专题10 指数七类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题10 指数七类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据根式意义确定取值或取值范围 题型二、运用根式性质化简或计算 题型三、带限制条件的根式化简 题型四、根式与分数指数幂的相互转化 题型五、利用分数指数幂运算性质化简求值 题型六、整体代换法处理分数指数幂 题型七、与其他章节的融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 指数问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕根据根式意义确定取值或取值范围、运用根式性质化简或计算、带限制条件的根式化简、根式与分数指数幂的相互转化、利用分数指数幂运算性质化简求值、整体代换法处理分数指数幂、与其他章节的融合七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是根式与分数指数幂的相互转化；二是根式、分数指数幂运算性质化简求值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据根式意义确定取值或取值范围 典例1 ，则实数a的取值范围为_________  【答案】 【解析】由题设得，，所以 所以，． 故答案为： 题型模版 1.特征：根式意义： （1）当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 （2）当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 2.方法：利用偶次根式被开方数大于等于0建立不等式（组）求解． 变式1-1当有意义时，化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可. 【解析】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. 变式1-2.若有意义，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，且，∴a的取值范围是且． 故选：B． 变式1-3求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 类型二、运用根式性质化简或计算 典例2 已知，且，化简二次根式的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】有意义，，， 又，，，. 故选：A 题型模版 1.特征：根式化简的思想和注意点： (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的； (2)化简根式时需注意：在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数。 2.方法：此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。 变式2-1已知实数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式化简，即可得到答案. 【解析】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 变式2-2若，则化简的结果是（  ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先化简得出.然后根据已知范围，即可得出答案. 【解析】 . 因为， 所以异号，， 所以， 所以，. 故选：B. 变式2-3 . 【答案】0 【分析】利用根式化简，即可得到答案. 【解析】. 故答案为：0. 题型三、带限制条件的根式化简 典例3若，则的化简结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 所以. 故选：A 题型模版 1.特征：条件根式的化简的一般方法： (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简； (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负。 2.方法：对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可。 变式3-1若代数式有意义，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题可得，解得，又，所以， 则． 故选：B. 变式3-2若代数式有意义，则__________ 【答案】2 【解析】由题可得，解得，又，所以， 则． 故答案为：2. 变式3-3已知，，则的值为 ． 【答案】 【解析】由，，可得， 设，则，则， 解得，（舍去）， 故， 故答案为： 题型四、根式与分数指数幂的相互转化 典例4 （多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 题型模版 1.特征：①二维形式的柯西不等式是基础常用公式，表达式为，式中均为实数，当且仅当时，不等式取到等号。 ②二维柯西不等式衍生出三类常用变式，每一类都有对应的适用条件与等号成立要求，做题时可根据所求式子结构灵活选用。 第一类变式，式中均为实数，在时取等； 第二类变式，式中均为实数，满足时等号成立； 第三类变式，要求，时取等。 ③柯西不等式可以拓展到组实数的一般形式，公式为，当且仅当存在实数，使得时，等号成立，多用于多变量最值求解。 2.方法：观察不等式结构，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通过拆项、凑系数、分组变形，构造柯西标准结构。保证式子各项有意义、同序适配，利用柯西放缩建立大小关系。再验证等号成立条件，依据放缩结果即可判定不等式是否成立。 变式4-1下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 变式4-2（多选），下列运算（化简）中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：ABD． 变式4-3化简 . 【答案】 【分析】根式与分数指数幂运算法则计算. 【解析】. 故答案为： 题型五、利用分数指数幂运算性质化简求值 典例5 计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 题型模版 1.特征：根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 2.方法：指数幂运算的解题通法： (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数； (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答； (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一 变式5-1下列各式中成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 变式5-2（= 【答案】 【解析】 故答案为： 变式5-3化简求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式. 题型六、整体代换法处理分数指数幂 典例6 化简求值：若，求下列各式的值： （1） ； （2）. 【答案】（1）7；（2）-1 【解析】（1）∵，∴，即，∴， ∴. （2）当时，设，则，即，∴， 又∵，∴，∴. ∴或. 题型模版 1.特征：对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 2.方法：解决条件求值问题的一般方法： 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a＞0，b＞0)： (1)a±2＋b＝(±)2；(2)a－b＝(＋)(－)； (3) ＋＝(＋)(a－＋b)；(4) －＝(－)(a＋＋b). 变式6-1若， 则的值为（  ） A．8 B．16 C．2 D．18 【答案】D 【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可. 【解析】解：因为， 所以. 故选：D． 变式6-2（多选）已知实数满足，下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 变式6-2已知，，则的值为 . 【答案】/ 【解析】因为，两边平方得，所以， 因为，所以，，所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 题型七、与其他章节融合 典例7 若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【解析】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为 题型模版 1.特征：条件含有指数等量关系式。 2.方法：通过指数运算构建等量关系式，然后利用基本不等式求解。 变式7-1已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解析】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 变式7-2已知，则的最小值为__________. 【答案】18 【解析】易知，由可得； 当且仅当时，即时，等号成立； 因此的最小值为18. 故答案为：18 变式7-3.实数、、满足，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．化简（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用根式化简，即可得到答案. 【解析】， 故选：D． 2．若代数式有意义，则（  ） A．1       B．2       C．3       D．4 【答案】C 【解析】由题意得：，解得：， 故， 故选：C 3．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合指数幂的运算法则计算即可得. 【解析】由题意可得，视力4.9的视标边长约为： cm. 故选：A. 4．已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【解析】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 5．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】由题意 . 故选：A 6．设，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得①；由得②．得，得 故选：D 7．（多选）下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【解析】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 8．（多选）在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（  ） A．(x)0.5=- (x≠0) B．= C．= (xy>0) D．= 【答案】BC 【解析】对于A，(x)0.5和必有一个无意义，错误; 对于B，，正确; 对于C，因为xy>0，则，正确; 对于D，，错误． 故选：BC． 9．（多选）已知实数a满足，下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 10．，则实数a的取值范围为_________  【答案】 【解析】由题设得，，所以 所以，． 故答案为： 11．若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【解析】因为，所以， 所以． 故答案为： 12．已知，，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，两边平方得，所以， 因为，所以，，所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 13．计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)100；(3)；（4） 【解析】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 14．已知，求下列各式的值： (1)；(2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【解析】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 指数七类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据根式意义确定取值或取值范围 题型二、运用根式性质化简或计算 题型三、带限制条件的根式化简 题型四、根式与分数指数幂的相互转化 题型五、利用分数指数幂运算性质化简求值 题型六、整体代换法处理分数指数幂 题型七、与其他章节的融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 指数问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕根据根式意义确定取值或取值范围、运用根式性质化简或计算、带限制条件的根式化简、根式与分数指数幂的相互转化、利用分数指数幂运算性质化简求值、整体代换法处理分数指数幂、与其他章节的融合七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是根式与分数指数幂的相互转化；二是根式、分数指数幂运算性质化简求值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据根式意义确定取值或取值范围 典例1 ，则实数a的取值范围为_________  题型模版 1.特征：根式意义： （1）当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 （2）当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 2.方法：利用偶次根式被开方数大于等于0建立不等式（组）求解． 变式1-1当有意义时，化简的结果是（  ） A． B． C． D． 变式1-2.若有意义，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式1-3求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 类型二、运用根式性质化简或计算 典例2 已知，且，化简二次根式的正确结果是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：根式化简的思想和注意点： (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的； (2)化简根式时需注意：在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数。 2.方法：此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。 变式2-1已知实数满足，则（  ） A． B． C． D． 变式2-2若，则化简的结果是（  ） A．-1 B．0 C．1 D．2 变式2-3 . 题型三、带限制条件的根式化简 典例3若，则的化简结果是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：条件根式的化简的一般方法： (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简； (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负。 2.方法：对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可。 变式3-1若代数式有意义，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-2若代数式有意义，则__________ 变式3-3已知，，则的值为 ． 题型四、根式与分数指数幂的相互转化 典例4 （多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：①二维形式的柯西不等式是基础常用公式，表达式为，式中均为实数，当且仅当时，不等式取到等号。 ②二维柯西不等式衍生出三类常用变式，每一类都有对应的适用条件与等号成立要求，做题时可根据所求式子结构灵活选用。 第一类变式，式中均为实数，在时取等； 第二类变式，式中均为实数，满足时等号成立； 第三类变式，要求，时取等。 ③柯西不等式可以拓展到组实数的一般形式，公式为，当且仅当存在实数，使得时，等号成立，多用于多变量最值求解。 2.方法：观察不等式结构，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通过拆项、凑系数、分组变形，构造柯西标准结构。保证式子各项有意义、同序适配，利用柯西放缩建立大小关系。再验证等号成立条件，依据放缩结果即可判定不等式是否成立。 变式4-1下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 变式4-2（多选），下列运算（化简）中正确的有（  ） A． B． C． D． 变式4-3化简 . 题型五、利用分数指数幂运算性质化简求值 典例5 计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 题型模版 1.特征：根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 2.方法：指数幂运算的解题通法： (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数； (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答； (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一 变式5-1下列各式中成立的是（  ） A． B． C． D． 变式5-2（= 变式5-3化简求值： (1)； (2)； (3). 题型六、整体代换法处理分数指数幂 典例6 化简求值：若，求下列各式的值： （1） ； （2）. 题型模版 1.特征：对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 2.方法：解决条件求值问题的一般方法： 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a＞0，b＞0)： (1)a±2＋b＝(±)2；(2)a－b＝(＋)(－)； (3) ＋＝(＋)(a－＋b)；(4) －＝(－)(a＋＋b). 变式6-1若， 则的值为（  ） A．8 B．16 C．2 D．18 变式6-2（多选）已知实数满足，下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 变式6-2已知，，则的值为 . 题型七、与其他章节融合 典例7 若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：条件含有指数等量关系式。 2.方法：通过指数运算构建等量关系式，然后利用基本不等式求解。 变式7-1已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 变式7-2已知，则的最小值为__________. 变式7-3.实数、、满足，，则的最小值是 . 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．化简（  ） A． B． C．2 D． 3．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（  ） A． B． C． D． 4．已知，则（  ） A． B． C． D． 5．计算：（ ） A． B． C． D． 6．设，那么（  ） A． B． C． D． 7．（多选）下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（  ） A．(x)0.5=- (x≠0) B．= C．= (xy>0) D．= 9．（多选）已知实数a满足，下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 10．，则实数a的取值范围为_________  11．若，则___________．（用m，n表示） 12．已知，，则的值为 . 13．计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 14．已知，求下列各式的值： (1)；(2) 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $