3.2.1双曲线及其标准方程（分层作业，13大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 3.2.1双曲线及其标准方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 双曲线定义的理解 题型02 利用双曲线定义求方程 题型03 根据双曲线方程求a、b、c 题型04 双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 题型05 根据a、b、c求双曲线的标准方程 题型06 根据双曲线过的点求标准方程 B组 能力进阶 题型01 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 题型02 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型03 判断方程是否表示双曲线 题型04 根据方程表示双曲线求参数的范围 题型05 求双曲线的轨迹方程 C组 思维拔高 题型01 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 题型02 新定义问题 双曲线定义的理解题型01 1．设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为 A．4 B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 3．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则   ） A．1 B．3 C．7 D．9 4．已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________. 利用双曲线定义求方程题型02 1．（24-25高三下·北京·期末）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·月考）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆外一点，点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线l和直线MP交于点Q，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy. （1）求道路M-N-P的曲线方程； （2）现要在M-N_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？ 根据双曲线方程求a、b、c题型03 1．已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．5 B．-5 C． D． 2．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 3．已知、是等轴双曲线的左、右焦点，点在上，，则等于___________. 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点．设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为______． 双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征题型04 1．（25-26高二上·浙江·期中）若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（   ） A． B．5 C． D． 2．（24-25高三上·青海西宁·期中）下列双曲线中，焦点在轴上的是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于轴上，半径为，且与的上支交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知A，B是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线分别交椭圆于另外的点．若直线MN过椭圆右焦点F，且，则椭圆的离心率为______． 根据a、b、c求双曲线的标准方程题型05 1．（25-26高二上·天津·期中）焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（    ） A．14 B．9 C．4 D．2 3．已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．设双曲线的两个焦点为，，一个顶点为，则的方程为__________. 5．（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 根据双曲线过的点求标准方程题型06 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 2．等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二上·河北沧州·质检）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为___________． 4．（24-25高二上·新疆·月考）已知双曲线过点两点，求双曲线标准方程. 5．（24-25高三上·河北承德·联考）已知的内角的对边分别为，面积为，且. (1)证明：为等边三角形； (2)设的延长线上一点满足，又平面内的动点满足，求的最小值. 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值题型01 1．（25-26高二上·安徽·期中）已知双曲线右支上的一点到其右焦点的距离为9，则点到其左焦点的距离为（    ） A．17 B．19 C．2 D．1 2．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 5．已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是______． 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题题型02 1．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则 A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，在左支上过的弦的长为4，那么的周长是（    ） A．24 B．20 C．16 D．8 3．已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（    ） A．8 B． C．16 D． 4．双曲线的右支上一点在第一象限，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，直线、的斜率分别为、，则的值等于（    ） A． B． C． D． 5．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________． 判断方程是否表示双曲线题型03 1．已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 2．已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 3．（24-25高二上·云南·月考）当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 4．已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线； (2)表示焦点在轴上的双曲线； (3)表示焦点在轴上的双曲线． 根据方程表示双曲线求参数的范围题型04 1．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 4．（24-25高二上·天津·月考）已知方程 则下列说法中不正确的是 （ ） A．当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆 B．当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线 C．当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 D．方程C可表示圆 5．（25-26高二·上海·期中）对于不为零的实数k的不同取值范围，讨论方程所表示的曲线的形状. 求双曲线的轨迹方程题型05 1．设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知轴上两点，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为________ 4．在某市科技馆举行的“科普进校园”活动中，“双曲狭缝”实验立板面吸引了众多学生参与．双曲狭缝模型如图所示，直杆PQ与固定轴l成一定夹角，且均和连杆OA垂直，连杆OA绕固定轴l旋转过程中，带动直杆PQ旋转，直杆PQ始终穿过立板上的双曲狭缝（双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分）．若直杆PQ与固定轴l所成角的大小为60°，连杆OA的长度为3，以O为坐标原点，固定轴l所在直线为y轴，则该双曲线的标准方程为______． 5．（25-26高二上·河北皇岛·期末）是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 利用定义求双曲线中线段和、差的最值题型01 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线经过且与双曲线右支相交于两点，若，则三角形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 2．已知平面上定点和，又点为双曲线右支上的动点，则的最大值为（    ）. A．8 B．10 C．11 D．13 3．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与x轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得，则t的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________. 新定义问题题型02 1．（24-25高三上·浙江·质检）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2.1双曲线及其标准方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 双曲线定义的理解 题型02 利用双曲线定义求方程 题型03 根据双曲线方程求a、b、c 题型04 双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 题型05 根据a、b、c求双曲线的标准方程 题型06 根据双曲线过的点求标准方程 B组 能力进阶 题型01 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 题型02 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型03 判断方程是否表示双曲线 题型04 根据方程表示双曲线求参数的范围 题型05 求双曲线的轨迹方程 C组 思维拔高 题型01 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 题型02 新定义问题 双曲线定义的理解题型01 1．设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为 A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用双曲线的定义分析解答得解. 【详解】由题得. 由双曲线的定义可知到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值. 故选A 【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 3．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 4．已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得出，，，，利用余弦定理计算出；再利用三角形面积公式可计算出；最后根据点P在双曲线上及两点间距离公式即可得出结果. 【详解】    设点坐标为， 由题意可知，，， 则，，，. 在中，由余弦定理可得：， 即，解得． 因为，则． 因为， 所以，解得． 又因为点P在双曲线，所以， 则. 故选：A 5．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________. 【答案】. 【分析】根据圆的性质，结合线段垂直平分线的性质、双曲线的定义进行求解即可. 【详解】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以， 由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为， 故答案为： 利用双曲线定义求方程题型02 1．（24-25高三下·北京·期末）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 2．（24-25高二上·北京·月考）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线定义即可求解. 【详解】设动点，则由题意可得， 所以动点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数8，又， 所以由双曲线定义可知P点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 3．已知圆外一点，点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线l和直线MP交于点Q，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 由于线段的垂直平分线交直线于， 所以， 所以， 所以点的轨迹是双曲线，且， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 4．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 5．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy. （1）求道路M-N-P的曲线方程； （2）现要在M-N_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？ 【答案】（1） MN段∶， NP段，；（2）. 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标. 【详解】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上， 其方程为， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，其方程为， 故道路曲线方程为段：，段：. （2）当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小. 根据双曲线方程求a、b、c题型03 1．已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．5 B．-5 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及参数关系计算即可. 【详解】由题意知，双曲线焦点在轴上，且，因此原方程中，即，， 根据得，，所以. 故选：B. 2．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 3．已知、是等轴双曲线的左、右焦点，点在上，，则等于___________. 【答案】 【分析】利用余弦定理结合双曲线的定义可求得的值. 【详解】解：∵双曲线的方程为：，∴，得， 由此可得、，焦距， ∵，∴， 即，① 又∵点在双曲线上，∴， 平方得，② ① ②，得， 故答案为：. 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点．设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为______． 【答案】3 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解即可. 【详解】由，，则，， 设，，则，， 由双曲线定义得，， ，解得， 所以，， 在直角三角形中，， 则，即，又， ，解得. 故答案为：3. ， 双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征题型04 1．（25-26高二上·浙江·期中）若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的一个焦点坐标为，则，解得. 2．（24-25高三上·青海西宁·期中）下列双曲线中，焦点在轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程形式可知结果. 【详解】根据双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点在轴上. 故选：C 3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，焦点在轴上，且，，进而得，再求椭圆的离心力即可. 【详解】解：在双曲线中，焦点在轴上，且满足， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点， 所以在椭圆中，焦点在轴上，， 所以，即， 所以在椭圆中，长轴长为，焦距为， 所以椭圆的离心率为 故选：B 4．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于轴上，半径为，且与的上支交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值. 【详解】由题可知．设圆，，. 联立，得，则， 因此，故. 因为，所以，同理可得. 故. 又，且，故，，从而. 所以 . 当时，有，，此时． 所以的最小值是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求其最小值. 5．已知A，B是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线分别交椭圆于另外的点．若直线MN过椭圆右焦点F，且，则椭圆的离心率为______． 【答案】##0.5 【分析】由题， ，设，由题可得，进而可得，后由可得答案. 【详解】由题， ，设. 则，又点P在双曲线上，则. ，又点M在椭圆上，则. 注意到，则. 即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形，则M，N两点关于x轴对称，故. 设椭圆右焦点坐标为，其中，因直线MN过椭圆右焦点F，则，将其代入椭圆方程可得. 则，又，则. 则. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：常见求解椭圆或双曲线离心率的方法. （1）由题直接求出a,c的值，由离心率定义确定答案； （2）构建关于a,c的二元齐次方程，后转化为关于e的方程求解； （3）通过取特殊点或特殊值求出离心率. 根据a、b、c求双曲线的标准方程题型05 1．（25-26高二上·天津·期中）焦点坐标为，，且实轴长为4的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由题意可知，且焦点在轴上， 所以该双曲线方程为：. 故选：A 2．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（    ） A．14 B．9 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答. 【详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点， 则在双曲线中，，即有，解得， 所以. 故选：C 3．已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，连接，则有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再结合，即可求得答案. 【详解】解：设，则， 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 连接，则有，， 由于在以为直径的圆周上， ∴， ∵为平行四边形， ∥， ∴， 在直角三角形中，， 即， 解得， 所以，； 在直角三角形中，， 即，得， 又因为， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选:D. 4．设双曲线的两个焦点为，，一个顶点为，则的方程为__________. 【答案】 【详解】由题意知：，，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以C的方程为. 考点：本小题主要考查双曲线的方程的求解、的关系式，考查分析问题与解决问题的能力. 5．（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解； （2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线方程为； 根据双曲线过的点求标准方程题型06 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 2．等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可． 【详解】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为， 所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点到渐近线的距离为. 故选：C． 3．（25-26高二上·河北沧州·质检）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将代入方程得， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为：. 4．（24-25高二上·新疆·月考）已知双曲线过点两点，求双曲线标准方程. 【答案】 【分析】先设双曲线方程为，将点代入双曲线方程求出m，n即可得解. 【详解】设双曲线方程为， 则由题得， 所以双曲线标准方程为. 5．（24-25高三上·河北承德·联考）已知的内角的对边分别为，面积为，且. (1)证明：为等边三角形； (2)设的延长线上一点满足，又平面内的动点满足，求的最小值. 【答案】(1) 因为，由正弦定理得不是最大边, 面积,所以,所以, 由余弦定理,化简得，， , 所以 所以是等边三角形. (2)10 【分析】（1）根据面积公式结合正弦定理求出C,再应用余弦定理计算边长即可判断形状; （2）先设点的坐标，应用角的关系结合二倍角正切公式得出轨迹方程，再数形结合得出距离和最小即可. 【详解】（1）略 （2）如图建系， 设点，当时， 因为，所以, 所以,化简得，其中， 当时，，因为，则此时不合题意，则， 当时，，因为，则此时不合题意，则， 因为是由双曲线向右平移4个单位得到的， 易知双曲线的焦点坐标为，则平移后焦点坐标为和， 作出双曲线，的图象如图所示： 根据双曲线定义知，则，则， 当且仅当三点共线时取等号， 当时，此时，，故此时不可能满足，舍去； 综上所述的最小值为10. 【点睛】方法点睛：先设点P的坐标，应用角的关系结合二倍角正切公式得出轨迹方程，再数形结合得出距离和最小即可. 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值题型01 1．（25-26高二上·安徽·期中）已知双曲线右支上的一点到其右焦点的距离为9，则点到其左焦点的距离为（    ） A．17 B．19 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据双曲线第一定义求解即可. 【详解】由题意知，根据双曲线第一定义可知（分别为左､右焦点）， 已知，则. 故选：A 2．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得. 【详解】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解. 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 4．已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 5．已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是______． 【答案】10 【分析】记双曲线的右焦点为，由双曲线的定义得，则结合三点共线求解即可． 【详解】如图所示： 记双曲线的右焦点为，则，得， 圆的圆心，半径为1， 则，等号成立时，四点共线． 故的最小值是：10． 故答案为：10 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题题型02 1．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式，代入可得的值. 【详解】解：设,由，可得， 由双曲线焦点三角形的面积公式: ， 可得：， 故选：C. 【点睛】本题主要考查考查双曲线焦点三角形的面积，注意牢记公式，运算准确. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，在左支上过的弦的长为4，那么的周长是（    ） A．24 B．20 C．16 D．8 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义得到，，然后求周长即可. 【详解】   由题意得，，，， 所以的周长为. 故选：A. 3．已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（    ） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义可得，平方化简结合已知条件可得，再利用余弦定理可求得，从而可求出三角形的面积 【详解】因为P是双曲线左支上的点，所以， 两边平方得， 所以. 在中，由余弦定理得， 所以，所以. 故选：C 4．双曲线的右支上一点在第一象限，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，直线、的斜率分别为、，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先推出的横坐标为，由双曲线的方程可得、、，求得内心的坐标为，再由直线的斜率公式，计算可得所求值. 【详解】如图所示：可设、，设内切圆与轴的切点是点， 、分别与内切圆的切点分别为、， 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，， 故，即， 设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为， 故，解得. 由双曲线的，，， 由题意可得的纵坐标为，即， 又、，可得， 故选：B.    【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查三角形的内切圆的性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题. 5．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________． 【答案】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 判断方程是否表示双曲线题型03 1．已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【答案】A 【分析】由题意判断，结合双曲线的标准方程即可判断出答案. 【详解】由于为第二象限角，故， 则方程即为方程，则其表示焦点在x轴上的双曲线， 故选：A． 2．已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【分析】先求出表示双曲线的充要条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件. 故选：C. 3．（24-25高二上·云南·月考）当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 【答案】A 【分析】根据的变化规律得出对应的余弦值的大小，再由圆、椭圆、双曲线等标准方程对应即可得出结论. 【详解】①当时，，曲线，表示圆； ②当时，，曲线表示椭圆； ③当时，，曲线即，表示两条直线； ④当时，，曲线表示双曲线. 故选：A. 4．已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】分别求得圆心到直线，的距离，由可求解. 【详解】设动圆的圆心坐标为， 圆心到直线：的距离为， 圆心到直线：的距离为， 又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，， 所以，即， 化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线， 故选： 5．已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线； (2)表示焦点在轴上的双曲线； (3)表示焦点在轴上的双曲线． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可． 【详解】（1）因为，即，方程表示双曲线， 所以，解得或； 所以或； （2）因为，即，焦点在轴上的双曲线， 则，解得， 所以； （3）因为1，即，焦点在y轴上的双曲线， 则，解得， 所以. 根据方程表示双曲线求参数的范围题型04 1．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 解得或. 2．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由焦点在y轴上的双曲线方程的结构特征列出关于m的不等式组求解即得. 【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：D 3．“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】由方程表示双曲线可得或，进而可知“”是该方程表示双曲线的充分而不必要条件. 【详解】若方程表示双曲线， 则有，解得或. 所以是方程表示双曲线的充分而不必要条件. 故选：A. 4．（24-25高二上·天津·月考）已知方程 则下列说法中不正确的是 （ ） A．当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆 B．当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线 C．当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 D．方程C可表示圆 【答案】D 【分析】根据方程的形式，结合圆，椭圆和双曲线的形式，即可求解. 【详解】对于A，方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得，故A正确; 对于B，方程表示焦点在轴上的双曲线， 则，解得，故B正确； 对于C，当方程表示双曲线时，则，解得， 则由B可知，，即焦距为， 当方程表示椭圆时，由A可知，，即焦距为，故C正确； 对于D，当方程表示圆时，则，无解，故D错误. 故选：D. 5．（25-26高二·上海·期中）对于不为零的实数k的不同取值范围，讨论方程所表示的曲线的形状. 【答案】 方程，， 当，方程表示以原点为圆心，半径为的圆； 当，方程，其中，方程表示焦点在轴的椭圆； 当，方程，其中，方程表示焦点在轴的椭圆； 当，方程表示焦点在轴的双曲线. 【分析】根据圆锥曲线方程的形式，对进行分类讨论，判断曲线的形状. 【详解】略. 求双曲线的轨迹方程题型05 1．设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 【答案】B 【分析】由判断出正确答案. 【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点， 且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支. 故选：B 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 3．已知轴上两点，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为________ 【答案】 【分析】由双曲线定义可得答案. 【详解】由题，动点轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线，设双曲线方程为： ，右焦点为，则， 故.则双曲线方程为：. 故答案为：. 4．在某市科技馆举行的“科普进校园”活动中，“双曲狭缝”实验立板面吸引了众多学生参与．双曲狭缝模型如图所示，直杆PQ与固定轴l成一定夹角，且均和连杆OA垂直，连杆OA绕固定轴l旋转过程中，带动直杆PQ旋转，直杆PQ始终穿过立板上的双曲狭缝（双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分）．若直杆PQ与固定轴l所成角的大小为60°，连杆OA的长度为3，以O为坐标原点，固定轴l所在直线为y轴，则该双曲线的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合勾股定理列出方程化简即得. 【详解】当直杆的端点P恰好通过双曲狭缝时，模型转换后如图所示，，，， 则，由平面平面，得， 而平面，则平面，即， 设，则，，又，， 于是，在直角中，，即， 所以双曲线标准方程为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·河北皇岛·期末）是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用相关点法，设，，从而得到，代入方程整理即可； （2）设，由距离公式得到方程，整理即可. 【详解】（1）设，， 由中点坐标公式得，所以. 又点在椭圆上，所以，即. （2）由题意，设，则， 所以，整理得，即点的轨迹方程为. 利用定义求双曲线中线段和、差的最值题型01 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线经过且与双曲线右支相交于两点，若，则三角形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 【答案】C 【分析】由双曲线方程确定实半轴长，结合双曲线的定义及弦长，即可求得三角形的周长. 【详解】双曲线的实半轴长， 由双曲线的定义，可得 所以， 则三角形的周长为. 故选：C. 2．已知平面上定点和，又点为双曲线右支上的动点，则的最大值为（    ）. A．8 B．10 C．11 D．13 【答案】D 【分析】由题意可得点为双曲线的左焦点，设点为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得，然后求出的最大值即可. 【详解】由题意可得点为双曲线的左焦点，设点为双曲线的右焦点， 由双曲线的定义可得， 所以， 由图可得，当三点共线时， 取得最大值，最大值为， 所以的最大值为13， 故选：D 【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，属于常考题型. 3．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值． 【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则， 所以，且，所以， 的周长为， 当且仅当M，P，A三点共线时取等号， 则周长的最小值为． 故选：B． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与x轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，，若双曲线上存在一点P使得，则t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由求出，然后求t的最小值要转化为求的最小值，在求的最小值时要用双曲线的定义将转化为，最后可得当点共线时，最小 【详解】 因为两条渐近线的方程为：，直线的方程为： 所以、 所以 由可知， 所以 所以   又因为 所以，可解得 因为双曲线上存在一点P使得 所以求t的最小值即为求的最小值 易得要使最小，点应在双曲线的右支上 由双曲线的定义可得： 所以 所以 由图可知，当点共线时，最小 最小值为 所以的最小值为 故选：D 【点睛】本题只要考查双曲线的定义、方程、几何性质和双曲线中的最值问题，属于较难题，双曲线中的最值问题一般要利用定义将双曲线上一点到两个焦点的距离相互转化. 5．已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________. 【答案】9 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,结合双曲线的定义即可求的最大值. 【详解】，，，则 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，半径分别为， 所以， 则 ， 故答案为：9 新定义问题题型02 1．（24-25高三上·浙江·质检）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案. 【详解】设，依题意，，化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 2．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原方程两边开平方，结合两点的距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得的不等式，可得所求范围． 【详解】方程，即， 显然，则，即， 可得动点到定点和定直线的距离的比为常数， 由双曲线的定义，可得，解得，即的取值范围为. 故选：B． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $