河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册第二十八章第二节）

冀教新版九年级数学上册·第二十八章 圆 28.2 三点确定一个圆 分层作业 一、作品基础信息 作品名称 冀教新版九年级数学上册第二十八章《圆》28.2 三点确定一个圆 分层作业 学科 初中数学 教材版本 冀教版（新教材）九年级上册 所属章节 第二十八章 圆 课题 28.2 三点确定一个圆 课时安排 1课时 作业类型 书面分层作业（A、B、C三级） 适用对象 九年级学生 建议用时 约30分钟（A组约15分钟，B组约10分钟，C组约5分钟） 设计理念 面向全体、分层递进、作图与推理并重、图文结合、减量提质 设计时间 2026年 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形的性质”领域，要求学生探索并掌握基本的尺规作图，理解确定一个圆的条件，了解三角形的外心。课标强调让学生经历“观察—实验—猜想—证明”的完整过程，发展几何直观、空间观念、推理能力和应用意识，体会从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法。 本课时的“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，既是“点与圆的位置关系”的自然延伸，也是学生体会“存在性与唯一性”这一数学结论表述方式的良好载体。 （二）教材分析 “28.2 三点确定一个圆”是冀教版九年级数学上册第二十八章“圆”的第二课时，承接“28.1 圆的基本概念和性质”而展开。28.1 已经明确：确定一个圆需要两个要素——圆心（确定位置）和半径（确定大小）；并研究了点与圆的位置关系，知道“点到圆心的距离等于半径的点在圆上”。本课时正是从“确定圆的要素”出发，研究“过几个点才能确定一个圆”。 本节内容主要包括三个层次：一是过一点、过两点的圆，明确它们都有无数个，并说明圆心的分布规律（过两点的圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上）；二是“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，并借助反证法说明“过同一条直线上的三点不能作圆”；三是由此引出三角形的外接圆、外心、圆的内接三角形等概念，并归纳外心的位置与三角形形状的关系。 其中，“三点定圆”的核心依据是“到线段两端距离相等的点在垂直平分线上”：经过 、 两点的圆心在线段 的垂直平分线上，经过 、 两点的圆心在线段 的垂直平分线上，两条垂直平分线有唯一交点 ，于是 ，圆就唯一确定了。它既与 28.1 中“点到圆心的距离等于半径”的结论呼应，又为 28.3“圆心角和圆周角”中“直径所对的圆周角是直角”等内容埋下伏笔，是整章中承上启下的关键一课。 （三）学情分析 学生已经学习了线段垂直平分线的概念与性质，会用尺规作线段的垂直平分线，也已掌握点与圆的位置关系，具备一定的作图技能和几何直观。但本节学习中仍存在以下几方面困难： 一是对“确定”一词理解不到位。“确定”应理解为“有且只有”，学生容易忽略其唯一性，把“能作一个圆”与“能作无数个圆”混为一谈。 二是忽视“不在同一条直线上”这一前提。部分学生误认为任意三点都能确定一个圆，对三点共线时为什么不能作圆缺乏认识，也难以理解反证法的推理过程。 三是作图与说理脱节。学生能模仿作出外接圆，却说不清“为什么两条垂直平分线的交点就是圆心”，作图与推理之间的逻辑链条不完整。 四是外心位置规律易记混。锐角、直角、钝角三角形外心分别在内部、斜边中点、外部，学生往往机械记忆，缺乏结合图形与推理的理解。 因此，作业设计应遵循“由作图到说理、由特殊到一般”的路径，通过“画一画、辨一辨、算一算、证一证、用一用”的阶梯式任务，帮助学生在动手操作与推理论证中建立完整的知识结构。 （四）设计意图 本次作业分为 A、B、C 三个层级。A 组为基础巩固题，面向全体学生，指向过一点、过两点、过三点作圆的基本事实，以及外接圆、外心等概念的辨析，重在“保底”；B 组为能力提升题，指向尺规作三角形的外接圆并以垂直平分线的性质说明理由、直角三角形外接圆半径的计算、外心位置规律的归纳与反向运用，重在“提质”；C 组为拓展探究题，指向用反证法说明“过同一直线上的三点不能作圆”，以及把“三点定圆”应用于确定残缺圆形物件的圆心和半径，重在“扬长”。 三个层级按照“概念理解—作图应用—推理迁移”的路径设计，题量精简、作图与推理并重、图文结合，避免机械重复，使不同水平的学生都能获得成功的体验，实现“减负提质”。 三、作业目标 （一）基础目标（必做） （1）知道“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，能说出“确定”的含义（有且只有一个）。 （2）知道经过一点、经过两点的圆都有无数个，并能说明这些圆的圆心的分布规律。 （3）理解三角形的外接圆、外心、圆的内接三角形等概念，会用尺规作三角形的外接圆。 （二）提升目标（选做） （4）理解外心是三角形三边垂直平分线的交点这一性质，能用“到线段两端距离相等”说明 ，并会求直角三角形外接圆的半径。 （5）能根据三角形的形状判断外心的位置，也能由外心的位置判断三角形的形状，体会位置关系与图形形状之间的对应。 （三）拓展目标（挑战） （6）会用反证法说明“过同一条直线上的三点不能作圆”，发展推理能力和逻辑表达的严谨性。 （7）能运用“三点确定一个圆”解决确定圆心、半径等实际问题，发展应用意识和数学建模能力。 四、作业内容与目标对应表 层级 题号 主要内容与考点 对应目标 A组 基础巩固 （必做） 1 辨析“三点确定一个圆”的条件（“不在同一直线”与“有且只有”） （1） 2 过一点、过两点、过三点作圆的情况及圆心分布规律 （2） 3 外接圆、外心、内接三角形等概念的辨析 （3） 4 过已知点 A 作圆并说明圆心的分布规律（图1） （2） B组 能力提升 （选做） 5 尺规作三角形的外接圆，并用垂直平分线的性质说明理由（图2） （3）（4） 6 直角三角形外接圆半径的计算与外心位置（图3） （4） 7 锐角、直角、钝角三角形外心位置的归纳（图4） （5） 8 由外心位置判断三角形形状及外心性质的应用 （4）（5） C组 拓展探究 （挑战） 9 用反证法说明过同一直线上的三点不能作圆（图5） （6） 10 “三点定圆”的应用：确定残缺圆形瓷片的圆心与半径（图6） （7） 五、作业评价 （一）评价方式 本次作业采用“教师批改评价 + 学生自我评价 + 同伴互评”相结合的方式，突出过程性与发展性评价： 1. 分层达标评价。A 组为必做题，全体学生完成，评价重点是基础达标；B 组为选做题，鼓励中等及以上学生完成，评价重点是作图规范与方法运用；C 组为挑战题，供学有余力的学生选做，评价重点是推理与表达。 2. 星级评价。每道题按“完全正确、部分正确、需要帮助”三个等级，分别记 ★★★、★★、★，便于学生直观了解自己的达成情况。 3. 反馈与订正。教师针对典型错误集中讲评，学生完成错题订正并进行二次自测，形成“发现—订正—复测—反思”的闭环。 （二）评价量规 评价维度 优秀（★★★） 良好（★★） 待改进（★） 概念理解 能准确辨析确定圆的条件及外接圆、外心等概念 基本能辨析，对“不在同一直线”这一前提偶有忽略 对相关概念混淆较多，需借助提示 尺规作图 作图规范、痕迹清晰，能准确作出外接圆 能作出图形，个别步骤不够规范 不会作垂直平分线，需教师指导 推理与表达 说理充分、书写规范、步骤完整 说理基本清楚，步骤略有遗漏 说理不清或缺少关键步骤 拓展与迁移 能用反证法说明问题，能设计确定圆心的方案 在提示下能完成部分探究 探究意识不足，需教师持续指导 （三）学生自评与同伴互评表 评价项目 自我评价 同伴评价 教师评价 我知道不在同一直线上的三点确定一个圆 我能说出经过两点的圆的圆心分布规律 我会用尺规作三角形的外接圆 我能说出三角形的外心是怎样确定的 我知道不同形状三角形外心的位置 我能规范书写推理过程 我的收获：　　　　　； 仍存在的困惑：　　　　　 六、试题详情 （一）A组　基础巩固（必做，建议用时约15分钟） 1. 下列说法中，正确的是（　　） A. 经过平面内任意三点都可以确定一个圆 B. 经过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆 C. 经过三个点只能确定两个圆 D. 经过两个点只能确定一个圆 2. 填空： （1）经过平面内一点 A 可以作　　　　个圆； （2）经过平面内两点 A、B 可以作　　　　个圆，这些圆的圆心都在线段 AB 的　　　　上； （3）经过不在同一条直线上的三点 A、B、C 可以作　　　　个圆。 3. 判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。 （1）不在同一条直线上的三点确定一个圆。　　　　　　（　　） （2）任意一个三角形有且只有一个外接圆。　　　　　　（　　） （3）一个圆有且只有一个内接三角形。　　　　　　　　（　　） （4）三角形的外心是三角形三条角平分线的交点。　　　（　　） （5）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。　　　（　　） 4. 如图（图1），已知平面内一点 A。请经过点 A 画出两个不同的圆 ⊙O₁、⊙O₂，并回答：经过点 A 能作多少个圆？这些圆的圆心的位置有什么特点？ （二）B组　能力提升（选做，建议用时约10分钟） 5. 如图（图2），已知 △ABC。用尺规作出 △ABC 的外接圆 ⊙O（保留作图痕迹，不要求写出作法），并说明所作圆的圆心（外心）是怎样确定的，写出理由。 6. 如图（图3），在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm。求 △ABC 外接圆的半径，并指出外心的位置。 7. 结合图4，判断外心与三角形的位置关系，把结论填在横线上： （1）锐角三角形的外心在三角形的　　　　； （2）直角三角形的外心在　　　　； （3）钝角三角形的外心在三角形的　　　　。 8. 已知 △ABC 外接圆的圆心为点 O，回答下列问题： （1）若点 O 在 △ABC 的内部，则 △ABC 是　　　　三角形； （2）若点 O 在边 BC 上，则 △ABC 是　　　　三角形，此时 BC 是它的外接圆的　　　　； （3）若 OA = OB = OC = 5 cm，则 △ABC 外接圆的半径为　　　　cm。 （三）C组　拓展探究（挑战，建议用时约5分钟） 9. 如图（图5），点 A、B、C 在同一条直线 l 上。试判断：能否作一个圆，使它经过 A、B、C 三点？请说明理由。（提示：可以先假设能作这样的圆，再推出矛盾。） 10. 如图（图6），这是一块残缺的圆形青花瓷片，考古人员从瓷片的边缘（一段圆弧）上选取了 A、B、C 三个点（A、B、C 不在同一条直线上）。请设计一种方法，确定这块瓷片原来所在圆的圆心和半径，并说明其中的数学道理。 七、答案与解析 1.【答案】B 【解析】确定一个圆需要圆心和半径两个要素，二者缺一不可。A 中的“任意三点”包含三点在同一条直线上的情形，此时不能作圆，说法错误；B 给出了完整的前提，不在同一条直线上的三点确定一个圆（有且只有一个），说法正确；C 中过不共线的三点只能确定一个圆，说法错误；D 中过两点可以作无数个圆（圆心在这两点连线的垂直平分线上），说法错误。故选 B。 2.【答案】（1）无数　（2）无数，垂直平分线　（3）一（有且只有一个） 【解析】（1）经过一点 A 的圆，圆心可以是平面内除点 A 以外的任意一点，半径等于该点到点 A 的距离，因此可以作无数个圆。（2）经过两点 A、B 的圆，圆心到 A、B 的距离相等，所以圆心必在线段 AB 的垂直平分线上；这条直线上有无数个点，因此也能作无数个圆。（3）由“不在同一条直线上的三点确定一个圆”可知，这样的圆有且只有一个。 3.【答案】（1）√　（2）√　（3）×　（4）×　（5）√ 【解析】（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆，说法正确。（2）三角形的三个顶点不在同一条直线上，因此过这三个顶点有且只有一个圆，即三角形有且只有一个外接圆，说法正确。（3）圆上任意不在同一条直线上的三点都能构成一个内接三角形，所以一个圆有无数个内接三角形，说法错误。（4）三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，三条角平分线的交点是三角形的内心，说法错误。（5）外心是外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离都等于外接圆的半径，说法正确。 4.【答案】经过点 A 能作无数个圆；这些圆的圆心可以是平面内除点 A 以外的任意一点。 【解析】经过已知点 A 作圆，只要圆心不与点 A 重合，以圆心到点 A 的距离为半径画圆，这个圆就一定经过点 A。圆心在平面内除点 A 以外的位置都可以选取，圆心不同、半径也不同，所以可以作出无数个经过点 A 的圆。如（图1）中的 ⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃ 都是经过点 A 的圆。 5.【答案】分别作线段 AB、BC 的垂直平分线，两线交于点 O；以点 O 为圆心、OA 长为半径作圆，⊙O 就是 △ABC 的外接圆，圆心 O（外心）是 △ABC 三边垂直平分线的交点。 【解析】因为点 A、B 都在 ⊙O 上，所以圆心 O 到 A、B 的距离相等，即 O 在线段 AB 的垂直平分线上；同理，O 也在线段 BC 的垂直平分线上。两条垂直平分线有唯一的交点，设这个交点为 O，则 ，，所以 。 即点 A、B、C 到点 O 的距离相等，所以 A、B、C 三点都在以点 O 为圆心、OA 长为半径的同一个圆上，⊙O 就是 △ABC 的外接圆。 【方法点拨】只需作出三角形两边的垂直平分线，交点即为外心；第三条边的垂直平分线一定经过这个交点。这也是确定三角形外接圆的常用方法。 6.【答案】△ABC 外接圆的半径为 5 cm，外心是斜边 AB 的中点。 【解析】在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，由勾股定理得 。 设斜边 AB 的中点为 D。因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以 ， 即点 D 到 △ABC 三个顶点的距离相等，所以点 D 是 △ABC 的外心，外接圆的圆心为斜边 AB 的中点，半径 。 【方法点拨】直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，斜边就是其外接圆的直径，因此外接圆的半径等于斜边的一半。 7.【答案】（1）内部　（2）斜边的中点　（3）外部 【解析】三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，它的位置与三角形的形状有关。观察（图4）可以发现：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点（在三角形的一条边上）；钝角三角形的外心在三角形外部。反之，也可以根据外心的位置判断三角形的形状。 8.【答案】（1）锐角　（2）直角，直径　（3）5 【解析】（1）外心在三角形内部，说明 △ABC 是锐角三角形。（2）外心在边 BC 上，说明 BC 是 △ABC 外接圆的直径，由“直径所对的圆周角是直角”可知 ∠A = 90°，所以 △ABC 是直角三角形，此时边 BC 就是它外接圆的直径。（3）外心到三角形三个顶点的距离都等于外接圆的半径，所以 △ABC 外接圆的半径为 5 cm。 9.【答案】不能作这样的圆。 【理由】（反证法）假设可以作一个圆，使它经过同一条直线 l 上的三点 A、B、C，设这个圆的圆心为点 O。 因为 A、B、C 都在这个圆上，所以 ，。 由 可知，点 O 在线段 AB 的垂直平分线 上；由 可知，点 O 在线段 BC 的垂直平分线 上。 又因为 A、B、C 都在直线 l 上，所以 ⊥，⊥，即 与 都垂直于同一条直线 l，因此 ∥，它们没有交点。 这与“点 O 既在 上，又在 上，即 与 相交于点 O”相矛盾。 所以假设不成立，即经过同一条直线上的三点不能作圆。 【方法点拨】当直接说明某个结论比较困难时，可以先假设结论的反面成立，再由此推出矛盾，从而说明原结论成立，这种方法叫做反证法。 10.【答案】把 A、B、C 看成原来圆上的三点，分别作线段 AB、BC 的垂直平分线，两线交于点 O，则点 O 就是原来圆的圆心；以点 O 为圆心、OA 长为半径画圆，OA 的长就是原来圆的半径。 【理由】根据“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，A、B、C 三点可以确定一个圆。圆心到 A、B、C 三点的距离相等，所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上，也一定在线段 BC 的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点 O 就是圆心；点 O 到点 A 的距离 OA 就是半径。 （检验：可以在瓷片边缘再取一点 D，若点 D 也落在所作的圆上，就进一步说明所作的圆符合要求。） 【方法点拨】由一段圆弧（或圆上三点）确定圆心，本质上是“三点定圆”的应用。选点时尽量选取便于连接的两条线段，这样作出的垂直平分线交点更准确。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $