河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册28.3圆心角和圆周角）

冀教版九年级数学上册第二十八章　圆 28.3　圆心角和圆周角　分层作业 （冀教版·2026年秋改版） 一、作品基础信息 项目 内容 教材版本 冀教版（2026年秋改版）九年级数学上册 章节位置 第二十八章　圆　28.3　圆心角和圆周角 课型课时 新授课配套分层作业（建议在28.3两课时教学后使用） 适用对象 九年级学生 核心知识 圆心角的概念与性质；在同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的相等关系；圆周角的概念；圆周角定理及其推论；圆内接四边形的性质 作业结构 A层基础达标（必做，4题）＋B层能力提升（选做，4题）＋C层拓展创新（挑战，3题） 作业总量 共 11 题 预计用时 A层约 15 分钟；B层约 15 分钟；C层约 15 分钟 难度分布 A层 ★；B层 ★★～★★★；C层 ★★★★～★★★★★ 主要素养 几何直观、推理能力、运算能力、模型观念 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域明确要求学生“理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念”“探索并证明圆周角定理及其推论”，并强调让学生在数学活动中经历观察、操作、猜想与证明的过程，发展几何直观与推理能力。本节作业据此设计，力求让学生在运用定理解决具体问题的过程中，体会数学的严谨性与应用价值。 （二）教材定位 本节是冀教版九年级上册第二十八章“圆”的第三节。它承接28.1“圆的概念及性质”、28.2“过三点的圆”，将研究视角由圆的基本元素转向圆中角与弧、弦之间的数量关系，又为后续28.4“垂径定理”、28.5“弧长和扇形面积”以及进一步研究圆的性质奠定基础。其中圆周角定理及其推论是圆中角度计算与证明的核心工具，在整个初中几何中占有重要地位。 （三）学情分析 学生已掌握圆的基本概念、三角形内角和定理、等腰三角形的性质以及全等三角形等知识，具备初步的几何推理基础。但圆周角定理的得出需要分类讨论（圆心在圆周角的一边上、内部、外部三种情形），学生的分类意识与严谨推理能力仍显不足；同时，准确识别“同弧所对的圆周角”、灵活运用“直径所对的圆周角是直角”解决问题，也需要良好的几何直观。因此，作业按由浅入深的层级设计，帮助学生逐步突破难点。 （四）设计意图 1. 落实教—学—评一致性。作业目标与课堂学习目标、学业质量要求逐条对应，做到“教什么、学什么、评什么”高度统一。 2. 分层设计，因材施教。A层面向全体学生，夯实基础；B层面向中等及以上学生，训练综合运用；C层面向学有余力的学生，鼓励探究创新。 3. 控量提质，减负增效。全卷共 11 题，总用时控制在 45 分钟以内，避免机械重复训练，突出思维含量。 4. 素养导向，以评促学。通过自评、互评、师评相结合的多元评价，引导学生反思学习过程，发展核心素养。 三、作业目标 （一）作业目标 1. 理解圆心角、圆周角的概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系。（对应 A1） 2. 掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即。（对应 A2、B2、C3） 3. 掌握圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。（对应 A3、B1、B2、B3、C1、C3） 4. 理解圆内接四边形的性质：对角互补，即。（对应 A4、B4、C2） 5. 能综合运用上述知识进行推理、计算与探究，发展几何直观、推理能力和运算能力。（对应 C1、C2、C3） （二）核心素养与作业目标对应 核心素养 主要表现 对应题号 几何直观 借助图形理解圆心角、圆周角与弧、弦之间的关系，识别基本图形 A1、A3、B2、C2 推理能力 依据圆周角定理及其推论进行有条理的推理与证明 B1、B3、C1、C3 运算能力 依据定理进行角度与线段的计算 A2、A4、B3、B4 模型观念 把几何问题抽象为“圆中角”的模型并加以解决 C1、C3 四、作业内容与目标对应表 题号 层级 题型 考查内容 对应目标 核心素养 用时 难度 A1 A层 选择 圆心角、弧、弦之间的相等关系 目标1 几何直观 2分钟 ★ A2 A层 填空 圆周角定理的直接运用 目标2 运算能力 2分钟 ★ A3 A层 填空 直径所对的圆周角是直角 目标3 几何直观 2分钟 ★ A4 A层 填空 圆内接四边形对角互补 目标4 运算能力 2分钟 ★ B1 B层 解答 同弧所对的圆周角相等与三角形内角和 目标3、5 推理能力 4分钟 ★★ B2 B层 解答 圆周角定理及其推论的综合运用 目标2、3 几何直观 4分钟 ★★★ B3 B层 解答 直径所对的圆周角是直角与勾股定理 目标3、5 运算能力 4分钟 ★★★ B4 B层 解答 圆内接四边形性质与直径的综合 目标4、5 推理能力 4分钟 ★★★ C1 C层 证明 直径所对圆周角是直角的应用与等边三角形判定 目标3、5 推理能力 6分钟 ★★★★ C2 C层 解答 弦同侧、异侧圆周角的关系（分类讨论） 目标3、4 几何直观 6分钟 ★★★★ C3 C层 探究 圆周角定理与等腰三角形的综合探究 目标2、5 模型观念 6分钟 ★★★★★ 五、作业评价 （一）评价原则 1. 目标一致性原则：评价紧扣作业目标，做到“教—学—评”三者一致。 2. 层次性原则：不同层级设定不同的达标要求，让每位学生都能获得成功体验。 3. 发展性与激励性原则：关注学生的进步与个体差异，重在激励，不以分数论高低。 4. 多元性原则：坚持学生自评、同伴互评与教师评价相结合。 （二）评价方式 1. 学生自评：对照参考答案与评分要点，用“√”“×”记录完成情况，并填写“我的收获”“我的困惑”。 2. 同伴互评：同桌交换批阅，重点评价书写规范、推理过程与结论表达，用星级（★～★★★★★）评定。 3. 教师评价：分层评定等级（A层：达标／待达标；B层：优秀／良好／合格；C层：优秀／合格／待改进），并写出有针对性的激励性评语。 （三）分层评价量表 层级 达标要求 评价标准 等级 A层基础达标 必做，全部完成 概念清楚、计算准确即可达标 达标／待达标 B层能力提升 选做，鼓励完成 思路清晰、过程规范、结论正确为优秀 优秀／良好／合格 C层拓展创新 选做，自主挑战 推理严谨、方法多样、表达出色为优秀 优秀／合格／待改进 （四）探究与开放题专项评价表（C层） 评价维度 评价要点 分值 自评 互评 师评 结论正确性 结论正确，符合题意 30 推理严谨性 推理有据，步骤完整 30 表达规范性 语言准确，书写规范 20 思维创新性 方法灵活，有独到见解 20 合计 —— 100 六、试题详情 【A层　基础达标】（必做） A1．如图，在⊙中，∠AB＝∠CD，则下列结论中不一定成立的是（　　） A．弧＝弧　　　B．AB＝CD　　　C．△AB≌△CD　　　D．四边形ABCD是平行四边形 A2．如图，点A、B、C均在⊙上，若∠BC＝120°，则∠BAC＝　　　°。 A3．如图，AB是⊙的直径，点C、D是⊙上两点，则∠ACB＝　　　°，∠ADB＝　　　°。 A4．如图，四边形ABCD内接于⊙，若∠A＝105°，则∠C＝　　　°。 【B层　能力提升】（选做） B1．如图，点A、B、C、D在⊙上，弦AC与BD相交于点E。若∠BAC＝40°，∠ABD＝35°。 （1）求∠BDC的度数；（2）求∠AEB的度数。 B2．如图，AB是⊙的直径，点C、D在⊙上。若∠ABC＝50°，求∠ACB和∠BDC的度数。 B3．如图，AB是⊙的直径，点C在⊙上，AC＝6，BC＝8。求∠ACB的度数与⊙的半径。 B4．如图，四边形ABCD内接于⊙，AD是⊙的直径，∠ABC＝125°。求∠CAD的度数。 【C层　拓展创新】（挑战） C1．如图，AB是⊙的直径，点C是⊙上一点（不与A、B重合），过点C作CD⊥AB，垂足为D。 （1）求证：∠ACD＝∠ABC；（2）若∠BAC＝30°，判断△CB的形状，并说明理由。 C2．如图，AB是⊙的弦，点C、D是⊙上两点，且点C、D分别在弦AB的两侧。若∠ACB＝65°，求∠ADB的度数。 C3．如图，△ABC内接于⊙，AB＝AC，∠BAC＝40°。 （1）求∠BC的度数；（2）探究∠BC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由。 七、答案与解析 【A层　基础达标】 A1．D 【解析】在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，故A、B均成立；又A＝B＝C＝D（同圆半径相等），∠AB＝∠CD，由SAS可得△AB≌△CD，故C成立。四边形ABCD能否成为平行四边形，取决于A、B、C、D四点的位置关系，题中条件无法保证，故D不一定成立。 A2．60 【解析】∠BAC与∠BC所对的都是弧，由圆周角定理，得。 A3．90；90 【解析】因为AB是⊙的直径，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，所以∠ACB＝∠ADB＝90°。 A4．75 【解析】因为四边形ABCD内接于⊙，圆内接四边形对角互补，所以。 【B层　能力提升】 B1．（1）∠BDC＝40°；（2）∠AEB＝105° 【解析】（1）∠BAC与∠BDC所对的都是弧，由同弧所对的圆周角相等，得∠BDC＝∠BAC＝40°。 （2）因为点E在弦AC上，所以∠BAE＝∠BAC＝40°；因为点E在弦BD上，所以∠ABE＝∠ABD＝35°。在△ABE中，由三角形内角和定理，得∠AEB＝180°－40°－35°＝105°。 B2．∠ACB＝90°，∠BDC＝40° 【解析】因为AB是⊙的直径，所以∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）。在Rt△ABC中，∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－50°＝40°。又∠BDC与∠BAC所对的都是弧，由同弧所对的圆周角相等，得∠BDC＝∠BAC＝40°。 B3．∠ACB＝90°，⊙的半径为 5 【解析】因为AB是⊙的直径，所以∠ACB＝90°。在Rt△ABC中，由勾股定理，得，所以⊙的半径。 B4．∠CAD＝35° 【解析】因为四边形ABCD内接于⊙，所以∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－125°＝55°（圆内接四边形对角互补）。又AD是⊙的直径，所以∠ACD＝90°（直径所对的圆周角是直角）。在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－∠ADC＝90°－55°＝35°。 【C层　拓展创新】 C1．（1）证明见解析；（2）△CB是等边三角形 【解析】（1）因为AB是⊙的直径，所以∠ACB＝90°，所以∠BAC＋∠ABC＝90°。因为CD⊥AB，所以∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，∠ACD＋∠CAD＝90°。又∠CAD＝∠CAB＝∠BAC，所以∠ACD＝90°－∠BAC＝∠ABC。 （2）△CB是等边三角形。理由：因为∠BAC＝30°，由圆周角定理得∠BC＝2∠BAC＝60°。又B＝C（同圆半径相等），所以△CB是等腰三角形，从而△CB是等边三角形。 C2．∠ADB＝115° 【解析】因为点C、D分别在弦AB的两侧，所以∠ACB所对的弧与∠ADB所对的弧恰好合成整个圆。由圆周角定理，得∠ACB＋∠ADB＝½×360°＝180°，所以∠ADB＝180°－∠ACB＝180°－65°＝115°。 C3．（1）∠BC＝80°；（2）∠BC与∠BAC互余，即∠BC＝90°－∠BAC（此时∠BC＝50°） 【解析】（1）∠BC与∠BAC所对的都是弧 ，由圆周角定理，得∠BC＝2∠BAC＝2×40°＝80°。 （2）因为B＝C（同圆半径相等），所以△BC是等腰三角形，。又∠BC＝2∠BAC，所以，即∠BC与∠BAC互为余角。 学科网（北京）股份有限公司 $