第二十二章 图形的相似 单元测试题 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

九年级数学上册 第二十二章 图形的相似 单元测试题 华东师大版 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（　　） A．AD•BC＝AB•BD B．AB2＝AD•AC C．∠ABD＝∠CBD D．AB•BC＝AC•BD 2．如图，a∥b∥c，AB＝6，BC＝2，DE＝9，则EF的长为（　　） A．4 B．3 C．2.5 D．2 3．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AC：BC＝5：2，DE＝6，则EF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．1 4．如图，把左边的平行四边形按比例放大后得到右边的平行四边形，放大后的平行四边形与原来平行四边形高的比是（　　） A．3：2 B．2：1 C．2：3 D．无法确定 5．小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为30cm，则线段DE的长为（　　） A．15cm B．20cm C．30cm D．35cm 6．有一根2米高的竹竿，影长0.8米，同一时间同一地点测得影长1.2米的树高为（　　） A．0.48米 B．1.8米 C．3米 D．4米 7．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．15 8．若点A（n﹣1，n+4）在y轴上，则点B（n+3，n﹣2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．在平面直角坐标系xOy中，已知，，P是线段AB上的一个动点，则OP的最小值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．如果7x＝8y（x、y均不为0），那么x：y＝________ ． 12．如图，a∥b∥c，直线l与这三条平行线分别交于点A，B，C．若直线a与b，b与c之间的距离分别为1和2，且AB＝，则BC的长是_____ ． 13．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠a的度数是_________ ． 14．如图，点D是AB边上一点，连接CD，补充一个条件______________ ，可使△ACD∽△ABC． 15．如图，利用与水平地面垂直的标杆DE测量旗杆的高度，标杆DE＝1.5米，测得AE＝2米，BE＝14米，则旗杆BC的高度是_______ 米． 16．如图，这是某动物园示意图的一部分．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，且猴山和狮虎山的坐标分别是（2，1）和（8，2），则在此图上熊猫馆位置的坐标是___________ ． 17．如图，在边长为9的等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，BD＝3，∠ADE＝60°，则CE的长为_____ ． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为 ___________________ ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）已知点A（a，2），B（﹣3，b），根据下列条件求出a，b的值． （1）A，B两点在第二、四象限的角平分线上； （2）点A在某象限的角平分线上，点B到x轴的距离是4． 20．（8分）已知线段AB＝20cm，点C在线段AB上，且AC：CB＝3：2． （1）求线段AC，CB的长； （2）若点P是线段AB的中点，点M是线段AP的中点，求线段MC的长． 21．（8分）如图，MN∥BC，S△MPN：S△BCP＝4：9，AM＝4cm，求BM的长． 22．（10分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，已知△PQF的面积是54，△ADE的面积是96，那么△ABC的面积是多少？ 23．（10分）[活动]用坐标描述公园景点位置：春天到了，七年级（2）班组织同学到人民公园春游，李明、张华对着景区示意图，描述牡丹园的位置（图中小正方形的边长代表100m长）如下． 李明：“牡丹园的坐标是（3，3）．” 张华：“牡丹园在中心广场东北方向约420m处．” 实际上，他们所说的位置都是正确的． （1）请你根据李明同学所说的位置，帮他在示意图中建立平面直角坐标系，写出湖心亭、望春亭的坐标． （2）请你根据张华对牡丹园位置的描述，描述一下音乐台、游乐园的位置． 24．（10分）如果方格中，三角形AOB的顶点O和A的位置用数对表示分别是（5，4）、（5，8）． （1）过点O画出AB边的平行线． （2）画出三角形AOB绕B点顺时针方向旋转90°后的图形A′O′B，并涂上阴影． （3）用数对分别表示新三角形A′O′B中A′、O'的位置分别是：（ _______ ，_____ ）、（ _____ ，_____ ）． （4）①按1：2的比，画出三角形AOB缩小后的图形，并涂上阴影． ②缩小后的面积是原来面积的． 25．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）如图1，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE； （2）如图2，求证：DE＝AD﹣BE； （3）如图3，直接写出线段DE，BE，AD之间的数量关系． 参考答案 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．解：A、因为AD•BC＝AB•BD的夹角非∠A，所以不能判定两三角形相似，故本选项错误； B、因为符合两边及夹角法，故可判定两三角形相似，故本选项正确； C、因为无法确定三角形的对应角相等，故无法判定两三角形相似，故本选项错误； D、因为AB•BC＝AC•BD的夹角为∠C、∠B，不确定是否相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误， 故选：B． 2．解：∵a∥b∥c， ∴＝，即＝， ∴EF＝3． 故选：B． 3．解：∵AC：BC＝5：2， ∴AB：BC＝3：2， ∵直线a∥b∥c， ∴， ∴， ∴EF＝4． 故选：A． 4．解：由题知， 图中的两个平行四边形相似， 所以对应线段的比等于相似比． 因为放大后的平行四边形与原来平行四边形的对应边之比为6：4＝3：2， 所以对应边上的高之比是3：2． 故选：A． 5．解：如图，EF∥CG， ∴△AFE∽△AGC，△AFD∽△AGB， ∴＝＝，＝＝， ∴CG＝2EF，BG＝2DF， ∴DE＝EF﹣DF＝（CG﹣BG）＝BC＝30（cm）， 故选：C． 6．解：设这棵树的高度是x米，根据题意得： 2：0.8＝x：1.2， 解得：x＝3； 即这棵树的高度为3米． 故选：C． 7．解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6， ∴＝，即＝， 解得，A′B′＝9， 故选：B． 8．解：∵点A（n﹣1，n+4）在y轴上， ∴n﹣1＝0， 解得n＝1， ∴n+3＝1+3＝4＞0，n﹣2＝1﹣2＝﹣1＜0， ∴点B（n+3，n﹣2）在第四象限， 故选：D． 9．解：过点O作AB的垂线，垂足为P，如图所示， 因为，， 所以OA＝． 在Rt△AOB中， AB＝． 由“垂线段最短”可知， 当OP⊥AB时，OP取得最小值， 则， 所以OP＝． 故选：D． 10．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC， ∴△DEF∽△BEC， ∴， ∵EF＝1，EC＝3， ∴， 即， ∴， ∵AB∥CD， ∴△DFC∽△AFG， ∴， ∵EF＝1，EC＝3， ∴CF＝4， ∴， ∴GF＝8， 故选：C． 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．解：∵7x＝8y， ∴x：y＝8：7． 故答案为：8：7． 12．解：过点A作AF⊥a交直线b于点E，交直线c于点F， ∵a∥b∥c， ∴AF⊥c，AF⊥b， ∴EF＝2，AE＝1， ∵c∥a∥b， ∴， 即， BC＝2×， ∴BC＝3． 13．解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠B＝∠B′＝70°， ∴∠C′＝360°﹣130°﹣60°﹣70°＝100° ∴∠α＝∠C′＝100°， 故答案为：100°． 14．解：∵AC2＝AD•AB， ∴＝， ∵点D是AB边上一点， ∴∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， 故答案为：AC2＝AD•AB．（答案不唯一） 15．解：因为AE＝2米，BE＝14米， 所以AB＝16米． 由题意知：DE⊥AB，CB⊥AB，则DE∥BC． 所以△AED∽△ABC． 所以AE：AB＝ED：BC． 所以2：16＝1.5：BC． 所以BC＝12． 故答案为：12． 16．解：根据猴山和狮虎山的坐标分别是（2，1）和（8，2），建立平面直角坐标系如下： 熊猫馆位置的坐标是（5，﹣1）． 17．解：∵△ABC是边长为9的等边三角形， ∴∠C＝∠B＝60°，AB＝BC＝9， ∵点D、E分别在边BC、AC上，BD＝3， ∴DC＝BC﹣BD＝9﹣3＝6， ∵∠ADE＝60°， ∴∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣∠ADB＝120°﹣∠ADB， ∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣∠ADB＝120°﹣∠ADB， ∴∠CDE＝∠BAD， ∴△CDE∽△BAD， ∴＝＝＝， ∴CE＝BD＝×3＝2， 故答案为：2． 18．解：∵△ABC∽△CAD， ∴＝， ∵AB＝3， ∴＝， ∴CD＝AC2， ∵∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝9﹣BC2， ∴CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2， 设BC＝x， ∴BC+CD＝x+3﹣x2 ＝﹣+ ∴x＝时，BC+CD的最大值为． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．解：（1）∵A、B两点在第二、四象限的角平分线上， ∴a+2＝0，﹣3+b＝0， ∴a＝﹣2，b＝3； （2）∵点A在某象限的角平分线上， ∴|a|＝2，解得a＝2或﹣2； ∵点B到x轴的距离是4， ∴|b|＝4， ∴b＝4或﹣4． 20．解：（1）由条件可设AC＝3xcm，CB＝2xcm， ∵AC+CB＝AB， ∴3x+2x＝20， 解得x＝4， ∴AC＝12cm，CB＝8cm； （2）由条件可知， ∵点M是线段AP的中点， ∴， 由（1）得AC＝12cm， ∴MC＝AC﹣AM＝12﹣5＝7（cm）． 21．解：∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC，△MPN∽△CPB， ∴，， ∵S△MPN：S△BCP＝4：9， ∴MN：BC＝2：3， ∴AM：AB＝2：3． ∵AM＝4cm， ∴4：AB＝2：3， ∴AB＝6cm， ∴BM＝AB﹣AM＝6﹣4＝2（cm）． 22．解：∵DF∥AC，EF∥AB， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴S△DEF＝S△DEA， ∵△ADE的面积是96， ∴△FDE的面积是96， ∵DE∥BC，△PQF的面积是54， ∴由金字塔模型得：， ∴， ∴， ∵DF∥AC， ∴由沙漏模型得：， ∴， 同理S△BDP＝6， ∵S四边形DEQP＝S△DEF﹣S△PQF＝96﹣54＝42， ∴S△ABC＝S四边形DEQP+S△BDP+S△CEQ+S△ADE＝96+6+6+42＝150． 23．解：（1）平面直角坐标系如下所示， ， 由上可得，湖心亭（﹣3，2）、望春亭（﹣2，﹣1）； （2）∵牡丹园在中心广场东北方向约420m处， ∴一个小正方形对角线约长420÷3＝140m， ∴音乐台在中心广场正北方向400m处；游乐园在中心广场东南方向约280m处． 24．解：（1）如图所示，直线MN即为所求； （2）如图所示，△A′O′B即为所求； （3）A′（13，8）、O'（9，8）， 故答案为：13，8；9，8； （4）①如图所示； ②缩小后的面积是原来面积的． 25．（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠ECB＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ②∵△ADC≌△CEB， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∵DE＝CD+CE， ∴DE＝AD+BE； （2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠ECB＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴BE＝CD，CE＝AD， ∵DE＝CE﹣CD， ∴DE＝AD﹣BE； （3）DE＝BE﹣AD； ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠ECB＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴BE＝CD，CE＝AD， ∵DE＝CD﹣CE， ∴DE＝BE﹣AD． 学科网（北京）股份有限公司 $