河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册第二十八章第四节）

冀教新版九年级数学上册·第二十八章 圆 28.4 垂径定理 分层作业 一、作品基础信息 作品名称 冀教新版九年级数学上册第二十八章《圆》28.4 垂径定理 分层作业 学科 初中数学 教材版本 冀教版（新教材）九年级上册 所属章节 第二十八章 圆 课题 28.4 垂径定理 课时安排 1课时（作业配套） 作业类型 书面分层作业（A、B、C三级） 适用对象 九年级学生 建议用时 约30分钟（A组约15分钟，B组约10分钟，C组约5分钟） 设计理念 面向全体、分层递进、以图助思、算证并重、方程建模、减量提质 设计时间 2026年 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形的性质”领域，要求学生理解圆是轴对称图形，探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；能运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。课标强调引导学生经历“操作—观察—猜想—证明”的过程，发展几何直观、推理能力和模型观念，体会由“圆的对称性”这一整体性质推导出具体结论的研究路径，并感悟数形结合、方程与分类讨论等思想方法。 垂径定理是圆中“线段长度计算”的核心工具，与勾股定理结合可以解决弦长、弦心距、半径、弓形高之间的相互转化问题，是学生体会“几何问题代数化”的良好载体。 （二）教材分析 “28.4 垂径定理”是冀教版九年级数学上册第二十八章“圆”的第四课时，承接“28.1 圆的基本概念和性质”“28.2 三点确定一个圆”“28.3 圆心角和圆周角”而展开。28.1 已经明确了圆的轴对称性——圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；本课时正是从这一整体性质出发，通过“沿直径对折”的操作，推导出关于弦、弧、直径的具体结论。 本节内容主要包括两个层次。一是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。其证明可以连接半径 A、B，利用等腰三角形“三线合一”得到，也可以直接由圆的轴对称性通过“折叠重合”得到。 二是垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。理解推论时必须强调“弦不是直径”这一条件，因为任意两条直径都互相平分，却不一定互相垂直。 教材进一步指出，垂径定理及其推论可以统一概括为“知二推三”：对于圆中的一条直线与一条弦（非直径），满足以下五个条件中的任意两个，就可以推出其余三个——①过圆心（是直径）；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 本节内容的应用价值十分突出。教材以“赵州桥主桥拱”为情境，将其抽象为“已知跨度与拱高求半径”的数学模型；我国古代数学名著《九章算术》中的“圆材埋壁”问题，也同样是垂径定理的经典应用。解决这类问题的关键，是作出“半径、半弦、弦心距”构成的直角三角形，把几何问题转化为勾股定理的计算问题。 （三）学情分析 学生已经掌握了圆的轴对称性、圆心角与圆周角等知识，也具备一定的推理与运算能力，但本节学习中仍存在以下几方面困难： 一是定理条件把握不准。垂径定理中“直径”与“垂直于弦”两个条件缺一不可，学生常把“垂直于弦的直线”误认为“垂直于弦的直径”，也容易误认为“凡平分弦的直线都垂直于弦”。 二是忽视推论的例外情形。运用“平分弦的直径垂直于弦”时，忘记“弦不是直径”这一前提，把两条直径互相平分的情形误判为垂直。 三是辅助线意识薄弱。不会主动“连接半径”或“作弦心距”，因而不能构造出由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，无法把几何条件转化为勾股关系。 四是方程思想不熟练。在“已知弦长与弓形高求半径”一类问题中，不能设半径为未知量，把弦心距正确地表示成 r 与相关线段之差，进而列出方程。 五是分类讨论意识不足。当圆中存在两条平行弦时，它们在圆心的同侧或异侧，所得距离不同，学生常常只考虑一种情形而漏解。 六是数学建模能力较弱。面对拱桥、管道、破损工件等实际问题，不能准确识别其中的圆与弦，把已知量对应到图形中。 因此，作业设计应遵循“由图识形、由形寻式、由式求解”的路径，通过“辨一辨、算一算、想一想、证一证、用一用”的阶梯式任务，帮助学生建立完整的知识结构与解题模型。 （四）设计意图 本次作业分为 A、B、C 三个层级。A 组为基础巩固题，面向全体学生，指向垂径定理的内容辨析以及弦长、弦心距、半径三者之间的直接计算，重在“保底”；B 组为能力提升题，指向平行弦的分类讨论、实际情境中的方程建模以及平行弦所夹弧相等的证明，重在“提质”；C 组为拓展探究题，指向破损圆形工件的补全与排水管的综合实践，重在“扬长”。 三个层级按照“概念理解—定理应用—推理迁移”的路径设计，题量精简、图文结合、以图助思，每道题都配有相应图形，帮助学生把抽象的几何关系直观化，避免机械重复，使不同水平的学生都能获得成功的体验，实现“减负提质”。 三、作业目标 （一）基础目标（必做） （1）理解垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能说出定理的题设与结论。 （2）理解垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧，知道“弦不是直径”这一条件不可缺少。 （3）会连接半径或作弦心距构造直角三角形，运用勾股定理进行弦长、弦心距、半径之间的计算，掌握关系式 （其中 r 为半径、d 为弦心距、a 为弦长）。 （二）提升目标（选做） （4）会运用“设半径为未知量、列方程求解”的方法解决“已知弦长与弓形高求半径”的问题，体会方程思想与几何问题的结合。 （5）能对圆中两条平行弦的位置关系进行分类讨论，正确求出两弦之间的距离，发展分类讨论的意识与严谨性。 （三）拓展目标（挑战） （6）能证明“同圆中两条平行弦所夹的弧相等”，并能运用垂径定理解决破损圆形工件、排水管等实际问题，体会数学建模的一般过程。 （7）在解决实际问题的过程中，能准确把握“跨度与拱高”“水面宽与水深”等实际量对应的几何量，发展几何直观、模型观念和应用意识。 四、作业内容与目标对应表 层级 题号 主要内容与考点 对应目标 A组 基础巩固 （必做） 1 垂径定理及其推论的内容辨析 （1）（2） 2 圆的对称性与垂径定理基本图形的填空计算 （1）（3） 3 已知弦长与弦心距求半径（图2） （3） 4 直径垂直于弦，由弦长与线段差求半径（图3） （3） 5 半径垂直平分弦，求弓形的高（图4） （3） B组 能力提升 （选做） 6 两条平行弦的距离（需分类讨论）（图5） （5） 7 圆弧形拱桥：已知跨度与拱高求半径（图6） （4）（7） 8 证明同圆中两条平行弦所夹的弧相等（图7） （6） C组 拓展探究 （挑战） 9 破损圆形工件：由弓形的弦与高求原圆半径（图8） （6）（7） 10 圆柱形排水管的综合实践：求半径与水面宽度（图9） （6）（7） 五、作业评价 （一）评价方式 本次作业采用“教师批改评价 + 学生自我评价 + 同伴互评”相结合的方式，突出过程性与发展性评价： 1. 分层达标评价。A 组为必做题，全体学生完成，评价重点是基础达标；B 组为选做题，鼓励中等及以上学生完成，评价重点是运用定理进行计算与推理的灵活性；C 组为挑战题，供学有余力的学生选做，评价重点是建模与表达。 2. 星级评价。每道题按“完全正确、部分正确、需要帮助”三个等级，分别记 ★★★、★★、★，便于学生直观了解自己的达成情况。 3. 反馈与订正。教师针对典型错误集中讲评，学生完成错题订正并进行二次自测，形成“发现—订正—复测—反思”的闭环。 （二）评价量规 评价维度 优秀（★★★） 良好（★★） 待改进（★） 定理理解 能准确叙述垂径定理及其推论，能说出“弦不是直径”这一条件的作用 能叙述定理，对推论中的限制条件理解不清 对定理的条件与结论混淆，需借助提示 基本计算 能准确作出直角三角形，熟练运用勾股定理求半径、弦长与弦心距 能完成基本计算，个别题找错直角三角形中的边 不会作辅助线，计算中反复出错 推理与分类 能完整证明有关结论，能对平行弦的情形分类讨论且不漏解 能完成证明或部分分类，步骤略有遗漏 证明缺少依据，分类讨论漏解 建模与应用 能准确把实际问题转化为圆与弦的模型，独立完成求解并写出规范步骤 在提示下能完成建模与计算 建模意识不足，需教师持续指导 （三）学生自评与同伴互评表 评价项目 自我评价 同伴评价 教师评价 我能说出垂径定理的内容和它的推论 我知道推论中“弦不是直径”这个条件为什么重要 我会连接半径、作弦心距构造直角三角形 我会用勾股定理求半径、弦长和弦心距 我会用设未知数列方程的方法求半径 我会对两条平行弦的位置进行分类讨论 我的收获：　　　　　； 仍存在的困惑：　　　　　。 六、试题详情 （一）A组　基础巩固（必做，建议用时约15分钟） 1. 下列说法中，正确的是（　　） A. 垂直于弦的直线平分这条弦 B. 平分弦的直线垂直于这条弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 D. 圆的对称轴只有一条 2. 填空： （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是　　　　　　　　（填“经过圆心的任意一条直线”或“任意一条直线”）。 （2）垂径定理：垂直于弦的直径　　　　这条弦，并且　　　　弦所对的两条弧。 （3）在⊙ 中，⊙ 的半径为 5 cm，圆心 到弦 AB 的距离为 3 cm，则弦 AB 的长为　　　　cm。 （4）如图（图 1），⊙ 的弦 AB = 10 cm，D⊥AB 于点 D，则 AD = 　　　　cm。 3. 如图（图 2），在⊙中，弦 AB = 8 cm，D⊥AB 于点 D，D = 3 cm。求⊙ 的半径。 4. 如图（图 3），AB 是⊙ 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E。若 CD = 8，AE = 2，求⊙的半径。 （二）B组　能力提升（选做，建议用时约10分钟） 5. 如图（图 5），⊙ 的半径为 5 cm，弦 AB = 6 cm，弦 CD = 8 cm，且 AB∥CD。求弦 AB 与弦 CD 之间的距离。 6. 如图（图 7），在⊙ 中，弦 AB∥弦 CD（AB、CD 都不是直径）。求证：AC = BD。 （三）C组　拓展探究（挑战，建议用时约5分钟） 7. 综合与实践：如图（图 9），一个圆柱形排水管的横截面是⊙，管内有一些水。经测量，水面的宽度 AB = 16 cm，水的最大深度 CD = 4 cm（C 为 AB 的中点，CD⊥AB，D 为弧 的中点）。 （1）求排水管横截面的半径； （2）若水面上升 1 cm，求此时水面的宽度（结果保留根号）。 七、答案与解析 1.【答案】C 【解析】判断时要注意垂径定理中“直径”与“垂直于弦”这两个条件。A 中只说“垂直于弦的直线”，这条直线不一定经过圆心，因此不一定平分这条弦，说法错误；B 中“平分弦的直线”不一定经过圆心，只有“平分弦（不是直径）的直径”才垂直于这条弦，说法错误；C 正是垂径定理的内容，说法正确；D 中圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线，有无数条，说法错误。故选 C。 2.【答案】（1）经过圆心的任意一条直线　（2）平分，平分　（3）8　（4）5 【解析】（1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线（即经过圆心的任意一条直线）都是它的对称轴，这样的直线有无数条。（2）这就是垂径定理的内容，注意其中的“直径”与“垂直于弦”缺一不可。（3）设圆心 到弦 AB 的距离为 D，连接A。由垂径定理得 。在 Rt△AD 中，，，由勾股定理得 ，故 （cm）。 （4）因为 ，由垂径定理可知 D 是 AB 的中点，所以 （cm）。 3.【答案】⊙ 的半径为 5 cm。 【解析】因为 ，由垂径定理得 （cm）。连接 A。在 Rt△DA 中，由勾股定理得 （cm）。 【方法点拨】弦长、弦心距、半径三者由“半径、半弦、弦心距”构成的直角三角形联系起来，它们满足关系式 （其中 r 为半径、d 为弦心距、a 为弦长）。解题时的关键辅助线是“连接半径”。 4.【答案】⊙ 的半径为 5。 【解析】因为 AB 是⊙的直径且 ，由垂径定理得 。连接 C。设⊙ 的半径为 r，则 ，。在 Rt△EC 中，由勾股定理得 ，即 ，解得 。所以⊙ 的半径为 5。 【方法点拨】当题目给出的线段不能直接构成直角三角形时，可以“设半径为未知量”，把弦心距用半径与已知线段的差表示出来，再列方程求解，这是解决“由弦长与弓形高求半径”一类问题的通法。 5.【答案】弦 AB 与弦 CD 之间的距离为 1 cm 或 7 cm。 【解析】过圆心 作直线与 AB、CD 都垂直，垂足分别为 E、F。因为 ，所以 E、、F 在同一条直线上。由垂径定理得 ，（cm）。连接 A、C，则 （cm）。 在 Rt△AE 中，（cm）；在 Rt△CF 中，（cm）。 因为题目没有说明两条弦在圆心的同侧还是异侧，所以要分类讨论： ①当 AB 与 CD 在圆心 的异侧时，两弦间的距离 （cm）； ②当 AB 与 CD 在圆心 的同侧时，两弦间的距离 （cm）。 综上所述，弦 AB 与弦 CD 之间的距离为 1 cm 或 7 cm。 【方法点拨】涉及两条平行弦的问题，若题中未指明它们在圆心的同侧还是异侧，必须分类讨论，否则容易漏解。 6.【证明】作直径 MN⊥AB，设交 AB 于点 E、交 CD 于点 F。因为 ，所以 。 由垂径定理，垂直于弦 AB 的直径 MN 平分弦 AB 所对的两条弧，于是 M、N 是弧 的中点，所以 弧 = 弧 。 同理，因为 ，所以 M、N 也是弧 的中点，于是 弧 = 弧 。 于是弧 =弧 -弧 ，弧 =弧 -弧 。由弧 =弧， 弧 = ，得弧 =弧 ，所以 。 【方法点拨】本题是垂径定理的推论“同圆中两条平行弦所夹的弧相等”的证明。作垂直于两条平行弦的直径，可以把“平行弦”转化为“直径平分弧”，再利用弧的加减得到结论。 7.【答案】（1）10 cm；（2） cm。 【解析】（1）设排水管横截面的半径为 r（cm），圆心为 。连接A。由题意可知 ，且 D 在圆上，所以 （cm），（cm）。 在 Rt△DA 中，由勾股定理得 ，即 ，解得 （cm）。所以排水管横截面的半径为 10 cm。 （2）水面上升 1 cm 后，水的最大深度变为 （cm），此时水面所对的弦心距为 （cm）。设此时水面宽度的一半为 x（cm），连接圆心与水面端点，由勾股定理得 ，所以 （cm）。 故此时水面的宽度为 （cm）。 【方法点拨】本题是垂径定理在生活中的典型应用。解决问题的关键是把“水面宽”对应为弦长、把“水的最大深度”对应为弓形的高，从而构造出直角三角形；第（2）问中水面上升后，弓形的高改变，弦心距随之改变，仍用同一关系式求解即可，体现了模型的一致性与可迁移性。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $