3.2.2 双曲线的简单几何性质（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练以“分层递进+素养导向”为特色，通过A/B/C组及高考拓展的四级设计，实现从双曲线基础性质到综合应用的梯度巩固，培养数学抽象、运算推理与模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|顶点、范围、对称性等12个基础知识点|单考点基础题（选择/填空），如虚轴长计算、离心率求解，强化概念理解| |B组能力进阶|渐近线、直线与双曲线位置关系|综合应用题（解答题），如弦长计算、中点弦问题，提升推理能力| |C组思维拔高|定点定值、存在性问题|创新题型（开放/探索题），如焦点弦性质证明，发展创新意识| |拓展链接高考|高考真题及模拟题|对接高考考点，如离心率综合题、轨迹方程，培养应试能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.2.2双曲线的简单几何性质 参考答案 知识点01 双曲线的顶点、实轴和虚轴 x2 y2 44y2=1, x2 1.C: 2.C: 3.4-9=1； 525号-号1 知识点02 双曲线的范围 6.B; 7.D 8.B: 2W5 9.答案x山：2背 y2 x2 【详解】(4)双曲线之子=1的焦点为0，v5), y2 x2 所以设双曲线C的方程为云京1， 所以a=2,a2+b2=5,解得b=1, 断以双曲线C的方程为上？= (2)由4r=1可得，y≤-2或y≥2 设，W%≤2或%≥2，则学-号=1， 所Pw=6+w-或=年-1+0，-3- 5 4 -6y+8, 512)2 所以当人=号时，PM有最小值为y5 6 25 +8= 5 5 5 1/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点03 双曲线的对称性 10.C: 11.AC: 12.y=± 3 X: 13.6: 14.1: 知识点04 双曲线的渐近线方程 15.C; 16.D: 17.D: 18.B; 19.A: 知识点05 共渐近线的双曲线系方程 3x2y2 20.D: 21. 82 =1 22.2; 知识点06 双曲线的离心率 4 V13 23.C: 24.D: 25.A: 26. 39 27. 3 知识点07 已知离心率、 实轴或虚轴、渐近线方程求参数 28.A: 29.C: 30.B: 31.1: 知识点08 等轴双曲线 x2 y2 32.B; 33.B: 3442 35. =1； 66 知识点09 直线和双曲线的位置关系 36.C; 37.B: 38.A: 39.D: 40.ABD; 2/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点10 弦长和面积 41.C 42.C: 43.C: 44.D; 45.2V3; 46.5: 【管案1国r-专，g 【详解】(1)由点Mx,)与定点F3,0)的距离和点M到定直线：x=3的距离的比是3， Vx-3)2+y2 =3 得 1x-3 整理得X2_少=1 8 所以曲线C的方程为上 =1 8 (2)由过点FB,0)且倾斜角为60°的直线，得直线AB的方程为y=V3(x-3), y=V3(x-3) 由®2-少-8消去，剂5+18x-35=0解得名=6子 所以BP+尿x-名卡号 B x2 y2 48. 【答案】)45=1,25. 【详解】(1)因为动点M(x,y)到定点F(3,0)的距离与到定直线I:x=3的距离之比为2 Vx-3)2+y_3 所以 e-+v]-r 4[x-3)2+y2]=9x2-24x+16,4x2-24x+36+4y2=9x2-24x+16, 3/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5x2-4y2=20,得： x y2 451: 故动点M的轨迹方程为45=1， (2)因为点M在双曲线上，所以MF-MF=2a=4,FF1=2C=2√4+5=6 所以在Rt△MF'F中，FF=MF'+MFP,如图： ∴36=(MF1-MF)+2MF-MF✉MF'-MF=10 S.MFF =MF-MF=5. 2 故△MFF的面积为5. 知识点12 中点弦 49.B; 50.B; 51.A: 52.B: 53. 【答案】1)x2 之=1,2)答案见解析 【详解】双自线C兰茶-o>06>0经过(2同)：得产后-山， 由渐近线方程为v三tV2x,得。=V2 解得a=1,b=√2， 双质线c的方程为-兰1 (2)假设P是线段AB的中点，设A(,,B,2), 2 则由 芝两式相能，可 2 G+x-)-20+⅓0-)=0 因为P是线段AB的中点，x+x=2,片+2=-2 4/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -业=-2，即此时直线4B 代入上式，可得-名 的斜率为k=-2' 于是直线AB的方程为y+1=-2(x-),即y=-2x+1. y=-2x+1 联立 x-上=1'消元得 2 x2-4x+3=0 △=(4)}-4×2×3=-8<0，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故P不能是线段AB的中点 知识点13 定点、定值问题 3 54.B: 55.B; 56.C: 57.4 58. 【答案】)x上 1：(2)答案见解析 【详解】《4)由双线C的一条渐近线的顿斜角为行。有合m子。可得6= b 49 又由点r在双曲线c上，有。京F=l, 49 代入6=V5a有云3a=1,可得a=1”b=5, 故双曲线的标准方程为- 31 如图所示： 设点M的坐标为6，W）则-号-1，即35-坊-3 双曲线的两条渐近线马，2的方程分别为3x-y=0,V3x+y=0, 则点，到两条渐近线的距离分别为d= -列，4-3+W M 2 则d,d2= 5-W3x+_3-6_3 4 所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值. 5/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 59.【答案】证明见解析 【详解】设点C是点A关于x轴的对称点，连接CD,由双曲线的对称性可知CD交x轴于M点，AD与 CB交于x轴上的一点P, D P≤因为过点 的直线与的左、右两支分别交于 两点，所以直线 的斜率 M C A,B AB 存在， 设直线AB:y=-V2),A(x,y),B(x,2),与双曲线方程联立，得 （-k2)）x2+2V22x-2k2-4=0,由韦达定理可知x+x= √2k2 2k2+4 2153 Γk2-1’ 由对称性可设D(,)则直线D的斜车为k。=之”=兰 52-xx-x2’ 所议直线0的方架为-y=2(-). 由双曲线的对称性可知若直线AD过定点，则直线CB也过定点，则两直线的交点P即为所求定点， 在直线AD方程中令y=0,得 4k2+8 4 x=-y 点+5=+++-5+_-2压+(2]52-2飞+)_ 片+y2 为+2为+y2为+y kx-V2)+kx-2)(:+x)-22 2V2k2 k2-1 2 所以直线4D过定点(2V2,0 60. 【答案】()8 -y2=1;(2答案见解析 6/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 m= 【详解】(1)由题意可得8m=l, 解得 32m-3n=l, n=1, 8所以E的方程为。严=了 (2)由(1)知E的右焦点为(3,0)，则：y=(x-3), y=k(x-3), 联立 Pb消去y得 (1-8k2)x2+48k2x-72k2-8=0 设M(G,).N(,%)则1-82≠0A>0:即2￥日 8 48k2 故+为 72k2+8 8k2-1,53= 8k2-1 因为点N关于x轴的对称点为P,所以P(,) 则直线pM的方程为-片=(x-) x-x2 根据对称性可知，直线PM经过的定点必在x轴上， 令y=0,得 x=-y· xX2+x y+y2 =西+丛 y+y2 k(x-3)x2+xk(x2-3) k(x-3)+k(x2-3) 2c2-3k(x+2) k(x+x2)-6k 2k72k+8-348k =8k2-1 8k2-1 48k2 8k26 2x72k2+8-3×482 当 且 1时，x=82-1 48k2 3×8k2-1144k2+16-144k=8: k≠0 8 8k216 48k2-(48k2-6)3 所以直线p过定点（0 7/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA B组 能力进阶 1.B; 2.D 3.C: 4.C: 5.D; 6.B;7.D; 8.AC: 9.BCD; 5 10.ABC; 11. 2 (答案不唯一)： 12.9: 13.8； 14.（2,3) y2.x2 15.【答案】(1) =1:22 -=1 208 2 y2,x2 【详解】(1)由题意，设椭圆的标准方程为。+护=1(a>h>0), c=2V3 5（-6 则 62 =1,解方程可得 a=25 b=2V2 a2=b2+c2 c=2v3 y2,x2 所以椭圆的标准方程为 208 =1. (2)设所求双曲线的方程为 广=t≠0). x2 将点（2，V2) 代入双曲线方程得 （2=1,解得=-1 因此：所求双曲线的标准方程为少- 21 16. 【答案】四g￡-1或9立，a3@ 912 4 7 x2 y2 【详解】(1)由题可设所求双曲线的方程为43=2(2≠0)， 8/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 ①当2>0时，方程为4玩321， 令42= 2 得19 41 x2 y2 即双曲线方程为x24y2 =1即927=1 927 4 x2 y2 ②当2<0时，方程为4玩玩1， 6)2 令3-2) 得 1=-3’ y2 x2 即双曲线方程为)121， x2 y2 所以双级的标准方程为号三1成9立 912 6=1， (2)设P点的坐标为(x)(x,≥2)，则满足4-3 P4=64+g-+8-8x+I6=+3年8+16 v21 则当气-9时：P以有最小值为 7 n.【暗1，-3学+号，au+o 【详解】(1)由已知e=2,可得V1+1=2,解得1=3. (2)由己知4(-1,0)、4(1,0)， x2,y2 设椭圆方程为云+存=1a>b>0), b21 所以。-b2-1'又因为离心率为；，所以V-口2 2 所以a2=4,b2=3. x2,y2 所以椭圆的标准方程为4+3 =1 9125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图： A A 0 2、2 =1 联立 y=x-1 消去y, 得(t-1)x2+2x-t-1=0 双曲线C与直线y=x-1相交于相异两点， t>0 等价于不等式组t-1≠0 4+4(t-1)(t+1)>0 解得0<t<1或t>1; 依题意：k=Vi, 当0<t<1时，0<k<1:当t>1时，k>1, 所以k的取值范围是(0,1)U(,+∞). 4 答案】山焦距为4，离心率。5：(2，+1：3)m>3且m+ 【详解】(1)由题可知，a2=b2=2,c2=d2+b2=4→c=2,所以焦距2c=4. 离心案e=S-2 =√2 a√2 (2②)因为B是线段AM的中点，所以=5+my,= 2,yg= 2’ 5+my 同时B又在双曲线右支上，所以有2 2=1且5+m0: 2 2 2 解得m=-√3+3， 10125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 2W3 所似斜率k万-3+3)号+1 (3)F(-2,0),E(2,0),设A()B(xz,2),1:x=y+m, 则A'(-x,y)bEA=（-x+2,y),EB=(3-2,y2), 双曲线和直线1联立得+m_ -=1 22 化简得到C-)y2+2y+m2-2=0, 因此有巧+为=二 -2tm Γ2-1 ,1≠±1， △=4m2-4-00m2-2）)=40m2+2r2-2）>0→>2-m 2 由耳4FB=0得(-x+232-2)+y=0, x=ty+m 代入飞=，+m并化简得(C-1,+m-20y+,)+(0m-2=0 再代入y+y2,2并化简得m2-2m=2-1, 方胖有鲜，代入：的雨国：利到时-2m>受台0争>0其后-2m去0 4 由于m>0:所以m的取值范围为m>3且m≠2 Mm,0) B F2 足上=1,2答案见解析 19.【答案】(4)416 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「a2+b2=36-16 b2 1+ 【详解】(1)由题知， 化简得 a2+b2=20 16 b2 1- 36 34 a=2 解得b=4 x2 y2 所以双曲线C的方程为416 1 (2)证明：设P(,),(,),则P'(,), 2_y=1, 联立 416 x-y+3=0, 清去x整理得(r-1-2420-0,所以X+%=24=” 20 房以m6+5）. 叉直线pO的斜率k三名X,所以直线Po的方程为少-为=上十片(c-3 x2-X 由对称性易知，若直线PQ过定点，则该定点在x轴上， 令，=0得x=5+%=业5_@-3+-- y2+y y2+4 y2+ 3, 所以直线r0过定点，且淡定点的华标为(0） 20.【答案】（但）-2<m<2;(2答案见解析 【详解】()设M(,y),N5,小，直线1：x=m+ , 12/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=my+ 由 2 消元得： y21 9 整理得：(m2-4)y2+5my+号=0. 4 因为直线，过定点 且与双曲线右支有两个交点， 因为怎在，销上，且在双鱼线的内部。 9 所以有： 4 m≠±2△=16m2+36> 0且ym1-4<0 则m2-4<0,解得：-2<m<2 )4(-2,0),4(2,0),M(:),N(3y2), 90 由(4)可知，直线与双曲线联立消元可得：(m-4y+5my+ -5m y+y2= m2-4 所以 9 ，根据已知条件有： 为= 4 m2-4 y 1 k=+2-(出-2 2 mh+21_2my+(y+2)-乃 k32y2(x+2） 9 9 y2 my+ m%+2 2my1y2+9y2 七-2 2 9 m 5m 2 =m-4m2-4h 1 9 m2-4 9 9, m24+95 m24+95 1 所以飞是定值一。 13/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 21.【答案】)421,2)5x-y+45=0 【详解】（山双自俊后若=1的渐近线方程为y±会，依腿意，名、5，可得6=0 x2 y2 a 由焦点坐标可知c=4,而a2+b2=c2,即a2+3a2=16, 解得a=2,所以b=23, x2 y2 所以c的方程为412 =1 (2)设A(%),>0,B(x,y),而F(-4,0),E(4,0)。 则FB=(:-4,y),FA=(x+4,) x-4=3(x+4) x=3x+16 由EB=3FA,得1 片=3y% 解得1y=3 。即得B(3x+16,3) 场_6=， 412 依题意， 3+16_(3解得∫x=3,即 =1, 4 12 ⅓=15，A-3,) y-0_x+4 又F(4,0),所以直线AE的方程为5-0-3+4：整理得5x-y+45=0: 2【答案】国手少= 2)(1)（-,-2U(2,+o）(ii)x+V6y-4=0或x-V6y-4=0 5 【详解】（①）因为p,5是C上一点，所以 2 解得 ”2 1 4 62 b2=1 所以双曲线c的方程为4少=1，。 14/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)（1)由题意知，直线l的方程为x=my+4,设D(:,),E(x,), x2 联立4 -y2=1 ,化简得 x=my+4 m2-4y2+8my+12=0 m2-4≠0 因为直线与双曲线左右两支相交，所以 ,所以8m)2-48(m2-4)>0, 12 >0 y>0 m2-41 解得m<-2或m>2,所以m的取值范围为(-0，-2U(2,+∞）. (i)由图易知Sawn=引loM1,Saus=oMll, 则Sms=5wSme=oM-为x4,0g+5为广-4 -8m 4×12 16m2+1928Vm2+12 =2 m2-4 m2-4 (m2-42m2-4, 所以8Vm+12 m2-4 12,解得=6或以= 9 D B D 由(1)知m2=6,得m=±√6，直线I的方程为x=±√6y+4, 即x+V6y-4=0或x-V6y-4=0 C组 思维拔高 1.D;2.B;3.B;4.D: 5.ABD; 6 5 7.3: 8.5(答案不唯一，满足a<0或a>4的a值均可) 193 9.【答案】国-号，回年在点C 4， 使得 GA+GB+GC-0 15/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)利用点M到直线，与直线！，的距离之积等于4建立方程，化简即可得到结果 (2)假设存在点C,联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点C坐标满足的关系式，利 用点C在双曲线上即可得到结果。 (1)因为动点M(x,)到直线，：y=5x的距离为 -,动点Mk列到直线：y=一店：的E窝为 2 3x+y 2 所u5-5x+-子化商得3r-y-3 2 2 4 因为<3x,所以3x2-y2>0,所以3x2-y2=3, 所心方程为号1 使得G+G+GC=0'理由如下： y=kx+2 由13x2-y2=3得，3-)x-4h-7=0 由△=162+283-2)>0得，K2<7且k2≠3. 4k -7 设4，yB,Cx,%）,则5+53-，西3-尺，故y+=+)+4 42 3+4 由题意得，GM=争G6=(64-争GC=(争 设存在点C(o,)满足Ga+GB+GC=0, x+x2+x=0 则 4,4,.4 3+3+%3 =0? 以经%-4) 4k 圆为点c432-y=3所以3然j-气-3. 9 化简得19k-662+27=0解得 =19或k2=3（舍)， 16/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V19 k>0 19 V193 所以存在C 44 使得G+GB+GC-0 B G 10【答米1（听片-1 w〔2}H m布在，N0 x2 y2 【详解】(1)由双曲线c:a存=1(a>0,b>0)经过点P(5,0),Q(6,2), 得 64,解得a2=3 b2=4 所以油线C的方程为号-苦 (2)()设直线的方程为： ,联立 34 y=k(x-4) y=k(x-4) 整理得（4-3k2)x2+24k2x-48k2-12=0. 因为直线I与双曲线C的右支相交于A,B两点，设A(:出)，B(:,2), 17/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [4-3k2≠0 24k2 x+x2=- 43k2≥0 所以 20 ,解得 或 △=(24k2)-4(4-3k2)(-48k2-12)>0 k<-25>25 3 故斜率，的取值范围为 (i)由x轴平分∠AWB可知kAw+kw=0, 24k2 -48k2-12 由(0)可得x+3=4-3欢2？3= 4-3k2 又片=k(:-4),5=k(3-4), 则+=2kx2-4(:+五)，片+=k(x+x2-8) 假设在，轴上存在定点Na,0),则kw=,kw=卢 x-n x2-n 因为。+产分产n0,所以x化-+66-网=0： 展开可得5y+y2-n(以+y2)=0, 即2-4k(G+x)-k(x+x-8)=0 3或小25 因为<23 3，所以2xx-(n+4)(x+x)+8n=0. 即244.24a4+8n-0. 4-3k2 3k2-4 即-12k2-3+3k2(n+4)+n(4-32）=0, 3 即4n-3=0,得n=4 所以，箱上存在定点w符合条件，且N得 拓展 链接高考 1.B;2.D;3.B; 4.B: 5.A: 6.D; 7.C; 8.D: 9.D; 10.D: 18/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V 11.ACD; 12.AC 13. 6:14V3: 162(或-2答案不唯一)： 35 17. 5 18. 【答案】()x2- 3 =1；(2)见解析 【详解】(1)右焦点为F(2,0),“c=2渐近线方程为y=±3x·心a :2=5,b=5ad c2=ad+b2=4a2=4,a=1,b=3. C的方程为：X- 3: (2)由已知得直线P巴的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零： 若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴 上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而=x,已知不符： 总之，直线AB的斜率存在且不为零。 设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=K(x-2), 则条件OM在AB上，等价于=K(名-2)台，=k(:-2): 两渐近线的方程合并为3x2-y2=0, 联立消去y并化简整理得：(K2-3)x2-42x+42=0 设A(人B()线段中点为N()》则w==2 6k 52=-3w=kx-2)=3 设M(xo%), 则条件③AM=BM等价于(-x广+(%-)=(x-x}+(-y4), 移项并利用平方差公式整理得： (s-x[2。-(x+x】]+(-4)[2-(%+y4]=0, [2-s+]+22-0+小-0厘5+0以-）0 8k2 即x+=2-3 19/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意知直线PM的斜率为-√3，直线QM的斜率为V3, 由片-=-V3(:-6)2-=V5(x2-x), 片-=-V3(x+x-2o), 所以直线p0的斜率m=二=-35+5-2) x-x2 为2 直线PM:y=V5(x-)+o,即y=⅓%+V5x。-V3x, 代入双曲线的方程3x2-y-3=0,即(5x+y(3x-=3中， 得：(+3x)[23x-(%+v3x】=3, 13 p胸望标2河++%+风 1 3 同理：x= 2W5-V3x +%-3x; 六-x3= 3%+%x+x-2x= 5-3x -3买6， 3x0 m y%' .条件②P2/1AB等价于m=k台=3x, 综上所述： 条件①M在AB上，等价于=2(，-2)： 条件②PO11AB等价于y=3x: 8k2 条件③AM=BM等价于x+,=2一3： 选①②推③： 2k2 8k2 由①见解得：一3+，=4托=23③成立 选①③推②： 2k2 由①③解得：=2-3， 、6k2 =k2-3' .=3x,.②成立： 20/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选②③推①： 2k2 .6k2 6 由②③解得：名=-3，=一3六名-2=°3 =2(6-2),①成立 16v2 19.【答案】()12)9· 【相】a因为点2在汉线C后二-a>0上，防以子-1，新的。-2中网 线c 2y2=1 易知直线1的斜率存在，设l:y=c+m,P(,出)，(：，y), y=kx+m 联立 2少2=1可得， (1-2k2）x2-4mcx-2m2-2=0 所以，+5=24=2号，4=16m-42m+2训2-小>0m㎡+1-22,0且k± 4mk 2m2+2 2 当-1+-1=0 所以由+0=0可得，好2+好2 即(：-2)(c2+m-1)+(x2-2)(x+m-)=0, 即252+(m-1-2k)(x+x)-4(m-1)=0, u2子4w-12(）4-小0 化简得，8k2+4k-4+4m(k+1)=0,即(k+1)(2k-1+m)=0, 所以k=-1或m=1-2k, 当m=1-2k时，直线：y=x+m=k(x-2)+1过点A(2,),与题意不符，舍去， 故k=-1. (2)[方法一]：【最优解】常规转化 不妨设直线PA,4Q的倾斜角为a,Ba< 2 因为k+ko=0,所以a+B=元由(1)知， xx2=2m2+2>0. 当P,0均在双曲线左支时，∠PA犯=2a,所以tan2a=2V2, 21/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √2 即2an'a+ama-2=0:解得tana= (负值舍去) 此时A与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去： 当P,Q均在双曲线右支时， 因为tan∠PAg=22,所以tan(B-a)=2W2,即tan2a=-22, 即V2tan2a-tana-V2=0,解得tana=V2(负值舍去)， 于是，直线PA:y=V2(x-2)+1,直线0：y=-√2(x-2)+1, y=V2(x-2)+1 联立 可得：+25-4小r+10-42=0 因为方程有一个根为2所以x,=10-42,。42-5 3，yp=3 同理可得，2=10+42 -42-5 3，=3 2+1 所0：+y0产pg-5点0能离 3 22 PO √2 3 11622_162 故△P40的面积为23×3=9 [方法二]： 设直线4P的倾斜角为a' 〔0cu引，由am2Pi0-22:得m2号 2 2 白2a+0=得影：ma万：即i, 联号，及=1用5045，开 3，y=42-5 3 同理，5=10+4V2 32,5=42-5 而lAPF51x-21,1A0昨V51x-2, 由tan∠P40=2V2,得sin∠Pa0=2 3, 故.4P01sm∠P4A0=215-2+)+416 22/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【路】片长，谐突更解折 20. x2 y2 【详解】(1)设双曲线方程为。尔=1(a>0,b>0),由焦点坐标可知c=25, 则由e=。=5可得a=2”b=2-G=4 戈=1 双曲线方程为416 (2)由(1)可得4(-2,0,4(2,0)，设M(x,y),N(飞，)， 显然直线的斜率不为0，所以设直线N的方程为x=m-4,且<m< 1 与416=1联立可得(4m2-)y2-32my+48=0,且A=644r2+3)>0: 32m 48 则4+%=4m2二4=4m- M -4-21 直线M的方程为"=写2+2)，直线M的方程为y=产2-2)，。 联立直线MA与直线N4,的方程可得： x+22(x+2)y2(my-2)myy2-2(y+2)+2y x-2y(x2-2）(my2-6) my y2-6y m 48-2.32m =4m2-124m2-1+ +2y4n+2y1 一三一 48 mx 4m1-6y 4m216 48m 3, +21 -2=3可得x=-1’即x=-1, 由 据此可得点P在定直线x=一1上运动： 23/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 21. 【答案】（四V2:(2)√2：(3）存在实数元符合题意，此时2的取值范围为7+0 【详解】(1)由题意可知：a=b=1,c=√2， 则(2,0），5(2,0)，渐近线方程为y=±x,即x±y=0 历以20到斑鱼线布近线的离为-2 (2)解法一：因为PF·PE=PEPF引cos∠EPE=1, 由余弦定理可得FE=PF+PF-2 PRPF cos∠EPF, 整理得：PE+PE=10, 因点P是双曲线上一点，则PF-PF=2,可得|PE+PF-2PEPE=4, 代入可得PFP5=3,cos∠RPR=}则sin∠EPR=-es∠RPS-22 3 所以AP5长的面积为PRP5mFP3=x3x2-2, 3 解法二：设P(x%,则-=1，即=+1， 可得P听=（x-2,-),P四=(-x+2,-), 因为PFP℉=x+-2=1,即2-1=1，解得=1， 所以aPF5的面积为2×2V2x1=V2: 解法三：因为P听·PE-(P0+0丽)(PG-0)=P0-02=P0°-2=1，即rd2-3 由中线长定理可知：PE+PF=2Po+OE）=10, 因为PF-PF=2,可得lPF+|PE-2 PFPE=4, 代入可得PFP5-3,cos∠RP3=号，可得2cos2F5-1= 2 3 2 解得cosP5_6,则nF PE1cos2 ZhPR 3.tan 2hpr sin P 2 2 2 3 2 2 3 b2 所以 PFF 的面积为an∠PE 2 24125 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙不防取4（一5小82，-小，则直线的斜率5-2 4 A B M 依题意，设直线：x=ny+V2,则m∈[0,1)，设直线m:x=ny+V2,则h∈山，2V2],P(x,y) (x), x=my+v2 联立方程-y=1，消去X可得(-)y2+22my+1=0: 2v2n 1 则y+2= -,- 可得Pg=V1+ 2V2n 4 2 -11- 可知函数f0=2气2子在1e0)内单调造猫，则f02f0)=2 且当t趋近于1时，f()趋近于+o,即f(在[0，)内的值域为2，+∞），故Pg∈[2，+∞)， 因>0，所以Pg∈[2元，+∞)： n-1 可如g-2气己+刊在se2]内单调适减：则5(e28回-1s。 且当，趋近于1时，内色近于o即g何在2]内的值技为)数M[停) 由怒意可知2以+o)[贤+w)可得2≥，解得之号。 9 所以存在实数符合题意，此时2的取值范围为7+0 25/25 分层作业 3.2.2 双曲线的简单几何性质 目 录 A组 巩固过关 知识点01 双曲线的顶点、实轴和虚轴 知识点02 双曲线的范围 知识点03 双曲线的对称性 知识点04 双曲线的渐近线 知识点05 共渐近线的双曲线系方程 知识点06 双曲线的离心率 知识点07 已知离心率、实轴或虚轴求参数 知识点08 等轴双曲线 知识点09 直线和双曲线的位置关系 知识点10 弦长与面积 知识点11 中点弦 知识点12 定点、定值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 双曲线的顶点、实轴和虚轴知识点01 知识点速记： 双曲线的顶点坐标为，，实轴长为，虚轴长为。 双曲线的顶点坐标为，，实轴长为，虚轴长为。 题型巩固练： 1．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 【答案】C 【详解】双曲线，则， 所以双曲线的虚轴长为. 故选：C 2．（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】C 【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即， 由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得. 故选：C 3．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 【答案】 【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上， 且，解得， 所以双曲线的标准方程为. 4．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知双曲线与椭圆共焦点，且其虚轴长为2，则的标准方程为___________. 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的焦点在轴上，且半焦距. 设双曲线的标准方程为，则，所以， 所以，因此的标准方程为. 故答案为： 5．（25-26高二上·北京延庆·期末）双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为______，标准方程为_____． 【答案】 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标是，所以，设该双曲线的方程为. 由于双曲线经过点，所以， 又，两式联立得， 化简得，由于，所以解得. 所以，所以双曲线的实轴长为，标准方程为. 双曲线的范围知识点02 知识点速记： 双曲线的范围 ⑴若双曲线的方程为，则双曲线上横坐标纵坐标的范围分别为：或，；若双曲线的方程为，则双曲线上横坐标纵坐标的范围分别为：或，； ⑵若点是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，则的最小值是，的最小值是。 应用场景：1. 确定坐标取值范围；2. 求解最值（范围问题）。 题型巩固练： 6．（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 7．（23-24高二上·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】设点是双曲线上任意一点，则，即， 则， 因为或，所以，当时，可得， 所以的最小值为. 故选：D. 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： 9．（23-24高二上·河北保定·期中）已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）双曲线的焦点为， 所以设双曲线C的方程为， 所以，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）由可得，或， 设，或，则， 所以， 所以当时，有最小值为. 双曲线的对称性知识点03 知识点速记： 1.双曲线的对称性 若双曲线的方程为标准方程，则双曲线关于原点对称，关于轴对称，也关于轴对称. 2.应用场景： 1.简化代数运算与求最值：已知双曲线上一点，根据对称性可直接得出其对称点，，也在双曲线上。这一性质常用于减少变量个数，或在求距离之和、面积最大等问题中，通过对称点转化路径，避免繁琐的代数推导； 2.辅助几何证明与图形构造：对于过原点的直线与双曲线交点问题，利用中心对称性可知两交点关于原点对称；对于垂直于对称轴的弦，利用轴对称性可知其被对称轴平分。 题型巩固练： 10．已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以． 故选：C 11．（多选）（24-25高三下·山东·阶段检测）已知A，B，C，D四点均在双曲线上，则四边形ABCD可能为（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】AC 【详解】等腰梯形和矩形都是轴对称图形，而双曲线也是轴对称图形， A.取与轴对称的两组点，，，，，顺次连结这四点，可以构成等腰梯形，故A正确； C.同样取与轴对称的两组点，，，，，顺次连结这四点，可以构成矩形，故C正确； 而菱形和正方形不仅是轴对称，而且是中心对称，并且对角线互相垂直，而双曲线是等轴双曲线，渐近线互相垂直，所以双曲线上连结两组关于原点对称的直线的夹角为锐角，不可能垂直，所以不能构成菱形和正方形，故BD错误. 故选：AC 12．（22-23高二上·辽宁·阶段检测）若三个点，，中恰有两个点在双曲线C：上，则双曲线C的渐近线方程为___________. 【答案】 【详解】因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上， 又双曲线的图象关于原点对称, 所以点， 在双曲线上， 所以，解得， 所以其渐近线方程为：. 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 _____ 【答案】6 【详解】如图： 对双曲线：，可得. 因为点、关于原点对称，根据双曲线的对称性可得. 所以， 根据双曲线的定义，. 14．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______． 【答案】1 【详解】由题知其焦点均在轴上，又因为焦点相同，即， 因为四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，利用椭圆以及双曲线对称性可知四个交点均在直线上， 不妨设第一象限的公共点为，则有且， 消去得，即， 解得。 双曲线的渐近线方程知识点04 知识点速记： 1.椭圆的渐近线方程 ⑴若双曲线的方程为，则渐近线方程为； ⑵若双曲线的方程为，则渐近线方程为； 2.双曲线的焦点到渐近线的距离为。 题型巩固练： 15．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 所以双曲线，焦点在轴上， 则双曲线的渐近线方程为. 16．（2026·浙江金华·三模）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：双曲线， 由对称性，不妨取右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离． 17．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线，即， 所以双曲线的实轴长为，则，解得， 所以，，双曲线的渐近线方程为． 故选：D. 18．设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 19．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知双曲线的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线知，焦点在轴上， 设左焦点，其中一条渐近线方程为，即. 由实轴长为得，解得； 由左焦点到渐近线的距离, 则双曲线渐近线方程为. 故选：A. 共渐近线的双曲线系方程知识点05 知识点速记： 已知双曲线的标准方程为或，则与该双曲线共渐近线的双曲线系方程可统一设为：，其中当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上。 题型巩固练： 20．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 21．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【答案】 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. 22．（25-26高二上·福建厦门·期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为______． 【答案】2 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得， 故双曲线方程为，则双曲线的实轴长为2． 双曲线的离心率知识点06 知识点速记： 1.双曲线的离心率 焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为. （1）； （2）越大，双曲线开口越开阔；越小，双曲线开口越狭窄； 2.双曲线离心率的计算公式： 题型巩固练： 23．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 24．（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 25．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，为双曲线C：的左右焦点，点M的坐标为，若为直角三角形，则双曲线C的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点M在y轴上，由双曲线对称性可知，又因为为直角三角形， 所以，，， ，， 由勾股定理，得，即， 又因为代入得，，， 所以. 故选：A 26．（25-26高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，且，则的离心率为__________． 【答案】 【详解】设，由可得 , 所以，，即，. 27．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知双曲线：的右焦点为，是的一条渐近线上的点．若的最小值为2，且的实轴长为6，则的离心率为________． 【答案】 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，而， 则， 因为的实轴长为6，所以，即，则， 所以的离心率为. 已知离心率、实轴或虚轴、渐近线方程求参数知识点07 知识点速记： 此类问题注意区分双曲线的焦点位置，若焦点位置不明确，则需分两种情况讨论。 题型巩固练： 28．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 29．（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦点在轴上， 所以其标准方程为 所以， 所以解得． 又因为双曲线的离心率，所以． 又，所以， 即， 即，解得或（舍去）． 故选：C． 30．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知双曲线：，则或. 当焦点在轴上时：此时，实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方，离心率， 已知，则，与冲突，故不成立； 当焦点在轴上时：此时，此时方程可化为， 实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方， 离心率， 满足，故半焦距，则焦距为，B正确. 31．（23-24高二上·河北·期中）若双曲线C：的实轴长与虚轴长相等，则____． 【答案】1 【详解】由题可知：， 解之得：或（舍去）． 故答案为：1. 等轴双曲线知识点08 知识点速记： 等轴双曲线 （1）实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． （2）等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为； ②渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于，离心率． 题型巩固练： 32．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 33．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 34．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知等轴双曲线的实轴长为4，则该双曲线的焦距为_______． 【答案】 【详解】由条件可知，，则，焦距. 35．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在轴上， 可设所求双曲线的方程为， 则，解得， 因此，所求等轴双曲线的方程为. 直线和双曲线的位置关系知识点09 知识点速记： 直线与双曲线的位置关系 将与联立消去y得一元方程. 的取值 位置关系 交点个数 且时 相交 只有一个交点 且 有两个交点 且 相切 只有一个交点 且 相离 没有公共点 题型巩固练： 36．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 37．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立方程，消去后整理为， 当时，或， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 所以不满足条件； 当时，有，可得或. 故选：B 38．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 39．过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】解：双曲线方程为，点在双曲线的两支之间（代入得，无实数解，说明轴与双曲线无交点） 过该点作直线与双曲线仅有一个公共点的情况如下： 双曲线的渐近线方程为 过点 作平行于这两条渐近线的直线，即 和 这两条直线分别与双曲线的一支交于一点，共有2条 由于点在双曲线两支之间，过该点可以向双曲线的两支各作一条切线，共有2条 综上，满足条件的直线共有 4 条． 故选：D. 40．（多选）（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 【答案】ABD 【详解】由题意直线过定点，即双曲线的左焦点. 当时，与的渐近线平行，与只有一个交点， 当时，与的左支和右支各有一个交点， 当时，与的左支有两个交点. 故选：ABD. 弦长和面积知识点10 知识点速记： 弦长公式：当直线与双曲线的两交点为，时，或． 题型巩固练： 41．（23-24高三上·江西上饶·阶段检测）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 42．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由双曲线，可得右焦点为，渐近线方程为， 因为直线经过且与轴垂直，所以直线的方程为， 所以直线与两渐近线的交点的坐标分别为， 所以，所以的面积为. 故选：C. 43．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线，过左焦点的直线与双曲线交于两点.若存在4条直线满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：若在同一支上，则；如果在两支上，则有； 因为存在4条直线满足，所以且，解得， 故选：C. 44．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】联立可得，， 设点、，直线交轴于点， ，解得或. 故选：D. 45．（24-25高二上·福建福州·期末）已知双曲线：（，），两条直线，均过坐标原点，和交于，两点，和交于，两点.若的面积为，则的面积为______. 【答案】 【详解】由于和都符合， 所以曲线的图象关于原点对称，由此画出曲线的大致图象如下图所示， 两条直线、均过坐标原点，所以M、N两点关于原点对称，P、Q两点关于原点对称， 根据对称性，不妨设位置如图， 可知，， 所以，所以， 而和等底等高，面积相同，所以， 所以. 46．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 【答案】5 【详解】将的坐标代入C的方程，成立，故点P在双曲线C上， 过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得或（舍）， 当时，，故点A的坐标为， 直线过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得（舍）或， 当时，，故点B的坐标为， 因为，所以，所以是直角三角形， 且， 故. 故答案为：5    47．（25-26高二上·广东广州·期末）动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3， 得，整理得， 所以曲线C的方程为. （2）由过点且倾斜角为的直线，得直线的方程为， 由消去得，解得， 所以. 48．（25-26高二上·安徽·期末）动点到定点的距离与到定直线的距离之比为. (1)求动点的轨迹方程； (2)若点，且，求的面积. 【答案】(1)；(2)5. 【详解】（1）因为动点到定点的距离与到定直线的距离之比为. 所以，， ，， ，得：； 故动点的轨迹方程为. （2）因为点在双曲线上，所以， 所以在中，，如图： ，， . 故的面积为5. 中点弦知识点12 知识点速记： 椭圆，以为中点的弦的两个端点为，则，且，两式相减得，整理得到： ，即，即； 另一结论：。 题型巩固练： 49．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 50．（23-24高二上·福建泉州·期中）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【详解】设， 则有， 化简得， 即. 故选：B 51．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】设，则，且， 所以，整理得到：， 因为是弦的中点， 所以，所以即 所以， 故选：A. 52．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 53．已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 定点、定值问题知识点13 知识点速记： 求解定点、定值问题的步骤： （1）设直线方程为（注意斜率不存在的情况）或（注意斜率为0的情况），交点坐标（注：有时可以先利用特殊情况得到定点或定值，再证明一般情况也适合）； （2）和椭圆方程联立，得到韦达定理或； （3）根据已知条件结合韦达定理得到的关系，从而得到定点或定值． 题型巩固练： 54．（22-23高二上·甘肃天水·期末）已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， . 故选：B 55．（2024·江西鹰潭·二模）双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，,不妨设，则， 依题意，，因点在双曲线上，故有， 于是，. 故选：B. 56．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线的方程知， 渐近线方程为，即， 设，由题意，得，即， 点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以． 故选：C． 57．（25-26高二上·河南·期中）已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为__________． 【答案】 【详解】因为双曲线的方程为，所以． 设，则，直线的斜率，直线的斜率， 所以． 因为点在双曲线上，所以满足， 化简得，所以． 联立直线与双曲线的方程，得消去，整理得． 由题意得解得，所以． 58．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. 如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 59．已知双曲线，点，过点的直线与的左、右两支分别交于两点，设点是点关于轴的对称点，证明：直线过定点. 【答案】证明见解析 【详解】设点是点关于轴的对称点，连接，由双曲线的对称性可知交轴于点，与交于轴上的一点， 因为过点的直线与的左、右两支分别交于两点，所以直线的斜率存在， 设直线，，与双曲线方程联立，得 ，由韦达定理可知， 由对称性可设，则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由双曲线的对称性可知若直线过定点，则直线也过定点，则两直线的交点即为所求定点， 在直线方程中令，得 所以直线过定点. 60．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由题意可得解得所以E的方程为. （2）由（1）知E的右焦点为，则， 联立消去y得，. 设，则，即， 故，. 因为点N关于x轴的对称点为P，所以， 则直线的方程为. 根据对称性可知，直线经过的定点必在x轴上， 令，得 . 当且时，， 所以直线过定点. 1．（24-25高三上·江苏镇江·阶段检测）双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】因为双曲线，所以，设左焦点为， 由题意可知，关于原点对称，所以， 由双曲线的对称性可得， 由双曲线的定义可得， 所以，可得， 又， 所以， 所以的面积为． 故选：B． 2．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知双曲线的离心率为，C的渐近线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的离心率为，所以， 又，即，所以， 因为双曲线的渐近线方程为. 由，得，即， 圆与渐近线相切，圆的圆心为. 所以，解得． 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 4．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，为的中点，的外接圆的半径为，则双曲线的虚轴长为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图： 因为为的中点，为的中点，所以， 根据通径的长度公式，可得. 又因为直线的斜率为，所以，. 由. 又的外接圆半径为4，所以. 由. 所以双曲线的虚轴长为：. 故选：C 5．（25-26高三上·湖北·期末）已知双曲线是坐标原点，是上的一点，过的直线分别与的两条渐近线交于两点，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，双曲线的渐近线方程为， 不妨令，则. 因为，所以，， 所以所以.即. 设渐近线的倾斜角为，则，所以， 因为，同理， 所以. 故选：D 6．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    7．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 8．（多选）（25-26高二下·江苏南京·期中）已知是双曲线：右支上一点，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，，则（） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．的面积为3 【答案】AC 【详解】 由题意得，，，即，，. 焦点，，离心率，渐近线方程为，所以A对、B错； 设，则，又，所以，解得或（舍去），所以或， 所以，C对； ，高为，面积，D错. 9．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）平面直角坐标系中，直线与双曲线（，）的左右两支分别交于A，B两点，P是异于A，B的双曲线上一点，则下列判断正确的是（    ） A．双曲线的离心率e的范围是 B．双曲线的离心率e的范围是 C．直线PA，PB的斜率分别是，，则 D．双曲线上存在点P，使得 【答案】BCD 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 则，所以， 所以， 所以， 即双曲线的离心率e的范围是，故A错误，B正确； 对于C，设，， 因为直线与双曲线都关于原点对称， 所以点，也关于原点对称，所以， 所以，， 所以 ，故C正确； 对于D，当时，则有， 所以， 所以， 又因为P是异于A，B的双曲线上一点， 所以当或时，成立，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选）（25-26高二下·广东惠州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（     ） A．离心率 B．若的斜率为1时， C．为定值 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】ABC 【详解】对于A选项，因为双曲线：的渐近线方程为， 即，所以，此时双曲线的方程为，则，， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 又过的直线的斜率为1，所以直线的方程为， 因为直线与双曲线的左右两支分别交于，两点， 与双曲线联立，化简得， 设，，则，， 所以，故B正确； 对于C选项，根据双曲线定义，，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D选项，设，，线段的中点，则，，所以，，， 又，在双曲线上，所以，， 所以，， 所以，故D错误. 综上所述，选项ABC正确. 11．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线，过点且与该双曲线有且仅有一个公共点的直线斜率可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】联立与，解得，这表明满足题意的直线斜率一定存在， 设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线方程为， 联立，得， 由题意得解得， 或，此方程无解. 综上所述，所求直线的斜率为. 12．（26-27高二上·新疆省直辖县级单位·期末）已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，，则______． 【答案】9 【详解】解法1：设动点，由双曲线方程可得，， 则，， 所以直线，直线， 由此可得，， 所以． 因为动点在双曲线上， 所以，即， 则． 解法2：由双曲线方程可得，， 设，，． 由，，三点共线可得，即①， 由，，三点共线可得，即②． 将①②相乘可得③， 又④， 由③④可得， 所以． 13．（25-26高二上·陕西商洛·期末）双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 【答案】8 【详解】已知双曲线，可得：， 设光线与双曲线C的交点为，双曲线C的左焦点为． 所以， 由题意知，共线， 因为，所以， 故路径长． 14．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 15．（2025高二上·湖北襄阳·专题练习）根据条件，求下列曲线的标准方程： (1)一个焦点坐标为，且椭圆经过点； (2)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意，设椭圆的标准方程为， 则，解方程可得， 所以椭圆的标准方程为 ． （2）设所求双曲线的方程为 ． 将点 代入双曲线方程得 ，解得 ， 因此，所求双曲线的标准方程为 ． 16．已知双曲线. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程； (2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值． 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）由题可设所求双曲线的方程为, ①当时，方程为， 令得， 即双曲线方程为,即 ②当时，方程为， 令得， 即双曲线方程为， 所以双曲线的标准方程为或 （2）设P点的坐标为，则满足， . 则当时，有最小值为. 17．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为、． (1)若双曲线的离心率，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (3)直线与双曲线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由已知，可得，解得． （2）由已知、， 设椭圆方程为， 所以，又因为离心率为，所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为． （3）如图：    联立， 消去，得， 双曲线与直线相交于相异两点， 等价于不等式组， 解得或； 依题意：， 当时，；当时，， 所以的取值范围是． 18．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； (3)若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 【答案】(1)焦距为4，离心率 ；(2)；(3)且 【详解】（1）由题可知，，，所以焦距. 离心率. （2）因为B是线段AM的中点，所以， 同时B又在双曲线右支上，所以有，且， 解得， 所以l斜率. （3），设，， 则， 双曲线和直线l联立得， 化简得到， 因此有， . 由得， 代入并化简得， 再代入并化简得， 方程有解，代入t的范围，得到且. 由于，所以的取值范围为且. 19．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由题知，，化简得. 解得， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设，则， 联立 消去整理得，所以， 所以， 又直线的斜率，所以直线的方程为， 由对称性易知，若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得， 所以直线过定点，且该定点的坐标为. 20．已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1)；(2答案见解析 【详解】（1）设，，直线， 由，消元得：， 整理得：. 因为直线过定点且与双曲线右支有两个交点， 因为在轴上，且在双曲线的内部， 所以有：，，且， 则，解得：. )，，，， 由（1）可知，直线与双曲线联立消元可得：， 所以，根据已知条件有： ， 所以是定值. 21．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，可得， 由焦点坐标可知，而，即， 解得，所以， 所以的方程为． （2）设，，，而，， 则 由，得，解得,即得， 依题意，解得即， 又，所以直线的方程为，整理得． 22．（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）或 【详解】（1）因为是C上一点，所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以，所以， 解得或，所以的取值范围为． （ⅱ）由图易知，， 则 ， 所以，解得或． 由（ⅰ）知，得，直线的方程为， 即或． 1．【新定义问题】（24-25高二上·福建龙岩·阶段检测）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 【答案】D 【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确； 变形得，， ，， 所以，又， 所以，，所以， 所以，所以， B正确；    设，，，将坐标代入双曲线方程可得， ，作差后整理可得，即 所以，故C正确； 设直线，则直线，将代入双曲线方程， 可得，则，，将换成即得 ， 则与，的值有关，故D错误， 故选：D. 2．【数学建模】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 3．【知识融合】（25-26高二下·河北衡水·期末）已知双曲线：，椭圆：，若， 分别是，上的动点，为坐标原点，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，所以． 当直线轴时，，， 则， 故点到直线 的距离是； 如图，   当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 则直线的方程为． 联立，解得， 所以．同理可得． 设点到直线 的距离是． 因为，， 所以， 所以． 综上，点到直线 的距离是． 4．【数学运算】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知为双曲线上一点，过作直线，分别交双曲线的渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由题得，联立直线与渐近线方程求出M、N两点坐标，直接由两点间距离公式计算即可求解判断A；由两点间斜率公式即可直接计算即可求解判断B；直接计算结合基本不等式即可求解判断C；直接计算即可求解判断D. 【详解】由题可得即，双曲线的渐近线方程为， 则联立， 联立， 所以， ， 所以，故A正确； ，故B正确； ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； ，故D错误. 故选：D 5．【存在性问题】（多选）（25-26高二上·河南焦作·期中）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【详解】设点，，，， 由题知离心率，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： ，，若，即， 可得，即：（①）， 而位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（②）， 联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，带入化简得：，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：， 的中点为，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而，两点均位于双曲线上，故： （③） （④），用③减④得：， 化简得，故，证毕. 故选：ABD 6．【数学文化】（24-25高二上·广西钦州·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262年~约公元前190年），古希腊著名数学家，主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线的左，右焦点分别为，其离心率，从发出的光线经过双曲线的右支上一点的反射，反射光线为，若反射光线与入射光线垂直，则______. 【答案】 【详解】设，由题意知， 所以，所以， 又，所以，解得，所以. 故答案为： 7．【新定义问题】（2025·云南昆明·模拟预测）若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 【答案】3 【详解】对于双曲线，有，，， 所以，设，则， 所以， ， 故，因为，所以， 所以，即的最小值为.    8．【开放题】（25-26高二上·北京·期末）若命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题，则实数的一个取值为_____． 【答案】5（答案不唯一，满足或的值均可） 【详解】当时，曲线是椭圆或双曲线，其对称轴为坐标轴，对称中心为原点， 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，而正方形的四个顶点在曲线上， 此时正方形的四个顶点关于轴对称，也关于轴对称，其对角线所在直线必与曲线相交， 因此方程，即有解，则，解得或，此时或且， 当时，曲线，即是圆，而圆互相垂直的两条直径的端点构成正方形，则 所以实数的取值范围为或，取的一个值5. 故答案为：5 9．【存在性问题】动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)存在点，使得. 【详解】（1）利用点到直线与直线的距离之积等于建立方程，化简即可得到结果. （2）假设存在点，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点坐标满足的关系式，利用点在双曲线上即可得到结果. （1）因为动点到直线的距离为，动点到直线的距离为， 所以，化简得， 因为，所以，所以， 所以的方程为. （2）存在，使得，理由如下： 由得，， 由得，且. 设，则，故. 由题意得，. 设存在点满足， 则， 所以. 因为点在上，所以， 化简得，解得或（舍）， 因为，所以，故，即， 所以存在，使得. 10．【探索性问题】（25-26高二下·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【详解】（1）由双曲线：经过点，， 得，解得. 所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为：，联立， 整理得. 因为直线与双曲线的右支相交于两点，设，， 所以，解得或. 故斜率的取值范围为. （ii）由轴平分可知. 由（i）可得. 又，， 则，. 假设在轴上存在定点，则， 因为，所以， 展开可得， 即. 因为或，所以. 即， 即， 即，得. 所以轴上存在定点符合条件，且． 1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【详解】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 2．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得， 所以. 3．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 4．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 5．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 6．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 9．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：D. 10．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 11．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 12．（多选）（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 13．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 【答案】 【详解】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 14．（2025·上海·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 【答案】 【详解】由题意可作图如下： 由，则，解得，且， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得， 由题意可得， 易知. 15．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 16．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 【答案】（或，答案不唯一） 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为： 18．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)；(2)见解析 【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴． ∴C的方程为：； （2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符； 总之，直线的斜率存在且不为零. 设直线的斜率为,直线方程为, 则条件①在上，等价于； 两渐近线的方程合并为, 联立消去y并化简整理得： 设,线段中点为,则, 设, 则条件③等价于, 移项并利用平方差公式整理得： ， ,即, 即； 由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, ∴由, ∴, 所以直线的斜率, 直线,即, 代入双曲线的方程,即中， 得：, 解得的横坐标：, 同理：， ∴ ∴, ∴条件②等价于， 综上所述： 条件①在上，等价于； 条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③: 由①②解得：,∴③成立； 选①③推②： 由①③解得：，， ∴，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得：，，∴， ∴，∴①成立. 19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线． 易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，且． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． （2）［方法一］：【最优解】常规转化 不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，， 当均在双曲线左支时，，所以， 即，解得（负值舍去） 此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当均在双曲线右支时， 因为，所以，即， 即，解得（负值舍去）， 于是，直线，直线， 联立可得，， 因为方程有一个根为，所以，， 同理可得，，． 所以，，点到直线的距离， 故的面积为． ［方法二］： 设直线AP的倾斜角为，，由，得， 由，得，即， 联立，及得，， 同理，，，故， 而，， 由，得， 故 20．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 21．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在实数符合题意，此时的取值范围为 【详解】（1）由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为. （2）解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：， 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为； 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. （3）不妨取，，则直线的斜率， 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得： 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2.2 双曲线的简单几何性质 目 录 A组 巩固过关 知识点01 双曲线的顶点、实轴和虚轴 知识点02 双曲线的范围 知识点03 双曲线的对称性 知识点04 双曲线的渐近线 知识点05 共渐近线的双曲线系方程 知识点06 双曲线的离心率 知识点07 已知离心率、实轴或虚轴求参数 知识点08 等轴双曲线 知识点09 直线和双曲线的位置关系 知识点10 弦长与面积 知识点11 中点弦 知识点12 定点、定值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 双曲线的顶点、实轴和虚轴知识点01 知识点速记： 双曲线的顶点坐标为，，实轴长为，虚轴长为。 双曲线的顶点坐标为，，实轴长为，虚轴长为。 题型巩固练： 1．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 2．（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 3．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 4．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知双曲线与椭圆共焦点，且其虚轴长为2，则的标准方程为___________. 5．（25-26高二上·北京延庆·期末）双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为______，标准方程为_____． 双曲线的范围知识点02 知识点速记： 双曲线的范围 ⑴若双曲线的方程为，则双曲线上横坐标纵坐标的范围分别为：或，；若双曲线的方程为，则双曲线上横坐标纵坐标的范围分别为：或，； ⑵若点是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，则的最小值是，的最小值是。 应用场景：1. 确定坐标取值范围；2. 求解最值（范围问题）。 题型巩固练： 6．（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·河北保定·期中）已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值． 双曲线的对称性知识点03 知识点速记： 1.双曲线的对称性 若双曲线的方程为标准方程，则双曲线关于原点对称，关于轴对称，也关于轴对称. 2.应用场景： 1.简化代数运算与求最值：已知双曲线上一点，根据对称性可直接得出其对称点，，也在双曲线上。这一性质常用于减少变量个数，或在求距离之和、面积最大等问题中，通过对称点转化路径，避免繁琐的代数推导； 2.辅助几何证明与图形构造：对于过原点的直线与双曲线交点问题，利用中心对称性可知两交点关于原点对称；对于垂直于对称轴的弦，利用轴对称性可知其被对称轴平分。 题型巩固练： 10．已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．（多选）（24-25高三下·山东·阶段检测）已知A，B，C，D四点均在双曲线上，则四边形ABCD可能为（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 12．（22-23高二上·辽宁·阶段检测）若三个点，，中恰有两个点在双曲线C：上，则双曲线C的渐近线方程为___________. 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点为 ，点 在双曲线 的右支上，点 关于原点的对称点为 ，则 _____ 14．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______． 双曲线的渐近线方程知识点04 知识点速记： 1.椭圆的渐近线方程 ⑴若双曲线的方程为，则渐近线方程为； ⑵若双曲线的方程为，则渐近线方程为； 2.双曲线的焦点到渐近线的距离为。 题型巩固练： 15．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·浙江金华·三模）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 17．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 18．设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知双曲线的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 共渐近线的双曲线系方程知识点05 知识点速记： 已知双曲线的标准方程为或，则与该双曲线共渐近线的双曲线系方程可统一设为：，其中当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上。 题型巩固练： 20．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 21．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 22．（25-26高二上·福建厦门·期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为______． 双曲线的离心率知识点06 知识点速记： 1.双曲线的离心率 焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为. （1）； （2）越大，双曲线开口越开阔；越小，双曲线开口越狭窄； 2.双曲线离心率的计算公式： 题型巩固练： 23．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 25．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，为双曲线C：的左右焦点，点M的坐标为，若为直角三角形，则双曲线C的离心率是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，且，则的离心率为__________． 27．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知双曲线：的右焦点为，是的一条渐近线上的点．若的最小值为2，且的实轴长为6，则的离心率为________． 已知离心率、实轴或虚轴、渐近线方程求参数知识点07 知识点速记： 此类问题注意区分双曲线的焦点位置，若焦点位置不明确，则需分两种情况讨论。 题型巩固练： 28．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 29．（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 30．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·河北·期中）若双曲线C：的实轴长与虚轴长相等，则____． 等轴双曲线知识点08 知识点速记： 等轴双曲线 （1）实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． （2）等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为； ②渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于，离心率． 题型巩固练： 32．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知等轴双曲线的实轴长为4，则该双曲线的焦距为_______． 35．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，右焦点为，则双曲线的方程为______． 直线和双曲线的位置关系知识点10 知识点速记： 直线与双曲线的位置关系 将与联立消去y得一元方程. 的取值 位置关系 交点个数 且时 相交 只有一个交点 且 有两个交点 且 相切 只有一个交点 且 相离 没有公共点 题型巩固练： 36．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 40．（多选）（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 弦长和面积知识点11 知识点速记： 弦长公式：当直线与双曲线的两交点为，时，或． 题型巩固练： 41．（23-24高三上·江西上饶·阶段检测）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 43．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线，过左焦点的直线与双曲线交于两点.若存在4条直线满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 45．（24-25高二上·福建福州·期末）已知双曲线：（，），两条直线，均过坐标原点，和交于，两点，和交于，两点.若的面积为，则的面积为______. 46．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 47．（25-26高二上·广东广州·期末）动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 48．（25-26高二上·安徽·期末）动点到定点的距离与到定直线的距离之比为. (1)求动点的轨迹方程； (2)若点，且，求的面积. 中点弦知识点12 知识点速记： 椭圆，以为中点的弦的两个端点为，则，且，两式相减得，整理得到： ，即，即； 另一结论：。 题型巩固练： 49．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 50．（23-24高二上·福建泉州·期中）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 51．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 52．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 53．已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 定点、定值问题知识点13 知识点速记： 求解定点、定值问题的步骤： （1）设直线方程为（注意斜率不存在的情况）或（注意斜率为0的情况），交点坐标（注：有时可以先利用特殊情况得到定点或定值，再证明一般情况也适合）； （2）和椭圆方程联立，得到韦达定理或； （3）根据已知条件结合韦达定理得到的关系，从而得到定点或定值． 题型巩固练： 54．（22-23高二上·甘肃天水·期末）已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（    ） A． B． C． D． 55．（2024·江西鹰潭·二模）双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（    ） A．3 B． C． D． 56．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（    ） A． B． C． D． 57．（25-26高二上·河南·期中）已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为__________． 58．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 59．已知双曲线，点，过点的直线与的左、右两支分别交于两点，设点是点关于轴的对称点，证明：直线过定点. 60．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线经过点 (1)求E的方程； (2)设直线经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M，N，点N关于x轴的对称点为P，证明：直线过定点. 1．（24-25高三上·江苏镇江·阶段检测）双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知双曲线的离心率为，C的渐近线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，为的中点，的外接圆的半径为，则双曲线的虚轴长为 （    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖北·期末）已知双曲线是坐标原点，是上的一点，过的直线分别与的两条渐近线交于两点，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二下·江苏南京·期中）已知是双曲线：右支上一点，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，，则（） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．的面积为3 9．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）平面直角坐标系中，直线与双曲线（，）的左右两支分别交于A，B两点，P是异于A，B的双曲线上一点，则下列判断正确的是（    ） A．双曲线的离心率e的范围是 B．双曲线的离心率e的范围是 C．直线PA，PB的斜率分别是，，则 D．双曲线上存在点P，使得 10．（多选）（25-26高二下·广东惠州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（     ） A．离心率 B．若的斜率为1时， C．为定值 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 11．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线，过点且与该双曲线有且仅有一个公共点的直线斜率可以是___________．（写出一个即可） 12．（26-27高二上·新疆省直辖县级单位·期末）已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，，则______． 13．（25-26高二上·陕西商洛·期末）双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 14．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 15．（2025高二上·湖北襄阳·专题练习）根据条件，求下列曲线的标准方程： (1)一个焦点坐标为，且椭圆经过点； (2)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 16．已知双曲线. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程； (2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值． 17．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为、． (1)若双曲线的离心率，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (3)直线与双曲线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，求实数的取值范围． 18．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； (3)若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 19．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 20．已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点. (1)求实数的取值范围； (2)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 21．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 22．（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． 1．【新定义问题】（24-25高二上·福建龙岩·阶段检测）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 2．【数学建模】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．【知识融合】（25-26高二下·河北衡水·期末）已知双曲线：，椭圆：，若， 分别是，上的动点，为坐标原点，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 4．【数学运算】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知为双曲线上一点，过作直线，分别交双曲线的渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 5．【存在性问题】（多选）（25-26高二上·河南焦作·期中）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 6．【数学文化】（24-25高二上·广西钦州·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262年~约公元前190年），古希腊著名数学家，主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线的左，右焦点分别为，其离心率，从发出的光线经过双曲线的右支上一点的反射，反射光线为，若反射光线与入射光线垂直，则______. 7．【新定义问题】（2025·云南昆明·模拟预测）若两焦点为，的双曲线上一点满足，则称为该双曲线的“阶和谐点”.若双曲线存在“阶和谐点”，则的最小值为_____. 8．【开放题】（25-26高二上·北京·期末）若命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题，则实数的一个取值为_____． 9．【存在性问题】动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 10．【探索性问题】（25-26高二下·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 2．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 3．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 6．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 12．（多选）（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 14．（2025·上海·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长至B使得．若的面积为，则a的值为__________． 15．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 16．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 18．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 20．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 21．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $