第10讲 相似多边形和图形位似 讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册

第10讲 相似多边形和图形位似 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解相似多边形的概念：对应角相等、对应边成比例 · 掌握相似多边形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 · 理解位似图形的概念：两个相似图形对应点连线交于一点 · 掌握位似变换的坐标规律：以原点为位似中心，坐标乘以k或-k · 能识别位似图形并利用位似性质求坐标和面积 📚 知识梳理 ☆ 1.4.7 相似多边形 相似多边形：对应角相等、对应边成比例的两个多边形 相似多边形的相似比：对应边的比 相似多边形周长比等于相似比 相似多边形面积比等于相似比的平方 相似多边形对应对角线的比等于相似比 概念辨析例题：两个相似多边形的面积比为4:9，则它们的周长比为（　　）A．2:3 B．4:9 C．16:81 D．3:2 解析：面积比=相似比的平方，故相似比=2:3；周长比=相似比=2:3 ☆ 2.4.8 图形的位似 位似图形：两个相似图形，对应点连线交于一点，对应边互相平行 位似中心：对应点连线的交点 位似比：相似比，即位似图形与原图形对应边的比 坐标位似：以原点为位似中心，位似比为k，则对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky) 位似图形面积比等于位似比的平方 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，若A(1,2)，则对应点A'的坐标为（　　） 解析：以原点为位似中心放大2倍，坐标乘以2或-2，故A'(2,4)或(-2,-4) 📋 知识总结表 概念 条件 性质 相似多边形 对应角相等、对应边成比例 周长比=相似比，面积比=相似比² 位似图形 相似+对应点连线交于一点+对应边平行 位似中心到对应点距离比=位似比 坐标位似 以原点为位似中心 (x,y)→(kx,ky)或(-kx,-ky) ⚠️ 核心考点 【考点1：相似多边形】 · 判断相似多边形：对应角相等+对应边成比例，缺一不可 · 周长比=相似比，面积比=相似比的平方 · 已知面积比求相似比：开平方；已知相似比求面积比：平方 · 相似多边形对应对角线、对应线段的比都等于相似比 1．（2026•东昌府区校级开学）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似图形． 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【解答】解：A、两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似，不符合题意； B、两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似，不符合题意； C、两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似，不符合题意； D、两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，难度不大． 2．（2026•裕华区校级二模）如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（　　） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【考点】相似图形． 【分析】根据只改变图形大小，不改变形状的两个图形相似即可判断． 【解答】解：放大前后两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 【点评】本题考查了相似图形的概念，解题的关键是掌握相关的概念． 3．（2025秋•闵行区期末）下列各组图形中不一定是相似形的是（　　） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【考点】相似图形． 【分析】根据相似图形的定义解答即可． 【解答】解：A、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意； B、两个等边三角形一定相似，不符合题意； C、两个正方形一定相似，不符合题意； D、两个直角三角不一定相似，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查的是相似图形，熟知相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同是解题的关键． 4．（2025秋•高唐县期末）下列各组图形中一定是相似形的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正方形 【考点】相似图形． 【分析】根据相似图形的定义解答即可． 【解答】解：A、两个等腰三角形的顶角可能不等，不一定相似，此选项错误，不符合题意； B、两个菱形的内角可能不等，不一定相似，此选项错误，不符合题意； C、两个直角三角形的锐角可能不等，不一定相似，此选项错误，不符合题意； D、∵两个正方形的所有内角均为90°，对应角相等；且所有边相等，对应边成比例， ∴两个正方形一定相似，此选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是相似图形，掌握相似形的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似形”是解题的关键． 5．（2025秋•宜兴市期末）下列图形一定相似的是（　　） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 【考点】相似图形． 【分析】由相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、由三边对应成比例的两个三角形相似判定两个等边三角形相似，故A符合题意； B、两个直角三角形只有一直角对应相等，不能判定两个直角三角形相似，故B不符合题意； C、两个矩形的长和宽不一定对应成比例，不能判定两个矩形相似，故C不符合题意； D、两个菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，不能判定两个菱形相似，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查相似图形，关键是掌握相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法． 6．（2025秋•市北区期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【考点】相似图形． 【分析】根据相似图形需对应角相等且对应边成比例逐项判断即可得． 【解答】解：根据相似图形的性质逐项分析判断如下： A、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； B、两个正五边形的所有对应角相等（每个内角均为108°），且所有对应边成比例（边长比相同），则两个正五边形一定相似，符合题意； C、两个矩形的所有对应角相等（每个内角均为90°），但对应边不一定成比例，则两个矩形不一定相似，不符合题意； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个平行四边形不一定相似，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了相似图形：相似图形需对应角相等且对应边成比例，熟练掌握相似图形的定义是解题关键． 7．（2025秋•贵池区期末）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到159.49亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为AC的黄金分割点（BC＞AB），已知哪吒在剧中的身高AC设定为80cm，则其头部的长度AB是（　　） A． B． C． D． 【考点】黄金分割． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知，因为点B为AC的黄金分割点（BC＞AB）， 所以． 因为AC＝80cm， 所以， 所以， 故选：C． 【点评】本题主要考查了黄金分割，掌握其相关知识点是解题的关键． 8．（2025•清原县一模）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　11　 ． 【考点】相似图形． 【分析】根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果． 【解答】解：由两个枫叶图案相似， 可得， 解得x＝11， 即x的值为11． 故答案为：11． 【点评】此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比． 9．（2024秋•怀化期末）利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为5，7，8的三角形的最长边放大到12，那么放大后的那个三角形的周长为 　30　 ． 【考点】相似图形． 【分析】根据相似三角形周长的比是三角形边长的比解答即可． 【解答】解：设放大后的那个三角形的周长为L， 由题意知，原图中三角形的周长为：5+7+8＝20． ∵原图中边长为5，7，8的三角形的最长边放大到12， ∴放大前后的两个三角形的周长比为8：12＝2：3， 则20：L＝2：3． 解得L＝30． 故答案为：30． 【点评】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是根据等边三角形周长的比是三角形边长的比来解答． 10．（2026•靖远县一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的1cm代表实际距离50m．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形ABCD各边长度分别为 AB＝4cm，BC＝5cm，CD＝7cm，DA＝4.5cm，则该住宅区实际边界四边形A1B1C1D1的周长是　1025　 m． 【考点】相似图形． 【分析】根据相似多边形的性质求出该住宅区实际边界四边形A1B1C1D1的周长即可． 【解答】解：由题知， 数字模型上该住宅的周长为：4+5+7+4.5＝20.5（cm）． 因为数字模型上的1cm代表实际距离50m， 则20.5×50＝1025（m）， 所以该住宅区实际边界四边形A1B1C1D1的周长是1025m． 故答案为：1025． 【点评】本题主要考查了相似图形，熟知相同多边形的性质是解题的关键． 11．（2025秋•南京月考）一条直线将矩形分为两个四边形，若这两个四边形是相似形，且均相似于原矩形，则原矩形较长边与较短边的比值为　：1　 ． 【考点】相似图形；比例线段． 【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解． 【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴x：y＝y：， 解得x：y：1． 【点评】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握． 12．（2025秋•嘉定区校级月考）已知四边形ABCD与四边形EFGH是相似的图形，并且点A与点E、点B与点F、点C与点G、点D与点H分别是对应点，其中AB＝12cm、CD＝16cm、EF＝16cm，那么GH＝　　 cm． 【考点】相似图形． 【分析】由四边形ABCD与四边形EFGH是相似的图形，得，而AB＝12cm、CD＝16cm、EF＝16cm，则GHcm，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是相似的图形， ∴， ∵AB＝12cm、CD＝16cm、EF＝16cm， ∴GH（cm）， 故答案为：． 【点评】此题重点考查图形的相似，根据相似多边形的对应边成比例正确地列出等式是解题的关键． 13．（2026春•临淄区期末）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的1cm代表实际距离50m．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形ABCD各边长度分别为AB＝4cm，BC＝5cm，CD＝7cm，DA＝4.5cm，则该住宅区实际边界四边形A1B1C1D1的周长是　1025　 m． 【考点】相似图形． 【分析】由相似多边形周长的比等于相似比，即可求解． 【解答】解：1cm＝0.01m， ∴AD：A1D1＝0.01：50＝1：5000， ∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似， ∴四边形ABCD的周长：四边形A1B1C1D1的周长＝AD：A1D1＝1：5000， ∵四边形ABCD的周长＝4+5+7+4.5＝20.5（cm）， 20.5cm＝0.205m， ∴四边形A1B1C1D1的周长＝1025m． 故答案为：1025． 以下解法更简单： 解：∵四边形ABCD的周长＝4+5+7+4.5＝20.5（cm），数字模型上的1cm代表实际距离50m， ∴四边形A1B1C1D1的周长＝20.5×50＝1025（m）． 故答案为：1025． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形周长的比等于相似比． 14．（2026秋•同步）两个相似三角形的相似比是1：5，则这两个相似三角形周长的比为　1：5　 ，面积的比为　1：25　 ． 【考点】相似三角形的性质． 【分析】利用相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，结合已知相似比计算即可． 【解答】解：∵相似三角形的周长比等于相似比＝1：5； ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方＝12：52＝1：25． 故答案为：1：5；1：25． 【点评】此题考查相似三角形的性质，关键是利用相似三角形的性质解答． 15．（2026秋•同步）已知三角形的三条边长分别为1，，，请写出另外三条线段长，使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似．这三条线段的长依次可以是：　2　 ，　　 ，　　 ． 【考点】相似三角形的判定；三角形三边关系． 【分析】根据相似三角形三边对应成比例，将原三角形三边同时乘同一个不为1的正实数，即可得到符合要求的边长． 【解答】解：∵要新三角形与原三角形相似， ∴新三边与原三边对应成比例． ∴可以取相似比为2， ∵原三角形三边长从小到大依次为1，，， ∴新三边依次为：1×2＝2，，． 故答案为：2；；（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形三边关系，熟练掌握相似三角形的判定定理． 16．（2026秋•同步）如果x：y＝2：3，则下列各式中成立的有　①②　 （只填序号）． ①；②；③；④． 【考点】比例的性质． 【分析】设x＝2k，y＝3k，再代入逐项判断即可． 【解答】解：由已知可设x＝2k，y＝3k， ∴， ， ， ， 故正确为①②． 故答案为：①②． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．（2026秋•同步）两个相似三角形对应边的比为0.4，那么这两个相似三角形的周长比为　0.4　 ，面积比为　0.16　 ． 【考点】相似三角形的性质． 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行解答即可． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为0.4， ∴它们对应周长的比为0.4； 对应面积的比是0.42＝0.16． 故答案为：0.4；0.16． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 18．（2026秋•同步）已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 5 　　 　　 周长的比 　　 　5　 　　 面积的比 　　 　25　 　　 【考点】相似三角形的性质． 【分析】利用“相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方”求解． 【解答】解： 相似比 5 周长的比 5 面积的比 25 故答案为：，；5，25；，；，． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 19．（2026秋•同步）如果线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是　（1）　 cm，较短线段PN的长是　（3）　 cm． 【考点】黄金分割． 【分析】直接根据黄金分割的定义求解即可． 【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点， ∴较长的线段MP的长MN2＝（1）cm． 较短的线段PN的长为2﹣（1）＝（3）（cm）． 故答案为：（1），（3）． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 20．（2026秋•同步）如图，在上、下两行的图形中，把你认为是相似图形的用线连起来． 【考点】相似图形． 【分析】根据相似图形的定义求解即可． 【解答】解：由相似图形的定义可得， 如图所示： 【点评】此题考查相似图形，关键是根据相似图形的定义解答． 21．（2026秋•同步）在图（A）（B）（C）中，哪一幅与左边的原照片是相似的． 【考点】相似图形． 【分析】根据相似图形的定义判断即可． 【解答】解：左边的长方形长宽之比4：3，（A）中的长方形长宽之比＝8：6＝4：3， 故选项A与左边的图形相似． 【点评】本题考查相似图形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22．（2026秋•同步）在图形（A）～（F）中，哪些与图形（1）或（2）是相似图形？ 【考点】相似图形． 【分析】根据相似图形的定义判断即可． 【解答】解：（1）与B相似，（2）与E相似． 【点评】本题考查相似图形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 23．（2026秋•同步）在如图所示的相似四边形中，求未知数的边长x和角度α的大小． 【考点】相似多边形的性质． 【分析】根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例解答． 【解答】解：如图： ∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴它们的对应边成比例，对应角相等， ∴，∠C＝∠G＝80°， 解得x＝20， ∴α＝360°﹣（145°+70°+80°）＝65°． 【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质． 【考点2：图形的位似】 · 位似图形必须同时满足：相似+对应点连线共点+对应边平行 · 位似中心可以在图形内部、边上或外部 · 坐标位似：以原点为中心，坐标乘以k或-k（同侧取正，异侧取负） · 位似图形面积比等于位似比的平方 24．（2026秋•碑林区校级月考）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．直线l和作业纸的横格交于点A、B、C．若线段AC＝9，则线段AB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】过点A作直线AE，分别交横线于点D，E，由“纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等”，利用平行线分线段成比例，即可求出AB的长． 【解答】解：过点A作直线AE，分别交横线于点D，E，如图所示， ∵纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等， ∴， 即， ∴AB＝6． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键． 25．（2026秋•碑林区校级月考）如图，AD、CE分别是△ABC的边BC、AB上的高，那么图中相似三角形的对数为（　　） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【考点】相似三角形的判定． 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏． 【解答】解：图中相似三角形有：△AOE∽△COD，△ABD∽△CBE，△AOE∽△ABD，△AOE∽△CBE，△COD∽△ABD，△COD∽△CBE． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 26．（2026秋•雁塔区校级同步）如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】利用网格平行线性质证明△ACE∽△BDE，得出线段比例关系，结合勾股定理求解． 【解答】解：由图可知，AC∥BD， ∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE， ∴△ACE∽△BDE， ∴． ∵每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点， ∴AC＝2，BD＝3， ∴． ∵AE+BE＝AB， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 27．（2026春•淄川区期末）在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（　　） A．E B．F C．G D．H 【考点】位似变换． 【分析】利用位似的性质点A的对应点与点A、O共线，并且到O点的距离为OA的两倍，从而可判断点A的对应点的位置． 【解答】解：如图，∵点O为位似中心，DO＝2CO， 而OH＝2OA， 即点A的对应点为H点． 故选：D． 【点评】本题考查了位似变换：位似图形的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线）． 28．（2025秋•泉港区期末）如果，那么的结果是（　　） A． B． C． D． 【考点】比例的性质． 【分析】根据合分比例性质，可得答案． 【解答】解：由合分比性质，得 ， 故选：B． 【点评】本题考查了比例的性质，利用合分比性质是解题关键． 29．（2025秋•长宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA1B1，若点A的对应点A1在第三象限，则点A1的坐标是（　　） A． B． C．（1，2） D．（﹣1，﹣2） 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【分析】把点A的横纵坐标都乘以即可得到点A1的坐标． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA1B1，点A的对应点A1在第三象限，A（2，4）， ∴，即A1（﹣1，﹣2）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了求位似图形的对应点坐标，掌握其相关知识点是解题的关键． 30．（2025秋•榆树市校级期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比．如图，B为AC的黄金分割点（即）．若AC＝100cm，则BC的长约为（　　） A．42cm B．38.2cm C．61.8cm D．70cm 【考点】黄金分割． 【分析】根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【解答】解：根据黄金分割点的定义可得：，AC＝100cm， ∴AB≈61.8cm， ∴BC＝AC﹣AB≈38.2（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查黄金分割．熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键． 31．（2025秋•市中区期末）如图，DE∥BC，且AD：AB＝1：3，则S△ADE：S四边形BDEC＝（　　） A．1：8 B．1：4 C．1：9 D．1：3 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方．即可求得S△ADE：S△ABC的值，继而求得答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵AD：AB＝1：3， ∴S△ADE：S△ABC＝1：9， ∴S△ADE：S四边形BDEC＝1：8． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 32．（2026•萧山区校级模拟）如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是（　　） A．BC∥B′C′ B．OB′：BB′＝3：5 C．△A′B′C′与△ABC的周长比是3：5 D．△A′B′C′与△ABC的面积比是9：25 【考点】位似变换． 【分析】根据位似变换得到△A′B′C′∽△ABC，BC∥B′C′，则OB′：BB′＝3：2，△A′B′C′与△ABC周长比为3：5，S△A′B′C′：S△ABC＝9：25，即可得到答案． 【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5， ∴△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′， ∴△A′B′C′与△ABC周长比为3：5，S△A′B′C′：S△ABC＝9：25， ∴OB′：OB＝3：5， ∴OB′：BB′＝3：2， 故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 33．（2026秋•同步）在等腰三角形ABC和等腰三角形A'B'C'中，∠A，∠A'分别是顶角．下列条件不能判定△ABC和△A'B'C'相似的是（　　） A．∠A＝∠A' B．∠B＝∠B' C． D． 【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质． 【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、两个等腰三角形的顶角相等，由三角形内角和定理得到两个等腰三角形的底角相等，判定△ABC和△A'B'C'相似，故A不符合题意； B、两个等腰三角形的顶底角相等，判定△ABC和△A'B'C'相似，故B不符合题意； C、两个等腰三角形的两边对应成比例，但夹角不一定相等，因此△ABC和△A'B'C'不一定相似，故C符合题意； D、由等腰三角形的腰长相等得到两个等腰三角形的三边对应成比例，判定△ABC和△A'B'C'相似，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法． 34．（2026•海门区校级模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①BF＝AC； ②CEBF； ③△DGF是等腰三角形； ④BD+DF＝BC； ⑤； A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】三角形综合题． 【分析】由“AAS”可证△BDF≌△CDA，可得BF＝AC，故①正确．由等腰三角形的性质可得AE＝ECACBF，故②正确，由角的数量关系可求∠DGF＝∠DFG＝67.5°，可得DG＝DF，即△DGF是等腰三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得DF＝DA，则可得BC＝AB＝BD+DF，故④正确；由角平分线的性质可得点F到AB的距离等于点F到BC的距离，由三角形的面积公式可求，故⑤正确，即可求解． 【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°， ∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC， ∴BD＝DC， 在△BDF和△CDA中 ， ∴△BDF≌△CDA（AAS）， ∴BF＝AC，故①正确． ∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC， ∴∠A＝∠BCA＝67.5°， ∴BA＝BC， ∵BE⊥AC， ∴AE＝ECACBF，故②正确， ∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°， ∵∠BDC＝90°，BH＝HC， ∴∠BHG＝90°， ∴∠BDF＝∠BHG＝90°， ∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°， ∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°， ∴DG＝DF， ∴△DGF是等腰三角形，故③正确． ∵△BDF≌△CDA， ∴DF＝AD， ∴BC＝AB＝BD+AD＝BD+DF，故④正确； ∵BE平分∠ABC， ∴点F到AB的距离等于点F到BC的距离， ∴，故⑤正确， 故选：A． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键． 35．（2024秋•章丘区期末）如图，已知在正方形网格内有两个相似三角形（△ABC∽△EDF），则∠ABC+∠ACB＝ 　45　 °． 【考点】相似图形；三角形的外角性质． 【分析】由△ABC∽△EDF，推出∠B＝∠D，∠C＝∠F，可得结论． 【解答】解：如图，由网格图可知∠DET＝45°， ∵△ABC∽△EDF， ∴∠B＝∠D，∠C＝∠F， ∵∠DET＝∠D+∠F， ∴∠D+∠F＝45°， ∴∠B+∠C＝∠D+∠F＝45°， 故答案为：45． 【点评】本题考查相似图形，三角形外角的性质，解题的关键是利用相似三角形性质解决问题． 36．（2024秋•浦东新区校级月考）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，，AD＝CD＝3．点E、F分别是边AD、BC的中点，如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF＝　　 ． 【考点】相似图形；三角形中位线定理． 【分析】根据相似对角线的定义得到△ABC∽△DAC，利用相似三角形的性质求出BC 的长，再由角相等得到BC∥AD，利用等腰三角形三线合一的性质得到AF⊥BC，AF⊥AD，求出AF 和AE的长度，最后利用勾股定理计算EF的长． 【解答】解：如下图： ∵AC是凸四边形ABCD的相似对角线， ∴△ABC∽△DAC， ∵AB＝AC，AD＝CD， ∴AC2＝BC•AD，且∠ACB＝∠ACD＝∠CAD， ∵，AD＝CD＝3， ∴， ∵∠ACB＝∠CAD， ∴BC∥AD， ∵AB＝AC，F是BC 的中点， ∴AF⊥BC，， ∴AF⊥AD，即∠FAE＝90°， ∴， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是关键． 37．（2026•德阳）如图，在矩形ABCD中，DC＝10，点E在边CD上，且CE＝2，F为BC边上一动点（含端点），连接EF，过点E作EF的垂线，交矩形的边于点G，当点F在边BC上运动时，为了使点G能落在边AD上（含端点），则AD的长度可以是　4（答案不唯一）　 （答案不唯一，只需写出一个整数即可）． 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 【分析】设AD＝BC＝h，通过证得△DEG∽△CFE，得到，设AD＝BC＝h，即可得到GD，由题意0＜CF≤h，0≤GD≤h，故GDh，由于CF的最大值为h，所以h2≥16，解得h≥4． 【解答】解：设AD＝BC＝h， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝90°， ∵∠DEG+∠CEF＝90°＝∠CEF+∠EFC， ∴∠DEG＝∠EFC， ∴△DEG∽△CFE， ∴， ∵DC＝10，CE＝2， ∴DE＝8， ∴GD， ∵0＜CF≤h，0≤GD≤h， ∴GDh， ∵CF的最大值为h， ∴h2≥16， ∴h≥4， ∴AD的长度可以是4， 故答案为：4（答案不唯一）． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 38．（2026秋•灞桥区校级同步）已知k（a+b+c≠0），则k的值是　2　 ． 【考点】比例的性质． 【分析】由题意可得a+b＝kc，a+c＝kb，b+c＝ak，三式相加即可得出答案． 【解答】解：由已知可得，a+b＝kc， a+c＝kb， b+c＝ak， ∴2a+2b+2c＝k（a+b+c）， ∴2（a+b+c）＝k（a+b+c）， ∵a+b+c≠0， ∴k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握此知识点是解题的关键． 39．（2026秋•杭州月考）在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC．已知AB＝12cm，则AC的长为　（66）　 cm（结果保留根号）． 【考点】黄金分割． 【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可． 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴， ∴ACAB12＝（66）（cm）， 故答案为：（66）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 40．（2026•铁岭模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，﹣3），B（3，0），以点O为位似中心，在第二象限内作与△OAB的相似比为2的放大的位似图形△OCD，则点C的坐标为　（﹣8，6）　 ． 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【分析】利用相似比直接求解即可． 【解答】解：由题可知△OAB∽△OCD，且相似比为1：2， ∴， ∵A（4，﹣3），且点B在第二象限， ∴B（﹣8，6）， 故答案为：（﹣8，6）． 【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 41．（2026秋•碑林区校级月考）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，AB∥CD，AC与BD交于点O，OF⊥AB于点F，OE⊥CD于点E，若物距OF为5cm，像距OE为7.5cm，蜡烛火焰倒立的像的高度CD是3cm，则蜡烛火焰的高度AB是　2　 cm． 【考点】相似三角形的应用． 【分析】根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值即可求解． 【解答】解：∵AC与BD交于点O，AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ，即． 解得AB＝2． 所以蜡烛火焰AB的高度是2cm． 故答案为：2． 【点评】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 42．（2026•高新区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，BC＝5，AD＝2，M是射线BA上的一个动点，连接MD．以MD为边，在MD的左侧作等边三角形MND，连接AN．当△AND为直角三角形时，BM的长为　4或7　 ． 【考点】三角形综合_运动型． 【分析】过点D作交于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答． 【解答】解：①当∠AND＝90°时，过点D作DE∥BC，交AB于点E． ∵△BAC是等边三角形，△DMN是等边三角形，∠DNA＝90°， ∴∠ABC＝∠CAB＝∠DEA＝∠MDN＝∠ADE＝60°，DM＝DN， ∴△DAE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE＝2， ∴∠NDM﹣∠ADM＝∠ADE﹣∠ADM，即∠ADN＝∠EDM， 在△DEM与△DAN中， ， ∴△DEM≌△DAN（SAS）， ∴∠DME＝∠DNA＝90°， ∴M是AE的中点， ∴， ∴BM＝5﹣1＝4； ②当∠NAD＝90°时， ∵△BAC是等边三角形，△DMN是等边三角形，∠DNA＝90°， ∴∠ABC＝∠CAB＝∠DEA＝∠MDN＝∠ADE＝60°，DM＝DN， ∴△DAE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE＝2， ∴∠NDM﹣∠ADM＝∠ADE﹣∠ADM，即∠ADN＝∠EDM， 在△DEM与△DAN中， ， ∴△DEM≌△DAN（SAS）， ∴∠DEM＝∠DAN＝90°，与∠DEA＝60°矛盾， ∴此种情况不成立； ③当∠ADN＝90°时， 如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E． ∵△BAC、△DMN是等边三角形，∠NDA＝90°， ∴∠ABC＝∠DEA＝∠MDN＝∠DAE＝60°，DM＝DN， ∴△DAE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE＝2， ∴∠NDM+∠ADM＝∠ADE+∠ADM，即∠ADN＝∠EDM， ∴△DEM≌△DAN（SAS）， ∴∠MDE＝∠NDA＝90°， ∴∠MDA＝30°， ∴∠AMD＝30°， ∴AM＝AD＝2， ∴BM＝2+5＝7． 综上所述，BM的长为4或7． 故答案为：4或7． 【点评】本题是三角形综合题，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 43．（2026秋•同步）如图，在方格纸上有六个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK．三角形②～⑥中，与三角形①相似的有　③④⑤　 （只填序号）． 【考点】相似三角形的判定． 【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答． 【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、、，则： ②△BCD的各边长分别为1、、2； ③△BDE的各边长分别为2、2、2（为△ABC各边长的2倍）； ④△BFG的各边长分别为5、、（为△ABC各边长的倍）； ⑤△FGH的各边长分别为2、、（为△ABC各边长的倍）； ⑥△EFK的各边长分别为3、、． 根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤． 故答案为：③④⑤． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的关键． 44．（2026•钟楼区校级模拟）若，则的值为 　　 ． 【考点】比例的性质． 【分析】先根据题意得到，然后代入约分 【解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 45．（2026•沛县模拟）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 　21　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理． 【分析】如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，由△COP∽△CED，推出2，即EDOP＝1（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点D在半径为1的⊙E上，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD， ∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°， ∴CP＝2CD， ∴2， ∴△COP∽△CED， ∴2， 即EDOP＝1（定长）， ∵点E是定点，DE是定长， ∴点D在半径为1的⊙E上， ∵OD≤OE+DE＝21， ∴OD的最大值为21， 故答案为． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记相似多边形的性质：周长比=相似比，面积比=相似比² · 位似图形的三个条件要同时满足 · 坐标位似注意正负号：同侧为正，异侧为负 · 多做坐标系中位似作图题，熟练掌握坐标变换规律 · 面积比问题注意开平方和平方的区别 【作业1】（2026•商河县一模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE＝1，若S△ABC＝2，则S△DEF＝　8　 ． 【考点】位似变换． 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，证明△BOC∽△EOF，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵OB：BE＝1， ∴OB：OE＝1：2， ∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴△ABC∽△DEF，BC∥EF， ∴△BOC∽△EOF， ∴， ∴（）2，即， 解得：S△DEF＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【作业2】（2026秋•朝阳区校级月考）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是B ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是C ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，∠B＝90°，AB＝2，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）由三角形中线的定义性质得到BD＝CD，然后利用SAS证明△ADC≌△EDB； （2）由△ADC≌△EDB得到BE＝AC＝6，AE＝2AD，然后利用三角形三边关系求解； （3）延长AD，EC交于点F，证明△ABD≌△FCD（ASA），得到AD＝FD，CF＝AB＝2，然后利用垂直平分线性质求解． 【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD． 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是SAS， 故答案为：B； （2）∵△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，， ∴AE＝2AD． 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故答案为：C； （3）如图2，延长AD，EC交于点F， ∵CE⊥BC，∠ABD＝90°， ∴∠DCE＝∠DCF＝90°＝∠ABD． ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC． 又∵∠ADB＝∠FDC， ∴△ABD≌△FCD（ASA）， ∴AD＝FD，CF＝AB＝2． ∵∠ADE＝90°， ∴AE＝EF＝EC+CF＝4+2＝6． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【作业3】（2026秋•单元）如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝3cm，BO＝2cm，CD＝10cm，求CO和DO的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】易证△AOC∽△BOD，可得CO：DO＝3：2，再根据CD＝10cm即可得解． 【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴AC∥BD， ∴∠C＝∠D， 又∵∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵AO＝3cm，BO＝2cm， ∴， 设CO＝3xcm，则DO＝2xcm， ∵CD＝10cm， ∴3x+2x＝10， 解得x＝2， ∴CO＝6cm，DO＝4cm， 答：CO的长为6cm，DO的长为4cm． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业4】（2026秋•宝安区校级同步）综合探究： “在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中△ABC的面积是　3.5　 ． （2）若△DEF的三边的长分别为、、2，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的△DEF，并写出它的面积　3　 ． （3）已知a，b均为正实数，且a+b＝3，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为a和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是b和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段CD的长，如图，AE＝a，BE＝b，AC＝1，BD＝3，AC⊥AB，BD⊥AB，则CE、DE的长分别表示为，．由于CE+ED≥CD，当C、D、E共线时，取等号，所以只要求出CD的长，就可以解决问题．请在图3中，求出CD的长，并说明理由．所以的最小值是　5　 ． （4）拓展应用：求代数式：（0≤x≤4）的最小值． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）根据构图法，用正方形的面积减去周围三角形的面积，即可求解； （2）利用构图法及勾股定理，画出△DEF，再计算出面积即可； （3）过点C作CF⊥DB交DB的延长线于点F，利用勾股定理即可求出CD的长；从而求出的最小值； （4）根据（3）的思路，构造图形，将代数式的最小值转化为求线段的长，即可求解． 【解答】解：（1）S△ABC， 故答案为：3.5； （2） S△DEF， 故答案为：3； （3）∵CE+ED≥CD， ∴当C、D、E共线时，CE+ED取得最小值，即CD的长为5， ∴的最小值是5， 故答案为：5； （4）如图，AE＝x，BE＝4﹣x，AC＝1，BD＝2，AC⊥AB，BD⊥AB，则CE、DE的长分别表示为，， 则（0≤x≤4）的最小值即为CE+ED的最小值，即CD的长， 如图，过点C作CF⊥DB交DB的延长线于点F， 同（3）可得，CF＝4，DF＝BD+BF＝3， 由勾股定理可得，， 则（0≤x≤4）的最小值为5． 【点评】本题主要考查了作图—应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 【作业5】（2026秋•单元）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形OEFG的四个顶点的横坐标、纵坐标都乘（﹣2），画出以所得坐标对应的四个点为顶点的四边形，并指出四边形OEFG与画出的四边形的位似中心和相似比． 【考点】作图﹣位似变换；多边形． 【分析】根据题意得到点E、F、G的对应点E′、F′、G′的坐标，再描点得到四边形OE′F′G′，然后根据位似的性质得到位似中心和相似比． 【解答】解：如图，四边形OE′F′G′为所作． 四边形OE′F′G′和四边形OEFG的位似中心为点O，相似比为2：1． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键． 【作业6】（2026秋•单元）如图，已知∠ACB＝∠DAC＝90°，BC＝a，AC＝b．当AD与a，b之间满足怎样的关系时，△ACB∽△DAC？ 【考点】相似三角形的判定． 【分析】易得当时，△ACB∽△DAC，代入即可得解． 【解答】解：因为∠ACB＝∠DAC＝90°， 所以当时，△ACB∽△DAC， 即， 所以， 所以当时，△ACB∽△DAC． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业7】（2026秋•单元）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3BD，S△ABC＝48，求S△ADE． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】由平行得两三角形相似，借助线段间的关系得两三角形的相似比，进而得两三角形的面积比，即可得解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． ∵AD＝3BD， ∴． 又∵S△ABC＝48， ∴S△ADE＝27． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业8】（2025秋•乌兰察布校级期末）综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为△ABC外一点，AE⊥CE，过B作BF⊥AE，垂足分别为E、F．求证：EF＝BF﹣CE． 独立思考：（1）请证明王老师提出的问题． 实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答． “如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，BA＝BD，CE⊥AD于点E，求证：AD＝2CE”． 问题解决： （3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现： “如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，AE⊥CE，过点A作AM⊥AE，且AM＝AE，连接BM．若CE＝2，请直接写出AG的值为　1　 ．” 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）由同角的余角相等，即可得出∠CAE＝∠ABF，即可证得△AEC≌△BFA，再根线段的和差关系即可证明结论； （2）过B作BF⊥AE，由（1）可知△AEC≌△BFA，即可得出AF＝CF，再由等腰三角形三线合一可得出：AD＝2AF，即可的得出结论； （3）过B作BF⊥AE，由（1）可知，△AEC≌△BFA，即可得出BF＝AE，AF＝CE＝2，再证得△MGA≌△BGF，得出AG＝FG，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠CAE+∠BAE＝90°， ∵AE⊥CE，BF⊥AE， ∴∠CEA＝∠AFB＝90°， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠CAE＝∠ABF， 在△AEC和△BFA中， ， ∴△AEC≌△BFA（AAS）， ∴CE＝AF，AE＝BF， ∵EF＝AE﹣AF， ∴EF＝BF﹣CE； （2）证明：如图2，过B作BF⊥AE， 由（1）可知△AEC≌△BFA， ∴AF＝CE， ∵BA＝BD，BF⊥AE， ∴AD＝2AF， ∴AD＝2CE； （3）解：AG的值为1．理由如下： 如图3，过B作BF⊥AE， 由（1）可知，△AEC≌△BFA， ∴BF＝AE，AF＝CE＝2， ∵AM＝AE， ∴BF＝AM， ∵AM⊥AE， ∴∠MAG＝90° ∴∠MAG＝∠BFG＝90°， 在△MGA和△BGF中， ， ∴△MGA≌△BGF（AAS）， ∴AG＝FG， ∴． 故答案为：1． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质，利用类比方法添加辅助线构造全等是解题的关键． 【作业9】（2026秋•单元）已知射线AE在∠MAN的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC． 【操作感知】小明发现，如图1，若满足∠MAN＝90°，且CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．则有：△ABD≌△CAF．小明的发现对吗？若对，请写出证明过程；若不对请说明理由； 【猜想论证】小丽发现∠MAN不是特殊角90度时，只要满足，∠1＝∠2＝∠BAC．如图2，其中∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，就有：△ABE≌△CAF；小丽的发现对吗？若对，请写出证明过程；若不对请说明理由； 【拓展探究】如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，请直接写出△ACF与△BDE的面积之和． 【考点】三角形综合题． 【分析】【操作感知】根据AAS证明三角形全等即可； 【猜想论证】根据ASA证明三角形全等即可； 【拓展探究】根据△ABC的面积为15，CD＝2BD，得出S△ABD＝5，证明△ABE≌△CAF（ASA），得出S△ABE＝S△CAF，根据S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝9即可求出结果． 【解答】【操作感知】证明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°， ∴∠BDA＝∠AFC＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°， ∴∠ABD＝∠CAF， 在△ABD和△CAF中， ∴△ABD≌△CAF（AAS）； 【猜想论证】证明：在△ABE中，∠1＝∠BAE+∠ABE， ∵∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠1＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠CAF， 在△ACF中，∠2＝∠FCA+∠CAF， ∵∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠BAC， ∴∠BAE＝∠FCA， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（ASA）； 【拓展探究】解：∵△ABC的面积为15，CD＝2BD， ∴BC＝3BD， ∴△ABD的面积是：15＝5， 由（2）中证出△ABE≌△CAF， ∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和， ∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积， 即△ACF与△BDE的面积之和5． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，余角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法． 【作业10】（2026秋•单元）户外研学活动中，某校师生需要去测量一段两岸平行的河流宽度．如图，他们在河流一侧的岸边选取点B，使点B正对着对岸岸边A处的一棵树．解决此问题既可以用全等三角形或相似三角形的知识，也可以用锐角三角函数的知识．请设计几种测量方案，并相互交流． 【考点】相似三角形的应用；全等三角形的性质． 【分析】由ASA判定△ABC≌△EDC，推出AB＝ED即可解决． 【解答】解：①沿河岸直走20m到达树C处，继续前行20m到达D处； ②从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走； ④测得DE的长为所求． 【点评】本题考查全等三角形的应用，关键是由ASA判定△ABC≌△EDC． 【作业11】（2026秋•鱼峰区校级同步）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝9． ①若P为AC上一点，当AP的长为　3　 时，△ABP与△CBP是偏等积三角形； ②若Q是AB上一点，AQ＝5，则△CAQ与△CBQ　是　 偏等积三角形；（填“是”或“不是”） （2）运用定义：如图2，D为BC上一点，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB＝4，AC＝12，且线段AD的长为偶数，则AD的长为　6　 ； （3）拓展加深：如图3，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°（0°＜∠BCE＜90°）．求证：△ACD与△BCE是偏等积三角形． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）①根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可； ②根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可； （2）过C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据△ABD与△ACD是偏等积三角形，且△ABD与△ACD在BD、CD边上的高相等，则有BD＝CD，再证明△ECD≌△ABD，得ED＝AD，EC＝AB＝4，再根据三角形的三边关系可知AC﹣EC＜AE＜AC+EC，进而可求解； （3）先证明∠ACD≠∠BCE，再由CA＝CB，CD＝CE，说明△ACD与△BCE不全等，作BF⊥CE于点F，AG⊥DC交CD的延长线于点G，可证明△ACG≌△BCF得AG＝BF，即可证明△ACD与△BCE面积相等，即可解答． 【解答】（1）解：①∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当BP为△ABC的中线时，△ABP与△CBP是偏等积三角形，此时AP＝CPAC＝3， 故当AP＝3时，△ABP与△CBP是偏等积三角形； 故答案为：3； ②∵点Q是AB上一点，且AQ＝5，AB＝10， ∴AQAB， 即：Q为AB的中点， ∴CQ为△ABC的中线， ∴S△ACQ＝S△BCQ， ∵AQ＝BQ，CQ＝CQ，AC≠BC， ∴△ACQ，△BCQ不全等， ∴△CAQ与△CBQ是偏等积三角形， 故答案为：是； （2）解：如图2，过C作CE∥AB交AD的延长线于E， ∵△ABD与△ACD是偏等积三角形，且△ABD与△ACD在BD、CD边上的高相等， ∴BD＝CD， 在△ECD和△ABD中， ， ∴△ECD≌△ABD（AAS）， ∴ED＝AD，EC＝AB＝4， ∵AC﹣EC＜AE＜AC+EC，AB＝4，AC＝12， ∴12﹣4＜2AD＜12+4， ∴4＜AD＜8， ∵线段AD的长为偶数， ∴AD＝6， 故答案为：6； （3）证明：①如图3， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝180°， ∵0°＜∠BCE＜90°， ∴∠ACD＞90°， ∴∠ACD≠∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD与△BCE不全等， 作BF⊥CE于点F，AG⊥DC交CD的延长线于点G，则∠G＝∠BFC＝90°， ∵∠ECG＝180°﹣∠DCE＝90°， ∴∠ACG＝∠BCF＝90°﹣∠BCG， 在△ACG和△BCF中， ， ∴△ACG≌△BCF（AAS）， ∴AG＝BF， ∴CD•AGCE•BF， ∴△ACD与△BCE面积相等， ∴△ACD与△BCE是偏等积三角形． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【作业12】（2026秋•单元）如图，已知五边形OABCD的顶点坐标为O（0，0），A（4，0），B（5，5），C（2，5），D（0，3）． （1）以坐标原点O为位似中心，画出把五边形OABCD放大为原来的1.5倍的图形． （2）以坐标原点O为位似中心，画出把五边形OABCD缩小为原来的的图形． 【考点】作图﹣位似变换． 【分析】（1）在OA的延长线上取点A′使OA′＝1.5OA；连接OB，在OB的延长线上取点B′使OB′＝1.5OB；连接OC，在OC的延长线上取点C′使OC′＝1.5OC；在OD的延长线上取点D′使OD′＝1.5OD，则五边形OA′B′C′D′满足条件； （2）在OA上取点A″使OA″OA；连接OB，在OB取点B″使OB″OB；连接OC，在OC上取点C″使OC″OC；在OD的延长线上取点D″使OD″OD，则五边形OA″B″C″D″满足条件． 【解答】解：（1）如图，五边形OA′B′C′D′为所作； （2）如图，五边形OA″B″C″D″为所作； 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键． 【作业13】（2026秋•单元）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点N在边AC上，MN⊥AB于点M，AM＝8cm，ACAB，求AN的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】证明△AMN∽△ACB，可得，进而可得AN的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，MN⊥AB于点M， ∴∠AMN＝∠C＝90°． ∵∠A＝∠A， ∴△AMN∽△ACB， ∴． ∵ACAB， ∴AN•AM8＝10（cm）． 故AN的长为10cm． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△AMN∽△ACB． 【作业14】（2026秋•单元）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，DE∥BC，连接CD，BE，CD与BE相交于点O，△DOE与△BOC的面积比为1：4．求的值． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】先证△DOE∽△COB，可得，再证△ADE∽△ABC，即可得解． 【解答】解：因为DE∥BC， 所以△DOE∽△COB， 所以， 所以， 因为DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC， 所以． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业15】（2026秋•单元）如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处．王师傅驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设王师傅距大巴车车尾xm，此时大巴车车顶高于王师傅的水平视线0.8m，红灯下沿高于王师傅的水平视线3.2m．若王师傅恰好能看到红灯下沿，求x的值． 【考点】相似三角形的应用． 【分析】依据CD∥AB，即可得到△OCD∽△OAB，再根据相似三角形的性质得比例式，即可得到x的值为10． 【解答】解：如图，由题可得CD∥AB， ∴△OCD∽△OAB， ∴， 即， 解得x＝10， ∴x的值为10． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会把实际问题转化为数学问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 相似多边形和图形位似 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解相似多边形的概念：对应角相等、对应边成比例 · 掌握相似多边形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 · 理解位似图形的概念：两个相似图形对应点连线交于一点 · 掌握位似变换的坐标规律：以原点为位似中心，坐标乘以k或-k · 能识别位似图形并利用位似性质求坐标和面积 📚 知识梳理 ☆ 1.4.7 相似多边形 相似多边形：对应角相等、对应边成比例的两个多边形 相似多边形的相似比：对应边的比 相似多边形周长比等于相似比 相似多边形面积比等于相似比的平方 相似多边形对应对角线的比等于相似比 概念辨析例题：两个相似多边形的面积比为4:9，则它们的周长比为（　　）A．2:3 B．4:9 C．16:81 D．3:2 解析：面积比=相似比的平方，故相似比=2:3；周长比=相似比=2:3 ☆ 2.4.8 图形的位似 位似图形：两个相似图形，对应点连线交于一点，对应边互相平行 位似中心：对应点连线的交点 位似比：相似比，即位似图形与原图形对应边的比 坐标位似：以原点为位似中心，位似比为k，则对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky) 位似图形面积比等于位似比的平方 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，若A(1,2)，则对应点A'的坐标为（　　） 解析：以原点为位似中心放大2倍，坐标乘以2或-2，故A'(2,4)或(-2,-4) 📋 知识总结表 概念 条件 性质 相似多边形 对应角相等、对应边成比例 周长比=相似比，面积比=相似比² 位似图形 相似+对应点连线交于一点+对应边平行 位似中心到对应点距离比=位似比 坐标位似 以原点为位似中心 (x,y)→(kx,ky)或(-kx,-ky) ⚠️ 核心考点 【考点1：相似多边形】 · 判断相似多边形：对应角相等+对应边成比例，缺一不可 · 周长比=相似比，面积比=相似比的平方 · 已知面积比求相似比：开平方；已知相似比求面积比：平方 · 相似多边形对应对角线、对应线段的比都等于相似比 1．（2026•东昌府区校级开学）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•裕华区校级二模）如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（　　） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 3．（2025秋•闵行区期末）下列各组图形中不一定是相似形的是（　　） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 4．（2025秋•高唐县期末）下列各组图形中一定是相似形的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正方形 5．（2025秋•宜兴市期末）下列图形一定相似的是（　　） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 6．（2025秋•市北区期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 7．（2025秋•贵池区期末）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到159.49亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为AC的黄金分割点（BC＞AB），已知哪吒在剧中的身高AC设定为80cm，则其头部的长度AB是（　　） A． B． C． D． 8．（2025•清原县一模）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 _______ ． 9．（2024秋•怀化期末）利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为5，7，8的三角形的最长边放大到12，那么放大后的那个三角形的周长为 _______ ． 10．（2026•靖远县一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的1cm代表实际距离50m．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形ABCD各边长度分别为 AB＝4cm，BC＝5cm，CD＝7cm，DA＝4.5cm，则该住宅区实际边界四边形A1B1C1D1的周长是_________ m． 11．（2025秋•南京月考）一条直线将矩形分为两个四边形，若这两个四边形是相似形，且均相似于原矩形，则原矩形较长边与较短边的比值为_________________ ． 12．（2025秋•嘉定区校级月考）已知四边形ABCD与四边形EFGH是相似的图形，并且点A与点E、点B与点F、点C与点G、点D与点H分别是对应点，其中AB＝12cm、CD＝16cm、EF＝16cm，那么GH＝___________________ cm． 13．（2026春•临淄区期末）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的1cm代表实际距离50m．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形ABCD各边长度分别为AB＝4cm，BC＝5cm，CD＝7cm，DA＝4.5cm，则该住宅区实际边界四边形A1B1C1D1的周长是_________ m． 14．（2026秋•同步）两个相似三角形的相似比是1：5，则这两个相似三角形周长的比为________ ，面积的比为_________ ． 15．（2026秋•同步）已知三角形的三条边长分别为1，，，请写出另外三条线段长，使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似．这三条线段的长依次可以是：_____ ，________________ ，________________ ． 16．（2026秋•同步）如果x：y＝2：3，则下列各式中成立的有_______ （只填序号）． ①；②；③；④． 17．（2026秋•同步）两个相似三角形对应边的比为0.4，那么这两个相似三角形的周长比为________ ，面积比为_________ ． 18．（2026秋•同步）已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 5 __________________ __________________ 周长的比 __________________ _____ __________________ 面积的比 __________________ _______ ____________________ 19．（2026秋•同步）如果线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是___________________ cm，较短线段PN的长是___________________ cm． 20．（2026秋•同步）如图，在上、下两行的图形中，把你认为是相似图形的用线连起来． 21．（2026秋•同步）在图（A）（B）（C）中，哪一幅与左边的原照片是相似的． 22．（2026秋•同步）在图形（A）～（F）中，哪些与图形（1）或（2）是相似图形？ 23．（2026秋•同步）在如图所示的相似四边形中，求未知数的边长x和角度α的大小． 【考点2：图形的位似】 · 位似图形必须同时满足：相似+对应点连线共点+对应边平行 · 位似中心可以在图形内部、边上或外部 · 坐标位似：以原点为中心，坐标乘以k或-k（同侧取正，异侧取负） · 位似图形面积比等于位似比的平方 24．（2026秋•碑林区校级月考）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．直线l和作业纸的横格交于点A、B、C．若线段AC＝9，则线段AB的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 25．（2026秋•碑林区校级月考）如图，AD、CE分别是△ABC的边BC、AB上的高，那么图中相似三角形的对数为（　　） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 26．（2026秋•雁塔区校级同步）如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 27．（2026春•淄川区期末）在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（　　） A．E B．F C．G D．H 28．（2025秋•泉港区期末）如果，那么的结果是（　　） A． B． C． D． 29．（2025秋•长宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA1B1，若点A的对应点A1在第三象限，则点A1的坐标是（　　） A． B． C．（1，2） D．（﹣1，﹣2） 30．（2025秋•榆树市校级期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比．如图，B为AC的黄金分割点（即）．若AC＝100cm，则BC的长约为（　　） A．42cm B．38.2cm C．61.8cm D．70cm 31．（2025秋•市中区期末）如图，DE∥BC，且AD：AB＝1：3，则S△ADE：S四边形BDEC＝（　　） A．1：8 B．1：4 C．1：9 D．1：3 32．（2026•萧山区校级模拟）如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是（　　） A．BC∥B′C′ B．OB′：BB′＝3：5 C．△A′B′C′与△ABC的周长比是3：5 D．△A′B′C′与△ABC的面积比是9：25 33．（2026秋•同步）在等腰三角形ABC和等腰三角形A'B'C'中，∠A，∠A'分别是顶角．下列条件不能判定△ABC和△A'B'C'相似的是（　　） A．∠A＝∠A' B．∠B＝∠B' C． D． 34．（2026•海门区校级模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①BF＝AC； ②CEBF； ③△DGF是等腰三角形； ④BD+DF＝BC； ⑤； A．5 B．4 C．3 D．2 35．（2024秋•章丘区期末）如图，已知在正方形网格内有两个相似三角形（△ABC∽△EDF），则∠ABC+∠ACB＝ _______ °． 36．（2024秋•浦东新区校级月考）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，，AD＝CD＝3．点E、F分别是边AD、BC的中点，如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF＝____________________ ． 37．（2026•德阳）如图，在矩形ABCD中，DC＝10，点E在边CD上，且CE＝2，F为BC边上一动点（含端点），连接EF，过点E作EF的垂线，交矩形的边于点G，当点F在边BC上运动时，为了使点G能落在边AD上（含端点），则AD的长度可以是_____________ （答案不唯一，只需写出一个整数即可）． 38．（2026秋•灞桥区校级同步）已知k（a+b+c≠0），则k的值是_____ ． 39．（2026秋•杭州月考）在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC．已知AB＝12cm，则AC的长为____________________ cm（结果保留根号）． 40．（2026•铁岭模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，﹣3），B（3，0），以点O为位似中心，在第二象限内作与△OAB的相似比为2的放大的位似图形△OCD，则点C的坐标为___________ ． 41．（2026秋•碑林区校级月考）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，AB∥CD，AC与BD交于点O，OF⊥AB于点F，OE⊥CD于点E，若物距OF为5cm，像距OE为7.5cm，蜡烛火焰倒立的像的高度CD是3cm，则蜡烛火焰的高度AB是_____ cm． 42．（2026•高新区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，BC＝5，AD＝2，M是射线BA上的一个动点，连接MD．以MD为边，在MD的左侧作等边三角形MND，连接AN．当△AND为直角三角形时，BM的长为________ ． 43．（2026秋•同步）如图，在方格纸上有六个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK．三角形②～⑥中，与三角形①相似的有________ （只填序号）． 44．（2026•钟楼区校级模拟）若，则的值为 __________________ ． 45．（2026•沛县模拟）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 __________________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记相似多边形的性质：周长比=相似比，面积比=相似比² · 位似图形的三个条件要同时满足 · 坐标位似注意正负号：同侧为正，异侧为负 · 多做坐标系中位似作图题，熟练掌握坐标变换规律 · 面积比问题注意开平方和平方的区别 【作业1】（2026•商河县一模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE＝1，若S△ABC＝2，则S△DEF＝_____ ． 【作业2】（2026秋•朝阳区校级月考）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是_____ ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是_____ ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，∠B＝90°，AB＝2，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长． 【作业3】（2026秋•单元）如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝3cm，BO＝2cm，CD＝10cm，求CO和DO的长． 【作业4】（2026秋•宝安区校级同步）综合探究： “在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中△ABC的面积是________ ． （2）若△DEF的三边的长分别为、、2，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的△DEF，并写出它的面积_____ ． （3）已知a，b均为正实数，且a+b＝3，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为a和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是b和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段CD的长，如图，AE＝a，BE＝b，AC＝1，BD＝3，AC⊥AB，BD⊥AB，则CE、DE的长分别表示为，．由于CE+ED≥CD，当C、D、E共线时，取等号，所以只要求出CD的长，就可以解决问题．请在图3中，求出CD的长，并说明理由．所以的最小值是_____ ． （4）拓展应用：求代数式：（0≤x≤4）的最小值． 【作业5】（2026秋•单元）如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形OEFG的四个顶点的横坐标、纵坐标都乘（﹣2），画出以所得坐标对应的四个点为顶点的四边形，并指出四边形OEFG与画出的四边形的位似中心和相似比． 【作业6】（2026秋•单元）如图，已知∠ACB＝∠DAC＝90°，BC＝a，AC＝b．当AD与a，b之间满足怎样的关系时，△ACB∽△DAC？ 【作业7】（2026秋•单元）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3BD，S△ABC＝48，求S△ADE． 【作业8】（2025秋•乌兰察布校级期末）综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为△ABC外一点，AE⊥CE，过B作BF⊥AE，垂足分别为E、F．求证：EF＝BF﹣CE． 独立思考：（1）请证明王老师提出的问题． 实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答． “如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，BA＝BD，CE⊥AD于点E，求证：AD＝2CE”． 问题解决： （3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现： “如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，AE⊥CE，过点A作AM⊥AE，且AM＝AE，连接BM．若CE＝2，请直接写出AG的值为_____ ．” 【作业9】（2026秋•单元）已知射线AE在∠MAN的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC． 【操作感知】小明发现，如图1，若满足∠MAN＝90°，且CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．则有：△ABD≌△CAF．小明的发现对吗？若对，请写出证明过程；若不对请说明理由； 【猜想论证】小丽发现∠MAN不是特殊角90度时，只要满足，∠1＝∠2＝∠BAC．如图2，其中∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，就有：△ABE≌△CAF；小丽的发现对吗？若对，请写出证明过程；若不对请说明理由； 【拓展探究】如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，请直接写出△ACF与△BDE的面积之和． 【作业10】（2026秋•单元）户外研学活动中，某校师生需要去测量一段两岸平行的河流宽度．如图，他们在河流一侧的岸边选取点B，使点B正对着对岸岸边A处的一棵树．解决此问题既可以用全等三角形或相似三角形的知识，也可以用锐角三角函数的知识．请设计几种测量方案，并相互交流． 【作业11】（2026秋•鱼峰区校级同步）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝9． ①若P为AC上一点，当AP的长为_____ 时，△ABP与△CBP是偏等积三角形； ②若Q是AB上一点，AQ＝5，则△CAQ与△CBQ_____ 偏等积三角形；（填“是”或“不是”） （2）运用定义：如图2，D为BC上一点，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB＝4，AC＝12，且线段AD的长为偶数，则AD的长为_____ ； （3）拓展加深：如图3，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°（0°＜∠BCE＜90°）．求证：△ACD与△BCE是偏等积三角形． 【作业12】（2026秋•单元）如图，已知五边形OABCD的顶点坐标为O（0，0），A（4，0），B（5，5），C（2，5），D（0，3）． （1）以坐标原点O为位似中心，画出把五边形OABCD放大为原来的1.5倍的图形． （2）以坐标原点O为位似中心，画出把五边形OABCD缩小为原来的的图形． 【作业13】（2026秋•单元）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点N在边AC上，MN⊥AB于点M，AM＝8cm，ACAB，求AN的长． 【作业14】（2026秋•单元）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，DE∥BC，连接CD，BE，CD与BE相交于点O，△DOE与△BOC的面积比为1：4．求的值． 【作业15】（2026秋•单元）如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处．王师傅驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设王师傅距大巴车车尾xm，此时大巴车车顶高于王师傅的水平视线0.8m，红灯下沿高于王师傅的水平视线3.2m．若王师傅恰好能看到红灯下沿，求x的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $