第二十二章 图形的相似 单元测试培优卷 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 华东师大九年级上册“图形的相似”单元培优卷，以文化传承与几何探究为特色，覆盖相似三角形、位似等核心知识，适配单元复习，提升数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|10/40|平行线分线段成比例、相似三角形判定|结合舂臼杠杆原理（题5）考查相似应用，体现数学眼光| |填空|4/20|位似性质、小孔成像（相似）|《墨经》小孔成像（题13）融合文化与相似计算，培养应用意识| |解答题|6/60|旋补四边形（新定义）、黄金三角形探究|以《周髀算经》矩测高（题18）、黄金三角形证明（题20）设计分层问题，发展推理能力与创新意识|

华东师大九年级上册 第二十二章 图形的相似 单元测试培优卷 一、单项选择题（每小题4分，满分40分） 1．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG=2，GD=1，DF=5，则等于（　　） A． B． C． D．1 2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，以点E旋转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF。线段AF，FE交边CD于点G，H，则GH的长为（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，过点A作AE∥DC交BC于点E，将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E.B'A，B'E分别与直线DC交于M，N两点，则△MB'N与△ABE的面积之比为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，，则的长是（　　） A．5 B． C． D．6 5．如图1，舂臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该春白的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离OC=15cm，且AO：OB=4：1，则点A到地面的距离是（　　） A．30cm B．45cm C．60cm D．75cm 6． 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，，则的长为（　　） A．9 B．16 C．21 D．28 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图： ①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F； ②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G； ③作射线DG，交边AB于点H； 则点H的坐标为（　　） A．（，3） B．（-3，3） C．（3，3） D．（，3） 8．如图， 点 A， B的坐标分别为 （-3， 1) ， （-1， -2) ， 若将线段 AB平移至 A1B1的位置， 点 A1， B1的坐标分别为 （a， 4) ， （3， b) ，则 a+b的值为 （　　) A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在正方形中，，点，分别在边，上运动，满足，连结，过点作直线的垂线，垂足为，当的长最大时，的长为（　　） A． B． C． D． 10． 如图， 等腰△ABC中， AB＝AC， ∠BAC＝120°， AD⊥BC，垂足为D， 点O是线段AD上点，点P是BA延长线上一点，若OP＝OC，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，OC为半径的圆上；②∠APO+∠DCO＝30°；③△POC 是等边三角形；④△POA∽△CAO. 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题5分，满分20分） 11．在平面直角坐标系 xOy中，已知 A (a，-2) ， B (1， b) ，线段 AB平行于 x轴，且 AB=3，则 a+b=　 　. 12．三角形 ABC在正方形网格中的位置如图所示，在网格中建立平面直角坐标系，使 A、B两点的坐标分别为 A (2， - 1) 、B (1， - 4) ，则 C点的坐标是　 　． 13．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因.图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示.已知AC与BD交于点O，AB∥CD.若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2.4cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是　 　cm. 14．如图，四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，连结CE，作点B关于CE的对称点B'，连结B'C，B'E，连结BB'并延长交AD于点F，交CE于点G，连结AB'并延长交CD于点H，给出下面四个结论： ①F为AD的中点； ②AH上BF； ③连结AG，则∠AGE≠∠AGF； ④连结AG并延长交BC于点P，则CP=2BP； 上述结论中，正确结论的序号是　 　. 三、解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15． 请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（说明：图中点，，，均在格点上） （1）在图中，作点关于的对称点，并连结， （2）在图中，以为位似中心，作四边形的位似图形，并把四边形的边长扩大到原来的倍. 16．把 放置在如图的网格纸中，已知每个小正方形的边长都为1. （1）请在网格纸中建立合适的平面直角坐标系，使点 A，B的坐标分别为(-3，-1)，(-1，-2)； （2） 画出 关于y轴的对称图形 并写出点 的坐标； （3）已知点 P 是线段上任意一点，用恰当的方式表示点 P 的坐标. 17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于 O， OE⊥AC与BC交于 E，连接AE，与BD交于 F. （1）找出图中与△AOF相似的三角形，并说明理由； （2）若OF=2， EF=1，求AF的长度. 18．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的DEF).小明利用“矩”可测量大树AB的高度.如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF=0.2m，DE=0.3m，小明的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM=21m，求树高AB. 19．【定义】将线段AB绕点A逆时针旋转角得到线段AC，将线段AB绕点A逆时针旋转角（180°-α）得到线段AD，则称由点A、B、C、D围成的四边形为“旋补四边形”，其中∠BAC=α为旋补角。 【概念感悟】 （1）如图1，在旋补四边形ABCD中，，则对边AB与CD满足位置关系：　 　； （2）如图2，当α=60°时，求证：旋补四边形ABCD是菱形； （3）【拓展应用】 已知四边形ABCD为旋补四边形，旋补角∠BAC=α，把沿AC折叠到直线AE与直线CD交于点F. 如图3，，若AB=2，AD∥EC，求线段BC的长； （4）若直线AD⊥直线EC于点G，画出示意图并写出的值. 20．综合与实践∶ 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图 1，在 中， （1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形． （3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：C. 【分析】根据平行线分线段成比例解答即可. 2．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：过点F分别作BC，CD的垂线，交BC的延长线于点I，交CD于点J ∵以点E旋转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE ∴AE=EF，∠AEF=90° ∴∠AEB+∠CEH=180°-∠AEF=90° ∵边长为6的正方形ABCD ∴AD∥BC，AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90° ∴∠AEB+∠BAE=180°-∠ABE=90° ∴∠BAE=∠CEH ∵点E是BC的中点 ∴ ∵FI⊥BI ∴∠EIF=∠ABC=90° 在△ABE和△EIF中 ∴△ABE≌△EIF(AAS) ∴EI=AB=6，FI=BE=3 ∴CI=EI-EC=3 ∵FJ⊥CD ∴∠FJC=∠EIF=∠DCI=90° ∴四边形CIFG是矩形 ∵CI=3=FI ∴四边形CIFG是正方形 ∴CJ=FI=CI=FJ=3=EC，FJ∥IC ∴∠CEH=∠JFH 在△CEH和△JFH中 ∴△CEH≌△JFH(AAS) ∴ ∵CD=6，CJ=3 ∴DJ=CD-CH=3 ∵AD∥BC，FJ∥BC ∴AD∥FJ ∴△ADG∽△EJG ∴ ∴ ∴ 故答案为：B 【分析】过点F分别作BC，CD的垂线，交BC的延长线于点I，交CD于点J，根据旋转性质可得AE=EF，∠AEF=90°，根据三角形内角和定理可得∠AEB+∠CEH=90°，根据正方形性质可得AD∥BC，AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，根据角之间的关系可得∠BAE=∠CEH，再根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△EIF(AAS)，则EI=AB=6，FI=BE=3，根据正方形判定定理可得四边形CIFG是正方形，则CJ=FI=CI=FJ=3=EC，FJ∥IC，即∠CEH=∠JFH，再根据全等三角形判定定理可得△CEH≌△JFH(AAS)，则，根据边之间的关系可得DJ，再根据相似三角形判定定理可得△ADG∽△EJG，则，再根据边之间的关系即可求出答案. 3．【答案】C 【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵AD∥BC，AE∥DC ∴四边形AECD是平行四边形 ∴AD=EC ∴BC=3AD=3EC=BE+EC ∴BE=2EC 由折叠可得，BE=B'E，S△ABE=S△AB'E，∠BEA=∠B'EA ∵AE∥DC ∴∠ENC=∠B'EA，∠BEA=∠C ∴∠ENC=∠C ∴EN=EC ∴B'E=BE=2EN ∴ ∵AE∥DC ∴∠B'MN=∠B'AE，∠B'NM=∠B'EA ∴△B'MN∽△B'AE ∴ ∴ 故答案为：C 【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形AECD是平行四边形，则AD=EC，再根据边之间的关系可得BE=2EC，由折叠可得，BE=B'E，S△ABE=S△AB'E，∠BEA=∠B'EA，根据直线平行性质可得∠ENC=∠B'EA，∠BEA=∠C，则∠ENC=∠C，根据等角对等边可得EN=EC，根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得∠B'MN=∠B'AE，∠B'NM=∠B'EA，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案. 4．【答案】C 【知识点】角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠C=90∘ 即DC⊥BC，DF⊥AB， 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得 CD=DF=4。 ∵DE∥AB， ∴∠EDB=∠ABD（两直线平行，内错角相等）。 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠EBD， 等量代换得∠EDB=∠EBD， 根据等角对等边，得 DE=BE=5。 在Rt△CDE中，由勾股定理： CE===3 ∴BC=CE+BE=3+5=8， 在△BCD和△BFD中： ∠C=∠BFD=90∘，∠CBD=∠FBD，BD=BD. ∴△BCD≅△BFD (AAS)， 根据全等三角形对应边相等，得 BF=BC=8， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB（平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似）， 相似三角形对应边成比例： 代入CE=3，CB=8，DE=5， 交叉相乘解得：AB=。 AF=AB−BF=−8=−=. 故答案为：C . 【分析】先由角平分线性质得到CD=DF，结合平行线与角平分线推出等腰三角形得到DE=BE；再用勾股定理求出CE，得到BC总长；通过全等三角形得到BF=BC；利用平行线判定相似三角形，由相似比求出AB总长；最后用AB减去BF得到AF。由角的关系推导线段相等，结合勾股、全等、相似逐步递推，最终求解目标线段. 5．【答案】D 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：过点作地面于点，则， ，， ， ， ， ， 解得 故答案为：D 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，解题关键是构造相似三角形。过点作地面的垂线，由和都垂直于地面，可得，从而证明与相似。再根据已知的线段比例，转化为相似比，代入相似三角形对应边成比例的性质即可求出的长度。 6．【答案】C 【知识点】位似变换；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵四边形与四边形位似，其位似中心为点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：C. 【分析】根据位似的性质得到，然后根据平行得到△OFG∽△OBC，根据对应边成比例解答即可. 7．【答案】A 【知识点】点的坐标；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线 【解析】【解答】解：由尺规作图可知：DH平分∠ADC， ∴∠ADH=∠CDH， ∵AB∥CD， ∴∠AHD=∠CDH， ∴∠ADH=∠AHD， ∴AH=AD， ∵ A（0，3），D（1，0）， ∴OA=3，OD=1， ∴AD=， ∴点H的坐标为：（，3） 。 故答案为：A。 【分析】首先根据尺规作图可得出∠ADH=∠CDH，再根据平行线的性质可得出∠AHD=∠CDH，进而得出∠ADH=∠AHD，进一步可得出AH=AD，由勾股定理可知AD=，进而即可得出点H的坐标为：（，3） 。 8．【答案】A 【知识点】坐标与图形变化﹣平移 【解析】【解答】解：∵点A(-3，1)平移到A1(a，4)，点B(-1，-2)平移到B1(3，b)， ∴B点的横坐标变化量：3 - (-1) = 4，即向右平移了4个单位， A点的纵坐标变化量：4 - 1 = 3，即向上平移了3个单位， ∴a = -3 + 4 = 1，b = -2 + 3 = 1 ∴a + b = 1 + 1 = 2，A正确. 故答案为：A. 【分析】根据点的坐标平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减.再结合A，B两点横纵坐标的变化，可得线段AB先向右平移了4个单位，再向上平移了3个单位得到线段A1B1，即可求得a，b的值. 9．【答案】A 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵在正方形中，， ∴， 如图：过F作于H，则四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， 整理为关于x的一般式为：且该方程有实数根， ∴，解得：， ∴， ∴的最大值为， 当的长最大时，将代入方程，解得：，即， ∴当的长最大时，的长为． 故答案为：． 【分析】由正方形的性质可得，过F作于H，则四边形是矩形，即可得到；设，则，根据勾股定理求出，然后根据两角对应相等得到，根据相似三角形的对应边成比例求出，整理为方程，根据方程根的判别式求出的最大值为，然后代入，解方程求出x的值即可． 10．【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定；相似三角形的判定-AA 【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC，∴OB=OC， ∵OP=OC，∴OP=OC=OB， ∴点 P、C、B在以点O为圆心，OC为半径的圆上 ，∴正确； ∵∠BAC=120°，∴， ∴∠POC=2∠B=60°， ∴是等边三角形，∴正确； ∵∠POA+∠COD=180°-∠POC=180°-60°=120°， ∠PAO+∠CDO=120°+90°=210°， ∴∠APO+∠DCO=180°×2-120°-210°=30°，∴正确； ∵∠OAP=120°，∠DOC>∠OAC=60°，∴∠AOC<120°， ∴∠OAP∠AOC，∴ △POA∽△CAO不成立. 故正确结论为. 故答案为：C. 【分析】由垂直平分线的判定与性质可得OB=OC，由已知可得OB=OC=OP，可判断结论正确；由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断结论正确；根据三角形内角和180°可判断结论正确；由三角形的一个外角大于与它不相邻的任意内角，可得∠DOC>∠DAC，∠DAC=∠DAB，所以邻补角∠AOC≠∠OAP，与相似三角形对应角相等矛盾，可判断结论错误. 11．【答案】2或-4 【知识点】点的坐标；坐标与图形性质 【解析】【解答】解：∵，线段轴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当、时，； 当、时，； 故答案为：2或． 【分析】由平行于x轴的线段上的所有点纵坐标相等，可先确定b的值；再结合线段AB的长度为3，得到横坐标差的绝对值|a-1|=3，求解得到a的两个可能值，最后分别计算a+b即可得到结果. 12．【答案】(4， - 3) 【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成 【解析】【解答】解：根据题意，平面直角坐标系如图， ∴C点的坐标是． 故答案为：. 【分析】根据已知点的坐标确定坐标系的原点位置及单位长度，建立平面直角坐标系即可. 13．【答案】3.6 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 【分析】本题考查相似三角形的应用。小孔成像模型中，由平行线可得到两组对应角相等，从而判定两个三角形相似；相似三角形对应边成比例，像的高度与物体高度之比等于两者到小孔距离之比。 14．【答案】①②④ 【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】 设正方形 ABCD 边长为 2，E 为 AB 中点， 则 BE=AE=1， 由 B、B' 关于 CE 对称可知 CE 垂直平分线段 BB'， 所以∠BGC=90°，∠CBE + ∠BCE=90°，∠CBE + ∠ABF=90°， 可得∠BCE = ∠ABF， 又 AB=BC，∠BAF =∠CBE=90°， 所以△ABF≌△BCE， 可得AF=BE=1，AD=2， 因此 F 是 AD 中点，结论①正确； 由△ABF≌△BCE 得 AF=BE=AE，AE=AF，∠ABF = ∠BCE， 因为∠BAH +∠ABF = ∠BAH +∠BCE，∠BCE +∠BEC=90°， 所以∠ AB'B=90°，即 AH 垂直 BF，结论②正确； 因为 CE 垂直平分 BB'，EB=EB'，EG 垂直 BB'，AE=AF，EG 公共边， 可证△AEG ≌△FEG， 所以∠AGE =∠AGF，结论③错误； 因为AD 平行 BC，AF=1，BC=2， 所以△AFG△CPG，相似比 1：2， 可得，即 CP=2BP， 结论④正确，综上正确结论为①②④。 故答案为：①②④. 【分析】 先设正方形边长为 2，利用对称性质得到 CE 垂直平分 BB'，E 是 AB 中点可推出△CBE 和△ BAF 全等，证明 F 是 AD 中点，验证结论①；通过角度等量代换推导 AH 与 BF 相交所成直角，证明 AH 垂直 BF，验证结论②；依据对称得 EB=EB'，EG 垂直 BB'，可证△AEG 和△FEG 全等，得到角 AGE 等于角 AGF，判断结论③错误；结合平行线分线段成比例，由 AF 长度和 BC 平行 AD 推出 BP 与 CP 的倍数关系，验证结论④，最后汇总正确结论。 15．【答案】（1）解：如图所示，点C即为所作； （2）解：如图，四边形 即为所作； 【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换 【解析】【分析】（1）取格点C，连接BC和CD，得到四边形ABCD即可； （2）根据位似性质得到点A，B，C，D的对应点的位置，然后依次连接得到四边形 即可. 16．【答案】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示. （2）解：如图， 即为所求. 由图可得，点 的坐标为(2，2). （3）解：点P 的坐标为 【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；平面直角坐标系的构成 【解析】【分析】（1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）作出点A，B，C三点关于y轴的对称点A1，B1，C1，然后依次连接各点得到即可； （3）根据线段上点的坐标特点解答即可. 17．【答案】（1）解：与△AOF相似的三角形有△BEF， △DAF，理由如下： 如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OC. ∴∠4=∠5. ∵OE⊥AC， ∴AE=CE. ∴∠1=∠5. ∴∠1=∠4. ∵∠2=∠3， ∴△AOF∽△BEF. 又∵AD∥BC， ∴∠4=∠6. ∴△BEF∽△DAF. ∴△AOF∽△BEF∽△DAF. （2）解：由△AOF∽△BEF，得 设BF=x，则AF=2x. ∴OD=OB=x+2. ∴DF=x+4. 由△AOF∽△DAF，得 则 即 解得 或 (不符合题意，舍去). 【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】(1)先推导出OB=OC，得到∠4=∠5，继而推导出AE=CE，得到∠1=∠4，可证明出△AOF∽△BEF，再推导出∠4=∠6，得到△BEF∽△DAF，即可解答； (2)先推导出，设BF=x，则AF=2x，得到OD=OB=x+2，DF=x+4，由△AOF∽△DAF，得到AF2=OF·DF，则4x2=2(x+4)，求出，或(不符合题意，舍去)，即可解答. 18．【答案】解：据题意可得 答：树高AB为15.6m 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【分析】根据据题意可得 ，即可得出 由相似三角形的性质可得出 即可得出BC ，再根据AB=AC+BC即可得出答案. 19．【答案】（1）AB∥CD （2）∵四边形ABCD为旋补四边形且α=60° ∴∠BAC=60°，∠BAD=120°，AB=AC=AD ∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=60° ∵AB=AC，AC=AD ∴△ABC和△ADC是等边三角形 ∴AB=BC=AC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形 （3）∵四边形ABCD为旋补四边形 ∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=180°-2α ∵AC=AD ∵AD∥EC ∴∠ECF=∠ADC=α ∴∠ACE=∠ACD+∠ECF=2α ∵把△ABC沿AC折叠到△AEC ∴AE=AB=AC=2，∠EAC=∠BAC=α，BC=CE ∴∠E=∠ACE=2α，∠ECF=∠EAC=α， ∴∠EFC=∠EAC+∠FCA=2α=∠E ∴AF=FC=CE=BC 设AF=FC=CE=BC=x ∵在△AEC和△CFE中，∠E=∠E，∠ECF=α=∠EAC ∴△AEC∽△CFE 即解得（负根舍去） ∴线段BC的长为 （4）①如图 ②如图 【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；旋转的性质；一元二次方程的应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：（1）∵ ∴ ∵AC=AD ∴ ∴ ∴ ∴AB∥CD 故答案为：AB∥CD； （4）①如图所示：在AG上截取GF=DG，连接CF， 由（3）知， ∵CG⊥DF且DG=GF ∴CD=CF ∴ ∴∠DFC=∠ACD，∠ADC=∠ADC ∴△CDF∽△ADC ∴ 由折叠性质： ∵AC=AE，AG⊥EC ∴ ∴ ∴AF=CF=CD 设AG=x，DG=y，则CD=AF=x-y，AD=x+y，DF=2y ∴，即 记，将变形为 即，解得：（负值已舍去）； ②如图所示：延长AG使FG=AG，连接CF， 易证：△CAF∽△DCF ∴ 设AG=x，DG=y，则CF=AC=AD=y-x，DF=x+y，AF=2x ∴，即 记，将变形为 即，解得：（负值已舍去）； 综上所述：的值为或. 【分析】（1）利用角的和差可计算，根据“旋补四边形”定义可知△ACD是等腰三角形，即，利用“三角形内角和180°”可知，最后由“内错角相等，两直线平行”判定AB∥CD； （2）根据特殊角60°及AB=AC=AD可判定△ABC和△ADC是等边三角形，可得到四边形ABCD四条边相等，即可证明； （3）同第（1）问先计算，结合平行线的性质与折叠的性质倒角，可得到∠E=∠ACE=2α，∠ECF=∠EAC=α，进而证明△AEC∽△CFE，并且AF=FC=CE=BC，利用相似三角形对应线段成比例即可计算； （4）类比第（3）问，构造相似三角形，利用对应线段成比例，得到关于的方程，计算求解即可. 20．【答案】（1）72，； （2）证明：，， ． 由折叠知， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：（舍去）， ； （3）解：菱形较长对角线． 如图3，在上截取，连接， 得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形， 根据黄金三角形的底与腰的比值为，由， 可得， ． ，， ， ． ， ， ， ， ． 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】（1）解：根据折叠可知． ， ； 根据折叠可知，，， ， ， ， ． 故答案为：72，； 【分析】（1）根据折叠可知，根据三角形内角和定理可得∠BDC，再根据折叠性质可得，，，根据三角形内角和定理可得∠ADE，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案. （2）根据等边对等角可得，由折叠知，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得x值，再根据边之间的关系即可求出答案.（3）在上截取，连接，得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，根据黄金三角形的底与腰的比值为，由，则，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠AED，根据补角可得∠CED，根据等边对等角可得，再根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $