专题15平行线知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题15平行线知题通关讲义 知识点 01 平行线的定义与表示 1.定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.关键前提：必须限定同一平面内，空间中不相交的直线不一定平行。 3.符号表示：直线a平行于直线b，记作a b，读作a平行于b。 4.补充说明： 线段、射线平行，指它们所在的直线互相平行； 同一平面内两条直线的位置关系只有两种：相交、平行 知识点 02 三线八角（判定、平行线性质的基础） 1. 构成条件 一条直线（截线）截另外两条直线（被截线），共形成 8 个角，统称三线八角。 2. 三类角特征对比表 重要提醒 判断这三类角只看位置，和角的大小无关；只有两条被截直线平行时，三类角才存在固定数量关系。 知识点 03 平行线两条基本事实（公理） 基本事实 1：平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 基本事实 2：平行公理推论（平行传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 几何语言：若ab，bc，则ac。 知识点04:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点 06 判定与性质对比区分（高频考点表格） 知识点07平行线画法（一靠、二移、三画） 1.三角尺一边贴已知直线； 2.直尺靠紧三角尺另一边； 3.沿直尺平移三角尺； 4.沿三角尺直角边画直线，即为平行线。 知识点08.两条平行线间的距离 1.定义 两条平行线中，一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离。 2.重要性质 两条平行线间的距离处处相等。 3.与点到直线距离的关系 平行线间的距离，本质就是一条直线上任意一点到另一条直线的距离 1、平行线定义遗漏同一平面内前提 易错提醒：平行线定义为同一平面内不相交的两条直线；解题不可省略“同一平面内”这一限定，空间当中互不相交的直线不一定互相平行。 2、平行公理适用条件判断错误 易错提醒：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；该点必须位于已知直线外部，若点在已知直线上，则无法画出该直线的平行线。 3、三线八角类型识别错误 易错提醒：识别同位角、内错角、同旁内角时，先确定截线与两条被截直线；角的类别依据截线进行判断，不能参照被截直线判定，避免角的类型识别出错。 4、平行线判定定理与性质定理因果混淆 易错提醒：判定定理由角的数量关系推导两直线平行；性质定理由两直线平行推导角的数量关系；两类定理推导方向相反，解题时禁止互相混用。 5、利用角的关系判定平行缺少三线前提 易错提醒：通过同位角相等、内错角相等、同旁内角互补判定平行时，两角必须是两条被截直线被同一条截线所截形成；不能直接使用任意一组同位角相等判定两直线平行。 6、同旁内角性质结论记忆错误 易错提醒：两直线平行，则同旁内角互补；不可错误记为同旁内角相等，防止角度计算结果出错。 7、复杂图形中三线八角对应关系找错 易错提醒：含有多条直线的复杂图形中识别角时，剔除无关干扰直线；只保留一条截线与两条被截直线进行分析，排除多余线条带来的判断干扰。 8、平行线无图角度计算出现漏解 易错提醒：题干未给出几何图形的平行线角度计算题，应当考虑多种位置情况；不可局限于单一图形位置进行运算，避免出现漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 平面内两直线的位置关系 ★ 题型二 立体图形中平行的棱 ★ 题型三 用直尺、三角板画平行线 ★ 题型四 平行公理的应用 ★★ 题型五 平行公理推论的应用 ★★ 题型六 同位角相等两直线平行 ★★ 题型七 内错角相等两直线平行 ★★ 题型八 同旁内角互补两直线平行 ★★ 题型九 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 ★★ 题型十 两直线平行同位角相等 ★★ 题型十一 两直线平行内错角相等 ★★ 题型十二 两直线平行同旁内角互补 ★★ 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 ★★★ 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 ★★★ 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 ★★ 题型十六 根据平行线判定与性质求角度  ★★★ 题型十七 根据平行线判定与性质证明 ★★★ 题型十八 同位角、内错角、同旁内角 ★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 平面内两直线的位置关系 1．在同一平面内，两直线可能的位置关系是（     ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 2．下图中一定相交的是（） A． B．C．D． 3．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是______． 题型二 立体图形中平行的棱 4．一个四棱柱的棱中，平行的棱至少有（   ）对． A．2 B．4 C．6 D．10 5．在正方体中，与棱平行的棱有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有_________条． 题型三 用直尺、三角板画平行线 7．如图，给出了过已知直线外一点，作已知直线的平行线的方法，其依据是___________．    8．已知直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是__________；其依据是_____________． 9．过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 平行公理的应用 10．三条直线a、b、c，若，则a与c的位置关系是（     ）． A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 11．我国体育代表团在第二十五届冬奥会中取得了优异成绩，充分展现了中国冰雪健儿的风采．如图为滑雪比赛的精彩瞬间，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为______________． 12．如图①所示，是工程中画平行线的工具．在画平行线之前，先通过调整中间螺丝的松紧来调整横板与竖板的夹角，使其呈直角，如图②所示；再根据调整好的工具中的横板画平行线即可，如图③所示．其中画平行线的数学道理，下列解释不合理的是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型五 平行公理推论的应用 13．如图，，则与的位置关系是（    ）    A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 14．如图，小刀的刀柄是一个直角梯形(挖去一个半圆)，刀片上下两边和平行，转动刀片到如图所示的位置，则的度数为(　　)    A． B． C． D． 15．如图1，，是直线上方一点． （1）写出，，之间的数量关系：________________． （2）如图2，为直线，之间一点，，，写出，之间的数量关系：________________． 题型六 同位角相等两直线平行 16．如图所示，请添加一个条件，使．则添加的条件为__________． 17．如图，某学员在练车场练习驾驶小轿车．一开始向左拐弯行驶一段距离后，再向右拐弯．经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向_______（填“相同”或“不同”）． 18．如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 题型七 内错角相等两直线平行 19．如图，由，得，其根据是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 20．如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么_____∥_____，判断依据是_____． 21．如图，下列所给的条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 题型八 同旁内角互补两直线平行  22．如图，已知，要使，则需具备另一个条件（    ） A． B． C． D． 23．如图，是边延长线上一点，点为三角形外一点，连接，要使，可以添加的条件是________．（写出一个即可） 24．如图，点，分别是线段，上的点，若，以下判断正确的是（     ） A． B． C． D． 题型九 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 25．在同一平面上，有三条直线，如果，则直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．以上都不对 26．若直线a、b、c、d在同一平面内，且，，，则（    ） A． B． C． D． 27．在同一平面内有直线，，，，，…，按此规律，那么与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．无法判断 题型十 两直线平行同位角相等 28．如图，直线，直线分别交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 29．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为________ 30．如图，已知，，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十一 两直线平行内错角相等 31．如图，，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 32．如图，，，若，则的大小为__________． 33．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十二 两直线平行同旁内角互补 34．如图，，点在的延长线上，则（    ） A． B． C． D． 35．如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为___________． 36．如图，在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 37．如图，直线，被直线，所截，，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 38．如图，直线，，分别是和的角平分线，则和之间的大小关系一定为（     ） A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 39．如图，直线，，，则___________ 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 40．将含角的直角三角板和直尺按如图方式摆放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 41．如图，，直线交于点，交于点平分，交于点，，则等于__________． 42．将一副三角板中的两块直角三角板如图所示放置，已知，，，，．则（     ） A． B． C． D． 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 43．如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则的度数是（     ） A． B． C． D． 44．某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度和第三次转过的角度分别为、，则第二次拐弯角（）的度数是__________． 45．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，，．若，则的度数为（   ） A．15° B．65° C．70° D．115° 题型十六 根据平行线判定与性质求角度 46．如图是苏州园林里的一扇花窗，其中某一处可以抽象成右图的五边形，则（     ） A． B． C． D． 47．如图，若，，，则______． 48．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十七 根据平行线判定与性质证明 49．下列推理，错误的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 50．如图，已知，要判定，则可以补充的一个条件为_____． 51．如图，，，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型十八 同位角、内错角、同旁内角 52．如图1，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，由竖立的架子加上一根细长的杠杆组成．图2是桔槔的简易装置示意图，与构成同位角的是（     ） A． B． C． D． 53．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 54．如图所示，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 解答题 1．根据下列语句，利用所给画出图形． (1)过的顶点C，画出平行于的直线； (2)过的边的中点D，画出平行于的直线，交于点E． 2．已知：如图，四边形，交的延长线于点G，垂足为M．E是边上的一点，交于点F，垂足为N，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 3．数学源于生活，某学校电动伸缩门如图1所示，图2是从图1中抽象出的几何图形．图2中，，，那么吗？以下是解答过程，请将步骤和理由补充完整． 解：因为（已知）， 所以（_________）． 因为（已知）， 所以（_________）（等量代换）， 所以（_________）（_________）， 所以（________）． 4．如图（1），直线、被直线所截，平分，平分，且． (1)求证：； (2)过点作直线如图（2），点为直线上一点，当时，直接写出的度数． 5．如图，已知直线，直线c与a，b分别相交于点C，D，点P在直线c上，点A，B分别是直线a，b上的点，设，，． (1)如图①，如果，，求的度数； (2)在图①中，若点P在线段上移动（C，D两点除外），，，之间的关系是什么？请说明理由； (3)若点P移动到线段外时（C，D两点除外），（2）中，，之间的关系还成立吗？请画出图形并直接写出结论． 6．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证： (2)如图2．直线，交于点，且， ． ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交于点，若，，则的度数为 （用含的式子表示）． 7．如图，直线，与a，b分别相交于点A，B，且，交直线b于点C．    (1)若，求的度数； (2)若，求直线a与b的距离． 8．如图，点E，C分别在射线，上，，． (1)求证：； (2)如图1，，点G，F在，上，连接，，若，，，设． ①求四边形的面积（用含的式子表示）； ②当时，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15平行线知题通关讲义 知识点 01 平行线的定义与表示 1.定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.关键前提：必须限定同一平面内，空间中不相交的直线不一定平行。 3.符号表示：直线a平行于直线b，记作a b，读作a平行于b。 4.补充说明： 线段、射线平行，指它们所在的直线互相平行； 同一平面内两条直线的位置关系只有两种：相交、平行 知识点 02 三线八角（判定、平行线性质的基础） 1. 构成条件 一条直线（截线）截另外两条直线（被截线），共形成 8 个角，统称三线八角。 2. 三类角特征对比表 重要提醒 判断这三类角只看位置，和角的大小无关；只有两条被截直线平行时，三类角才存在固定数量关系。 知识点 03 平行线两条基本事实（公理） 基本事实 1：平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 基本事实 2：平行公理推论（平行传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 几何语言：若ab，bc，则ac。 知识点04:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点 06 判定与性质对比区分（高频考点表格） 知识点07平行线画法（一靠、二移、三画） 1.三角尺一边贴已知直线； 2.直尺靠紧三角尺另一边； 3.沿直尺平移三角尺； 4.沿三角尺直角边画直线，即为平行线。 知识点08.两条平行线间的距离 1.定义 两条平行线中，一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离。 2.重要性质 两条平行线间的距离处处相等。 3.与点到直线距离的关系 平行线间的距离，本质就是一条直线上任意一点到另一条直线的距离 1、平行线定义遗漏同一平面内前提 易错提醒：平行线定义为同一平面内不相交的两条直线；解题不可省略“同一平面内”这一限定，空间当中互不相交的直线不一定互相平行。 2、平行公理适用条件判断错误 易错提醒：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；该点必须位于已知直线外部，若点在已知直线上，则无法画出该直线的平行线。 3、三线八角类型识别错误 易错提醒：识别同位角、内错角、同旁内角时，先确定截线与两条被截直线；角的类别依据截线进行判断，不能参照被截直线判定，避免角的类型识别出错。 4、平行线判定定理与性质定理因果混淆 易错提醒：判定定理由角的数量关系推导两直线平行；性质定理由两直线平行推导角的数量关系；两类定理推导方向相反，解题时禁止互相混用。 5、利用角的关系判定平行缺少三线前提 易错提醒：通过同位角相等、内错角相等、同旁内角互补判定平行时，两角必须是两条被截直线被同一条截线所截形成；不能直接使用任意一组同位角相等判定两直线平行。 6、同旁内角性质结论记忆错误 易错提醒：两直线平行，则同旁内角互补；不可错误记为同旁内角相等，防止角度计算结果出错。 7、复杂图形中三线八角对应关系找错 易错提醒：含有多条直线的复杂图形中识别角时，剔除无关干扰直线；只保留一条截线与两条被截直线进行分析，排除多余线条带来的判断干扰。 8、平行线无图角度计算出现漏解 易错提醒：题干未给出几何图形的平行线角度计算题，应当考虑多种位置情况；不可局限于单一图形位置进行运算，避免出现漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 平面内两直线的位置关系 ★ 题型二 立体图形中平行的棱 ★ 题型三 用直尺、三角板画平行线 ★ 题型四 平行公理的应用 ★★ 题型五 平行公理推论的应用 ★★ 题型六 同位角相等两直线平行 ★★ 题型七 内错角相等两直线平行 ★★ 题型八 同旁内角互补两直线平行 ★★ 题型九 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 ★★ 题型十 两直线平行同位角相等 ★★ 题型十一 两直线平行内错角相等 ★★ 题型十二 两直线平行同旁内角互补 ★★ 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 ★★★ 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 ★★★ 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 ★★ 题型十六 根据平行线判定与性质求角度  ★★★ 题型十七 根据平行线判定与性质证明 ★★★ 题型十八 同位角、内错角、同旁内角 ★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 平面内两直线的位置关系 1．在同一平面内，两直线可能的位置关系是（     ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 【答案】C 【详解】解：在同一平面内，两直线的位置关系是相交或平行（其中，垂直是相交的特例）． 2．下图中一定相交的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，线段不延伸， A项，射线沿方向延伸，与直线不相交， B项，射线沿方向延伸，与直线相交， C项，射线沿方向延伸，与线段不相交， D项，直线虽无限延伸，但与线段无公共点． 3．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是______． 【答案】（或垂直） 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（或垂直）． 【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 题型二 立体图形中平行的棱 4．一个四棱柱的棱中，平行的棱至少有（   ）对． A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据四棱柱的性质，即可求解． 【详解】解：四棱柱的侧棱互相平行，各个侧面都是平行四边形，当底面的四条棱互不平行时，平行棱的对数最少， 如图，在四棱柱中，，，，，，，，，，，共有对， ∴一个四棱柱的棱中，平行的棱至少有对． 故选：D． 5．在正方体中，与棱平行的棱有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查正方体的棱的平行关系，解题关键是明确正方体中棱的平行对应规律． 正方体中，棱属于一组平行棱，该组共有4条棱，除去自身，有3条棱与平行． 【详解】解：∵在正方体中，与平行的棱为、、． ∴与棱平行的棱有3条． 故选：C． 6．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有_________条． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．平行六面体的侧棱互相平行，因此与一条侧棱平行的棱只有其他三条侧棱． 【详解】解：平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，其侧棱均互相平行．对于任意一条侧棱，其余三条侧棱与之平行，故与它平行的棱共有3条． 故答案为：3． 题型三 用直尺、三角板画平行线 7．如图，给出了过已知直线外一点，作已知直线的平行线的方法，其依据是___________．    【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】如图，由作法可知， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行    【点睛】本题考查了平行线的作法，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解答本题的关键． 8．已知直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是__________；其依据是_____________． 【答案】 经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是画平行线，平行线的判定，根据画平行线的方法可得答案． 【详解】解：直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；其依据是同位角相等，两直线平行； 故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；同位角相等，两直线平行； 9．过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移法画平行线的原理，三角板需有一条边贴合截线，另一条边贴合已知直线． 【详解】解：要求过点画直线的平行线，且通过将三角板从点处沿着直线平移画出， 在点处，三角板的一条边应与直线重合，另一条边应与直线重合， ，且三角板含有角（即另一个锐角为）， 三角板在点处的角应为，即三角板的角顶点在，两边分别与、重合， 观察各选项，只有C选项符合． 题型四 平行公理的应用 10．三条直线a、b、c，若，则a与c的位置关系是（     ）． A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行． 根据平行公理的推论直接得出结论． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 11．我国体育代表团在第二十五届冬奥会中取得了优异成绩，充分展现了中国冰雪健儿的风采．如图为滑雪比赛的精彩瞬间，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为______________． 【答案】 【分析】过点C作，得到，推出，，由即可求解． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 12．如图①所示，是工程中画平行线的工具．在画平行线之前，先通过调整中间螺丝的松紧来调整横板与竖板的夹角，使其呈直角，如图②所示；再根据调整好的工具中的横板画平行线即可，如图③所示．其中画平行线的数学道理，下列解释不合理的是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和推论依次判断即可． 【详解】解：选项A：两个横板与竖板形成的同位角都是，符合同位角相等，两直线平行的原理，解释合理，不符合题意； 选项B：两个横板与竖板形成的同旁内角和为，符合同旁内角互补，两直线平行的原理，解释合理，不符合题意； 选项C：“过一点，有且只有一条直线与已知直线平行”的前提是这个点在已知直线外，且该定理描述的是过定点作平行线的唯一性，并不是这个工具画出两条平行线的依据，解释不合理，符合题意； 选项D：两个横板都垂直于同一条竖板，符合同一平面内垂直于同一直线的两直线平行的原理，解释合理，不符合题意． 题型五 平行公理推论的应用 13．如图，，则与的位置关系是（    ）    A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据平行线公理的推论：平行于同一条直线的两直线互相平行写出答案即可． 【详解】∵， ∴，即与的位置关系是平行． 故选：B． 【点睛】此题重点考查学生对平行线公理的推论的理解，熟练掌握平行线公理的推论是解题的关键． 14．如图，小刀的刀柄是一个直角梯形(挖去一个半圆)，刀片上下两边和平行，转动刀片到如图所示的位置，则的度数为(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点E作，则．所以根据平行线的性质将转化为来解答即可． 【详解】解：如图，过点E作，则P． ∵， ∴， ∴， ∵刀柄外形是一个直角梯形， ∴， ∴ ． 故选：C．    【点睛】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，掌握平行线的性质定理是解题的关键． 15．如图1，，是直线上方一点． （1）写出，，之间的数量关系：________________． （2）如图2，为直线，之间一点，，，写出，之间的数量关系：________________． 【答案】 【分析】（1）如图1，过点E作，证明，得到，根据角的和差计算即可； （2）如图2，过点E作，过点F作，证明，证明．证明，可得，进而可知． 【详解】解：（1）如图1，过点E作， ， ． ， ， ， ， ， ． （2）如图2，过点E作，过点F作， ，， ， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， ． 题型六 同位角相等两直线平行 16．如图所示，请添加一个条件，使．则添加的条件为__________． 【答案】或或（答案不唯一） 【详解】解：添加，则； 添加，则； 添加，则． 17．如图，某学员在练车场练习驾驶小轿车．一开始向左拐弯行驶一段距离后，再向右拐弯．经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向_______（填“相同”或“不同”）． 【答案】相同 【分析】本题考查了平行线的判定，根据图形可知两次拐弯得到的角属于同位角； 两次拐弯得到的角都是，再根据同位角相同，两直线平行，即可解题． 【详解】解：根据图意，由同位角相同，两直线平行可知，经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向相同． 故答案为：相同． 18．如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握同位角相等两直线平行． 判断两个角是否是同位角，即可判断推理是否正确． 【详解】解：A、和是同位角，，故，A选项推理正确，不符合题意； B、和不是同位角，由不能得到，所以B选项推理错误，符合题意； C、∵，， 且，， ∴， ∴，C选项推理正确，不符合题意； D、和是同位角，，故，D选项推理正确，不符合题意． 故选：B． 题型七 内错角相等两直线平行 19．如图，由，得，其根据是（     ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 20．如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么_____∥_____，判断依据是_____． 【答案】 AB CD 内错角相等，两直线平行(答案不唯一) 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】∵∠1+∠3+∠ABD＝180°，∠1＝56°，∠3＝80°， ∴∠ABD＝180°﹣56°﹣80°＝44°， ∵∠2＝44°， ∴∠2＝∠ABD， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 21．如图，下列所给的条件中，能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不能得到直线，不符合题意； B、，不能得到直线，不符合题意； C、，不能得到直线，不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，能判断直线，符合题意. 题型八 同旁内角互补两直线平行  22．如图，已知，要使，则需具备另一个条件（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定，只要满足同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，都能得出两直线平行． 【详解】解：，， ， （同旁内角互补，两直线平行），故A正确； 为邻补角，不能判断，故B错误； 为邻补角，不能判断，故C错误； 为对顶角，不能判断，故D错误． 23．如图，是边延长线上一点，点为三角形外一点，连接，要使，可以添加的条件是________．（写出一个即可） 【答案】；；（写出一个即可） 【分析】利用平行线判定的性质进行判定即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴． 24．如图，点，分别是线段，上的点，若，以下判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得结果． 【详解】解：和是和被所截形成的同旁内角，， ． 题型九 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 25．在同一平面上，有三条直线，如果，则直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行进行求解即可． 【详解】解：∵在同一平面上，有三条直线，， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行是解题的关键． 26．若直线a、b、c、d在同一平面内，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记同时垂直与同一直线的两直线平行是解题关键． 27．在同一平面内有直线，，，，，…，按此规律，那么与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．无法判断 【答案】A 【分析】此题考查规律的探索，能找出其中的规律的解题的关键．根据，，，，．．．寻找规律解答． 【详解】解：，， 按此规律， 又 以此类推： ∴ ∵ ∴ ∵ 故选A． 题型十 两直线平行同位角相等 28．如图，直线，直线分别交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据“两直线平行，同位角相等”可得，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：如下图， ∵ ∴， ∴． 29．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为________ 【答案】 【分析】根据生活常识，直尺的两边平行，利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等，将移到直尺的另一侧，再通过角度和差计算即可． 【详解】解：如图标注，，记直尺的两长边分别为a，b， 由题意，得，， ∴， ∴． 30．如图，已知，，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和平角的定义，进行解答即可． 【详解】解：， ． ， ， ， ． 题型十一 两直线平行内错角相等 31．如图，，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的定义得出，根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 32．如图，，，若，则的大小为__________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再结合垂直定义，求出． 【详解】解：， ． 又， ． ． 33．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， ， ， ， ， ． 题型十二 两直线平行同旁内角互补 34．如图，，点在的延长线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 35．如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为___________． 【答案】40 【分析】利用两直线平行同旁内角互补及入射角等于反射角，求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵入射角反射角， ∴． 36．如图，在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 题型十三 根据平行线的性质探究角的关系 37．如图，直线，被直线，所截，，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图， A．无法判断和的大小，故本选项错误，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故本选项正确，符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴，但无法判断与相等，故本选项错误，不符合题意； D．无法判断与的大小，故本选项错误，不符合题意． 38．如图，直线，，分别是和的角平分线，则和之间的大小关系一定为（     ） A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据判断和互补，再根据，分别是和的角平分线，求得，据此得出和互余． 【详解】解： 又，分别是和的角平分线， ， ， 和互余． 39．如图，直线，，，则___________ 【答案】 【分析】过点作，过点作，利用两直线平行内错角相等拆分角，结合二倍角条件，推导两角的数量关系． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ，， ，， ，，， ，， ，，，， ，， ， ， ， ． 题型十四 根据平行线的性质求角的度数 40．将含角的直角三角板和直尺按如图方式摆放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质可得，求出，再结合对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∴， ∴， ∴． 41．如图，，直线交于点，交于点平分，交于点，，则等于__________． 【答案】/65度 【分析】根据邻补角的定义求出的度数，利用角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求出的度数． 【详解】解：∵，与互为邻补角， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 42．将一副三角板中的两块直角三角板如图所示放置，已知，，，，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作 ， ， ， ， ， ， ． 题型十五 平行线的性质在生活中的应用 43．如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向， ∴， ∵， ∴． 44．某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度和第三次转过的角度分别为、，则第二次拐弯角（）的度数是__________． 【答案】 【分析】过拐点作，根据平行线的性质分别求出、的度数，根据即可求解． 【详解】解：如图，过作， ∵最后行车路线与开始的路线相互平行， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 45．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，，．若，则的度数为（   ） A．15° B．65° C．70° D．115° 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，最后根据即可求解． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 题型十六 根据平行线判定与性质求角度 46．如图是苏州园林里的一扇花窗，其中某一处可以抽象成右图的五边形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，则，然后根据两直线平行内错角相等求得，由邻补角的定义可求得，最后根据两直线平行同位角相等即可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， 则， 由题意可知，，，， ∴，， ∴，， ∴． 47．如图，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据 判定两直线平行，再根据两直线平行，同旁内角互补求出． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 48．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和判定得到角之间的数量关系． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十七 根据平行线判定与性质证明 49．下列推理，错误的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和性质，逐一判断各选项，可得到结果． 本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 【详解】解：A．如果，根据内错角相等，两直线平行，则，故推理正确，不符合题意； B．如果，根据同旁内角互补，两直线平行，则，故推理正确，不符合题意； C．如果，根据两直线平行，同位角或内错角相等，应得到或，故原推理错误，符合题意； D．如果，根据两直线平行，同位角相等，则，故推理正确，不符合题意． 故选：C． 50．如图，已知，要判定，则可以补充的一个条件为_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质即可解答． 【详解】解：可以补充条件：，理由如下： 延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 51．如图，，，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据同旁内角互补判定 ，从而判断①；根据平行线的性质判断②；根据平行线的性质和已知条件判定 ，从而判断③；根据平行线的性质和角平分线的定义判断④． 【详解】解：① ，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 题型十八 同位角、内错角、同旁内角 52．如图1，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，由竖立的架子加上一根细长的杠杆组成．图2是桔槔的简易装置示意图，与构成同位角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【详解】解：A、与构成内错角，不符合题意； B、与构成同旁内角，不符合题意； C、与构成同位角，符合题意； D、与构成同旁内角，不符合题意． 53．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 54．如图所示，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可． 【详解】解：：①与是对顶角，原说法正确； ②与是同旁内角，原说法正确； ③与是邻补角，原说法错误； ④与是内错角，原说法正确， 故正确的是①②④． 解答题 1．根据下列语句，利用所给画出图形． (1)过的顶点C，画出平行于的直线； (2)过的边的中点D，画出平行于的直线，交于点E． 【答案】(1)解：画图如下： (2)解：画图如下： 【分析】（1）利用三角尺，根据平行线的判定，画图即可； （2）先确定边的中点D，根据平行线的判定，画图即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 2．已知：如图，四边形，交的延长线于点G，垂足为M．E是边上的一点，交于点F，垂足为N，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． (2) 【分析】（1）先说明，可得，进而得出，然后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案； （2）先根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据可得，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． 即． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． 3．数学源于生活，某学校电动伸缩门如图1所示，图2是从图1中抽象出的几何图形．图2中，，，那么吗？以下是解答过程，请将步骤和理由补充完整． 解：因为（已知）， 所以（_________）． 因为（已知）， 所以（_________）（等量代换）， 所以（_________）（_________）， 所以（________）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】根据平行线的判定和性质，推出，进而根据同旁内角互补即可得出． 【详解】略 4．如图（1），直线、被直线所截，平分，平分，且． (1)求证：； (2)过点作直线如图（2），点为直线上一点，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：平分，平分， ，， ， ， ； (2)或 【分析】（1）根据角平分线定义求出，，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）分为两种情况，画出图形，根据平行线的性质求出即可． 平行线的性质有两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之即是平行线的判定． 【详解】（1）略 （2）解： 分为两种情况：如图（1）， ，， ， ，， ， ； 如图（2）， ，， ， ，， ， ． 5．如图，已知直线，直线c与a，b分别相交于点C，D，点P在直线c上，点A，B分别是直线a，b上的点，设，，． (1)如图①，如果，，求的度数； (2)在图①中，若点P在线段上移动（C，D两点除外），，，之间的关系是什么？请说明理由； (3)若点P移动到线段外时（C，D两点除外），（2）中，，之间的关系还成立吗？请画出图形并直接写出结论． 【答案】(1) (2)解：．理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴； (3)①当点在线段的延长线上时，． ②当点在线段的延长线上时，． 【分析】（1）过点作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论； （2）同（1）； （3）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴； ∵，， ∴ （2）略 （3）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证： (2)如图2．直线，交于点，且， ． ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交于点，若，，则的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】(1)证明：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； (2)①；② 【分析】（1）过作，通过平行线的性质证明角度关系式； （2）①过作，设未知数，利用第一问的结论推导与的数量关系；②结合平行线的性质，三角形外角性质代入化简即可． 【详解】（1）略 （2）①解：如图，过作， ∵， ， ∴设，，，， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； ②解：如图，过作， ∵， ∴， ∵， ∴， 由①知，， ∴． 7．如图，直线，与a，b分别相交于点A，B，且，交直线b于点C．    (1)若，求的度数； (2)若，求直线a与b的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，垂直的意义计算即可； （2）根据直角三角形的面积公式，平行线件的距离计算即可，本题考查了平行线的性质，平行线间的距离，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图，过点A作于点D， ∵，， ∴， 解得， 即直线a与b的距离为．    8．如图，点E，C分别在射线，上，，． (1)求证：； (2)如图1，，点G，F在，上，连接，，若，，，设． ①求四边形的面积（用含的式子表示）； ②当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②4 【分析】（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据和等量代换即可得证； （2）①连接，先根据平行线间的距离可得点到的距离为6，再根据四边形的面积为与的面积之和即可得； ②先利用梯形的面积公式求出四边形的面积，再根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ， ， ． （2）解：①如图，连接， ，，， 点到的距离为6， 的边上的高为6， ， ， ，，， 四边形的面积为； ②，， ， ，，， ， ，， ， 解得， 所以的长为4． 【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $