第一章 三角形 单元测试 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026年苏科版数学八年级上册第一单元测试 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题(每小题3分，共24分) 1.三根底端对齐的小棒被挡板遮住了一部分，它们的长度如图所示.若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,△ABC≌△ADE,∠CAE=90°,AB=2,则图中阴影部分的面积为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.无法确定 3.中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式的侧面很容易呈现出等腰三角形.如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为30°，腰为10m，则底边上的高是( ) A.5m B.10m C.6m D.8m 4.如果三角形两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 5.如图,AC与BD相交于点O,有以下四个条件:①OD=OC;②∠C=∠D;③AD=BC;④OA=OB.从这四个条件中任选两个，不能使△DAO≌△CBO 的选法是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①④ 6.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,在直线BC或AC上取一点 P,使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有 ( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 7.如图,已知∠MON=30°,点A₁,A₂,A₃,………在射线ON上,点B₁,B₂,B₃,……在射线OM上,△A₁B₁A₂,△A₂B₂A₃,△A₃B₃A₄,………均为等边三角形,若 ,则△A₆B₆A₇的边长为 ( ) A.16 B.32 C.64 D.128 8.如图,在△ABC中,D为AC上一点,BD=CD,E为BD上一点,∠A=∠DEC,若要求△ABD 和△ECD的周长之差，则只需要知道 ( ) A. AD-ED的值 B. AB-ED的值 C. BC-BE的值 D. CD-BE的值 二、填空题(每小题3分，共30分) 9.如果a，b，c为一个三角形的三边，且 那么这是一个 三角形. 10.已知等腰三角形顶角的平分线长6cm，则这个等腰三角形底边上的中线长是 cm. 11.如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点A，B，C，D均在正方形网格格点上.图中∠B+∠D= °. 12.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线 FG,分别与BC边和AC边交于点 F和点 G,又△BEG的周长为16,且GE=1,则AC的长为 . 13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在BC上,点E是AB的中点,AD,CE相交于点F,且AD=DB.若∠B=20°,则 ∠DFE等于 . 14.如图,已知BD是△ABC的中线,CF是△BCD的中线,AE∥CF交BD的延长线于点 E.若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是 . 15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,S△ABC=14,BC=4,P是AB边上的动点(不与点B重合),将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B'CP,连接B'A,则B'A 长度的最小值是 . 16.如图,线段BD为△ABC的中线,且BD⊥BC,BC=4,若∠A+∠C=45°,则BD= . 17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,射线 CP与边AB相交,动点M从点A出发沿A→C运动;动点N从点 B出发沿B→C→A运动. ME⊥CP于点 E,NF⊥CP于点F，点M和点N的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发，当点M到达终点时，点N也停止运动.设运动时间为t秒.当t= 秒时,△MCE与△CNF全等. 18.如图,B,C,E三点在一条直线上,△ABC和△DCE均为等边三角形,BD与AC交于点M,BD与AE交于点O,AE与CD交于点N,连接MN,OC,以下结论正确的序号是 . ①MN∥BE; ②; ③; ④OA+OC=OB. 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19. (6分)如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律. 【问题解决】如图②.小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF=1.5m，点A，点 C到平面镜B点的距离相等.图中点A，B，C，D在同一条直线上.求灯泡到地面的高度AG. 20.(8分)如图，在正方形网格中，点A，B，C在格点上. (1)直接写出∠BAC 的度数; (2)在图①中画出∠BAC 的平分线AE; (3)在图②中取一个格点D，使△ADB≌△ADC，并且两个三角形的钝角均为135°，画出这两个三角形. 21.(8分)过程性学习 已知:如图①,△ABC中,AB>AC. 求证:∠C>∠B. (1)尺规作图:在图①中,作∠A的平分线AD,交BC于点 D,在AB上截取AE=AC,,连接DE.(不写作法，保留作图痕迹) (2)证明:∵AD平分∠BAC,∴ . 在△EAD和△CAD中 ∵∠AED> ,∴∠C>∠B. 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中， . (3)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,CD>BC..请猜想∠ABC和. 的大小关系，并证明你的结论. 22.(8分)如图,在四边形ABCD中, ,在 BD 上取两点 E,F,使DF=BE,连接AE,CF. (1)若 试说明 (2)在(1)的条件下，连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由. 23.(8分)如图,在 中,AD是 的高,AE 是 的角平分线，F为AE上一点，连接BF, (1)求证:BF平分 (2)连接CF交AD 于点 G,若 求 的度数. 24.(8分)我们把能够完全重合(即四个内角、四条边分别对应相等)的四边形叫作全等四边形.请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题.如图，已知四边形ABCD 和四边形A'B'C'D'中， ，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'.下列四个条件: ①∠A=∠A';②∠D=∠D';③AD=A'D';④CD=C'D'. (1)其中，符合要求的条件是 ；(直接写出序号) (2)选择(1)中的一个条件，证明四边形. 四边形A'B'C'D'. 25.(10分)如图①,AO是边长为2的等边三角形ABC的高,点D是线段AO上的一个动点(不与端点重合)，以CD为一边在AC下方作等边三角形 CDE，连接BE. (1)OB 的长为 . (2)求证:△ACD≌△BCE. (3)若连接OE，则在点 D 运动过程中，线段OE 的最小值为 . (4)延长BE交AC的延长线于点 F.如图②，当△CEF为等腰三角形时： ①求∠ACD 的度数; ②直接写出△CEF 的面积. 26.(10分)【数学概念】过三角形边上的一点作两条直线，分别与三角形另外两边相交，若截得的两个三角形全等，则称该点为三角形的全等点. 【理解运用】在△ABC中,D是边 BC上的点,过点 D 的两条直线DE,DF与边 AB,AC 分别交于点E,F. (1)如图①,若D是BC的中点,且DE∥AC,DF∥AB,求证:D是△ABC的全等点. (2)如图②,已知△ABC,用直尺和圆规在边 BC上作出点D,使D是△ABC的全等点,且DE∥AC，DF与AB不平行.(保留作图痕迹，写出必要的文字说明) (3)如图③,D是△ABC的全等点,且AB<AC,DE与AC不平行,DF与AB不平行,BF与CE交于点 P，请探索∠A， ∠PBC之间的数量关系，并说明理由. 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A A C B D A 9.等边 10.6 11.45 12.14 13.60° 14.12 15.3 16.2 17.1或 18.①③④ 19.根据题意得，法线垂直于平面镜，且∠i=∠r,∴∠ABG=∠FBC.(2分) 在△FCB 和△GAB中, …… (4分) ∴△FCB≌△GAB(ASA),∴AG=CF=1.5m.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (6分) 20.(1)∠BAC=90°, ……(2分) (2)如图②所示，线段AE 即为所求. (5分) (3)如图③所示,点D 及△ADB,△ADC 即为所求, ⋯⋯ (8分) 21.(1)如图①所示. ……⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (2分) (2)∠EAD=∠CAD AD=AD ∠AED ∠B 大边对大角…… (5分) (3)∠ABC>∠ADC,证明:如图②,连接 BD,∵ AB =AD, ∴∠ABD=∠ADB.∵在△BCD中,CD>BC,∴∠CBD>∠CDB, ∴∠CBD+∠ABD>∠CDB+∠ADB,∴∠ABC>∠ADC. …… (8分) 22.(1)∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDF.∵AE∥CF,∴∠AEB=∠CFD.·· (2分) 在△ABE 和△CDF 中, ∴ △ABE≌△CDF(ASA)⋯(4分) (2)AF=CE.理由如下:如图,连接AF,CE,∵△ABE≌△CDF,∴AB=CD.∵ DF=BE,∴DE=BF⋯(6分) 在△ABF 和△CDE 中, ∴ △ABF≌△CDE(SAS),∴AF=CE.·(8分) 23.(1)∵AE 是△ABD的角平分线,∴ ∠BAD=2∠BAF.∵∠BFE=45°,∴∠FBA+∠BAF=45°,∴2∠FBA+2∠BAF=90°. (2分) ∵AD 是△ABC 的高∴ ∠ADB=90°,∴ ∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°,∴∠EBF=∠FBA,∴BF平分∠ABE. ⋯⋯ (4分) (2)如图,过点 F作FM⊥BC于点M,FN⊥AB 于点 N.∵BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,∴ FM=FN,∠FBA=∠FBC. ∴AB=GB在△ABF 和△CBF中 ∴△ABF≌△CFB(SAS),∴∠AFB=∠CFB. …………………… (6分)∵∠BFE=45°,∴ ∠CFB=∠AFB =135°,∴ ∠AFC=360°-∠AFB-∠CFB=90°,即∠AFC=90°.(8分) 24.(1)①②④·……·· (3分) (2)答案不唯一,示例:选④,证明:连接AC,A'C',在△ABC与△A'B'C'中, AC=A'C',∠ACB=∠A'C'B',∠BAC=∠B'A'C'.………………………… (4分) ∵∠BCD=∠B'C'D',∴ ∠BCD-∠ACB=∠B'C'D'-∠A'C'B', ∴∠ACD=∠A'C'D'.在△ACD 和△A'C'D'中, ∴△ACD≌△A'C'D'(SAS),∴∠D=∠D',∠DAC=∠D'A'C°,DA=D'A',∴∠BAC+∠DAC=∠B'A'C'+∠D'A'C',即∠BAD=∠B'A'D',…………………………………………………………………………………… (6分) ∴四边形ABCD 和四边形A'B'C'D'中,AB=A'B',BC=B'C',AD=A'D',DC=D'C',∠B=∠B',∠BCD=∠B'C'D',∠D=∠D',∠BAD=∠B'A'D',∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'. (8分) 25.(1)1 ……………………… (1分) (2)∵△ABC 和△CDE是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD,即∠ACD=∠BCE.………………………………………………………………………… (2分) 在△ACD 和△BCE 中, ∴ △ACD≌△BCE(SAS)⋯(4分) (3) ……(6分) (4)①∵∠ACB=60°∴ ∠BCF=180°-60°=120°.∵ ∠CBE=30°∴∠F=30°∴∠F=∠CBE ∴CF=BC ∵点D 不与点A,O重合,∴点E不与点 B 重合,∠ECF>60°,∴CE≠CF,CE≠EF,∴当△GEF 为等腰三角形时,必定为CF=EF, ·(7分) ∴∠ACD=180°-∠DCE-∠ECF=180°-60°-75°=45°, …………………(8分) ②△CEF 的面积为1. ⋯(10分) 26. (1)∵点D是BC的中点,∴BD=CD.∵DE∥AC,DF∥AB,∴∠EDB=∠C,∠FDC=∠B. ……………………………………………………… (1分) 在△BDE 和△DCF 中,,∴△MBE≌△DCF(ASA).(2分) ∴D是△ABC的全等点 (3分) (2)如图,作∠ACB的平分线交AB于E,作ED∥AC,交 BC于点D,在AC上截取CF=BD,连接DF,则点 D 是△ABC 的全等点.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯…………………………………… (6分) (3)∠A=2∠PBC,理由如下:∵AB<AC,DE与AC不平行,DF与AB不平行,∴∠ABC≠∠ACB,∠ACB≠∠BDE,∠ABC≠∠FDC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (7分) ∵D是△ABC的全等点,∴△BDE≌△FDC. ∴BD=DF,DE=DC,∠DBE=∠DFC,∠BDE=∠FDC, ∴∠DBF=∠DFB,∠DEC=∠DCE, ∴∠DBF=∠DFB=∠DEC=∠DCE. (8分) ∵∠DFC+∠AFD=180°,∴∠DBE+∠AFD=180°, ∴∠A+∠BDF=180°. (9分) ∵∠PBC+∠PFD+∠BDF=180°,∠A=∠PBC+∠DFB, ∴∠A=2∠PBC. (10分) 学科网（北京）股份有限公司 $