专题 6.5 多边形（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年苏科版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

本初中数学讲义聚焦多边形核心知识，系统梳理多边形概念、对角线（从顶点出发条数n-3、总条数n(n-3)/2）及正多边形定义，构建从基础概念到公式应用，再到截角问题、分割三角形等综合问题的学习支架。 资料通过★基础到★★培优分层题型设计，结合例题与变式训练，强化规律归纳（如截角问题分类讨论），培养抽象能力、推理意识与应用意识，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固提升、查漏补缺。

专题 6.5 多边形 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】多边形及相关概念 1 【知识点二】多边形的对角线 2 【知识点三】正多边形 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】多边形及其概念辨析 2 【★题型2】多边形的对角线与多边形边数关系 4 【★题型3】多边形的对角线与分得三角形关系 5 【★题型4】正多边形 6 （二）培优篇 7 【★★题型5】多边形截角问题 7 【★★题型6】多边形对角线与三角形关系问题 9 二．同步练习​ 12 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 12 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 18 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】多边形及相关概念 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形.这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点. 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角. 【知识点二】多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线 【特别提示】从n边形的一个顶点出发，能作（n-3） 条对角线；n边形的总对角线数为： 【知识点三】正多边形 各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】多边形及其概念辨析 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案． 解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意； 是四边形，是多边形，故选项B不符合题意； 不是多边形，故选项C符合题意； 是六边形，是多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查多边形的有关知识，熟练掌握多边形的定义是解题关键．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 解：A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故该选项不符合题意； C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； D．各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故该选错误，项符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是 ． 【答案】看图中有无直角 【分析】本题考查了多边形的概念与分类，根据题意，得出③④都是有直角的，①②都是无直角的，据此进行分析，即可作答． 解：∵题干的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②， ∴该分类的标准是看图中有无直角， 故答案为：看图中有无直角 【小结归纳】本题围绕多边形的定义、性质及分类展开概念辨析，解题核心在于紧扣多边形 “平面内由线段首尾顺次相接组成的封闭图形” 的本质特征，同时明确正多边形 “边相等且角相等” 的双重判定条件。 【★题型2】多边形的对角线与多边形边数关系 【例题2】（23-24七年级上·陕西渭南·月考）若过边形的一个顶点有7条对角线，过边形的一个顶点有3条对角线．求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，多边形对角线条数问题，根据边形一个顶点可以引条对角线求出，据此代值计算即可． 解：∵过边形的一个顶点有7条对角线，过边形的一个顶点有3条对角线， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握对角线条数的计算方法是解题的关键． 一个边形从一个顶点处可以引出条对角线，由此计算即可． 解：一个边形从一个顶点处可以引出条对角线， ， ， 故选：． 【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·月考）边形过一个顶点的对角线有 条，则边形的对角线的条数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线的求法，边形过一个顶点的对角线有条，个顶点共有条对角线，其中有一半的对角线条数重复计算，除以即可求解，掌握过边形一个顶点有条对角线是解题的关键． 解：边形过一个顶点的对角线有条，则边形的对角线的条数为， 故答案为：，． 【小结归纳】 本题围绕多边形对角线与边数的数量关系展开计算，解题核心是牢记两个关键公式：一是从n边形一个顶点出发可作（n-3）条对角线，二是n边形的总对角线数为。 【★题型3】多边形的对角线与分得三角形关系 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形．求代数式的值． 【答案】代数式的值为125． 【分析】本题考查多边形的性质．由多边形的对角线条数，可以得到方程，解出数值代入代数式求值即可． 解：因为m边形从一个顶点发出的对角线有条，所以， 因为n边形没有对角线，所以， 因为过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形，所以， 所以． 故代数式的值为125． 【变式1】从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线，边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算． 解：∵从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形， ， ∴的值为． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·月考）若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形，则该多边形的总对角线条数为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握n边形的总对角线条数公式是解题的关键． 经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，由此求出多边形的边数，再根据n边形的总对角线条数公式计算即可． 解：若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形， 则这个多边形的边数为， 所以该多边形的总对角线条数为＝27（条）， 故答案为：27． 【小结归纳】 本题围绕多边形对角线与分割三角形个数的关联展开计算，解题核心是紧扣两个关键结论：一是从n边形一个顶点出发的对角线能将多边形分成（n-2）个三角形，二是从n边形一个顶点出发可作（n-3）条对角线。 【★题型4】正多边形 【例题4】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，牢记各边相等且各角相等是解题关键． 根据正多边形的定义逐一分析即可． 解：正多边形需同时满足各边相等和各角相等． ∵正三角形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故A错误； ∵平行四边形邻边不一定相等，邻角也不一定相等， ∴不一定是正多边形，故B错误； ∵正方形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故C正确； ∵各角相等的多边形边不一定相等（如矩形）， ∴不一定是正多边形，故D错误． 故选：C． 【变式】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 【小结归纳】 本题围绕正多边形的定义与性质展开辨析和计算，解题核心是紧扣正多边形 “各边相等、各角相等” 的双重判定条件。判定一个图形是否为正多边形时，需同时验证边和角的相等性，缺一不可。 （二）培优篇 【★★题型5】多边形截角问题 【★★例题5】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形，示意图见分析 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 解：如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 【变式2】（22-23七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点拨】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 【小结归纳】 本题围绕多边形截角问题展开，解题核心是根据截线的位置不同进行分类讨论，明确截角后多边形边数的变化规律。截去多边形一个角时，分三种情况：截线经过两个相邻顶点，边数减少 1；截线经过一个顶点和一条对边，边数不变；截线经过两条不相邻的边，边数增加 1。解题时需结合画图分析，通过数形结合的方式判断剩余图形的边数，尤其要注意截角问题的多解性，避免因遗漏情况导致答案不完整。 【★★题型6】多边形对角线与三角形关系问题 【★★例题6】（24-25七年级下·河南南阳·月考）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 （1）填空：______，______．（用含的式子表示） （2）过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】（1），；（2）能，这个多边形的边数为． 【分析】本题考查边形从多边形的一个顶点引出对角线的条数，从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数，一元一次方程的应用，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题的关键． （）由表格中的数据探求得出最终结果； （）把代入求出的值即可判断． 解：（1）解：由表格可知，，， 故答案为：，， （2）解：能，理由， 由题意得，， 当时，即， 解得：， ∴这个多边形的边数为． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． （1）三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ （2）若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 【答案】（1）有关系．题图①中，三角形的个数多边形的边数；题图②中，三角形的个数多边形的边数；题图③中，三角形的个数多边形的边数；（2）用上述三种方法分割边形所得三角形的个数分别为：，， 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、图形规律等知识点，掌握从特殊中发现规律，进而推广到一般成为解题的关键． （1）观察图形即可解答； （2）根据（1）所得的规律进行归纳即可解答． 解：（1）解：有关系，关系如下： 如图①中，三角形的个数多边形的边数； 如图②中，三角形的个数多边形的边数； 如图③中，三角形的个数多边形的边数． （2）解：结合特殊图形，可以发现： 如图①中，三角形的个数； 如图②中，三角形的个数； 如图③中，三角形的个数． 【变式2】（25-26七年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数 2 3 4 5 6 …… ②_____ （1）观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； （2）n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； （3）类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】（1）①，②；（2）；（3）44个 【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 解：（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 【小结归纳】 相关规律：从一个顶点出发的对角线条数为（n-3）、分割成的三角形个数为（n-2）、总对角线条数为，再利用这些规律解决填空、方程求解、实际应用等问题。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西运城·月考）在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 解：三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 2．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列说法中错误的有（   ） ①圆上任意两点A，B间的部分叫做扇形； ②一个角的度数为，则它的余角的度数为； ③正三角形，长方形和正方形都是正多边形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧的定义，正多边形的定义，求一个角的余角度数，角度制，根据弧的定义可判断A；度数之和为90度的两个角互余，据此可判断B；所有边长都相等的多边形叫做正多边形，据此可判断C；把，据此可判断D． 解：①圆上任意两点A，B间的部分叫做弧，原说法错误； ②一个角的度数为，则它的余角的度数为，原说法错误； ③正三角形，正方形都是正多边形，长方形不是正多边形； ④，原说法错误． ∴说法错误的有4个， 故选：D． 3．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 4．（25-26七年级上·四川达州·月考）连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出八条对角线，则这个多边形是（　　） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线数量问题，掌握多边形从个顶点可以引出条对角线是解题的关键． 根据多边形从一个顶点引出的对角线数量为即可求解． 解：∵从多边形的一个顶点可以引出八条对角线， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 5．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 【答案】12 【分析】设足球上黑皮有x块，则白皮为块，可得五边形的边数共有条，六边形边数有条．由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，可得白皮边数是黑皮边数的2倍，由此列出方程，即可求解． 解：设足球上黑皮有x块，则白皮为块， ∴五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系得：每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边， ∴白皮的边数为黑皮的2倍， ∴ 解得：， 答：白皮20块，黑皮12块． 故答案为：12 【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关键． 6．（21-22八年级上·四川绵阳·月考）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点拨】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 7．（25-26七年级上·陕西西安·月考）学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线．如图，过四边形的一个顶点可以作1条对角线，过五边形的一个顶点可以作2条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键．根据从一个多边形的一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十边形从一个顶点出发，可以画条对角线． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·广东茂名·月考）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成6个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查多边形的对角线；从一个n边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成个三角形，因此，求解即可． 解：根据多边形性质，从一个顶点引出的对角线将多边形分割成个三角形， 已知分割成6个三角形， 所以， 解得． 故答案为：8 三、解答题 9．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点． （1）数一数，上面三个多边形中每一个多边形各被分成了多少个三角形？ （2）总结一下，被分成的三角形的个数与多边形的边数有怎样的关系？ 【答案】（1）四边形被分成了个三角形，五边形被分成了个三角形，六边形被分成了个三角形；（2）以这种方式分割，边形被分成了个三角形，即被分成的三角形的个数与多边形的边数相等 【分析】本题通过观察不同边数的多边形，在内部取一点连接各顶点后形成三角形的个数，进而总结出三角形个数与多边形边数的关系． 解：（1）对于四边形，在其内部取一点，连接这一点与各顶点，可直接数出被分成了个三角形； 对于五边形，同样的操作，数出被分成了个三角形； 对于六边形，数出被分成了个三角形； 可以总结出：四边形被分成了个三角形，五边形被分成了个三角形，六边形被分成了个三角形． （2）由（1）中四边形被分成个三角形（边数，三角形个数）、五边形被分成个三角形（边数，三角形个数）、六边形被分成个三角形（边数，三角形个数） 可以总结出：以这种方式分割，边形被分成了个三角形，即被分成的三角形的个数与多边形的边数相等． 【点拨】本题考查了多边形的分割与三角形个数的关系，掌握通过观察特殊多边形被分割成三角形的个数，归纳出边形被分割后三角形个数与边数的关系是解题的关键． 10．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，在同一平面内有5个点． （1）请按下列要求作图：连接．你得到了一个怎样的图形？ （2）在（1）的条件下，所连线段相交组成的五边形共有多少条对角线？ 【答案】（1）画图见分析，得到的图形为五角星；（2）5条 【分析】本题主要考查了画线段，多边形对角线条数问题，正确结合题意以及线段的画法画出对应的图形是解题的关键： （1）根据线段的画法作图即可； （2）根据（1）所求画出对应五边形的对角线即可得到答案． 解：（1）解：如图所示，即为所求； 由图可知，得到的图形是一个五角星； （2）解：如图所示，所连线段相交组成的五边形共有5条对角线． 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条对角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线问题，根据过边形的一个顶点引出的对角线将该多边形分成个三角形分析即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成个三角形， 七边形共有对角线条数为：（条）， 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了2025个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】本题需要根据多边形过一个顶点的对角线分成三角形的个数与多边形边数的关系来求解． 解：设这个多边形的边数为 根据过边形的一个顶点的所有对角线把边形分成个三角形这一规律 已知过该多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了个三角形 所以可列方程： 移项可得． 故答案为：D． 【点拨】本题考查了多边形的对角线，掌握过边形的一个顶点的所有对角线把边形分成个三角形，利用这一规律建立方程求解多边形的边数是解题的关键． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分，将一个五边形进行三角剖分，共用多少种剖分方法（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查凸五边形的三角剖分方法数，解题的关键是：列举所有不相交的对角线组合，即可得出剖分方法总数． 解：如下图，五边形， 顶点A，可连接和， 同理，连接和；连接和；连接和；连接和； 所有可能的不相交对角线组合共有5种剖分方法， 故选：C． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）． 如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．受此启发，小广提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，画出n的值为5时对应的图形并数出对应的三角形个数，据此可得t的值等于2倍的m的值加上n的值减2． 解：如图所示，当时， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，． 故选：A． 二、填空题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 6．（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 解：把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点拨】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ． 【答案】216 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线．从n个顶点出发引出条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：，且n为整数，可得到m、n、p的值，进而可得答案． 解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线， ∴， 解得，； n边形没有对角线，； ∵五边形有p条对角线， ∴， 所以． 故答案为：216． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． （1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是 ； （2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数 ． 【答案】 122 【分析】本题主要考查多边形的性质、图形的规律等知识，发现从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为成为解题的关键． （1）由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答； （2）根据（1）得到的规律求得n的值即可． 解：（1）由图中可以看出： 四边形被分为个三角形， 五边形被分为个三角形， 六边形被分为个三角形， ， 边形被分为个三角形． 故本题答案为：． （2）当时，． 故答案为：122． 三、解答题 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 10．（24-25九年级上·北京海淀·期中）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： （1）如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． （2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 【答案】（1）21；（2）32 【分析】本题考查了多边形，解一元一次方程等知识，理解正方形网格纸中多边形面积的公式是解决问题的关键． （1）观察图形，得到，，再代入计算即可得到答案； （2）由题意，然后列出关于的方程，求出，再求出答案即可； 解：（1）解：由题意，如图： 多边形内部的点数为：， 多边形边界的点数为：， ∴； 故答案为：21； （2）解：设内部点数是，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：32． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.5 多边形 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】多边形及相关概念 1 【知识点二】多边形的对角线 1 【知识点三】正多边形 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】多边形及其概念辨析 2 【★题型2】多边形的对角线与多边形边数关系 2 【★题型3】多边形的对角线与分得三角形关系 3 【★题型4】正多边形 3 （二）培优篇 4 【★★题型5】多边形截角问题 4 【★★题型6】多边形对角线与三角形关系问题 4 二．同步练习​ 6 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 6 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 8 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】多边形及相关概念 在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形.这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点. 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角. 【知识点二】多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线 【特别提示】从n边形的一个顶点出发，能作（n-3） 条对角线；n边形的总对角线数为： 【知识点三】正多边形 各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】多边形及其概念辨析 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【变式2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是 ． 【小结归纳】本题围绕多边形的定义、性质及分类展开概念辨析，解题核心在于紧扣多边形 “平面内由线段首尾顺次相接组成的封闭图形” 的本质特征，同时明确正多边形 “边相等且角相等” 的双重判定条件。 【★题型2】多边形的对角线与多边形边数关系 【例题2】（23-24七年级上·陕西渭南·月考）若过边形的一个顶点有7条对角线，过边形的一个顶点有3条对角线．求代数式的值． 【变式1】（24-25八年级上·青海西宁·期中）一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·月考）边形过一个顶点的对角线有 条，则边形的对角线的条数为 ． 【小结归纳】 本题围绕多边形对角线与边数的数量关系展开计算，解题核心是牢记两个关键公式：一是从n边形一个顶点出发可作（n-3）条对角线，二是n边形的总对角线数为。 【★题型3】多边形的对角线与分得三角形关系 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形．求代数式的值． 【变式1】从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·月考）若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成7个三角形，则该多边形的总对角线条数为 ． 【小结归纳】 本题围绕多边形对角线与分割三角形个数的关联展开计算，解题核心是紧扣两个关键结论：一是从n边形一个顶点出发的对角线能将多边形分成（n-2）个三角形，二是从n边形一个顶点出发可作（n-3）条对角线。 【★题型4】正多边形 【例题4】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【变式】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【小结归纳】 本题围绕正多边形的定义与性质展开辨析和计算，解题核心是紧扣正多边形 “各边相等、各角相等” 的双重判定条件。判定一个图形是否为正多边形时，需同时验证边和角的相等性，缺一不可。 （二）培优篇 【★★题型5】多边形截角问题 【★★例题5】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式2】（22-23七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【小结归纳】 本题围绕多边形截角问题展开，解题核心是根据截线的位置不同进行分类讨论，明确截角后多边形边数的变化规律。截去多边形一个角时，分三种情况：截线经过两个相邻顶点，边数减少 1；截线经过一个顶点和一条对边，边数不变；截线经过两条不相邻的边，边数增加 1。解题时需结合画图分析，通过数形结合的方式判断剩余图形的边数，尤其要注意截角问题的多解性，避免因遗漏情况导致答案不完整。 【★★题型6】多边形对角线与三角形关系问题 【★★例题6】（24-25七年级下·河南南阳·月考）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 （1）填空：______，______．（用含的式子表示） （2）过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． （1）三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ （2）若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 【变式2】（25-26七年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数 2 3 4 5 6 …… ②_____ （1）观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； （2）n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； （3）类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【小结归纳】 相关规律：从一个顶点出发的对角线条数为（n-3）、分割成的三角形个数为（n-2）、总对角线条数为，再利用这些规律解决填空、方程求解、实际应用等问题。 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西运城·月考）在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列说法中错误的有（   ） ①圆上任意两点A，B间的部分叫做扇形； ②一个角的度数为，则它的余角的度数为； ③正三角形，长方形和正方形都是正多边形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26七年级上·四川达州·月考）连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出八条对角线，则这个多边形是（　　） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 二、填空题 5．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 6．（21-22八年级上·四川绵阳·月考）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 7．（25-26七年级上·陕西西安·月考）学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线．如图，过四边形的一个顶点可以作1条对角线，过五边形的一个顶点可以作2条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 8．（25-26七年级上·广东茂名·月考）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成6个三角形，则这个多边形的边数是 ． 三、解答题 9．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点． （1）数一数，上面三个多边形中每一个多边形各被分成了多少个三角形？ （2）总结一下，被分成的三角形的个数与多边形的边数有怎样的关系？ 10．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，在同一平面内有5个点． （1）请按下列要求作图：连接．你得到了一个怎样的图形？ （2）在（1）的条件下，所连线段相交组成的五边形共有多少条对角线？ 【★★能力提升（选择题4题，填空题4题，解答题2题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条对角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了2025个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．（25-26八年级上·河南商丘·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分，将一个五边形进行三角剖分，共用多少种剖分方法（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）． 如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．受此启发，小广提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存的数量关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 6．（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． （1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是 ； （2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数 ． 三、解答题 9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 10．（24-25九年级上·北京海淀·期中）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： （1）如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． （2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $