第三章 实数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 七年级上册数学第三章实数单元培优卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合新定义、规律探究与几何直观，适配单元复习与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|立方根、平方根、实数与数轴关系等|如第1题辨析概念，第3题结合网格与数轴考查几何直观| |填空题|6/18|新运算、取整函数、规律探究等|如第11题定义运算，第16题三角形数字规律培养抽象能力| |解答题|8/72|新定义应用、规律归纳、阅读理解等|如第20题“开方对称数对”、第23题等式规律探究，提升推理能力与创新意识|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章实数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 7.A 8.C 9.C 10.C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.0 12.131 13.1 14.c 15.10-1000-V(0<V≤1000) 16. 21: V5n+1 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：b是最小的正整数，且a、b满足c-5+/a+b=0, .b=1,c-5=0,a+1=0, 则c=5,a=-1, 故答案为：-1；1；5： 3分 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2),点P在B、C两点之间运动点P不与点B、C重合)， ∴.1<x<5,x+a>0,b-x<0,x-c<0, ∴.x+x+a-b-x+x-c =x+x+a-[-(b-x)]-(x-c） =2x+a+b-x-x+c =a+b+c =-1+1+5 =5, ∴.该式子的值不随点P的运动而改变 8分 18.(8分) 【详解】(1)解：a是27的立方根， a=27=3, 当取写时，b兮(=言当取方时，b=言(=君 3 ∴.a-b>a>b: b=ab-3-(-= 6 ∴.a-b>a>b: 综上，a-b>a>b: 5分 2)解：当b=-若时，a+6b=3+6x-名=2， ∴.c=22=4: 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b=君时.0+66=3+6×-君=-2 小c=(-2}=4 故c只有一个值为4. 8分 19.(8分) 【详解】(1)解：V25=5, .|R25=5 .22=4,32=9, ∴.2<7<3， .7=2 滑是 悟 3分 (2)解：b=1 ∴.1≤Vb<2, .1≤b<4, 又，b为整数， ∴.b=1,2,3. 5分 (3)解：：-2P=-8,-3P=-27’22=4,32=9 .-3<-10<-22<95<3 -10=-3'5=2' ∴.原式=-3-2=-5. 8分 20.(8分) 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由题意得m=1=1,n=-4=-2, .数对1,4的开方对称数对为1，-2，-2,1： 2分 (2)解：数对a,的个方对称数对足-2，号 ①m=a=-2,n=-b=) 此时6=-无意义，放舍去： @m=a-2n=-6=-2, 解锅a-合b-4: 综L,a=后b=4 5分 (3)解：数对a,b的一个开方对称数对是-1，-5， ①m=a=-1,n=-Vb=-5, 解得a=-1,b=25, .a+b=-1+25=24: ②m=a=-5,n=-/b=-1, 解得a=-125,b=1: ∴.a+b=-125+1=-124: 综上，a+b的值为24或-124. 8分 21.(10分) 【详解】(1)①解：±24=16 ∴.若x=16,则x=±2： ,±34=81 ∴.若x4=81,则x=±3： 2分 ②解：四次方根的定义：一般地，如果一个数的四次方等于a,那么这个数叫做a的四次方根； 3分 4/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①解：：±34=81 ∴.81的四次方根是±3： 小贺的调次方根 3 .04=0, ∴.0的四次方根是0； ,任何数的4次方都不等于-4， .-4没有四次方根： 6分 ②解：正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0：负数没有四次方根： ③解：我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想：8 分 (3)①解：±5=625 .±625=±5： ②解：1.54= (41=4=64； 16 又器g .1.5>4 10分 22.(10分) 【详解】(1)解：-22+-27+64-R3-2 =-4-3+8+V3-2 =3-1: 3分 (2)解：y9-7}+3-2+-5 =3-7-2+5 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-1: 6分 (3)解：由数轴得：a>0,b<0,a<b, .a+b<0,a-b>0, "la]-9a+b2-Ra-b)+Vb =a)-a+b)-a-b)+b) =a+a+b]-a-b-b =a+a+b-a+b-b =a+b. 10分 23.(10分) 【详解】(1)解：√36×49=6×7=42， V100×121=10×11=110, 2分 (2)解：：a×(a+1=a(a+1) .aa+1)=210, 即a+a-210=0, 解得a=14(a=-15舍去).5分 141 1 3)解：原式2x33x44x5 ++9×10 3+6+60 11 =210 10分 24.(10分) 【解1)解：第1个等式1宁=1+片 12 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2个等式： 11 1+ 22 32 23 第3个等式： 1,1 1+ 十 324 1+11 34 第4个等式： 1,1 1+ 4252 1+1-1: 45 第5个等式： 1+ 1+1 =1+ 11: 5262 56 第6个等式： 1+ 11 11: 2分 6272 67 (2)解：由(1)归纳可得： 第n个等式： 1+ 1 +1 3分 3)解：：第0式：1-日1×2×3=1 第②式：12+22=1×2×3×5=5， 6 第③式：12+22+32=×3×4×7=14， 6 第④式：12+22+32+42=×4×5×9=30， 6 …, 12+2+32++202=2×20×21×41=2870: 6 5分 (4)解：第①式：12=×1×2×3=1， 6 第②式：12+2=×2×3×5=5， 6 第③式：12+22+32=×3×4×7=14， 6 7/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第④式：12+2+32+42=1×4×5×9=30， 6 …, 观察可知，等式右边最后一个乘数为2n+1, 12+2+32++n2=2n(n+1(2n+1)片 6 6分 (5)解：212+222+232+…+392+402 =12+22+32+…+402-12+22+32+…+202） =1×40×41×81-2870 6 =22140-2870 =19270: 8分 (6)解：第1个等式： 第2个等式： 232 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： 第6个等式： 1+ 27 第99个等式： 1+ 1 1 =1+1-1: 992 1002 99100 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 99个等式的和为：1×99+1-，1=100-1 100 100 .1 1 9921002100 =100- 1+ 1 100100 =100: 112+22+32++10021- 25 =2a×个合×100×101×201-10 :1×338250 250 =1353 10分 9/9 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 实数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法中：①立方根等于本身的是,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据平方根和立方根的性质，以及无理数的性质判断选项的正确性． 【详解】解：立方根等于本身的数有：，1，0，故①正确； 平方根等于本身的数有：0，故②错误； 两个无理数的和不一定是无理数，比如和的和是0，是有理数，故③错误； 实数与数轴上的点一一对应，故④正确； 是无理数，不是分数，故⑤错误； 从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑥正确． 故选：A． 2．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，实数的混合运算，立方根，算术平方根，绝对值，熟练根据数轴得出相关式子或字母的正负是解题的关键．先利用数轴得出，，，再利用立方根，算术平方根，绝对值进行化简求值即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．由题意可得表示的数为，，则表示的数为，表示的数为，则，则表示的数为，表示的数为，进而求出． 【详解】解：∵表示的数为，， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴， ∴表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为， ∴． 故选：B． 4．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为7，且， ， 点表示的数是1，且点在点左侧， 点表示的数为：． 故选：C． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的加法运算． 由于平方、绝对值和算术平方根都具有非负性，且它们的和为零，因此每个部分都必须为零，从而可求出，，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：B． 6．已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，正确理解新定义的含义．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．根据的定义，将式子按的值分组，每组内符号交替，分别计算每组和再求和． 【详解】解：，， 、这个数等于1， ，， 到有个数等于2， ，， 到共有个数等于3， ， ，， 到之间工有个数等于44， ． 故选：C． 9．设表示不大于x的最大整数，则 的值为（ ） A．5 151 B．5150 C．5050 D．5049 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，根据条件可得每一项都是组成，判断出，可得，进而得出规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故选：C． 10．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可． 【详解】解：当时，，，不合题意； 当时，，当时，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意正数a，b，定义运算“”如下： ，计算结果为_________． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键．根据运算定义，分别计算和，再对结果进行运算． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 即结果为0． 故答案为：0． 12．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）对于实数规定：用表示不大于的最大整数，例如：，则的值为___________． 【答案】131 【分析】本题主要考查了实数的新定义运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义．先得出 ，再分别整理得出，，，，，再代入式子计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即， ， ， ， ， ， ∴ ， 故答案为：． 13．已知，则___． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质与化简，熟知“当时，，当时，”是解题的关键．根据，先确定的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后进行化简计算． 【详解】解：， ∴， ，， ， 故答案为：． 14．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简＝___． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值、立方根、二次根式性质的综合运用，熟练掌握“绝对值、立方根、二次根式的化简规则，结合数轴判断实数的符号”是解题的关键．先根据数轴确定a、b、c的取值范围，再依据绝对值、立方根、二次根式的性质化简式子，最后计算得出结果． 【详解】由数轴可知，，，，，， ， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______． 【答案】（） 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键． 先计算立方体的原体积，再得到体积减小后的新体积，进而求出新棱长，最后求棱长减少的量即可． 【详解】解：∵立方体的棱长为10， ∴原体积为． 由题意得，体积减小V后，新体积为， 由于保持立方体形状，新棱长为新体积的立方根，即． ∴棱长应减少． 故答案为：（）． 16．下列每个三角形中的4个数之间都有相同的规律，根据这种规律，第4个三角形中的中间数字为__________，第个三角形的中间数字用含的代数式表示为________. 【答案】 ； 【分析】由中间的数字是上面三角形内数字的5倍与1的和的算术平方根，据此可得． 【详解】第1个图形中，第2个图形中，第3个图形中4，∴第4个图形中间数字x，则第n个三角形的中间数字为． 故答案为． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．(8分)（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答： (1)请直接写出、、的值：________；________；________； (2)若、、所对应的点分别为、、，点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在、两点之间运动时(点不与点、重合)，请化简下列式子并判断该式子的值是否随点的运动而改变？若不变，请求出该式子的值，若改变，请说明理由． 化简：． 【答案】(1)；； (2)，该式子的值不随点的运动而改变． 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握实数的性质，非负数的性质，数轴知识． （1）利用非负数的性质计算； （2）利用数轴知识绝对值的定义计算． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，且、满足， ∴ ，，， 则，， 故答案为：；；； 3分 （2）∵点在、两点之间运动点不与点、重合， ，，，， ， 该式子的值不随点的运动而改变． 8分 18．(8分)（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； 5分 （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 8分 19．(8分)（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 【答案】(1)5，2，1 (2)1，2，3 (3) 【分析】（1）根据题意列出不等式，求最大整数解即可； （2）根据题意由，确定的范围，找出整数值即可； （3）根据题意分别求出及的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：, ； , ， ； ， ． 3分 （2）解：， ， ， 又∵为整数， ． 5分 （3）解：， ,， ，， 原式． 8分 20．(8分)（25-26七年级下·广东广州·期中）【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1) (2) (3)24或 【分析】本题考查了立方根及算术平方根， （1）根据题意求出即可； （2）分情况讨论即可； （3）分情况讨论求出的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴数对的开方对称数对为； 2分 （2）解：数对的一个开方对称数对是， ①， 此时无意义，故舍去； ②， 解得； 综上，； 5分 （3）解：数对的一个开方对称数对是， ①， 解得， ∴； ②， 解得； ∴； 综上，的值为24或． 8分 21．(10分)（25-26七年级下·福建厦门·期中）阅读与探究： 在第八章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下面类比平方根和立方根的学习方法理解四次方根． (1)填表与定义 ①填表 1 16 81 ___________ ___________ ②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 四次方根的定义：一般地，___________． (2)思考与归纳 求一个数的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究： 的四次方根是___________，的四次方根是___________，的四次方根是___________． ___________（填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中正数、、负数情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：___________． ③总结： 我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫___________． A．类比思想                         B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想    D．由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用 类似于平方根和立方根，一个数的四次方根用符号“”表示，读作“正、负四次根号”，其中是被开方数，是根指数．例如表示16的四次方根，． ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：___________（填“<”或“=”或“>”） 【答案】(1) ①，；②如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根.这就是说，如果，那么叫做的四次方根 (2) ①，，，没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根；③B (3) ①；② 【分析】（1）①仿照平方根、立方根的求法，分别求出、的四次方根；②根据计算结果总结四次方根的定义； （2）①根据四次方根的定义分别求、、、的四次方根；②归纳四次方根的特征；③我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想； （3）①根据四次方根的定义求出结果；②分别求出和的四次方，通过比较它们的四次方，比较两数的大小． 【详解】（1）①解：， 若，则； ， 若，则； 2分 ②解：四次方根的定义：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根； 3分 （2）①解：， 的四次方根是； ， 的四次方根是； ， 的四次方根是； 任何数的次方都不等于， 没有四次方根； 6分 ②解：正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根； ③解：我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想；8分 （3）①解：， ； ②解：，， 又， ． 10分 22．(10分)（25-26七年级下·山东日照·期中）计算与化简： (1)； (2)． (3)已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式分别化简乘方、立方根、算术平方根和绝对值，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别化简算术平方根、立方根和根据二次根式的性质化简，然后再进行加减运算即可； （3）先根据数轴确定，，，可得，，再进行化简即可． 【详解】（1）解： ； 3分 （2）解： ； 6分 （3）解：由数轴得：，，， ∴，， ∴ ． 10分 23．(10分)【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1)42，110 (2)14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． 2分 （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． 5分 （3）解：原式 ． 10分 24．(10分)（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据前面几个等式的特点写出第6个等式，可得答案； （2）由（1）归纳可得答案； （3）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （4）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （5）将变形为，结合所给规律代入进行计算即可得到答案； （6）根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 2分 （2）解：由（1）归纳可得： 第个等式：. 3分 （3）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ； 5分 （4）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， 观察可知，等式右边最后一个乘数为， ∴； 6分 （5）解： ； 8分 （6）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 第99个等式：； 个等式的和为：； ∴ ； . 10分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 实数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法中：①立方根等于本身的是,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 6．已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 9．设表示不大于x的最大整数，则 的值为（ ） A．5 151 B．5150 C．5050 D．5049 10．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意正数a，b，定义运算“”如下： ，计算结果为_________． 12．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）对于实数规定：用表示不大于的最大整数，例如：，则的值为___________． 13．已知，则___． 14．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简＝___． 15．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______． 16．下列每个三角形中的4个数之间都有相同的规律，根据这种规律，第4个三角形中的中间数字为__________，第个三角形的中间数字用含的代数式表示为________. 三、解答题（共9小题，共72分） 17．(8分)（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答： (1)请直接写出、、的值：________；________；________； (2)若、、所对应的点分别为、、，点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在、两点之间运动时(点不与点、重合)，请化简下列式子并判断该式子的值是否随点的运动而改变？若不变，请求出该式子的值，若改变，请说明理由． 化简：． 18．(8分)（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 19．(8分)（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 20．(8分)（25-26七年级下·广东广州·期中）【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 21．(10分)（25-26七年级下·福建厦门·期中）阅读与探究： 在第八章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下面类比平方根和立方根的学习方法理解四次方根． (1)填表与定义 ①填表 1 16 81 ___________ ___________ ②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 四次方根的定义：一般地，___________． (2)思考与归纳 求一个数的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究： 的四次方根是___________，的四次方根是___________，的四次方根是___________． ___________（填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中正数、、负数情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：___________． ③总结： 我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫___________． A．类比思想                         B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想    D．由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用 类似于平方根和立方根，一个数的四次方根用符号“”表示，读作“正、负四次根号”，其中是被开方数，是根指数．例如表示16的四次方根，． ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：___________（填“<”或“=”或“>”） 22．(10分)（25-26七年级下·山东日照·期中）计算与化简： (1)； (2)． (3)已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简． 23．(10分)【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 24．(10分)（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第三章 实数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法中：①立方根等于本身的是,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，依次连结O，P，Q，R四点，可以得到一个阴影正方形，借助圆规就能准确地把表示在数轴上点处．记左侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记左侧最近的整数点为，以为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 6．已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 9．设表示不大于x的最大整数，则 的值为（ ） A．5 151 B．5150 C．5050 D．5049 10．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意正数a，b，定义运算“”如下： ，计算结果为_________． 12．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）对于实数规定：用表示不大于的最大整数，例如：，则的值为___________． 13．已知，则___． 14．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简＝___． 15．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______． 16．下列每个三角形中的4个数之间都有相同的规律，根据这种规律，第4个三角形中的中间数字为__________，第个三角形的中间数字用含的代数式表示为________. 三、解答题（共8小题，共72分） 17．(8分)（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知：是最小的正整数，且、满足，请回答： (1)请直接写出、、的值：________；________；________； (2)若、、所对应的点分别为、、，点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在、两点之间运动时(点不与点、重合)，请化简下列式子并判断该式子的值是否随点的运动而改变？若不变，请求出该式子的值，若改变，请说明理由． 化简：． 18．(8分)（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 19．(8分)（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 20．(8分)（25-26七年级下·广东广州·期中）【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 21．(10分)（25-26七年级下·福建厦门·期中）阅读与探究： 在第八章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下面类比平方根和立方根的学习方法理解四次方根． (1)填表与定义 ①填表 1 16 81 ___________ ___________ ②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 四次方根的定义：一般地，___________． (2)思考与归纳 求一个数的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究： 的四次方根是___________，的四次方根是___________，的四次方根是___________． ___________（填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中正数、、负数情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：___________． ③总结： 我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫___________． A．类比思想                         B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想    D．由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用 类似于平方根和立方根，一个数的四次方根用符号“”表示，读作“正、负四次根号”，其中是被开方数，是根指数．例如表示16的四次方根，． ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：___________（填“<”或“=”或“>”） 22．(10分)（25-26七年级下·山东日照·期中）计算与化简： (1)； (2)． (3)已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简． 23．(10分)【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 24．(10分)（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $