7.2 万有引力定律 重难突破讲义 -2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

专题讲义 人教版高中物理必修第二册 人教版·高中物理必修第二册 7.2　万有引力定律【单元复习】 （解析版） 人教版高中物理必修第二册　|　第七章《万有引力与宇宙航行》　|　单元复习提优　|　建议用时 60 分钟　|　难度：★★★☆☆ ▎学习目标 1．了解万有引力定律的发现过程：牛顿在前人研究的基础上，借助“月—地检验”证明了使物体落向地面的力与维持月球绕地球运动的力是同一性质的力，都遵从与距离平方成反比的规律；知道卡文迪什第一次在实验室里较准确地测出了引力常量 G； 2．理解万有引力定律：F=G·，方向沿两物体连线；G＝6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²；定律适用于质点之间，以及质量均匀分布的球体之间（此时 r 取两球心之间的距离）； 3．知道万有引力与重力的关系：忽略地球自转时 mg=G，即 g=；考虑自转时重力是万有引力的一个分力，两极处重力等于万有引力、赤道处重力最小；地面附近 g 随高度增大而减小、随纬度增大而略增大； 4．会用 F=G 计算引力大小、引力比值、多个质点引力的合力，并能运用“挖补法”（叠加法）求解挖去部分后的空心球体对质点的引力。 【思维导图】 万有引力定律 学史与月地检验 牛顿猜想 F∝1/r² 月地检验·月球加速度为g的1/60² 卡文迪什扭秤首测G 万有引力定律 定律与引力常量 F=G·m₁m₂/r²·沿连线 G=6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg² 质点/均匀球体·r取球心距 万有引力定律 重力与引力 忽略自转 mg=GMm/R² 自转·重力是引力的分力 g随高度减小·随纬度增大 万有引力定律 应用 引力与比值计算 多质点合力矢量合成 挖补法求空心球引力 考点一　万有引力定律的发现、月—地检验与引力常量 1．牛顿的猜想与月—地检验：牛顿设想，行星与太阳之间、地球与月球之间、地球对地面物体的吸引力可能是同一性质的力，都遵从与距离平方成反比的规律，即 F∝1/r²。月—地检验中，月球到地心的距离 r 约为地球半径 R 的 60 倍；若引力随距离平方反比衰减，则月球绕地球运动的向心加速度应约为地面重力加速度 g 的 。理论计算与天文实测高度吻合，从而把“天上的力”与“地上的力”统一了起来。 2．万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上；引力的大小与两物体质量 m₁、m₂ 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比，即 F=G·。式中 G 叫作引力常量；r 对质点是两质点间的距离，对质量均匀分布的球体则取两球心之间的距离（如图1）。 图1　质量均匀分布的球体可看作质量集中在球心 O 的质点，r 取球心 O 到外部质点 m 的距离 3．引力常量 G：英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置，第一次在实验室里较准确地测出了引力常量。在国际单位制中 G＝6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²。G 是一个很小的常量，因此日常生活中普通物体之间的万有引力极小，我们几乎觉察不到；G 的测出使万有引力定律有了真正的定量实用价值。 ▎重难诠释 ①公式 F=Gm₁m₂/r² 只适用于两个质点（或可视为质点的物体）以及两个质量均匀分布的球体；当两物体间距远大于物体自身尺寸时才可近似看作质点； ②当 r→0 时物体已不能再视为质点，公式不再适用，不能由此得出万有引力趋于无穷大的结论； ③两物体间的引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，与两物体质量是否相等无关； ④月—地检验是“天上的力与地上的力同源”的关键证据；卡文迪什扭秤实验首次测出 G，被称为“测出地球质量”的实验。 考点二　万有引力与重力的关系 1．忽略地球自转时：若不考虑地球自转，地面上物体的重力等于地球对物体的万有引力，即 mg=G，由此得 g=。这表明地面附近的重力加速度由地球质量 M 和半径 R 共同决定，常把 GM=gR² 作为代换关系使用。 2．考虑地球自转时：地球自转时，地面上的物体随地球一起做匀速圆周运动，需要一小部分万有引力提供向心力，其余部分才表现为重力。因此重力略小于万有引力，重力是万有引力的一个分力；在两极处向心力为零，重力等于万有引力；在赤道上需要的向心力最大，重力最小（如图2）。 图2　地球绕地轴自转：赤道上 A 点随地球自转的圆周半径最大，纬度越高处（如 B 点）圆周半径越小 3．g 随高度与纬度的变化：距地面高度 h 处，g′==g·，即离地面越高 g 越小；地球并非标准球体，纬度越高处物体越靠近地轴、所需向心力越小，重力随纬度增大而略有增大。 ▎重难诠释 ①忽略自转时 mg=GMm/R² 是本章代换的核心，常把 GM=gR² 代入天体运动公式； ②重力与万有引力不相等的原因是地球自转；同一物体在赤道上重力最小、在两极上重力最大； ③高度 h 远小于 R 时 g′≈g(1−2h/R)，即离地面越高 g 越小； ④随地球自转的物体在赤道、两极周期相同，但线速度与向心加速度随纬度升高而减小。 考向一　学史·月—地检验·扭秤与引力常量（牛顿平方反比猜想·月球加速度为g的1/60²·卡文迪什测G·G的单位） 1．1687年，牛顿发表《自然哲学的数学原理》（以下简称《原理》），以公理化体系定义了力、惯性等核心物理量，系统提出了三大运动定律，奠定了经典力学的理论基础。在《原理》中，牛顿提出地月检验猜想：若维持月球绕地球公转的万有引力与地球表面物体受到的重力为同种性质的力，则t时间内月球公转的法向偏移位移y，与地表物体自由落体位移gt²应满足定量比例关系。如图，月球绕地球公转轨道半径为r，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则应检验的关系式gt²与y的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由牛顿第二定律得G=ma，G=m'g，解得a=，g= 地面的重力加速度g与月球轨道处的加速度a的比值= 相等时间内===，故D正确，ABC错误。 故选：D。 2．牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，月球绕地球公转的周期为T，根据牛顿的理论，地球表面的重力加速度约为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 月球绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力有G=m月r，可得GM地=； 根据地球表面物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力，可得地球表面重力加速度g=； 其中R为地球半径，已知r＝60R，即R=。 将GM地=代入可得g=，把R=代入解得g=，故A正确，BCD错误。 故选：A。 3．关于万有引力定律，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿最早测出G值，使万有引力定律有了真正的实用价值 B．引力常量G值大小与中心天体选择有关 C．由F=G可知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，距离r趋于零时，万有引力无限大 D．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体所受地球引力和月球所受地球引力都遵从同样的规律 【答案】D 【详解】 A．最早测出引力常量G的科学家是卡文迪什，故A错误； B．引力常量G是普适常量，其大小与中心天体的选择无关，故B错误； C．万有引力公式F=G的适用条件是质点或均匀球体，当两物体间距r趋于零时，物体不能再视为质点，该公式不再适用，故C错误； D．牛顿通过“月﹣地检验”证实了地面物体所受地球引力、月球所受地球引力属于同一种力，遵从相同的万有引力规律，故D正确。 故选：D。 4．万有引力常量G是人类认识的第一个基本物理常量，其在物理学乃至整个自然科学中扮演着十分重要的角色。两个世纪以来，实验物理学家们围绕引力常量G值的精确测量付出了巨大而艰辛的努力，华中科技大学罗俊院士团队于2025年实现了目前国际最高精度的引力常量G值的测定，引力常量G的单位是（　　） A．m²/（kg·s²） B．N•m²/kg² C．kg²/（N·m²） D．N·kg²/m² 【答案】B 【详解】 BCD．根据万有引力定律公式F=G，变形可得G=。 其中力F的单位是N，距离r的单位是m，质量m的单位是kg，可得引力常量G的单位为N•m²/kg²，故B正确，CD错误。 A．由牛顿第二定律可知1N＝1kg•m/s2，代入G的单位表达式可得==，即G的单位也可写为m₃/（kg•s2），故A错误。 故选：B。 5．若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证（　　） A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C．苹果在月球表面自由落体的加速度约为在地球表面的 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 【答案】B 【详解】 A.设月球质量为M月，地球质量为M，苹果质量为m，则月球受到的万有引力为F月=，苹果受到的万有引力为F=，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误； B.根据牛顿第二定律，对月球和苹果分别得=M月a月、=ma，整理可得a月＝ a，故B正确； CD.在地球表面处有G= m'g地，在月球表面处有G=m′g月，由于地球和月球本身的半径大小、质量大小关系未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，也无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系，故CD错误。 故选：B。 考向二　定律理解与 F=Gm₁m₂/r² 计算（r取球心距·适用条件·引力比值·质量乘积变化·多质点合力） 6．某行星A的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在行星A的表面与在地球表面受到的引力的比值约为（　　） A．5 B．2.5 C．0.4 D．0.2 【答案】D 【详解】 设物体质量为m，则物体在地球表面受到的引力大小为F₂=G 物体在行星A表面受到的引力大小为F₁=G 由题意，行星A的质量MA=M地，半径RA=R地 代入数据可得同一物体在行星A的表面与在地球表面受到的引力的比值约为=×()²=×2²=0.2，故D正确，ABC错误。 故选：D。 7．地球质量约为月球质量的81倍，某月球探测器飞向月球途中，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，该探测器距月心与距地心的距离之比约为（　　） A．81：1 B．1：81 C．9：1 D．1：9 【答案】D 【详解】 设月球质量为M，则地球质量为81M，飞行器质量为m，飞行器距地心距离为r1，飞行器距月心距离为r2，由于地球对它的引力和月球对它的引力相等，根据万有引力定律得G=G 可得==，故ABC错误，D正确。 故选：D。 8．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（　　） A．地球与月球间的万有引力变大 B．地球与月球间的万有引力变小 C．地球与月球间的引力不变 D．地球与月球间引力无法确定怎么变化 【答案】B 【详解】 设开始时地球的质量为m₁，月球的质量为m₂，两星球之间的万有引力为F₀，开采后地球的质量增加Δm，月球的质量相应减小Δm， 它们之间的万有引力变为F，根据万有引力定律F₀=G，F=G=G-G 因m₁＞m₂ 由此可知F₀＞F，故B正确，ACD错误。 故选：B。 9．如图所示，四个固定质点的质量关系为m₁=m₂=m₃=m₄，且m₂、m₃、m₄在同一直线上，它们之间的距离和位置关系如图所示。若m₁、m₂、m₄三个质点对m₃的万有引力合力大小是m₁质点对m₃万有引力大小的倍，则图中θ为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【答案】C 【详解】 根据题意设m₄＝5m，则m₁＝m₂＝m₃＝m。 根据万有引力公式，令m₁对m₃的万有引力大小为F₁==F，则m₂对m₃的引力F₂==F，m₄对m₃的引力F₃==F。 因为m₂、m₄位于同一直线上，二者对m₃的引力方向相反，所以F₂、F₃的合力为F₄＝F₃﹣F₂＝F，方向由m₃指向m₄。 F₁的大小等于F，与y轴夹角为θ，F₁与F₄对称分布在y轴的两侧。两个力在x方向的分力大小相等、方向相反，相互抵消；在y方向的分力方向相同相互叠加，可得三个质点对m₃的总合力F合＝2Fcosθ。 根据题意可知2Fcosθ=F，解得cosθ=，所以θ＝30°，故ABD错误，C正确。 故选：C。 10．下列关于万有引力定律的表达式F=G，理解正确的是（　　） A．当r趋近于0时，两物体间的万有引力趋于无穷大 B．计算地球对其表面物体的引力时，r可以取地球的半径 C．假如物体处于地球的中心，它所受地球的引力一定最大 D．万有引力定律只适用于天体，对于分子、原子并不适用 【答案】B 【详解】 A．万有引力定律只适用于两质点之间，当r趋近于0时，物体不能看成质点，公式不成立，故A错误； B．由万有引力定律可知，计算地球对其表面物体的引力时，可以把地球看成质量分布均匀的球，r为地球球心到物体的距离，可以近似取地球的半径，故B正确； C．物体处于地心时，此时公式不可直接使用，需要微元求和，故C错误； D．万有引力定律适用于宏观有质量的物体，对于分子、原子同样适用，只是万有引力非常小，并非只适用于天体，故D错误。 故选：B。 考向三　万有引力与重力关系·g随高度纬度（忽略自转mg=GMm/R²·自转重力是引力分力·赤道两极·g′=gR²/(R+h)²） 11．小明乘游船静止在珠江上观看风景，假如地球的自转角速度增大，小明和船相对水依然静止。下列说法正确的是（　　） A．小明和游船所受万有引力不变，重力变大 B．小明和游船所受万有引力变小，重力变小 C．游船吃水深度不变 D．游船吃水深度变浅 【答案】C 【详解】 B、根据F万=G可知，万有引力不随地球自转角速度变化，重力虽然减小，但万有引力并未减小，故B错误； A、地球质量、小明与游船的质量以及到地心的距离都不变，由万有引力定律F万=G可知，小明和游船所受万有引力不变；当地球自转角速度增大时，离心效应增强，物体受到的重力减小，故A错误； C、设小明和游船的总质量为m，游船排开水的体积为V排，当地的重力加速度为g'，游船漂浮时，由平衡条件有ρ水g′V排＝mg′，解得V排=，地球自转角速度增大时，g'减小，但小明和游船的总质量及水的密度均不变，因此排开水的体积不变，游船吃水深度不变，故C正确； D、由C选项分析可知，游船排开水的体积不变，船体形状不变，因此吃水深度不变，不会变浅，故D错误。 故选：C。 12．德州地处山东省西北部，自古便是“九达天衢”、“神京门户”，是重要的交通枢纽，位于北纬36°24′至38°0′之间。一物体处在纬度为37°的德州市某地随地球自转做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．把该物体挪到地球赤道上同一海拔处其重力变大 B．把该物体挪到同纬度的高山上某点其重力变大 C．把该物体挪到纬度更高的北京市的同一海拔处其重力变大 D．把该物体挪到纬度较低的南京市的同一海拔处其向心力变小 【答案】C 【详解】 在地球表面，物体随地球自转做匀速圆周运动，万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力即为重力；随着纬度升高，物体随地球自转的半径减小，向心力减小，同时由于地球是赤道略鼓、两极稍扁的椭球体，极半径小于赤道半径，使得万有引力略微增大，因此物体的重力随纬度的升高而增大。 AC、把该物体挪到地球赤道上同一海拔处，由于纬度降低，重力变小；若挪到纬度更高的北京市同一海拔处，纬度升高，重力变大，故A错误，C正确； B、把该物体挪到同纬度的高山上某点，由于距地心的距离增大，万有引力变小，自转半径随海拔升高而略微增大导致向心力变大，综合作用下其重力变小，故B错误； D、把该物体挪到纬度较低的南京市同一海拔处，其随地球自转的半径r增大，由于地球自转的角速度ω相同，根据向心力公式Fn=mω²r可知其向心力变大，故D错误。 故选：C。 13．《史记•天官书》中，司马迁开创性地构建了“天赤道”体系，并阐明了它与“黄道”之间的相对位置关系。如图所示，a、b两物体分别静置在地球黄道和赤道上，则它们一定相等的物理量为（　　） A．周期 B．线速度大小 C．万有引力大小 D．向心加速度大小 【答案】A 【详解】 A、a、b都随地球自转，同轴转动，周期相等，故A正确； B、a、b到地轴的垂直距离（轨道半径r）不相等，由v＝ωr，线速度大小不等，故B错误； C、万有引力的大小F=G，但题目中并未给出a、b两个物体的质量，所以无法比较万有引力大小关系，故C错误； D、由于a、b两物体的角速度相同，赤道处转动半径更大，由a＝ω2r可知a物体向心加速度更大，故D错误。 故选：A。 14．某探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力大小，能够描述F随h变化关系的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设地球质量为M，探测器质量m，地球半径R，探测器与地心距离r＝R+h。 万有引力F=G=G，G、M、m、R均为定值，h增大，F单调减小，F与（R+h）成平方反比，不是线性关系，图像是向下弯曲的递减曲线，故D正确，ABC错误。 故选：D。 15．2025年5月11日21时27分，长征六号甲运载火箭在太原卫星发射中心点火起飞，成功将遥感四十号02组卫星发射升空，发射任务取得圆满成功，卫星顺利进入离地球表面高度为h的预定轨道，遥感四十号02组卫星在地球表面时受到地球的万有引力大小为F，地球半径为R，遥感四十号02组卫星绕地球做圆周运动转n圈的时间与地球同步卫星的周期相同。求：（1）遥感四十号02组卫星在运行轨道上受到的地球万有引力大小；（2）地球同步卫星绕地球运行的轨道半径r。 【答案】（1）遥感四十号02组卫星在运行轨道上受到的地球万有引力大小是；（2）地球同步卫星绕地球运行的轨道半径r是(R+h)n^。 【详解】 （1）在地表时受到的引力为F= 在离地球表面高度为h的预定轨道上受力为F₁= 可得到引力F₁= （2）设同步卫星的周期为T，则遥感卫星的周期为 对遥感卫星，有=m(R+h) 对同步卫星，有=m₁r 可解得r=(R+h)n^ （1）遥感四十号02组卫星在运行轨道上受到的地球万有引力大小是； （2）地球同步卫星绕地球运行的轨道半径r是(R+h)n^。 考向四　综合应用与挖补法（球壳定理叠加·空心球引力比·椭圆轨道引力与加速度比·由两极赤道g求地球半径） 16．如图甲所示，质量分布均匀的球体，球心为O、半径为R，视为质点的物体放在距球心O为3R的A点，物体受球体的引力大小为F。现在球体的中心挖走一半径为的小球，如图乙所示，则剩余的空心球体对物体的引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设原实心球体的质量为M，位于A点的质点质量为m，根据万有引力定律，原实心球体对物体的引力大小为：F=G=G，设小球的密度为ρ，由密度公式可得：M=ρV=ρ⋅πR³，则挖去的小球的质量为：M′=ρ⋅π⋅()³=×ρ⋅πR³=M 挖去的小球的球心依然在O点，距A点的距离同为3R，若该部分存在，其对位于A点物体的引力大小应为：F′=G=G=F 根据割补法，剩余空心部分对物体的引力大小等于原整体的引力减去被挖去部分的引力，即F剩=F-F′=F-F=F，故A正确，BCD错误。 故选：A。 17．一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，二者之间的万有引力大小为F₁。现从M中挖去半径为0.5R的球体，如图所示，剩余部分对m的万有引力为F₂，则F₁与F₂的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 均匀球体质量与体积成正比，大球半径为R、挖去小球半径为0.5R，根据球体体积V=πr³，可得挖去小球质量M小=M=M 完整大球与m的间距为2R，根据万有引力公式可得完整球体对m的万有引力F₁=G=；小球球心到m的距离为2R+0.5R＝2.5R，根据万有引力公式可得挖去小球单独对m的万有引力F小=G=，则剩余部分对m的万有引力F₂=-=。 化简可得=，故ACD错误，B正确。 故选：B。 18．如图所示，有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距球心3R处有一质量为m的质点。若以球心O为中心挖去一个半径为的球体，G为引力常量，则剩下部分对质点的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 质点距离大球球心O的距离为r＝3R，完整大球对质点的引力F₁=G=，体积V=πr³，挖去小球半径为，挖去小球的质量M′=M=M=，挖去小球的球心也在O点，到质点距离同样为3R，因此挖去部分对质点的引力F₂=G=G=，剩余部分引力等于原引力减去挖去部分的引力F=F₁-F₂=-==，故B正确，ACD错误。 故选：B。 19．2025年9月3日，中国“东风﹣5C”重型洲际导弹首次亮相，震撼了全球军事领域。如图所示，导弹发射后从P点飞出大气层，靠惯性沿椭圆轨道飞行，经远地点B后从Q点返回大气层，地心O为椭圆轨道的一个焦点，近地点A（未画出）恰贴近地面。已知地球半径为R，OB＝r。（1）求导弹在A、B两点所受到的万有引力大小之比；（2）若导弹沿椭圆轨道运动，不计空气阻力，求导弹由A经P到B点的时间t（已知地球近地卫星的周期为T）。 【答案】（1）导弹在A、B两点所受到的万有引力大小之比是；（2）导弹由A经P到B点的时间t是T。 【详解】 （1）由万有引力定律可得FA=G，FB=G 所以= （2）设导弹在椭圆轨道上的运行周期为T′，由开普勒第三定律有=，又t= 解得t=T （1）导弹在A、B两点所受到的万有引力大小之比是； （2）若导弹沿椭圆轨道运动，不计空气阻力，导弹由A经P到B点的时间t是T。 20．牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题：（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比。（2）实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动。设行星与太阳的距离为r，请根据开普勒第三定律（=k）及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。（3）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g₀，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，求地球半径R。 【答案】（1）加速度大小之比为；（2）因m、4π²k均为常量，故F∝，即太阳对行星的作用力与r的平方成反比；（3）地球半径R为。 【详解】 （1）根据万有引力定律，行星在近日点的加速度a₁=== 在远日点的加速度a₂=== 加速度之比== （2）行星做匀速圆周运动，向心力由太阳引力提供，可得F=mr 根据开普勒第三定律=k 得T²= 代入向心力公式F=m 因m、4π²k均为常量，故F∝，即太阳对行星的作用力与r的平方成反比。 （3）在两极，万有引力等于重力：=mg₀ 在赤道，万有引力等于重力与向心力之和=mg+mR 联立两式消去 可得mg₀=mg+mR 化简得g₀-g=R 解得地球半径R=((g₀-g)T²)/(4π²) （1）加速度大小之比为； （2）行星做匀速圆周运动，向心力由太阳引力提供，可得F=mr 根据开普勒第三定律=k 得T²= 代入向心力公式F=m 因m、4π²k均为常量，故F∝，即太阳对行星的作用力与r的平方成反比。 （3）地球半径为((g₀-g)T²)/(4π²)。 ★ 重难题型专练（15题）★ （精选高频重难题，覆盖学史与月地检验、定律理解与 F=Gm₁m₂/r² 计算、重力与引力及 g 随高度纬度、球壳挖补与椭圆综合） 21．我国于2025年11月25日12时11分成功发射神舟二十二号飞船，中国载人航天工程首次应急发射任务取得圆满成功。下列说法正确的是（　　） A．“12时11分”是时间间隔 B．研究神舟二十二号的对接过程时可将神舟二十二号视为质点 C．神舟二十二号加速升空的过程中惯性增大 D．神舟二十二号升空过程中受到地球的引力逐渐减小 【答案】D 【详解】 A、“12时11分”表示的是具体瞬间，是时间轴上的一个点，属于时刻，故A错误； B、研究对接过程需考虑飞船的姿态、尺寸和相对位置，这些因素对精确对接至关重要，故不可视为质点，故B错误； C、惯性大小仅由质量决定，神舟二十二号加速升空时燃料消耗，质量减小，惯性减小，故C错误； D、地球引力由万有引力定律F=G决定，其中r为飞船到地心的距离；升空过程中 r增大，引力逐渐减小，故D正确。 故选：D。 22．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（　　） A．()^ B．()^ C．()^ D．()^ 【答案】B 【详解】 赤道表面上的物体对天体表面的压力为零，天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，F向＝F引 即：mR=，M＝ρ•πR3 代入数据可得T=，故B正确，ACD错误。 故选：B。 23．已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零。现在质量为M，半径为R，球心在O点的地球内部挖一个半径为，球心在O′的球形洞。现将一质量为m的小球从洞内P点由静止释放。其中地球可视为质量均匀分布。关于小球的运动，以下说法正确的是（　　） A．小球做变加速运动，最终撞到O点 B．小球在P点时的加速度方向为O→O′ C．小球在P点时的加速度大小为 D．小球在P点时所受万有引力的大小为 【答案】D 【详解】 BCD、结合补偿法，小球所受万有引力等于大球对其万有引力与挖去部分对其万有引力的差，OP＝r1，O′P＝r2 又质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，大球对小球的万有引力等于以OP为半径的球体对其的引力，挖去部分对其的万有引力等于以O′P为半径的球体对其的引力 设地球密度为ρ，则F₁=G=Gρ⋅πr₁m，方向为P→O，F₂=G=Gρ⋅πr₂m，方向P→O′ 结合=，大球对其万有引力与挖去部分对其万有引力的矢量差值F合，剩余部分对其产生的引力方向为O′→O，即== P点时所受万有引力的合力F合=Gρπ⋅m==ma P点时的加速度大小为，故BC错误，D正确； A、小球运动中的加速度方向是不变的，不会撞到O点，故A错误。 故选：D。 24．我国成功发射的“天链二号”中继卫星，为载人航天任务提供了强大的通信支持。该卫星在距地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动，如图所示。已知卫星质量为m，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则该卫星（　　） A．向心加速度小于g B．受到地球的引力为mg C．线速度大小为 D．运行周期为 【答案】A 【详解】 A．根据黄金代换式G=m′g，对“天链二号”中继卫星，根据G=ma，可得a=＜g，故A正确； B．“天链二号”中继卫星受到地球的引力为F=G=＜mg，故B错误； C．对“天链二号”中继卫星，根据G=m，可得v=，故C错误； D．对“天链二号”中继卫星，根据G=m(R+h)，可得运行周期为T=，故D错误。 故选：A。 25．我国深空探测车可登陆不同地外天体开展探测任务。已知火星质量约为月球质量的9倍，火星半径约为月球半径的2倍。同一台探测车分别置于火星表面、月球表面，它受到的万有引力之比约为（　　） A．9：4 B．4：9 C．9：2 D．2：9 【答案】A 【详解】 根据万有引力定律F=G，则同一台探测车分别置于火星表面、月球表面，它受到的万有引力之比为=⋅=×=，故A正确，BCD错误。 故选：A。 26．北京时间2026年5月11日上午8时14分，搭载天舟十号货运飞船的长征七号遥十一运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射升空，给在轨运行的“天宫”空间站进行第5次货运补给。在火箭升空过程中，受到地球万有引力的大小（　　） A．一直变小 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【答案】A 【详解】 火箭不断远离地心，到地心的距离r持续变大，G、M、m保持不变，由F=G可知万有引力一直变小，故BCD错误，A正确。 故选：A。 27．关于万有引力定律，下列说法正确的是（　　） A．公式F=G中的G为引力常量，由牛顿通过扭秤实验测出 B．两个物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 C．r趋近于零时，万有引力趋于无穷大 D．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的 【答案】D 【详解】 A．万有引力公式F=G中，引力常量G并非牛顿测出，牛顿只是提出万有引力定律，卡文迪许通过扭秤实验首次测出G，故A错误。 B．两个物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，二者分别作用在两个不同物体上，大小相等，方向相反；而平衡力需要作用在同一个物体上，故B错误。 C．万有引力公式 F=G的适用前提是两个物体可视为质点。当r趋近于零时，两物体的尺寸不可忽略，不再满足质点条件，此公式已不适用，万有引力也不趋于无穷大，故C错误。 D．万有引力定律是牛顿依托开普勒行星运动三定律等前人的研究成果，通过推导总结发现的，故D正确。 故选：D。 28．有两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力大小为F，若两球心间的距离变为原来的2倍，则此时两球间的万有引力大小变为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据题意，有F=，若两球心间的距离变为原来的2倍，则此时两球间的万有引力大小变为F′==•=，故A正确，BCD错误。 故选：A。 29．关于探测器在地球内部受到万有引力，下列说法正确的是（　　） A．所受万有引力的方向垂直于运动方向 B．在距地心r处的引力与在地球表面处的引力大小之比为 C．在地球内部距地心r处，所受万有引力大小由外部球壳的质量决定 D．在距地心r=处，所受万有引力大小为F= 【答案】D 【详解】 A.探测器沿南北极隧道直线运动，万有引力始终指向地心，与运动方向在同一直线，并非垂直，故A错误； B.地球密度ρ=， 半径r以内球体质量 Mr=ρ⋅πr³=M⋅ 探测器在r处引力 Fr=G=G 地球表面（r＝R）引力 FR=G，引力比值 == 并非，故B错误。 C.题干明确说明：外部球壳对探测器合力为零，引力仅由半径r的内部球体质量产生，和外部球壳无关，故C错误； D.将r=代入Fr= F=G=，故D正确。 故选：D。 30．若探测器从北极洞口由静止释放，则下列说法正确的是（　　） A．在隧道内的运动为匀变速直线运动 B．到达地心时的速度大小为r= C．在地球内部距地心r=处引力势能为Ep= D．探测器从洞口运动到距地心r=处引力势能的变化量是从r=运动到地心引力势能变化量的3倍 【答案】D 【详解】 地球密度ρ= 半径r以内球体质量 Mr=ρ⋅πr³=M⋅ 探测器在r处引力 Fr=G=G 加速度a==r 引力势能：Ep(r)=(-GMm(3R²-r²))/(2R³) A、加速度a=r，r随位置变化，加速度大小不断改变，不是匀变速直线运动，故A错误； B、只有万有引力做功，机械能守恒，初始在北极洞口r＝R，初速度为0，地心处r＝0 初始势能Ep₁==- 地心势能Ep₂==- 由Ep₁+0=Ep₂+mv² 整理得-=-+mv² 解得v=≠，故B错误； C、代入r=到势能公式得Ep= 即Ep=-，故C错误； D、①洞口（r＝R）到r=势能变化量ΔEp₁ Ep(R)=-=-，Ep()=- ΔEp₁=Ep()-Ep(R)=--(-)=- ②r=到地心（r＝0）势能变化量ΔEp₂ Ep(0)=-=- ΔEp₂=Ep(0)-Ep()=--(-)=- 比值 ==3 即前一段势能变化量是后一段的3倍，故D正确。 故选：D。 31．关于万有引力定律，下列说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，并且通过实验测定了引力常量G的数值 B．由万有引力公式可知，两物体紧靠在一起时万有引力无穷大 C．通过月—地检验，验证牛顿的猜想：地面物体受地球的引力与太阳、行星间的引力遵从相同规律，是同一性质的力 D．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的 【答案】C 【详解】 A.牛顿虽然发现了万有引力定律，但没有测量出引力常量G的数值，是卡文迪什测出了引力常量G的数值，故A错误； B.万有引力定律适用于两个质点之间的万有引力计算，两物体紧靠在一起时不满足相应的条件，不能得出万有引力无穷大的结论，故B错误； C.牛顿通过月—地检验，验证牛顿的猜想：地面物体受地球的引力与太阳、行星间的引力遵从相同规律，是同一性质的力，故C正确； D.两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，根据万有引力表达式可知，它们之间的万有引力将变为原来的，故D错误。 故选：C。 32．潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A．a处最小 B．b处最小 C．c处最小 D．a、c处相等，b处最大 【答案】C 【详解】 根据万有引力公式F=G c处距离月球最远，a处最近，可知图中c处单位质量的海水受到月球的引力最小，a处受到月球的引力最大。 故ABD错误，C正确。 故选：C。 33．2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅。如图，假设嫦娥六号在环月椭圆轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，ab为椭圆轨道长轴。下列关于嫦娥六号的说法正确的是（　　） A．在a点时所受万有引力比在b点时的大 B．在a点时所受万有引力比在b点时的小 C．在a点时线速度小于在b点时的线速度 D．在a点时线速度等于在b点时的线速度 【答案】A 【详解】 AB．根据万有引力公式F=G，a点到月球的距离小于b点到月球的距离，可知嫦娥六号在a点时所受万有引力比在b点时的大，故A正确，B错误； CD．根据开普勒第二定律可知，嫦娥六号在a点时线速度大于在b点时的线速度，故CD错误。 故选：A。 34．（1）如图甲所示，质量分布均匀的大球质量为M、球心为O、半径为R，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于A点，B点为小球球心。将质量为m的小物体（可视为质点）置于A点，引力常数为G。①求大球剩余部分对小物体的引力大小FA；②已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将小物体移动到B点时，求大球剩余部分对小物体的引力大小FB；（2）如图乙所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方有一球形空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。①设球形空腔的体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ＝L，已知引力常量为G，求空腔引起的Q点的重力加速度反常Δg。②根据某地区的重力加速度反常，可以有哪些实际应用？展开想象的翅膀，就其中一个应用进行简要说明。 【答案】（1）①大球剩余部分对小物体的吸引力大小为；②大球剩余部分对小物体的吸引力大小为；（2）①空腔引起的重力加速度反常为；②可推测油田的位置和存量。 【详解】 （1）①若没有挖去以B为圆心的球形，可知整个球对物体的吸引力为：F₁=； 若存在以B为圆心的球形，可知该球对物体的吸引力：F₂= 球B的质量与整个大球质量满足：= 剩余部分对小物体的吸引力大小：FA＝F₁﹣F₂ 解得：FA=； ②根据空腔对球壳内的引力为零，可知若未挖去小球，则球外侧的球壳在B处引力为零，B内侧的球对在B处的物体的引力为：F₃=G B内侧球的质量满足：= 挖去的小球对B处物体的吸引力也为0，即大球剩余部分对小物体的吸引力大小为：FB＝F₃﹣0 解得：FB=； （2）①根据万有引力可得到空腔部分若未挖去，则其对Q点造成的重力加速度满足：mΔgQ=，由几何关系可得：r²＝L²+d²，重力加速度方向如图： 结合重力加速度反常的定义，可得空腔引起的重力加速度反常为：Δg＝ΔgQsinθ，sinθ=解得：Δg=； ②由①可知重力加速度反常与空腔部分的大小、位置有关，可分析由重力加速度可推出地球内部的特殊之处，比如推测油田的位置和存量。 （1）①大球剩余部分对小物体的吸引力大小为； ②大球剩余部分对小物体的吸引力大小为； （2）①空腔引起的重力加速度反常为； ②可推测油田的位置和存量。 35．如图所示，距离质量为M、半径为R、密度均匀的球体表面R处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F₁。当从M中挖去两个半径为r＝0.5R的球体时，剩下部分对m的万有引力为F₂。求F₁与F₂的比值。 【答案】F₁与F₂的比值等于。 【详解】 设挖去的两个球体与m之间的万有引力分别为F左、F右，根据题意得 F₁＝F₂+F左+F右 根据万有引力定律得 F₁=G，F右=G，F左=G 当从M中挖去两个半径为r＝0.5R的球体时，可得 M₁=M 解得 = F₁与F₂的比值等于。 重难突破系列　|　人教版高中物理必修二　|　7.2 万有引力定律 — — 学科网（北京）股份有限公司 $专题讲义 人教版高中物理必修第二册 人教版·高中物理必修第二册 7.2　万有引力定律【单元复习】 （原卷版） 人教版高中物理必修第二册　|　第七章《万有引力与宇宙航行》　|　单元复习提优　|　建议用时 60 分钟　|　难度：★★★☆☆ ▎学习目标 1．了解万有引力定律的发现过程：牛顿在前人研究的基础上，借助“月—地检验”证明了使物体落向地面的力与维持月球绕地球运动的力是同一性质的力，都遵从与距离平方成反比的规律；知道卡文迪什第一次在实验室里较准确地测出了引力常量 G； 2．理解万有引力定律：F=G·，方向沿两物体连线；G＝6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²；定律适用于质点之间，以及质量均匀分布的球体之间（此时 r 取两球心之间的距离）； 3．知道万有引力与重力的关系：忽略地球自转时 mg=G，即 g=；考虑自转时重力是万有引力的一个分力，两极处重力等于万有引力、赤道处重力最小；地面附近 g 随高度增大而减小、随纬度增大而略增大； 4．会用 F=G 计算引力大小、引力比值、多个质点引力的合力，并能运用“挖补法”（叠加法）求解挖去部分后的空心球体对质点的引力。 【思维导图】 万有引力定律 学史与月地检验 牛顿猜想 F∝1/r² 月地检验·月球加速度为g的1/60² 卡文迪什扭秤首测G 万有引力定律 定律与引力常量 F=G·m₁m₂/r²·沿连线 G=6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg² 质点/均匀球体·r取球心距 万有引力定律 重力与引力 忽略自转 mg=GMm/R² 自转·重力是引力的分力 g随高度减小·随纬度增大 万有引力定律 应用 引力与比值计算 多质点合力矢量合成 挖补法求空心球引力 考点一　万有引力定律的发现、月—地检验与引力常量 1．牛顿的猜想与月—地检验：牛顿设想，行星与太阳之间、地球与月球之间、地球对地面物体的吸引力可能是同一性质的力，都遵从与距离平方成反比的规律，即 F∝1/r²。月—地检验中，月球到地心的距离 r 约为地球半径 R 的 60 倍；若引力随距离平方反比衰减，则月球绕地球运动的向心加速度应约为地面重力加速度 g 的 。理论计算与天文实测高度吻合，从而把“天上的力”与“地上的力”统一了起来。 2．万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上；引力的大小与两物体质量 m₁、m₂ 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比，即 F=G·。式中 G 叫作引力常量；r 对质点是两质点间的距离，对质量均匀分布的球体则取两球心之间的距离（如图1）。 图1　质量均匀分布的球体可看作质量集中在球心 O 的质点，r 取球心 O 到外部质点 m 的距离 3．引力常量 G：英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置，第一次在实验室里较准确地测出了引力常量。在国际单位制中 G＝6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²。G 是一个很小的常量，因此日常生活中普通物体之间的万有引力极小，我们几乎觉察不到；G 的测出使万有引力定律有了真正的定量实用价值。 ▎重难诠释 ①公式 F=Gm₁m₂/r² 只适用于两个质点（或可视为质点的物体）以及两个质量均匀分布的球体；当两物体间距远大于物体自身尺寸时才可近似看作质点； ②当 r→0 时物体已不能再视为质点，公式不再适用，不能由此得出万有引力趋于无穷大的结论； ③两物体间的引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，与两物体质量是否相等无关； ④月—地检验是“天上的力与地上的力同源”的关键证据；卡文迪什扭秤实验首次测出 G，被称为“测出地球质量”的实验。 考点二　万有引力与重力的关系 1．忽略地球自转时：若不考虑地球自转，地面上物体的重力等于地球对物体的万有引力，即 mg=G，由此得 g=。这表明地面附近的重力加速度由地球质量 M 和半径 R 共同决定，常把 GM=gR² 作为代换关系使用。 2．考虑地球自转时：地球自转时，地面上的物体随地球一起做匀速圆周运动，需要一小部分万有引力提供向心力，其余部分才表现为重力。因此重力略小于万有引力，重力是万有引力的一个分力；在两极处向心力为零，重力等于万有引力；在赤道上需要的向心力最大，重力最小（如图2）。 图2　地球绕地轴自转：赤道上 A 点随地球自转的圆周半径最大，纬度越高处（如 B 点）圆周半径越小 3．g 随高度与纬度的变化：距地面高度 h 处，g′==g·，即离地面越高 g 越小；地球并非标准球体，纬度越高处物体越靠近地轴、所需向心力越小，重力随纬度增大而略有增大。 ▎重难诠释 ①忽略自转时 mg=GMm/R² 是本章代换的核心，常把 GM=gR² 代入天体运动公式； ②重力与万有引力不相等的原因是地球自转；同一物体在赤道上重力最小、在两极上重力最大； ③高度 h 远小于 R 时 g′≈g(1−2h/R)，即离地面越高 g 越小； ④随地球自转的物体在赤道、两极周期相同，但线速度与向心加速度随纬度升高而减小。 考向一　学史·月—地检验·扭秤与引力常量（牛顿平方反比猜想·月球加速度为g的1/60²·卡文迪什测G·G的单位） 1．1687年，牛顿发表《自然哲学的数学原理》（以下简称《原理》），以公理化体系定义了力、惯性等核心物理量，系统提出了三大运动定律，奠定了经典力学的理论基础。在《原理》中，牛顿提出地月检验猜想：若维持月球绕地球公转的万有引力与地球表面物体受到的重力为同种性质的力，则t时间内月球公转的法向偏移位移y，与地表物体自由落体位移gt²应满足定量比例关系。如图，月球绕地球公转轨道半径为r，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则应检验的关系式gt²与y的比值为（　　） A． B． C． D． 2．牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，月球绕地球公转的周期为T，根据牛顿的理论，地球表面的重力加速度约为（　　） A． B． C． D． 3．关于万有引力定律，下列说法中正确的是（　　） A．牛顿最早测出G值，使万有引力定律有了真正的实用价值 B．引力常量G值大小与中心天体选择有关 C．由F=G可知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，距离r趋于零时，万有引力无限大 D．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体所受地球引力和月球所受地球引力都遵从同样的规律 4．万有引力常量G是人类认识的第一个基本物理常量，其在物理学乃至整个自然科学中扮演着十分重要的角色。两个世纪以来，实验物理学家们围绕引力常量G值的精确测量付出了巨大而艰辛的努力，华中科技大学罗俊院士团队于2025年实现了目前国际最高精度的引力常量G值的测定，引力常量G的单位是（　　） A．m²/（kg·s²） B．N•m²/kg² C．kg²/（N·m²） D．N·kg²/m² 5．若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证（　　） A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 C．苹果在月球表面自由落体的加速度约为在地球表面的 D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 考向二　定律理解与 F=Gm₁m₂/r² 计算（r取球心距·适用条件·引力比值·质量乘积变化·多质点合力） 6．某行星A的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在行星A的表面与在地球表面受到的引力的比值约为（　　） A．5 B．2.5 C．0.4 D．0.2 7．地球质量约为月球质量的81倍，某月球探测器飞向月球途中，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，该探测器距月心与距地心的距离之比约为（　　） A．81：1 B．1：81 C．9：1 D．1：9 8．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（　　） A．地球与月球间的万有引力变大 B．地球与月球间的万有引力变小 C．地球与月球间的引力不变 D．地球与月球间引力无法确定怎么变化 9．如图所示，四个固定质点的质量关系为m₁=m₂=m₃=m₄，且m₂、m₃、m₄在同一直线上，它们之间的距离和位置关系如图所示。若m₁、m₂、m₄三个质点对m₃的万有引力合力大小是m₁质点对m₃万有引力大小的倍，则图中θ为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 10．下列关于万有引力定律的表达式F=G，理解正确的是（　　） A．当r趋近于0时，两物体间的万有引力趋于无穷大 B．计算地球对其表面物体的引力时，r可以取地球的半径 C．假如物体处于地球的中心，它所受地球的引力一定最大 D．万有引力定律只适用于天体，对于分子、原子并不适用 考向三　万有引力与重力关系·g随高度纬度（忽略自转mg=GMm/R²·自转重力是引力分力·赤道两极·g′=gR²/(R+h)²） 11．小明乘游船静止在珠江上观看风景，假如地球的自转角速度增大，小明和船相对水依然静止。下列说法正确的是（　　） A．小明和游船所受万有引力不变，重力变大 B．小明和游船所受万有引力变小，重力变小 C．游船吃水深度不变 D．游船吃水深度变浅 12．德州地处山东省西北部，自古便是“九达天衢”、“神京门户”，是重要的交通枢纽，位于北纬36°24′至38°0′之间。一物体处在纬度为37°的德州市某地随地球自转做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．把该物体挪到地球赤道上同一海拔处其重力变大 B．把该物体挪到同纬度的高山上某点其重力变大 C．把该物体挪到纬度更高的北京市的同一海拔处其重力变大 D．把该物体挪到纬度较低的南京市的同一海拔处其向心力变小 13．《史记•天官书》中，司马迁开创性地构建了“天赤道”体系，并阐明了它与“黄道”之间的相对位置关系。如图所示，a、b两物体分别静置在地球黄道和赤道上，则它们一定相等的物理量为（　　） A．周期 B．线速度大小 C．万有引力大小 D．向心加速度大小 14．某探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力大小，能够描述F随h变化关系的图像是（　　） A． B． C． D． 15．2025年5月11日21时27分，长征六号甲运载火箭在太原卫星发射中心点火起飞，成功将遥感四十号02组卫星发射升空，发射任务取得圆满成功，卫星顺利进入离地球表面高度为h的预定轨道，遥感四十号02组卫星在地球表面时受到地球的万有引力大小为F，地球半径为R，遥感四十号02组卫星绕地球做圆周运动转n圈的时间与地球同步卫星的周期相同。求：（1）遥感四十号02组卫星在运行轨道上受到的地球万有引力大小；（2）地球同步卫星绕地球运行的轨道半径r。 考向四　综合应用与挖补法（球壳定理叠加·空心球引力比·椭圆轨道引力与加速度比·由两极赤道g求地球半径） 16．如图甲所示，质量分布均匀的球体，球心为O、半径为R，视为质点的物体放在距球心O为3R的A点，物体受球体的引力大小为F。现在球体的中心挖走一半径为的小球，如图乙所示，则剩余的空心球体对物体的引力大小为（　　） A． B． C． D． 17．一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，二者之间的万有引力大小为F₁。现从M中挖去半径为0.5R的球体，如图所示，剩余部分对m的万有引力为F₂，则F₁与F₂的比值为（　　） A． B． C． D． 18．如图所示，有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距球心3R处有一质量为m的质点。若以球心O为中心挖去一个半径为的球体，G为引力常量，则剩下部分对质点的万有引力为（　　） A． B． C． D． 19．2025年9月3日，中国“东风﹣5C”重型洲际导弹首次亮相，震撼了全球军事领域。如图所示，导弹发射后从P点飞出大气层，靠惯性沿椭圆轨道飞行，经远地点B后从Q点返回大气层，地心O为椭圆轨道的一个焦点，近地点A（未画出）恰贴近地面。已知地球半径为R，OB＝r。（1）求导弹在A、B两点所受到的万有引力大小之比；（2）若导弹沿椭圆轨道运动，不计空气阻力，求导弹由A经P到B点的时间t（已知地球近地卫星的周期为T）。 20．牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题：（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比。（2）实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动。设行星与太阳的距离为r，请根据开普勒第三定律（=k）及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。（3）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g₀，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，求地球半径R。 ★ 重难题型专练（15题）★ （精选高频重难题，覆盖学史与月地检验、定律理解与 F=Gm₁m₂/r² 计算、重力与引力及 g 随高度纬度、球壳挖补与椭圆综合） 21．我国于2025年11月25日12时11分成功发射神舟二十二号飞船，中国载人航天工程首次应急发射任务取得圆满成功。下列说法正确的是（　　） A．“12时11分”是时间间隔 B．研究神舟二十二号的对接过程时可将神舟二十二号视为质点 C．神舟二十二号加速升空的过程中惯性增大 D．神舟二十二号升空过程中受到地球的引力逐渐减小 22．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（　　） A．()^ B．()^ C．()^ D．()^ 23．已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零。现在质量为M，半径为R，球心在O点的地球内部挖一个半径为，球心在O′的球形洞。现将一质量为m的小球从洞内P点由静止释放。其中地球可视为质量均匀分布。关于小球的运动，以下说法正确的是（　　） A．小球做变加速运动，最终撞到O点 B．小球在P点时的加速度方向为O→O′ C．小球在P点时的加速度大小为 D．小球在P点时所受万有引力的大小为 24．我国成功发射的“天链二号”中继卫星，为载人航天任务提供了强大的通信支持。该卫星在距地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动，如图所示。已知卫星质量为m，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则该卫星（　　） A．向心加速度小于g B．受到地球的引力为mg C．线速度大小为 D．运行周期为 25．我国深空探测车可登陆不同地外天体开展探测任务。已知火星质量约为月球质量的9倍，火星半径约为月球半径的2倍。同一台探测车分别置于火星表面、月球表面，它受到的万有引力之比约为（　　） A．9：4 B．4：9 C．9：2 D．2：9 26．北京时间2026年5月11日上午8时14分，搭载天舟十号货运飞船的长征七号遥十一运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射升空，给在轨运行的“天宫”空间站进行第5次货运补给。在火箭升空过程中，受到地球万有引力的大小（　　） A．一直变小 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 27．关于万有引力定律，下列说法正确的是（　　） A．公式F=G中的G为引力常量，由牛顿通过扭秤实验测出 B．两个物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 C．r趋近于零时，万有引力趋于无穷大 D．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的 28．有两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力大小为F，若两球心间的距离变为原来的2倍，则此时两球间的万有引力大小变为（　　） A． B． C． D． 29．关于探测器在地球内部受到万有引力，下列说法正确的是（　　） A．所受万有引力的方向垂直于运动方向 B．在距地心r处的引力与在地球表面处的引力大小之比为 C．在地球内部距地心r处，所受万有引力大小由外部球壳的质量决定 D．在距地心r=处，所受万有引力大小为F= 30．若探测器从北极洞口由静止释放，则下列说法正确的是（　　） A．在隧道内的运动为匀变速直线运动 B．到达地心时的速度大小为r= C．在地球内部距地心r=处引力势能为Ep= D．探测器从洞口运动到距地心r=处引力势能的变化量是从r=运动到地心引力势能变化量的3倍 31．关于万有引力定律，下列说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，并且通过实验测定了引力常量G的数值 B．由万有引力公式可知，两物体紧靠在一起时万有引力无穷大 C．通过月—地检验，验证牛顿的猜想：地面物体受地球的引力与太阳、行星间的引力遵从相同规律，是同一性质的力 D．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的 32．潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A．a处最小 B．b处最小 C．c处最小 D．a、c处相等，b处最大 33．2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅。如图，假设嫦娥六号在环月椭圆轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，ab为椭圆轨道长轴。下列关于嫦娥六号的说法正确的是（　　） A．在a点时所受万有引力比在b点时的大 B．在a点时所受万有引力比在b点时的小 C．在a点时线速度小于在b点时的线速度 D．在a点时线速度等于在b点时的线速度 34．（1）如图甲所示，质量分布均匀的大球质量为M、球心为O、半径为R，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于A点，B点为小球球心。将质量为m的小物体（可视为质点）置于A点，引力常数为G。①求大球剩余部分对小物体的引力大小FA；②已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将小物体移动到B点时，求大球剩余部分对小物体的引力大小FB；（2）如图乙所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方有一球形空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。①设球形空腔的体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ＝L，已知引力常量为G，求空腔引起的Q点的重力加速度反常Δg。②根据某地区的重力加速度反常，可以有哪些实际应用？展开想象的翅膀，就其中一个应用进行简要说明。 35．如图所示，距离质量为M、半径为R、密度均匀的球体表面R处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F₁。当从M中挖去两个半径为r＝0.5R的球体时，剩下部分对m的万有引力为F₂。求F₁与F₂的比值。 重难突破系列　|　人教版高中物理必修二　|　7.2 万有引力定律 — — 学科网（北京）股份有限公司 $