，所以一共是（分钟）． 【题型6 绝对值的最值问题】 【例6】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）若不等式有解，则实数的最小值是_____． 【答案】 【分析】通过确定绝对值的零点，分区间去绝对值，计算左边表达式的最小值，由于不等式有解，因此的最小值等于左边表达式的最小值，运用分类讨论思想求解． 【详解】解：首先求绝对值的零点，令，得；令，得，分三种情况讨论： 当时，原式左边，该一次函数的系数为负，随增大而减小，因此时，； 当时，原式左边，该一次函数的系数为负，随增大而减小，因此在时取得最小值，； 当时，原式左边，该一次函数的系数为正，随增大而增大，因此时，； 综上，左边表达式的最小值为，不等式有解，则，因此实数的最小值为． 【变式6-1】代数式的最小值是(    ) A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】分x≤-1；-1＜x＜2； x≥2三个范围，判断绝对值中代数式的正负，利用绝对值的代数意义化简，分别求出所求式子的值，比较即可得到所求式子的最小值. 【详解】当x≤-1，原式=-x-1-x+2=-2x+1；最小值=-2×（-1）+1=3； 当-1＜x＜2，原式=x+1-x+2=3；最小值=3； 当x≥2，原式=x+1+x-2=2x-1，最小值=2×2-1=3， 综上，代数式|x+1|+|x+2|的最小值是3， 故选A. 【点睛】本题考查了绝对值的化简，最小值问题，正确的分类进行讨论是解题的关键. 【变式6-2】（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算及绝对值，熟练掌握有理数的运算及绝对值是解题的关键；由可得，，，，代入的表达式化简为，结合条件（即符号乘积为负），考虑所有可能符号组合（一个负三个正或三个负一个正），计算所有可能的值，得到取值为，最大值为，最小值，然后问题可求解． 【详解】解：由可得，，，， 代入原式：， ∵，即符号组合为一个负三个正或三个负一个正， ∴当只有一个负数时： 若，都大于0，则； 若，都大于0，则； 若，都大于0，则； 若，都大于0，则； 当有三个负数时： 若，都小于0，则； 若，都小于0，则； 若，都小于0，则； 若，都小于0，则； 综上所述：最大值为，最小值，所以它们的乘积为； 故答案为：． 【变式6-3】（25-26七年级上·重庆·期中）已知，，，均为整数，且，若，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，由条件 和 ，确定和的取值范围，其乘积为，由于绝对值之和均为整数，分别计算对应和 的最大值，比较的大小，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，， 由于，有， 因此， 同理，由于，有， 因此， 因为，且和为正整数， 若，， 由，有，即，得， 因为，有， 所以， 当时，，得或； 当时，，得或； 当时，，得 ； 因此最大为； 由，有，即，得， 因为，有， 所以； 若，则； 若，则， 当 时，（最大）；其他值对应更小， 因此最大为，最大为， 若，， 由，有，即 ，得， 因为，有， 所以故，且，得， 由，有，即，得， 因为，有， 所以， 若，则； 若 ，则 ， 当 时，（最大）；其他值对应更小， 综上可得， 最大为，， 所以最大值为， 故答案为：． 【题型7 利用算术平方根的非负性求值】 【例7】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【变式7-1】（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 【变式7-2】（24-25八年级下·浙江舟山·期中）已知为实数，则的最大值为 _____ ． 【答案】 【分析】先换元令，由为实数得，将原式转化为关于的函数，通过分子有理化判断式子的变化情况，即可得到最大值． 【详解】解：令， ∵是实数， ∴， ∴ 当时，和都随的增大而增大， ∴整个式子随的增大而减小， ∴当时，原式取得最大值， 将代入得，最大值为 【变式7-3】（2026·重庆·三模）若实数，同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可得，再根据绝对值的性质，分和两种情况讨论，消去绝对值符号后求解方程组，舍去不符合题意的解，得到，的值后代入计算即可. 【详解】解：由二次根式的性质得， ， 原方程组可化为： ， ①当时，， 将化为， 移项得， 将代入， 可得：， 整理得：， 若， 则原式化为，即，不成立，舍去； 若，则原式化为， 解得：，符合， 将代入， 可得：，符合， 此时； ②当时，， 将化为， 移项得：， 将代入， 可得：， 整理得：， 若，则原式化为， 解得：，不符合，舍去； 若，则原式化为，即，不成立，舍去； 故时无解； 综上，的值为. 【题型8 无理数大小估算比较】 【例8】（2025·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到 ，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 【答案】 【分析】将整理为的形式，根据要求确定和的值，代入给定近似公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴中，，． ∴． 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式8-2】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 【答案】4 【分析】先估算和的取值范围，找出二者之间包含的整数，再统计整数的个数． 【详解】解：， ， ， 找出与之间的整数：， 整数一共有个． 【变式8-3】（江西省南昌市第十九中学2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）已知，若是整数，则满足条件的n的值是________． 【答案】，1，6 【分析】先根据确定的取值范围，进行分类讨论，再结合是整数，推出为非负完全平方数，逐一验证得到符合条件的． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数， 设，为非负整数，可得， 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴满足条件的为，，． 【题型9 无理数整数小数部分求解】 【例9】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义求出的值，再估算无理数的取值范围得到整数部分的值，计算后，根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：的立方根是， ， ， ，即， 是的整数部分， ， ， 又， 的平方根为，即的平方根是． 【变式9-1】若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，再推导的取值范围，最后根据题目规定的的定义求出结果． 【详解】解：，， ， 不等式两边同时减，得 ， 根据表示实数的整数部分的定义，可得． 【变式9-2】（25-26七年级下·山东日照·期中）实数小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先估算无理数的取值范围，得到的整数部分，再根据“小数部分原数整数部分”求出，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴的整数部分为， ∵小数部分， ∴． 【变式9-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，，这时候结果为．只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大值与最小值之差_____． 【答案】239 【分析】本题主要考查对新定义运算的理解和运用，以及对平方根和取整运算的掌握．解题关键在于理解根整数的定义，通过分析连续求根整数运算的过程，找出满足进行次连续求根整数运算后结果为的正整数的取值范围，进而确定最大值和最小值．只需找到进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数的最小值和最大值，并计算其差值即可求解． 【详解】根据操作定义，进行次操作后结果为，且前两次操作结果均不为．第二次操作结果必须为2或3． 当时，则第一次操作结果，对应的取值范围为： 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 综上，，且为整数． 当时，，对应的取值范围为： 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 时，，且为整数； 综上，，且为整数． 因此，所有满足条件的的取值范围为，最小值为，最大值为，差值为． 故答案为． 【题型10 平方根立方根估算综合计算题】 【例10】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义求出的值，再估算无理数的取值范围得到整数部分的值，计算后，根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：的立方根是， ， ， ，即， 是的整数部分， ， ， 又， 的平方根为，即的平方根是． 【变式10-1】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）已知正数m的两个不同的平方根为和，是n的立方根，p是的整数部分，求的值为__________． 【答案】11或35 【分析】此题考查了平方根定义，立方根定义及无理数的估算，正确掌握各定义并利用进行计算是解题的关键． 根据平方根定义，立方根定义及无理数的估算，分别求出m、n、p，由此计算． 【详解】解：∵正数m的平方根为和， ∴， 解得或； ∴或 ∵是n的立方根， ∴，解得， ∴， ∴，即2是n的立方根， ∴； ∵p是的整数部分，， ∴， ∴当时，， 当时，， 综上，的值为11或35． 故答案为：11或35． 【变式10-2】已知的平方根是的立方根是是的整数部分，则的值为______． 【答案】9 【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案． 【详解】根据题意，可得：2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8，解得：a＝5，b＝2． 又∵23，∴c＝2，∴a+b+c＝5+2+2＝9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 【变式10-3】（25-26七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）已知a，b，c均为实数，且的立方根是4，正数b的平方根分别是与，c是的整数部分．则______． 【答案】41 【分析】利用正数的平方根互为相反数先求出，再求出，利用立方根、二次根式的性质先确定、，再代入求值． 【详解】解：∵正数的平方根分别是与， ， ， ， ， ∵，即，是的整数部分， ∴， ∵的立方根是， ， ， ． 【题型11 数式或图形的变化规律】 【例11】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）在数轴上A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达，第2次从点向右移动6个单位长度到达点，第3次从向左移动9个单位长度到达点，…按照这种规律进行下去，第n次移动到达点，如果点与原点的距离为20，那么n的值为______． 【答案】13 【分析】本题考查了数轴中的规律探究，根据移动规律，当n为奇数时，点的坐标为；当n为偶数时，点的坐标为．由点与原点的距离为20，列出方程求解． 【详解】解：当n为奇数时，点的坐标为，则，即，解得，． 当n为偶数时，点的坐标为，则，即，解得，，不是整数，舍去． ∴n的值为13． 故答案为：13． 【变式11-1】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是______；第项是______． 【答案】 ； 【分析】本题考查了数字类规律变化，由多项式得，符号的规律为：为奇数时，项的符号为负号，为偶数时，项的符号为正号；系数的绝对值的规律为：第个对应的系数的绝对值是；指数的规律为：第个对应的指数是，据此解答即可求解，找到项的变化规律是解题的关键． 【详解】解：有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是；第项是， 故答案为：，． 【变式11-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，记第个图的圆点个数为个，其中，，…依此规律则，_____，若，则_____． 【答案】 52 21 【分析】本题考查了图形的变化规律类问题，运用特殊到一般的数学思想是解题的关键． 将每个图形分为2部分看，每个图形左边均为6个点；右边中间都是1个点；右边上面依次增加一行，每行依次增加一个；右边下面依次增加一行，每行都是2个点；总结出一般规律即可求解． 【详解】解：在图①中，圆点个数为 在图②中，圆点个数为 在图③中，圆点个数为 在图④中，圆点个数为． ． 图n中圆点个数为： ∴； 按此规律依次计算可知， ， 故答案为：，． 【变式11-3】（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4是解题的关键．根据题意，依次求出第1，2，3，4，…，次“F”运算的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴第1次“F”运算的结果为3，第2次“F”运算的结果为10，第3次“F”运算的结果为5，第4次“F”运算的结果为16，第5次“F”运算的结果为1，第6次“F”运算的结果为4，第7次“F”运算的结果为1，……， 由此可知，从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4， ∵2025是奇数， ∴2025次“F”运算的结果为1． 故选：A． 【题型12 整式加减的无关性问题】 【例12】（25-26七年级上·重庆·期中）已知3个多项式分别为：． ①若，则； ②无论取何值，一定都有； ③若的值与无关，则； ④代数式化简后共有3种不同的表达式．其中正确的是______． 【答案】②④ 【分析】本题考查绝对值方程，整式的加减运算，化简绝对值，解绝对值方程判断①；求出与的大小关系，判断②，根据的值与无关，得到求和后含项的系数为0，求出的值，判断③，分三种情况化简绝对值，判断④． 【详解】解：时，则或，解得或，故①错误； ，故②正确； ， ∵的值与无关， ∴，即故③错误； ④， 故， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 故④正确； 故答案为：②④． 【变式12-1】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知，．若的值与字母的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算． 先计算的表达式，合并同类项后，令含的项的系数为零，从而求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． 故选：C． 【变式12-2】（25-26七年级上·重庆·期末）对于多项式：，，，，用任意两个多项式求和后所得的结果，再与剩余两个多项式的和作差，并算出结果，称之为“和差操作” 例如：，，，称为一次操作．下列说法正确的个数是（   ） ①不存在任何“和差操作”，使其结果为单项式； ②只有一种“和差操作”，其结果与x的取值无关； ③所有的“和差操作”共有6种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的运算及对“和差操作”的理解，通过计算所有6种“和差操作”的结果，发现实际有5种不同的表达式，包括常数0，据此判断各说法的正确性． 【详解】解：设多项式，，，， 所有操作及结果： ∵ ， ， ， ， ， ∴不同结果为：，，0，，，共5种， 说法①：和结果为0（单项式），故错误； 说法②：和结果与x无关（有两种操作），故错误； 说法③：实际有5种不同结果，非6种，故错误， 综上，正确个数为0， 故选：A． 【变式12-3】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①当时，则； ②若，则或； ③若多项式的取值与x无关，则，； ④代数式化简后总共有6种不同表达式； ⑤多项式的最小值为2023． 上面说法正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】解：把字母的值代入运算，即可判断①正确；由题意得方程求解，可判断②正确；③得关于参数的方程组求解，，故③正确；④将整式代入化简，根据绝对值的性质公式分情况讨论，可知有四种情况，故④错误；⑤ ，由配方法知，故⑤错误． 【详解】解：，故①正确； ②由得，， 整理，得：， 解得：或，故②正确； ③， ∴， 解得：，，故③正确； ④ ∴ ； 由；；； 时，原式； 时，原式； 时，原式； 时，原式；故有四种情况，故④错误； ⑤ ． ∵， ∴， ∴ ，故⑤错误； 故选：B 【点睛】本题考查整式的运算，完全平方公式，绝对值的化简，解二元一次方程组．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【题型13 整式的加减与周长应用】 【例13】（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设1号正方形边长为，2号正方形边长为，根据图①的拼接关系表示出其他图形的边长，利用图①周长求出的值，再通过平移法或分段计算法表示出图②中阴影部分的周长，代入求值即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 由图可知，3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图①中长方形的周长为40， ， 即， ， 设图②中大长方形的长为，宽为，则， 阴影部分的周长由水平线段和竖直线段组成， 竖直线段之和：左侧边界长为，右侧边界长为，共， 水平线段之和：大长方形上下边未被覆盖部分长为，内部水平线段长为， 水平线段总长为， 阴影部分的周长为， 阴影部分的周长为． 【变式13-1】（25-26七年级上·广东汕头·期中）把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，那么_____cm． 【答案】20 【分析】本题考查整式的加减、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 先设出小长方形和大长方形的长和宽，然后即可表示图2中阴影部分的周长为和图3中阴影部分的周长为，再作差即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 由图③可得，， 这两个大长方形的长比宽长， ． 由图②可知：阴影部分的周长， 由图③可知：阴影部分的周长， ． ， ． ． 故答案为：20． 【变式13-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【答案】 36 【分析】设，，利用a，b表示出图中的阴影部分面积与长方形面积，然后根据可得a，b的关系式，然后可求周长． 【详解】解：设，， 由图可得，，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 【变式13-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，由可得，将阴影部分的周长和表示出来，再把各条线段用含有a、b、c的式子代换，然后再化简，看最后结果与哪条线段有关即可． 本题主要考查了列代数式及代数式的化简．把各条线段用含有a、b、c的式子表示是解题的关键． 【详解】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c， ∵， ， ， ，， ， ∴阴影部分的周长和= ， ∴知道的长就可以求出图中阴影部分的周长和． 故选：B 【解答压轴】 【题型14 数轴上点的运动问题】 【例14】（25-26七年级上·四川雅安·期末）点A、B、C、D在数轴上的位置如图1所示，已知． (1)若点C为原点，则点A表示的数是 ； (2)如图2，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P沿线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，到达B点后立即按原速折返；点Q沿线段以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达C点后立即按原速折返．当P、Q中的某点回到出发点时，两点同时停止运动． ①当点停止运动时，求点P、Q之间的距离； ②设运动时间为t（单位：秒），则t为何值时，？ 【答案】(1) (2)①7；②或 【分析】（1）求出的长，进而求出点A表示的数即可； （2）①求出停止时，两点所在的位置，根据线段的和差关系进行求解即可；②分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点C为原点，点在点的左侧， ∴点A表示的数是； （2）解：①由题意，点回到出发点所用时间为（秒）； 点回到出发点所用时间为（秒）； 故两点移动的总时间为秒， 此时，点与点重合， ∴； ②点到达点所用时间为秒，点到达点所用时间为2秒， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得； 综上：或． 【变式14-1】（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A，B，C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A，B，C表示的数分别为________，________，_________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P，Q两点同时从A，B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，恰好点Q是其余两点P、R的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【答案】(1)，30，10 (2)22秒或18秒 (3)10个单位长度/秒 【分析】（1）由，得，解，得，即可得到答案； （2）由题意易得P表示的数为，Q表示的数为，可得，即可解得答案； （3）设动点R的运动速度为x个单位/秒，经过5秒时，点R表示的数为，点P表示的数为，点Q表示的数为，可得方程，解得． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴ 解得， ∵， ∴， 数轴上点A，B，C表示的数分别为，30，10． 故答案为：，30，10． （2）解：∵动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，设运动时间为t秒， ∴点P表示的数为：，Q表示的数为：， ∴， ∵P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度， ∴， ∴, ∴, 当时， ， 当时， ． 故当t为22或18时，P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度． （3）解：设点R的速度为x个单位长度/秒， ∵动点P，Q两点同时从A，B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒． 则经过5秒时，点R表示的数为：， 点P表示的数为：， 点Q表示的数为：， ∵经过5秒时，恰好点Q是其余两点P、R的中点． ∴， 解得． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用及数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握题意，非负数性质，动点表示的数，数轴上两点之间的距，中点公式，列出方程，分类讨论． 【变式14-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题： (1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______； (2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y． ①的最小值为______； ②且x为整数，求的最大值； (3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)①；②； (3)不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①表示数到和的距离之和，当数在和之间时，有最小值，即可求解； ②由①可知，当时，的最小值为，同理可得，当时，的最小值为，再分两种情况讨论：若，则，此时，求出的值，再代入计算最大值；若，则，不符合题意，即可得解； （3）设运动时间为t秒，由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，，则，，再分两种情况求解：当时，点在点右侧，此时；当时，点在点左侧，此时，分别代入合并化简，再结合题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：或， 故答案为：或； （2）解：①表示数到和的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； ②由①可知，当时，的最小值为， 同理可得，当时，的最小值为， ，且x为整数， 若，则，此时， 的最小值为， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 此时，的最大值为； 若，则，不符合题意， 综上可知，的最大值为； （3）解：存在n的值，使得在运动过程中的值是定值， 设运动时间为t秒， 由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，， ，， 当时，点在点右侧，此时， ， 的值是定值， ， 解得：， 对于所有，不成立，不符合题意； 当时，点在点左侧，此时， ， 的值是定值， ， 解得：， 当，时，不成立，舍去， 综上可知，不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，整式的无关型问题等，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 【变式14-3】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点为数轴上的原点，点、分别为数轴上两点，对应的数分别为、，已知，． (1) ； ； (2)若动点从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向匀速运动，当点运动到线段上时，分别取、的中点、，若是定值（其中，为常数），试求与的等量关系； (3)若是数轴上的任意数，代数式的最小值为，其在数轴上对应点记为点．动点、分别从点、同时出发，以各自的速度在、之间做匀速往返运动，其速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，当他们第三次在点处相遇时，请直接写出此时点在数轴上对应的数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，绝对值的含义，非负数的性质，线段中点的含义，解题的根据是根据数轴上的点运动的特点找到数量关系列方程求解． （1）根据，得出，根据已知，可得，，即可求解； （2）表示出，，，求出，关于t的式子，再代入，化简得到，可得，结合为定值，即可求出m，n的关系； （3）先求出当时，代数式的最小值 ，再得出，设第三次相遇时过了秒，建立方程求解，进而求得点的运动时间，最后求得对应的数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，． ∴， ∴，，即， 故答案为：，． （2）假设点运动了秒，则对应的数为，，     因为、是、的中点， 所以点对应的数是，点对应的数是， 所以，     ∴ 因为是定值， 所以可以设此定值为 ，    ∴ ∴ 所以， ，     所以 解得： ， （3）零点值为个，个，个，个，个，， 总共15个零点，15为奇数，则在第8个零点取最小，即时，代数式有最小值，最小值为， 故，     ， ， 由已知，第一次相遇，合走个， 第二次以及以后相遇，，每次合走个， 设第三次相遇时过了秒，则，     ，     对分析，从出发，以速度为在之间进行往返运动，经过秒的路程为， ， 点第一次到达后向右走了，     故此时点对应的数为． 【题型15 绝对值的几何意义】 【例15】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期中）【背景介绍】：绝对值在初中数学中是一个基础核心概念和关键枢纽．它看似简单，却是连接算术与代数、串联多种数学思想的重要节点． 【应用】：（1）已知，都是有理数，若，则的值， 【引导思考1】：（2）分类讨论：如果，，求． 【引导思考2】：几何意义：表示数、在数轴上对应的点、之间的距离． （3）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为、、、、若，，，则的值是 ． 【尝试应用】：（4）符号：，表示：对于数轴上任一点，和是与点相距个单位长度（）的两点．如果点、是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发，点向左，点向右运动，当时，求点、之间的距离． 【答案】（1）；（2）或，（3）5；（4）或． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，非负数的性质，绝对值的几何意义，一元一次方程的应用： （1）根据非负数的性质求得的值，代入计算即可； （2）根据绝对值的意义即可求出，，进而代入计算即可； （3）由图可知：，化简绝对值可得，，，再根据即可求解 （4）可得设点P和点Q表示的数分别为，根据定义可得，根据得到，即，据此把看作一个整体，解绝对值方程即可得到答案． 【详解】（1）解：（1） ， ， ， ， （2） ，， ，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或． （3）由图可知：， ，，， ，，， ， 故答案为：． （4）设点和点表示的数分别为， ，， ， ， ， ， 当时， ， ， 点、之间的距离为； 当时， ， ， 点、之间的距离为； 综上所述，点、之间的距离为或． 【变式15-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 【变式15-2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时，的值最小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可求解； （2）由题意得，求出的值即可； （3）由表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，则，从而得到即可； （4）根据数轴上两点间的距离可求得共有个点，中位数是第15、16个点，即，最小． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：∵表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，， ∴， ∴，，，，，，，，共个整数； （4）解： ， 零点从小到大排列：，，，，，一共5个零点（奇数个）， 共有个点， 即第号：， 第号：， 第号：， 第号：， 第号：， 中间数是第15、16个，即， 所以取中间的零点，也就是时，y最小． 【变式15-3】（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）阅读下列材料并回答问题： 我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解． 例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或． 例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或． 例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．    回答问题： (1)解方程：； (2)解不等式：； (3)解方程：； (4)若对任意的都成立，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以求得方程的解； （2）根据题意可以求得不等式得解集； （3）讨论的不同取值范围可以求得方程的解． （4）原问题转化为：大于或等于最大值，据此求解． 【详解】（1）解：解方程，容易看出，在数轴上与距离为7的点的对应数为，3，即该方程的解为或； （2）解：解不等式， 如图3，在数轴上找出的解，即到3的距离为4的点对应的数为，7，则的解集为或．    （3）解：， 当时， ， 解得； 当时， ， 在时，不能使得成立； 当时， ， 解得， 故的解是或． （4）解：原问题转化为大于或等于的最大值． 当时，应该恒等于； 当时，随的增大而减小， 即小于4大于； 当时，， 即应该恒等于4． 综上所述，的最大值为4， 故． 【题型16 带绝对值的式子化简问题】 【例16】（25-26七年级上·广东广州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当为不等于的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于的有理数，若这个数中有个正数，，求的值．（请用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的定义即可求解； （2）已知，则一正两负，分类讨论即可； （3）个正数，负数有个，式子中由个正个，相加即得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的正负性可能为： ①当为正数，为负数时，原式 ； ②当为正数，为负数时，原式 ； ③当为正数，为负数时，原式 ； ∴原式或3； （3）解：个正数，负数的个数为， ； 故答案为：． 【变式16-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式加减等，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是解题的关键． （1）根据数轴得到，从而得出，，，然后化简绝对值即可； （2）根据，得出，，，，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，，，， ∴ ． 【变式16-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想． （1）观察数轴上、、的正负，去除绝对值符号，化简； （2）分区间讨论符合条件的整数； （3）表示的两个因数，找出合适的两个因数，分别求出、的值． 【详解】（1）解：由题意得, , ∴，，， ∴ ． （2）解：①当时, ， ∴， 解得：； ②当时, ∴， ∵， ∴等式不成立． ③当时, 由， 得， 解得：， ∴或时，． （3）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在与之间时（含端点）， 当在左侧时，到的距离大于， 当在右侧时，到的距离大于， 则在上述两种情况时， ∴， 同理：， 又∵，、为非负整数， ∴可得： ， ， ， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， ∴满足，或， 时，， 解得：（舍去）， 故， 即，，，， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解； 解方程组 时，， 解得：， 时，， ∴， 时，， 解得：（舍去）， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解， 综上：或或或． 【变式16-3】（25-26七年级上·重庆大足·期末）在科学研究中，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是研究距离非常重要的工具，它是数形结合的典范．本学期我们学习了数轴，请利用相关知识解决问题． 如图，数轴上表示，，，的点所对应的数为，，，，请完成下列各题： 【基础填写】 （1）在，，，四个数中，离原点距离最近的数是_____________．离原点距离最远的数是_____________． 【理解运用】 （2）化简：． （3）探究：式子，当__________时，式子有最_________值（填‘大’或者‘小’）为____________． 【拓展提升】 （4）数轴上，清洁机器人从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻，相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速．若在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇，请问最后几秒能与相遇？ 【答案】（1）； （2） （3）；小； （4） 【分析】（1）根据数轴上点的位置直观判断各点对应数到原点的距离，得出离原点最近和最远的数即可； （2）先由数轴确定各代数式的符号，再根据绝对值的性质化简，最后进行有理数混合运算得出结果即可； （3）将式子转化为数轴上点到、、三点的距离之和，利用奇数个点取中间点求最值的方法，代入计算即可得最小值； （4）先算、首次相遇时间，再求相遇后到第秒的时间差与此时的间距，最后根据改向后的相向运动速度和，即可计算出相遇所需时间． 【详解】解：（1）由数轴可知，离原点距离最近是点，离原点距离最远是点， ∴离原点距离最近的数是，离原点距离最远的数是； 故答案为：；； （2）由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ； （3）∵， ∴表示数轴上点到、、三点的距离之和， ∵定点、、为个（奇数个），按从小到大排序后中间定点为， ∴当时，该距离之和取得最小值， 把代入，得 ； 故答案为：；小；； （4）∵从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻， ∴、首次相遇时间为：， ∵相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速，若在第秒时接到指令， ∴在接到指令时、相距：， ∵在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇， ∴最后与相遇时间为：． 【点睛】本题考查了数轴的综合应用，数轴上点到原点的距离、绝对值的代数化简与几何意义、有理数的混合运算，以及数轴上的分段动点相遇问题，将抽象的数与数轴上的点对应，结合数轴直观判断数的符号与大小关系，对动点问题按运动状态分阶段拆解并运用相对速度计算是解题的关键． 【题型17 算术平方根、立方根的应用】 【例17】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) 不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为，由题意，得， 解得（边长为正，负值舍去）， ∴长方形纸片的长为，宽为 ∵， ∴小丽不能裁出符合上述要求的长方形纸片 【分析】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，再求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积列出方程，求出长方形纸片的长为，宽为，再与大正方形的边长进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：大正方形的面积为， 则大正方形的边长为； （2）略． 【变式17-1】（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长． (2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明． (3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2) 解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； (3) 【分析】（1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）略 （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【变式17-2】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名学生在匀速跑步，他的质量是千克，若动能是焦耳，求该学生的跑步速度． 【答案】米/秒 【分析】根据题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知千克，焦耳， ，               解得或（负数舍去）．      答：该学生的跑步速度是米/秒． 【变式17-3】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）小康为研究汽车紧急制动时的安全刹车距离，整理出如下实验数据： 34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 35 1156 1162.81 1169.64 1176.49 1183.36 1190.25 1197.16 1204.09 1211.04 1218.01 1225 根据上述表格内容，完成下列问题． (1)比较大小：________； (2)汽车在干燥水泥路面紧急刹车时，制动距离（单位：）与刹车前的行驶速度（单位：）之间的关系近似满足．现有一辆汽车在该路面行驶时突发状况，紧急刹车后测得制动距离，求这辆汽车刹车前的行驶速度大约是多少？ 【答案】(1) (2)这辆汽车刹车前的行驶速度大约是 【分析】（1）由表中数据得到，结合无理数比较大小的方法求解即可； （2）先由题中数据求出，再由表中数据估算出即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知，， ， ； （2）解：根据公式，代入制动距离， 得， 则或（负值，舍去）， 结合表格中的数据，可知，则， 答：这辆汽车刹车前的行驶速度大约是． 【题型18 实数混合化简计算】 【例18】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）计算：． 【答案】75 【详解】解： ． 【变式18-1】（25-26七年级下·安徽蚌埠·阶段检测）如图，是一个计算流程图：    (1)求计算流程图能够运算进行下去的最小整数？ (2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）根据非负数才有算术平方根列出不等式即可解得； （2）为0和1时，有效，始终输不出y值． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴计算流程图能够运算进行下去的最小整数是； （2）解：当时，始终输不出y值． ∵0的算术平方根是0，一定是有理数； 当时，始终输不出y值； ∵1的算术平方根是1，一定是有理数； 当时，是负数时，始终输不出y值， ∵负数没有算术平方根； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了程序设计与实数运算，掌握实数运算规则是关键． 【变式18-2】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为0或 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意可知，，即 ． ∵， ①当，即时， ，， ∴，无解； ②当，即 时， ∴，， ∴，解得； ③当，即时， 此时成立， 综上，的值为或． 【变式18-3】（1）计算： ①   ② ③ …… （2）观察（1）中的式子，写第n个根式，并化简． （3）请根据（2）的结论计算： 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查二次根式的化简计算，规律总结，算术平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）逐个计算，最后根据算术平方根计算即可； （2）根据（1）中的①②③，找出规律，并总结出即可； （3）根据（2）中的规律计算，即可解答． 【详解】解：（1）①  ， ②， ③， …… （2）由（1）得 ①  ， ②， ③， …… 按此规律，可得 第n个根式为； （3） ． 【题型19 平方根立方根估算综合计算题】 【例19】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (2)，其中是整数部分，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根的估算以及实数的运算性质，核心是利用“夹逼法”确定无理数的范围，从而分离出整数部分和小数部分，再代入计算． （1）先确定和的范围，得到小数部分和整数部分，再代入计算的值，最后求其平方根； （2）先确定的范围，得到整数部分和小数部分，再代入计算的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的小数部分； ∵，即， ∴的整数部分； 则， ∵1的平方根为， ∴的平方根为； （2）∵，即， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分； 则. 【变式19-1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为，小数部分为；的整数部分为，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则 ， ． (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了求算术平方根的整数部分和小数部分，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则有，； （）先估算，从而求出，，再把进行化简，然后代入求解即可； （）先估算，从而求出，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ， 当时， 原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式19-2】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）阅读下面的材料：∵，即，∴的整数部分是4，小数部分是．请你观察上述方法，解答下列问题： (1)若介于连续的两个整数a和b之间，且，则______，_______． (2)若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值； (3)由（2）中的x，求的算术平方根． 【答案】(1)6，7 (2) (3)3 【分析】（1）夹逼法求出的范围，即可得出结果； （2）求出的范围，进而求出的值，再进行计算即可； （3）先计算，再根据算术平方根的定义进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，即， ∴； （2）解：∵，即， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：由（2）知：， ∴的算术平方根为3. 【变式19-3】（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）求出，分两种情况进行解答即可； （2）求出，由即可得到答案． 【详解】（1）解：由条件可知， ， 为偶数， ， 若，则，，因此小数部分为； 若，则，，因此小数部分为； 的小数部分为或； （2）解：由条件可知，， ，； ， ∴右边， ， 两边立方得：， ， ， ， ， 的“舒适区间”为． 【题型20 实数与数轴】 【例20】（25-26七年级下·江西宜春·期末）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是__________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用点B表示数减去2个单位长度即可； （2）将m的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数， ∴实数m的值是； （2）解：当时， ． 【变式20-1】（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）如图，已知、是数轴上的两个点，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．（例：） (1)当运动时间为秒时，点表示的数为_____． _____；（分别用含的代数式表示）； (2)点运动多少秒时，？ (3)若M为的中点，N为的中点，点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)；； (2)秒或秒 (3)线段的长度不发生变化，长度是 【分析】（1）根据=速度×时间，可表示出的长，点P表示的数为； （2）分点P在之间运动时和点P在运动到点A的右侧时两种情况列出方程求解即可； （3）分点P在之间运动时和点P在运动到点A的右侧时两种情况，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可． 【详解】（1）解：由题意得，，点P表示的数是； （2）解：①当点P在之间运动时，由题意得， ， ∵， ∴， ∴； ②当点P在运动到点A的右侧时，由题意得， ， ∵， ∴， ∴； 综上可知，点P运动秒或秒时，． （3）解：线段的长度不发生变化，长度是 ①当点P在之间运动时，由题意得， ， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴； ②当点P在运动到点A的右侧时，由题意得， ， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴； 综上可知，线段的长度不发生变化，长度是． 【变式20-2】（25-26八年级下·山东临沂·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）解：由题意得，， ∴， ∴ ． 【变式20-3】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： (1)折叠纸面，若使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示________的点重合； 操作二： (2)折叠纸面，若使表示1的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与表示数________的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为6（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是________； 操作三： (3)在数轴上剪下10个单位长度（从到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是________． 【答案】(1)3 (2)①；②和 (3)或或 【分析】（1）数轴折叠的本质是轴对称，折痕所在的点即为对称点连线的中点，设折痕对应数为，若点与点折叠后重合，则满足：即可求解； （2）使表示1的点与表示的点重合，先求折痕处点的表示为，再根据条件进而求解即可； （3）线段折叠后剪断问题需结合长度比例和对称性分类讨论求解可得． 【详解】（1）∵表示1的点与表示的点重合， ∴折痕为原点O . ∴表示的点与表示的点重合； （2）∵折叠纸面，若使表示1的点与表示的点重合， ∴折痕表示的点为； ①设表示的点与数表示的点重合，则， ∴， 即表示的点与表示数的点重合； ②∵数轴上A、B两点之间距离为6， ∴数轴上A、B两点到折痕的距离为3， ∵A在B的左侧， ∴A、B两点表示的数分别是和． （3）设折痕处对应的点所表示的数是，则 如图1： 若这三条线段的长度之比为时， 设，，,则， 解得 ∴，，， ∴． 如图2： 若这三条线段的长度之比为时， 设，，,则， 解得 ∴，，， ∴． 如图3： 若这三条线段的长度之比为时， 设，，,则， 解得 ∴，，， ∴． 综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 【题型21 与实数有关的规律探究】 【例21】（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) ；见解析 【分析】（1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 【变式21-1】（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解： ， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 或， 解得或1或3． 【变式21-2】（25-26七年级下·重庆南川·期末）对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题根据给定的变换规则，对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为，对三个说法逐一分类讨论验证，统计正确说法的个数即可得到结果． 【详解】解：变换规则为：对正实数，若为有理数，一次变换结果为；若为无理数，一次变换结果为， 判定说法①： 是有理数，一次变换得；是无理数， 二次变换得；是有理数， 三次变换得，因此说法①正确． 判定说法②： 对二次变换得， 设一次变换结果为，即对变换得． 若为有理数，则，解得； 再对分类：若为有理数，得； 若为无理数，得（负根舍去）． 若为无理数，则，解得（负根舍去），是有理数，矛盾舍去． 满足条件的和为，因此说法②正确． 判定说法③： 三次变换得， 设二次变换结果为，一次变换结果为， 从后往前推导：对变换得，得（有理）或（无理），共2个； 对变换得，得、、，共3个； 对变换得且要求：得2个符合的，得1个符合的，没有符合的， 共3个符合条件的，说法③认为有4个，因此说法③错误． 综上，正确的说法共有2个，选C． 【变式21-3】（25-26八年级上·福建三明·阶段检测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【答案】(1)两位数 (2)9 (3)3 (4)26；47 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，正确理解题意是解题的关键． （1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数； （2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定； （4）根据（1）（2）（3）即可得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，所以是两位数； （2）解：只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以的个位数是9； （3）解：因为，所以，即， 所以的十位上的数是3． （4）解：通过同样的方法可得，17576的立方根是两位数，17576的立方根的个位数字是6，十位数字是2，故17576的立方根是26；同理可得，103823的立方根是47． 【题型22 整式加减无关性问题（几何类）】 【例22】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把当作系数，将多项式去括号，合并同类项，得，再令的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将，的代数式代入式子，合并同类项得，然后根据的值与无关，令的系数为0，即可求出n的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】（1）解： ， 其值与的取值无关， ， ； （2）∵，， ， 的值与无关， ，即； （3）设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ． 【变式22-1】（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 【变式22-2】（25-26七年级上·全国·周测）【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某个字母的值无关的含义. （1）先转化为关于的多项式，然后去括号，合并同类项化简，再根据多项式的值与无关，再建立方程求解即可； （2）先分别表示，，再计算，再根据与无关，从而可得答案. 【详解】（1）解：由题意，得 ． ∵的值与的取值无关， ∴，解得． （2）由题意，得， ∴ ． 的值始终保持不变， ，即． 【变式22-3】（25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【答案】（1） （2）   （3）①  ②D 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将，，代入中，化简即可； （2）的值与的取值无关，即的系数为0，由此解答即可； （3）①先将表示出来，再将代入求解即可； ②分别计算，，，，判断哪一项与的取值无关即可． 【详解】解：（1） ． （2） 又的值与的值无关   ，． （3）①∵阴影部分的面积=大长方形的面积－7个小长方形的面积， ． 当时，． ②由①得，； ； ； ； 与的取值无关． 故选：D． 【题型23 整式加减的新定义运算】 【例23】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）新定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：，，中，“迥异数”为____________； ②计算：____________． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”． (3)如果一个“迥异数”，满足，请直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)或 【分析】（1）①根据“迥异数”的定义直接判断即可；②根据的定义计算即可； （2）用含的代数式表示原数和对调后的新数，计算得到，结合列方程求解，即可得到； （3）设的十位为，个位为，用含的代数式表示和，代入不等式，根据的取值范围枚举得到所有符合条件的． 【详解】（1）①根据定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，称为迥异数”，个位为，个位与十位相同，因此“迥异数”为． ②． （2）由题意得，“迥异数”的十位数字是，个位数字是， 原数， 对调个位和十位后得到的新数为， 因此， 已知， 因此， 解得，则个位数字为，因此． （3）设“迥异数”的十位数字为，个位数字为，满足，都是到的正整数，则， 对调后新数为， 因此， 代入不等式得：， 整理得， 因为， 所以，即， 解得， 因为是正整数，所以或， 当时，代入不等式得， 解得， 因此，满足，此时， 当时，代入不等式得， 解得， 因此，满足，此时． 【变式23-1】（25-26七年级上·福建厦门·期中）【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)_____； (2)小颖同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，她的说理过程如下：设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为．（请你继续完成小颖同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时的值． 【答案】(1)8 (2) ∵设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为． ∴， 交换个位与百位后得数为： 这两个数的差值 ，均为整数，且， ∴是正整数， 必为正整数， (3)最小值为7，此时或或或 【分析】本题考查新定义题型，数字规律，整式的加减运算，求一个数的绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题目中的定义，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个整数为即可得解． （2）根据题意，，交换个位与百位后得数为：，，商为正整数，即可得出结果； （3）根据“异数”的定义，易得，，结合s，t都是“异数”，，以及为小于10的正整数，得或或或或，再分别代入进行计算，即可作答． ，继而得解； 【详解】（1）解：依题意，交换百位和个位上的数字后，得 ∵用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． ∴，， ； （2）解：略． （3）解：， ∴交换个位与百位后得数为：， ∴这两个数的差值 ∴ ∵ ∴交换个位与百位后得数为：， ∴这两个数的差值 ∴ ∵的最小值， 即求的最小值， ∵s，t都是“异数”，， ∴， ∵为小于10的正整数， ∴或或或或 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； ∵， ∴的最小值为7，此时或或或． 【变式23-2】（25-26七年级上·北京·期中）对于、，定义了一种新运算“★”为：． 如：，． (1)计算：①__________；②__________． (2)若，，且当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1), (2), (3) 【分析】本题考查函数值，理解新定义运算是正确解答的前提． （1）根据新定义的运算方法进行计算即可； （2）由，根据新定义的运算得到，最后根据当时，的值与字母的取值无关，得到，； （3）先化简式子，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：,． （2）解：当时，， ∵当时，的值与字母的取值无关， ∴，， 解得,； （3）解：在（2）的条件下，，， ∴ ． 【变式23-3】（25-26七年级上·北京海淀·期中）给定有理数a，b，对整式，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算 “”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则______，______； (2)写出一组a，b的值，使得对每一个正整数和整式，均有，并说明理由； (3)当，时，若，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 【答案】(1)， (2)解：，理由如下： 要使对每一个正整数n和整式A，均有，我们先分析的规律：当时，， 由，得； 当时， ， 代入，得， 即； 以此类推，可得时，使得对每一个正整数和整式，均有． (3)， 【分析】（1）根据新定义直接代入化简即可； （2）将根据不同的n值运算展开发现规律，据此确定，满足的关系； （3）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，化简，然后找出正整数的解即可； 【详解】（1）解：当 ， 时，若，， ， 故答案为：，． （2）略 （3）解：根据新运算的定义得，， 当，时， 当，时，上式变为： ， 不含项， ， 当，，此时q不是正整数，舍去， 当，，此时q不是正整数，舍去， 当，，此时q不是正整数，舍去， 当，,此时，解得：， ，． 【题型24 整式加减的应用综合】 【例24】（25-26七年级下·重庆万州·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”的方式以达到节水的目的，收费标准如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米），请根据表中的内容解答下列问题： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ (1)某居民用户9月份用水9，应缴水费　　　元； (2)某居民用户10月份缴水费44元，求该用户10月份的用水量； (3)若用户11月份、12月份共用水18（12月份用水量超过11月份用水量），设11月份用水，求该户居民11月份、12月份两个月共交水费多少元？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)24 (2) (3)当时，水费共交元；当时，水费共交元；当时，水费共交48元 【分析】（1）居民用户9月份用水9，处于第二档，根据收费标准计算即可； （2）若该用户10月份用水超过不超过，最多应收水费元，得到该用户10月份用水量超过了．设该用户10月份用水量为，根据收费标准列方程求解即可； （3）该户居民11月份、12月份两个月共用水，设11月份用水，则设12月份用水，由12月份用水量超过了11月份，得到，再根据，，分情况讨论，分别根据两个月所处的位置结合收费标准列式计算即可． 【详解】（1）解：某居民用户9月份用水9，处于第二档，应缴水费（元）； （2）解：若该用户10月份用水不超过，最多应收水费元， 若该用户10月份用水超过不超过，最多应收水费元， 该户居民10月份水费为44元，因为， 所以该用户10月份用水量超过了． 设该用户10月份用水量为， 由题意得：， 解得：， 答：该居民10月份用水量为； （3）解：该户居民11月份、12月份两个月共用水，设11月份用水，则12月份用水， ∵12月份用水量超过了11月份， ∴， 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 所以，当时，水费共交元；当时，水费共交元；当时，水费共交48元． 【变式24-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 【变式24-2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【答案】(1)11张 (2)第25张 【分析】（1）根据规则：取牌张数+牌点数=13，分别算出点数3、Q对应的取牌数量，再求和即可； （2）设两张牌点数分别为，先表示出步骤④取牌总数，再结合，计算步骤⑤翻开牌在整堆牌的上层位置，再换算成从下往上的序数． 【详解】（1）解：已知规则：取牌张数牌点数，Q视为点数12． 点数为3时，取牌数量：张； 点数为Q时，取牌数量：张， 总共取牌：张， 所以步骤4中共需取扑克牌11张． （2）解：设两张翻开的扑克牌点数分别为和：两张牌点数之和， 步骤④总共取走的牌数：对于点数为的牌，取牌数为；对于点数为的牌，取牌数为，总取牌数为， 剩余牌堆的总张数：步骤②抽取30张，步骤③抽取（张），步骤④取走张，因此剩余牌堆张数为， 步骤⑤要求从剩余牌堆从上往下数第张翻开，那么从下往上数的位置为总张数减去从上往下数的位置再加1，即，因此最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第张． 【变式24-3】（25-26七年级下·广西南宁·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有数字． 游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片分别记为．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者按要求回答问题． 下表是小李抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和： 卡片编号 两数的和 53 65 58 72 请思考： (1)请比较小李抽取的卡片上的数的大小__________（用“<”连接）； (2)求出小李抽取的五张卡片上的数的和（用含的式子表示）； (3)若编号为的三张卡片的数之和为，且比大30，求卡片上面所写的数字． 【答案】(1) (2) (3) 卡片上面所写的数字为 【分析】（1）根据每相邻两张卡片上的数的和的大小，可作出比较； （2）把表中两数的和相加并除以2即可； （3）根据题意及（2）所求，可求得m的值，进而求得C卡片上的数，由C，D两张卡片上的数的和求得D卡片上的数． 【详解】（1）解：用A，B，C，D，E五张卡片代表这五张卡片上的数字， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2） 解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型25 整式加减与数轴、绝对值综合】 【例25】（25-26七年级上·全国·期中）已知关于，的多项式，．（为常数） （1）若多项式是三次三项式，则的值是______． （2）若多项式的值为10，则 的值为______． （3）若单项式与 的和仍是单项式， ①单项式 为几次单项式； ②求多项式的值． （4）若一个多项式减去多项式，小明误当成了加法计算，得到的结果是 ，请你帮助小明求出正确的计算结果． （5）在（1）的基础上，解决下列问题： ①化简； ②若化简的结果与的取值无关，求 的值． （6）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，且 为最大的负整数．化简：______； （7）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，其中a，b，m分别是这个三位数百位、十位、个位上的数字．若 可以被3整除，则这个数就能被3整除．例如，三位数108，因为，9可以被3整除，所以108就能被3整除． 【发现】 将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数 就能被7整除． 【验证】 例如，三位数364，因为 ，28可以被7整除，所以364就能被7整除． ①用上述方法判断455能否被7整除？____．（填“能”或“不能”） 【探究】 ②请用含，，的代数式表示_____； ③结合②论证【发现】中的结论正确． 【答案】（1）2； （2）2； （3）①为五次单项式；②多项式的值为17； （4）正确的计算结果为； （5）①；②； （6）； （7）【验证】①能； 【探究】②； ③由题意，得三位数 ， 因为 能被7整除， 所以设 为正整数)， 所以 ， 所以 ， 所以三位数 能被7整除． 【分析】本题考查多项式，多项式求值，整式加减中的无关型问题，同类项，含字母的绝对值的化简等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据多项式是三次三项式，得到，进行求解即可； （2）求出，整体代入法进行计算即可； （3）①根据题意，得到单项式与是同类项，求出的值，再根据单项式的次数为所有字母的指数和进行求解即可；②将字母的值代入，计算即可； （4）将错就错，求出多项式，再进行减法运算即可； （5）①利用整式的加减法则进行计算即可；②根据化简的结果与的取值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可； （6）根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可； （7）根据给定的方法，判断，列代数式，论证即可． 【详解】（1）因为多项式是三次三项式，所以，所以 ． （2）因为， 所以 ， 所以； （3）①因为单项式与 的和仍是单项式， 所以单项式与是同类项，所以， ， 所以， ． 因为单项式的次数为 ， 所以 为五次单项式． ②由①知：， ， ∴； （4）多项式为 ， 所以正确的计算结果为 ． （5）①由(1)知，， 所以 ， 所以． ②由得 ． 因为化简的结果与的取值无关，所以 ， 所以 ． （6）因为为最大的负整数，所以 ．由题中数轴可知，，， 所以，，， 所以 ． （7）①能，因为 ，35可以被7整除，所以455就能被7整除． ②用含，，的代数式表示， 故答案为：， ③略 【变式25-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）在数轴上点分别表示数，且． (1)求的值及两点之间的距离． (2)如图，点分别从点同时出发沿数轴向右运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒5个单位长度，当运动时间为9秒时，求之间的距离？ (3)在（2）的条件下，点从原点与同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒个单位长度，若在运动过程中，的值与运动的时间无关，求的值． 【答案】(1)，，两点之间的距离为34 (2)之间的距离为52 (3)的值为 【分析】（1）由非负数的性质即可求得的值，从而得到数轴上点分别表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可得到答案； （2）先分别求出运动时间为9秒时，点、表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可得到答案； （3）分别表示出运动秒后，点表示的数为，点表示数为，点表示的数为，从而得到，，，根据的值与运动的时间无关可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，， 解得：，， 在数轴上点分别表示数、10， 两点之间的距离为：； （2）解：点分别从点同时出发沿数轴向右运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒5个单位长度， 当运动时间为9秒时，点表示的数为：，点表示的数为：， 之间的距离为：； （3）解：点从原点与同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒个单位长度， 运动秒后，点表示的数为，点表示数为，点表示的数为， ，， ， 的值与运动的时间无关， ， 解得： 在运动过程中，的值与运动的时间无关，的值为． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解此题的关键． 【变式25-2】（25-26七年级上·云南普洱·期末）阅读材料：在初中数学学习中，数轴是连接数与形的重要桥梁，它将抽象的有理数与直观的几何图形完美结合．研究数轴我们能发现许多重要的规律：若数轴上点C，点D表示的数分别为c，d，则C，D两点之间的距离． 根据以上知识解决下列问题： 如图1，是一个正方体的展开图，其每一个面都有一个有理数，相对面上的两个数互为相反数，图2中数轴上点A，点B表示的数分别为a，b． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点M从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①当P，Q两点的距离为8时，求t的值； ②在某个时间段内，的值不随t的变化而变化，求出该时段m的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）根据相对面必定相隔一个小正方形，确定相对面，再根据相反数的定义求出的值即可； （2）①根据距离公式列出方程进行求解即可；②根据的值不随t的变化而变化，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，和2为相对面，和为相对面， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴， ∴； （2）解：①由题意，点表示的数为，点表示的数为， 由题意，得或， 解得或； ②由题意，点表示的数为，当点与点重合时，即，解得， 当时： ， ∵的值不随t的变化而变化， ∴， ∴； 当时： ， ∵的值不随t的变化而变化， ∴， ∴； 综上：或． 【变式25-3】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）【综合探究】 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为．请用上面材料中的知识回答下面的问题： 【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始出发，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，然后再向右移动3个单位长度到达点． 【问题探究】 （1）点到点的距离___________，点到点的距离___________； （2）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，当时，求运动时间的值； ②试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 【拓展应用】 （3）在（2）的运动基础上，若点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动（与点同时出发）．经过多少秒后，点到点，点，点的距离之和为35个单位长度？ 【答案】（1）5，8；（2）①或；②不变，其值为1；（3）经过6秒后，点到点，点，点的距离之和为35个单位长度 【分析】本题为数轴上动点问题，考查了用数轴上点表示有理数，绝对值几何意义，整式加减应用，一元一次方程应用等知识﹒ （1）根据题意即可求解； （2）根据题意得点表示的数为，点表示的数为3，点表示的数为6，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为﹒ ①根据背景知识得到，，根据得到，即可求出或． ②求出，，计算，即可得到的值不随着时间的变化而变化，其值为1； （3）由题意得点表示的数为，得到，，，即可列出方程，化简绝对值为，解得，问题得解﹒ 【详解】解：（1）根据题意，得点到点的距离， 点到点的距离． 故答案为：5,8； （2）根据题意，得点表示的数为，点表示的数为3，点表示的数为6， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为﹒ ①∴，． ∵， ∴， ∴或， 解得或． ②不变．求值如下： ， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，其值为1； （3）由题意得点表示的数为， ∴点到点，点，点的距离分别为，，， ∵点到点，点，点的距离之和为35个单位长度， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴经过6秒后，点到点，点，点的距离之和为35个单位长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习压轴25大题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 有理数~第4章 代数式） 【新教材浙教版】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 由点在数轴上的位置判断结论正误】 1 【题型2 数轴与绝对值的化简】 3 【题型3 幻方与程序框图】 3 【题型4 数轴中的动点问题】 5 【题型5 有理数运算的实际应用】 6 【题型6 绝对值的最值问题】 7 【题型7 利用算术平方根的非负性求值】 8 【题型8 无理数大小估算比较】 8 【题型9 无理数整数小数部分求解】 8 【题型10 平方根立方根估算综合计算题】 9 【题型11 数式或图形的变化规律】 9 【题型12 整式加减的无关性问题】 10 【题型13 整式的加减与周长应用】 11 【解答压轴】 12 【题型14 数轴上点的运动问题】 12 【题型15 绝对值的几何意义】 13 【题型16 带绝对值的式子化简问题】 16 【题型17 算术平方根、立方根的应用】 17 【题型18 实数混合化简计算】 18 【题型19 平方根立方根估算综合计算题】 19 【题型20 实数与数轴】 20 【题型21 与实数有关的规律探究】 21 【题型22 整式加减无关性问题（几何类）】 23 【题型23 整式加减的新定义运算】 25 【题型24 整式加减的应用综合】 26 【题型25 整式加减与数轴、绝对值综合】 29 【选填压轴】 【题型1 由点在数轴上的位置判断结论正误】 【例1】（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是__________． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆渝北·期中）是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川达州·期末）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（   ） ①若，则 ②若，，则或 ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是 A． B． C． D． 【题型2 数轴与绝对值的化简】 【例2】（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简－－＝________． 【变式2-2】（25-26七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知有理数a，b在数轴上的位置如图，化简：|2﹣3b|﹣2|2+b|+|a+2|﹣|3b﹣2a|的结果为_____． 【变式2-3】（25-26七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列结论正确的个数是（　　） ①若，，则；②若，则B为AC的中点；③化简；④若数轴上点M到A，B，C距离之和最小，则点M与点B重合；⑤若，，点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若，则最小值为12134． A．3 B．4 C．5 D．6 【题型3 幻方与程序框图】 【例3】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是，如图所示幻方中，若，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的为2，则第1次输出的结果是0，第2次输出的结果是，第3次输出的结果是3，…，以此类推，第次输出的结果是___________． 【变式3-2】（2026·宁夏固原·三模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________． 【变式3-3】（25-26七年级上·重庆渝中·阶段检测）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵_________；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为_________； 【题型4 数轴中的动点问题】 【例4】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在数轴上，点A表示的数为0，点B表示的数为7，若C为线段上的一点，P从C出发，以每秒3个单位长度的速度，先向A运动，到达A之后再以原速向右运动．若在运动过程中，当运动时间为时，满足，则C在数轴上表示的数为______． 【变式4-1】（25-26七年级上·北京·阶段检测）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当时，；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式4-2】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，两点同时出发．点，的初始速度分别是3个单位长度秒和6个单位长度秒，点和点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为秒，有下列结论： ①当时，点表示的数为数轴的原点； ②当点到达点时，； ③当点到达点时，； ④运动过程中，点和点在线段上相遇； ⑤当或18时，． 以上结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-3】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，点和点分别表示的数为与，点从点出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从点出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，、两点同时开始运动，两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点在线段上，且，当__________时，满足． 【题型5 有理数运算的实际应用】 【例5】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）联欢会有四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下：已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的所有演员的候场时间之和为______分钟；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按______的先后顺序彩排． 节目 演员人数 2 1 彩排时长 6 【变式5-1】（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）年“湘超联赛”极大激发了湖南人民的足球热情，常规赛中全省共有个队进行单循环比赛，每场比赛胜队积分，败队积分，平局时两队各积分，常规赛结束以后，总积分最高的个队进入下一轮的淘汰赛，如果总积分相同，还要按净胜球等排序，若年常规赛规则不变，长沙队想要保证进入淘汰赛，则长沙队至少要积多少分？针对该问题，甲，乙，丙，丁四位同学进行了以下讨论： 甲：一共进行了场比赛，我们需要考虑最理想的情况，假设每一场都分出胜负，可以让前名积分相同，并且积分尽可能低一点． 乙：不仅要考虑前名，还要让第名的积分尽可能高一点，可以先考虑和前名积分一样，这样个队尽可能平分个胜场，积分就能保证进入前八名． 丙：前个队不可能包揽全部个胜场，比如后面个队之间的比赛胜场． 丁：刚刚都是理想情况下的分析，还要验证一下能不能实现． 结合四位同学的讨论，长沙队至少要积______分，才能保证进入淘汰赛． 【变式5-2】（25-26七年级上·北京·期中）在黑板上写下一列不同的自然数，每次同时擦去任意两个数，再把这两个数的和或者差（以擦前位置为准，“前面的数”减去“后面的数”）写在这列数的最后面，重复这样的操作，直至在黑板上仅留下一个数为止，下列说法中①若在黑板上写下2、3、4，按此操作，最后留下的那个数可能是5；②若在黑板上写下1、3、5、7，按此操作，最后留下的那个数可能有种不同的结果；③若在黑板上写下1、3、5、7，按此操作，最后留下的那个数可能是；④若在黑板上写下1、2、3、．．．、、，按此操作，最后留下的那个数可能是．正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【变式5-3】（25-26九年级下·北京·阶段检测）化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 【题型6 绝对值的最值问题】 【例6】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）若不等式有解，则实数的最小值是_____． 【变式6-1】代数式的最小值是(    ) A．3 B．2 C．1 D．4 【变式6-2】（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为______． 【变式6-3】（25-26七年级上·重庆·期中）已知，，，均为整数，且，若，，则的最大值为______． 【题型7 利用算术平方根的非负性求值】 【例7】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式7-1】（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 【变式7-2】（24-25八年级下·浙江舟山·期中）已知为实数，则的最大值为 _____ ． 【变式7-3】（2026·重庆·三模）若实数，同时满足，，则的值为__________． 【题型8 无理数大小估算比较】 【例8】（2025·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到 ，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【变式8-2】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 【变式8-3】（江西省南昌市第十九中学2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）已知，若是整数，则满足条件的n的值是________． 【题型9 无理数整数小数部分求解】 【例9】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______． 【变式9-1】若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 【变式9-2】（25-26七年级下·山东日照·期中）实数小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，，这时候结果为．只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大值与最小值之差_____． 【题型10 平方根立方根估算综合计算题】 【例10】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______． 【变式10-1】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）已知正数m的两个不同的平方根为和，是n的立方根，p是的整数部分，求的值为__________． 【变式10-2】已知的平方根是的立方根是是的整数部分，则的值为______． 【变式10-3】（25-26七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）已知a，b，c均为实数，且的立方根是4，正数b的平方根分别是与，c是的整数部分．则______． 【题型11 数式或图形的变化规律】 【例11】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）在数轴上A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达，第2次从点向右移动6个单位长度到达点，第3次从向左移动9个单位长度到达点，…按照这种规律进行下去，第n次移动到达点，如果点与原点的距离为20，那么n的值为______． 【变式11-1】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是______；第项是______． 【变式11-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，记第个图的圆点个数为个，其中，，…依此规律则，_____，若，则_____． 【变式11-3】（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【题型12 整式加减的无关性问题】 【例12】（25-26七年级上·重庆·期中）已知3个多项式分别为：． ①若，则； ②无论取何值，一定都有； ③若的值与无关，则； ④代数式化简后共有3种不同的表达式．其中正确的是______． 【变式12-1】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知，．若的值与字母的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【变式12-2】（25-26七年级上·重庆·期末）对于多项式：，，，，用任意两个多项式求和后所得的结果，再与剩余两个多项式的和作差，并算出结果，称之为“和差操作” 例如：，，，称为一次操作．下列说法正确的个数是（   ） ①不存在任何“和差操作”，使其结果为单项式； ②只有一种“和差操作”，其结果与x的取值无关； ③所有的“和差操作”共有6种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式12-3】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①当时，则； ②若，则或； ③若多项式的取值与x无关，则，； ④代数式化简后总共有6种不同表达式； ⑤多项式的最小值为2023． 上面说法正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型13 整式的加减与周长应用】 【例13】（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26七年级上·广东汕头·期中）把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，那么_____cm． 【变式13-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【变式13-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 【解答压轴】 【题型14 数轴上点的运动问题】 【例14】（25-26七年级上·四川雅安·期末）点A、B、C、D在数轴上的位置如图1所示，已知． (1)若点C为原点，则点A表示的数是 ； (2)如图2，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P沿线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，到达B点后立即按原速折返；点Q沿线段以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达C点后立即按原速折返．当P、Q中的某点回到出发点时，两点同时停止运动． ①当点停止运动时，求点P、Q之间的距离； ②设运动时间为t（单位：秒），则t为何值时，？ 【变式14-1】（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A，B，C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A，B，C表示的数分别为________，________，_________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P，Q两点同时从A，B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，恰好点Q是其余两点P、R的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【变式14-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题： (1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______； (2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y． ①的最小值为______； ②且x为整数，求的最大值； (3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【变式14-3】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点为数轴上的原点，点、分别为数轴上两点，对应的数分别为、，已知，． (1) ； ； (2)若动点从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向匀速运动，当点运动到线段上时，分别取、的中点、，若是定值（其中，为常数），试求与的等量关系； (3)若是数轴上的任意数，代数式的最小值为，其在数轴上对应点记为点．动点、分别从点、同时出发，以各自的速度在、之间做匀速往返运动，其速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，当他们第三次在点处相遇时，请直接写出此时点在数轴上对应的数． 【题型15 绝对值的几何意义】 【例15】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期中）【背景介绍】：绝对值在初中数学中是一个基础核心概念和关键枢纽．它看似简单，却是连接算术与代数、串联多种数学思想的重要节点． 【应用】：（1）已知，都是有理数，若，则的值， 【引导思考1】：（2）分类讨论：如果，，求． 【引导思考2】：几何意义：表示数、在数轴上对应的点、之间的距离． （3）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为、、、、若，，，则的值是 ． 【尝试应用】：（4）符号：，表示：对于数轴上任一点，和是与点相距个单位长度（）的两点．如果点、是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发，点向左，点向右运动，当时，求点、之间的距离． 【变式15-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【变式15-2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时，的值最小． 【变式15-3】（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）阅读下列材料并回答问题： 我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解． 例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或． 例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或． 例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．    回答问题： (1)解方程：； (2)解不等式：； (3)解方程：； (4)若对任意的都成立，求的取值范围． 【题型16 带绝对值的式子化简问题】 【例16】（25-26七年级上·广东广州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当为不等于的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于的有理数，若这个数中有个正数，，求的值．（请用含的式子表示） 【变式16-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【变式16-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【变式16-3】（25-26七年级上·重庆大足·期末）在科学研究中，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是研究距离非常重要的工具，它是数形结合的典范．本学期我们学习了数轴，请利用相关知识解决问题． 如图，数轴上表示，，，的点所对应的数为，，，，请完成下列各题： 【基础填写】 （1）在，，，四个数中，离原点距离最近的数是_____________．离原点距离最远的数是_____________． 【理解运用】 （2）化简：． （3）探究：式子，当__________时，式子有最_________值（填‘大’或者‘小’）为____________． 【拓展提升】 （4）数轴上，清洁机器人从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻，相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速．若在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇，请问最后几秒能与相遇？ 【题型17 算术平方根、立方根的应用】 【例17】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【变式17-1】（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长． (2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明． (3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【变式17-2】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名学生在匀速跑步，他的质量是千克，若动能是焦耳，求该学生的跑步速度． 【变式17-3】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）小康为研究汽车紧急制动时的安全刹车距离，整理出如下实验数据： 34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 35 1156 1162.81 1169.64 1176.49 1183.36 1190.25 1197.16 1204.09 1211.04 1218.01 1225 根据上述表格内容，完成下列问题． (1)比较大小：________； (2)汽车在干燥水泥路面紧急刹车时，制动距离（单位：）与刹车前的行驶速度（单位：）之间的关系近似满足．现有一辆汽车在该路面行驶时突发状况，紧急刹车后测得制动距离，求这辆汽车刹车前的行驶速度大约是多少？ 【题型18 实数混合化简计算】 【例18】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）计算：． 【变式18-1】（25-26七年级下·安徽蚌埠·阶段检测）如图，是一个计算流程图：    (1)求计算流程图能够运算进行下去的最小整数？ (2)是否存在输入有效的x值后，始终输不出y值？如果存在，请写出所有满足要求的x的值；如果不存在，请说明理由． 【变式18-2】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【变式18-3】（1）计算： ①   ② ③ …… （2）观察（1）中的式子，写第n个根式，并化简． （3）请根据（2）的结论计算： 【题型19 平方根立方根估算综合计算题】 【例19】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (2)，其中是整数部分，且，求． 【变式19-1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为，小数部分为；的整数部分为，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则 ， ． (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【变式19-2】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）阅读下面的材料：∵，即，∴的整数部分是4，小数部分是．请你观察上述方法，解答下列问题： (1)若介于连续的两个整数a和b之间，且，则______，_______． (2)若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值； (3)由（2）中的x，求的算术平方根． 【变式19-3】（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 【题型20 实数与数轴】 【例20】（25-26七年级下·江西宜春·期末）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是__________； (2)求的值． 【变式20-1】（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）如图，已知、是数轴上的两个点，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．（例：） (1)当运动时间为秒时，点表示的数为_____． _____；（分别用含的代数式表示）； (2)点运动多少秒时，？ (3)若M为的中点，N为的中点，点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【变式20-2】（25-26八年级下·山东临沂·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式20-3】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： (1)折叠纸面，若使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示________的点重合； 操作二： (2)折叠纸面，若使表示1的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与表示数________的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为6（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是________； 操作三： (3)在数轴上剪下10个单位长度（从到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是________． 【题型21 与实数有关的规律探究】 【例21】（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【变式21-1】（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【变式21-2】（25-26七年级下·重庆南川·期末）对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，……，依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为．下列说法中正确的有（     ） ①对正实数1进行三次变换，得到的数为； ②若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为； ③若对正实数进行三次变换得到的数为5，且，则所有满足条件的有4个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式21-3】（25-26八年级上·福建三明·阶段检测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【题型22 整式加减无关性问题（几何类）】 【例22】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【变式22-1】（25-26七年级上·四川内江·期末）【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【变式22-2】（25-26七年级上·全国·周测）【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【变式22-3】（25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【题型23 整式加减的新定义运算】 【例23】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）新定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：，，中，“迥异数”为____________； ②计算：____________． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”． (3)如果一个“迥异数”，满足，请直接写出满足条件的的值． 【变式23-1】（25-26七年级上·福建厦门·期中）【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)_____； (2)小颖同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，她的说理过程如下：设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为．（请你继续完成小颖同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时的值． 【变式23-2】（25-26七年级上·北京·期中）对于、，定义了一种新运算“★”为：． 如：，． (1)计算：①__________；②__________． (2)若，，且当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【变式23-3】（25-26七年级上·北京海淀·期中）给定有理数a，b，对整式，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算 “”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则______，______； (2)写出一组a，b的值，使得对每一个正整数和整式，均有，并说明理由； (3)当，时，若，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 【题型24 整式加减的应用综合】 【例24】（25-26七年级下·重庆万州·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”的方式以达到节水的目的，收费标准如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米），请根据表中的内容解答下列问题： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ (1)某居民用户9月份用水9，应缴水费　　　元； (2)某居民用户10月份缴水费44元，求该用户10月份的用水量； (3)若用户11月份、12月份共用水18（12月份用水量超过11月份用水量），设11月份用水，求该户居民11月份、12月份两个月共交水费多少元？（用含a的代数式表示） 【变式24-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【变式24-2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【变式24-3】（25-26七年级下·广西南宁·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有数字． 游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片分别记为．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者按要求回答问题． 下表是小李抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和： 卡片编号 两数的和 53 65 58 72 请思考： (1)请比较小李抽取的卡片上的数的大小__________（用“<”连接）； (2)求出小李抽取的五张卡片上的数的和（用含的式子表示）； (3)若编号为的三张卡片的数之和为，且比大30，求卡片上面所写的数字． 【题型25 整式加减与数轴、绝对值综合】 【例25】（25-26七年级上·全国·期中）已知关于，的多项式，．（为常数） （1）若多项式是三次三项式，则的值是______． （2）若多项式的值为10，则 的值为______． （3）若单项式与 的和仍是单项式， ①单项式 为几次单项式； ②求多项式的值． （4）若一个多项式减去多项式，小明误当成了加法计算，得到的结果是 ，请你帮助小明求出正确的计算结果． （5）在（1）的基础上，解决下列问题： ①化简； ②若化简的结果与的取值无关，求 的值． （6）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，且 为最大的负整数．化简：______； （7）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，其中a，b，m分别是这个三位数百位、十位、个位上的数字．若 可以被3整除，则这个数就能被3整除．例如，三位数108，因为，9可以被3整除，所以108就能被3整除． 【发现】 将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数 就能被7整除． 【验证】 例如，三位数364，因为 ，28可以被7整除，所以364就能被7整除． ①用上述方法判断455能否被7整除？____．（填“能”或“不能”） 【探究】 ②请用含，，的代数式表示_____； ③结合②论证【发现】中的结论正确． 【变式25-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）在数轴上点分别表示数，且． (1)求的值及两点之间的距离． (2)如图，点分别从点同时出发沿数轴向右运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒5个单位长度，当运动时间为9秒时，求之间的距离？ (3)在（2）的条件下，点从原点与同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒个单位长度，若在运动过程中，的值与运动的时间无关，求的值． 【变式25-2】（25-26七年级上·云南普洱·期末）阅读材料：在初中数学学习中，数轴是连接数与形的重要桥梁，它将抽象的有理数与直观的几何图形完美结合．研究数轴我们能发现许多重要的规律：若数轴上点C，点D表示的数分别为c，d，则C，D两点之间的距离． 根据以上知识解决下列问题： 如图1，是一个正方体的展开图，其每一个面都有一个有理数，相对面上的两个数互为相反数，图2中数轴上点A，点B表示的数分别为a，b． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点M从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①当P，Q两点的距离为8时，求t的值； ②在某个时间段内，的值不随t的变化而变化，求出该时段m的值． 【变式25-3】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）【综合探究】 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为．请用上面材料中的知识回答下面的问题： 【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始出发，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，然后再向右移动3个单位长度到达点． 【问题探究】 （1）点到点的距离___________，点到点的距离___________； （2）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，当时，求运动时间的值； ②试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 【拓展应用】 （3）在（2）的运动基础上，若点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动（与点同时出发）．经过多少秒后，点到点，点，点的距离之和为35个单位长度？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $