第9讲 相似三角形的判定及性质 优等生讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第9讲 相似三角形的判定及性质 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握相似三角形的四种判定方法：平行判定、三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等 · 理解直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 · 掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比 · 掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方 · 能在复杂图形中识别基本相似模型并解决计算与证明问题 📚 知识梳理 ☆ 1.4.4 两个三角形相似的判定 平行判定：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似（A型/X型） 三边成比例：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS） 两边成比例且夹角相等：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 两角分别相等：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 直角三角形特殊判定：被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似（母子型） 概念辨析例题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，若添加条件使△ADE∽△ACB，则下列条件正确的是（　　）A．∠ADE=∠C B．DE∥BC C．AD/AB=AE/AC D．以上都对 解析：A选项两角对应相等可判定相似；B选项平行于第三边可判定相似；C选项两边成比例且夹角为公共角∠A，可判定相似，故选D ☆ 2.4.5 相似三角形的性质 对应角相等，对应边成比例 对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 常见应用：利用相似比求线段长、面积比反求相似比 概念辨析例题：若两个相似三角形的面积比为4:9，则它们的周长比为（　　）A．2:3 B．4:9 C．16:81 D．3:2 解析：面积比=相似比的平方，故相似比=2:3；周长比=相似比=2:3 📋 知识总结表 判定方法 条件 几何语言 平行判定 DE∥BC △ADE∽△ABC 三边成比例(SSS) AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C' △ABC∽△A'B'C' 两边成比例夹角相等(SAS) AB/A'B'=AC/A'C', ∠A=∠A' △ABC∽△A'B'C' 两角分别相等(AA) ∠A=∠A', ∠B=∠B' △ABC∽△A'B'C' 母子型 Rt△ABC中CD为斜边高 △ACD∽△ABC∽△CBD ⚠️ 核心考点 【考点1：两个三角形相似的判定】 · 判定思路：先找平行线（A型/X型），再找等角（AA），最后验证边（SAS/SSS） · 公共角是隐含等角：∠A=∠A时只需再找一组等角或夹边成比例 · 直角三角形优先找锐角相等，再验证直角边/斜边比例 · 网格题：计算各边长度，验证三边是否成比例 · 判定相似后才能用性质求线段和面积 1．（2026秋•碑林区校级月考）如图，AD、CE分别是△ABC的边BC、AB上的高，那么图中相似三角形的对数为（　　） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【考点】相似三角形的判定． 2．（2026•高新区模拟）如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质． 3．（2026秋•同步）在等腰三角形ABC和等腰三角形A'B'C'中，∠A，∠A'分别是顶角．下列条件不能判定△ABC和△A'B'C'相似的是（　　） A．∠A＝∠A' B．∠B＝∠B' C． D． 【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质． 4．（2025秋•永州期末）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（　　） A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D． 【考点】相似三角形的判定． 5．（2025秋•山阳县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，补充下列条件后，仍不能判定△ADE和△ACB相似的是（　　） A．∠B＝∠C B．∠ADE＝∠C C． D． 【考点】相似三角形的判定． 6．（2025秋•渭源县期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定． 7．（2025秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 【考点】相似三角形的判定． 8．（2026秋•同步）已知三角形的三条边长分别为1，，，请写出另外三条线段长，使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似．这三条线段的长依次可以是：　2　 ，　　 ，　　 ． 【考点】相似三角形的判定；三角形三边关系． 9．（2026秋•同步）如图，在方格纸上有六个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK．三角形②～⑥中，与三角形①相似的有　③④⑤　 （只填序号）． 【考点】相似三角形的判定． 10．（2026秋•同步）如图，当AC＝　25　 时，△ACB∽△DCE；当AC＝　81　 时，△ACB∽△ECD． 【考点】相似三角形的判定． 11．（2025秋•济南期末）如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是 　∠ADE＝∠C（答案不唯一）　 ．（只写一个） 【考点】相似三角形的判定． 12．（2026秋•同步）已知：如图，在△ABC中，DE分别交AB，AC于点D，E，∠ADE＝∠B．求证：△ADE∽△ABC． 【考点】相似三角形的判定． 13．（2026秋•同步）如图，在△OAB中，点C，E在边OA上、点D，F在边OB上，EF∥CD∥AB，写出图中的相似三角形． 【考点】相似三角形的判定． 14．（2026秋•同步）已知：如图，在正方形网格图中，有两个格点△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF． 【考点】相似三角形的判定． 15．（2026秋•同步）如图，已知：在△ABC与△A1B1C1中，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，垂足分别为D、D1，且，求证：△ABC∽△A1B1C1． 【考点】相似三角形的判定． 16．（2026秋•同步）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边（或它们的延长线）上的点，且DE∥BC．求证：△ADE∽△ABC． 【考点】相似三角形的判定． 17．（2026秋•同步）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，CD与BE相交于点O．图中有哪几对三角形是相似三角形？ 【考点】相似三角形的判定． 18．（2026秋•同步）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D． （1）△ABC与△DBA相似吗？为什么？ （2）图中还有哪几对相似三角形？请说明理由． 【考点】相似三角形的判定． 19．（2026秋•单元）如图，已知∠ACB＝∠DAC＝90°，BC＝a，AC＝b．当AD与a，b之间满足怎样的关系时，△ACB∽△DAC？ 【考点】相似三角形的判定． 【考点2：相似三角形的性质】 · 对应线段比=相似比：高、中线、角平分线都适用 · 周长比=相似比，面积比=相似比的平方（注意不要颠倒） · 已知面积比求相似比：开平方；已知相似比求面积比：平方 · 同高三角形面积比=底之比，同底三角形面积比=高之比 · 面积比问题中注意区分两个三角形和四边形面积 20．（2026秋•同步）有两个三角形相似，它们的对应边的比是5：7，那么下列结论错误的是（　　） A．这两个相似三角形对应高的比为5：7 B．这两个相似三角形对应中线的比为5：7 C．这两个相似三角形对应角平分线的比为5：7 D．这两个相似三角形对应角的比为5：7 【考点】相似三角形的判定；相似三角形的性质． 21．（2025秋•科左中旗期末）学习了重心并研究确定重心位置后，小明知道了在平面直角坐标系中，若△ABC三个顶点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则△ABC的重心的坐标为．如图，在平面直角坐标系中，点D，E，F的坐标分别为（﹣1，4），（﹣1，﹣2），（4，﹣2），对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（　　） 嘉嘉；如图，P是DE的中点，连接PF．△DEF的重心在线段PF上； 淇淇：△DEF的重心的坐标为． A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．嘉嘉、淇淇的都正确 D．嘉嘉、淇淇的都不正确 【考点】三角形的重心；坐标与图形性质． 22．（2026秋•杭州月考）两个相似三角形的对应边之比为3：5，若较小三角形的周长为18cm，则较大三角形的周长为（　　） A．24cm B．30cm C．36cm D．54cm 【考点】相似三角形的性质． 23．（2026•中山市二模）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为（　　） A．113° B．92° C．113°或92° D．92°或134° 【考点】相似三角形的性质；等腰三角形的性质． 24．（2026秋•雁塔区校级同步）如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理． 25．（2025秋•右玉县期末）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的周长比为（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：9 【考点】相似三角形的性质． 26．（2026•南岗区校级四模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质． 27．（2026•封开县二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE交BD于点F，若DE：EC＝3：1，BD＝14，则线段DF的长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．4.8 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 28．（2026•凉州区模拟）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝3.5，则平行四边形ABCD的周长为 　32　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 29．（2026•郊区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为CD延长线上一点，连接BE交AC于点F．连接DF．若DE＝3，则DF的长为　　 ． 【考点】矩形的性质；解直角三角形；勾股定理． 30．（2026•临洮县二模）如图，在矩形ABCD中，E是边CD的延长线上一点，连接BE交边AD于点F，若AB＝6，BC＝9，DE＝3，则AF的长为　6　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 31．（2026秋•同步）两个相似三角形的相似比是1：5，则这两个相似三角形周长的比为　1：5　 ，面积的比为　1：25　 ． 【考点】相似三角形的性质． 32．（2026•沛县模拟）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 　21　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理． 33．（2026•德阳）如图，在矩形ABCD中，DC＝10，点E在边CD上，且CE＝2，F为BC边上一动点（含端点），连接EF，过点E作EF的垂线，交矩形的边于点G，当点F在边BC上运动时，为了使点G能落在边AD上（含端点），则AD的长度可以是　4（答案不唯一）　 （答案不唯一，只需写出一个整数即可）． 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 34．（2026•武威二模）如图，在△ABC和△DEF中，，∠B＝∠E，若AC＝6，则DF的长为　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质． 35．（2026•长兴县校级模拟）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为 　4　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质． 36．（2026秋•香坊区校级月考）如图，在边长为9的等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，BD＝3，∠ADE＝60°，则CE的长为　2　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 37．（2026•邯山区校级二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在网格的格点上，AB与CD相交于点O，则OC＝　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理． 38．（2026•罗湖区校级开学）已知△ABC∽△DEF，面积比为1：4，AC＝2，则DF的长为　4　 ． 【考点】相似三角形的性质． 39．（2026秋•单元）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3BD，S△ABC＝48，求S△ADE． 【考点】相似三角形的判定与性质． 40．（2026秋•单元）如图，O为矩形ABCD的中心，三角板的直角顶点与点O重合．当三角板绕点O旋转时，直角边始终与边BC，AB相交，交点分别为M，N．已知AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y，用含x的代数式表示y． 【考点】相似三角形的判定与性质；列代数式；旋转的性质． 41．（2026秋•单元）如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝3cm，BO＝2cm，CD＝10cm，求CO和DO的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 42．（2026秋•同步）已知：△ABC∽△A1B1C1，BD、B1D1分别是∠ABC、∠A1B1C1的平分线，且点D、D1分别在边AC、A1C1上，E、E1分别是边BC、B1C1的中点．求证：． 【考点】相似三角形的性质． 43．（2026春•肥城市期末）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD，若AB＝8，AC＝6，求AD的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 44．（2026秋•同步）如果两个相似三角形的面积比是9：4，那么它们的周长比是多少？ 【考点】相似三角形的性质． 45．（2026秋•同步）已知△ABC的三边AB，BC，AC与△A'B'C'的三边A'B'，B'C'，A'C'对应成比例．若△ABC的周长为48cm，且A'B'＝3cm，B'C'＝4cm，A'C'＝5cm，求△ABC的三边的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记四种判定方法的条件，选择最简便的方法判定 · 判定相似后，对应高/中线/角平分线/周长/面积的比例关系要熟练 · 面积比=相似比的平方，这是高频考点 · 多做网格题和动点题，提高在复杂图形中识别相似的能力 · 证明题先找等角，再找边的比例关系 【作业1】（2025秋•蓝山县期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E 【考点】相似三角形的判定． 【作业2】（2025秋•永定区期末）如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（　　） A．∠A＝∠A B．∠ADE＝∠AED C． D． 【考点】相似三角形的判定． 【作业3】（2026秋•南关区校级月考）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 【考点】相似三角形的判定． 【作业4】（2025秋•蕉岭县期末）若△ABC∽△DEF，且，△DEF的面积为12，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．6 C．24 D．48 【考点】相似三角形的性质． 【作业5】（2026•玄武区一模）若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B′的度数为（　　） A．30° B．50° C．40° D．70° 【考点】相似三角形的性质． 【作业6】（2025秋•市中区期末）如图，DE∥BC，且AD：AB＝1：3，则S△ADE：S四边形BDEC＝（　　） A．1：8 B．1：4 C．1：9 D．1：3 【考点】相似三角形的判定与性质． 【作业7】（2026秋•同步）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，连接BE，BF，则当CF＝　1.8　 时，△CBF∽△ABE． 【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质． 【作业8】（2026春•江北区校级月考）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C在⊙O上，点A为弧BAC的中点，DC交⊙O于点E，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF，若⊙O的直径为20，BC＝16，则AB＝　8　 ，DF＝　4　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 【作业9】（2026秋•同步）两个相似三角形对应边的比为0.4，那么这两个相似三角形的周长比为　0.4　 ，面积比为　0.16　 ． 【考点】相似三角形的性质． 【作业10】（2026秋•同步）已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 5 　　 　　 周长的比 　　 　5　 　　 面积的比 　　 　25　 　　 【考点】相似三角形的性质． 【作业11】（2025秋•渠县校级期末）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m，由物理知识可知∠FBC＝∠GBA，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度AG． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【作业12】（2026秋•单元）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，DE∥BC，连接CD，BE，CD与BE相交于点O，△DOE与△BOC的面积比为1：4．求的值． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【作业13】（2026秋•单元）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点N在边AC上，MN⊥AB于点M，AM＝8cm，ACAB，求AN的长． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【作业14】（2026秋•同步）已知：如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点．求证：△ABC∽△AEF． 【考点】相似三角形的判定；三角形中位线定理． 【作业15】（2026秋•单元）如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端点在CD，AD上滑动．当DM为多长时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似？试说明理由． 【考点】相似三角形的判定；正方形的性质． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 相似三角形的判定及性质 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握相似三角形的四种判定方法：平行判定、三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等 · 理解直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 · 掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比 · 掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方 · 能在复杂图形中识别基本相似模型并解决计算与证明问题 📚 知识梳理 ☆ 1.4.4 两个三角形相似的判定 平行判定：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似（A型/X型） 三边成比例：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS） 两边成比例且夹角相等：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 两角分别相等：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 直角三角形特殊判定：被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似（母子型） 概念辨析例题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，若添加条件使△ADE∽△ACB，则下列条件正确的是（　　）A．∠ADE=∠C B．DE∥BC C．AD/AB=AE/AC D．以上都对 解析：A选项两角对应相等可判定相似；B选项平行于第三边可判定相似；C选项两边成比例且夹角为公共角∠A，可判定相似，故选D ☆ 2.4.5 相似三角形的性质 对应角相等，对应边成比例 对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 常见应用：利用相似比求线段长、面积比反求相似比 概念辨析例题：若两个相似三角形的面积比为4:9，则它们的周长比为（　　）A．2:3 B．4:9 C．16:81 D．3:2 解析：面积比=相似比的平方，故相似比=2:3；周长比=相似比=2:3 📋 知识总结表 判定方法 条件 几何语言 平行判定 DE∥BC △ADE∽△ABC 三边成比例(SSS) AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C' △ABC∽△A'B'C' 两边成比例夹角相等(SAS) AB/A'B'=AC/A'C', ∠A=∠A' △ABC∽△A'B'C' 两角分别相等(AA) ∠A=∠A', ∠B=∠B' △ABC∽△A'B'C' 母子型 Rt△ABC中CD为斜边高 △ACD∽△ABC∽△CBD ⚠️ 核心考点 【考点1：两个三角形相似的判定】 · 判定思路：先找平行线（A型/X型），再找等角（AA），最后验证边（SAS/SSS） · 公共角是隐含等角：∠A=∠A时只需再找一组等角或夹边成比例 · 直角三角形优先找锐角相等，再验证直角边/斜边比例 · 网格题：计算各边长度，验证三边是否成比例 · 判定相似后才能用性质求线段和面积 1．（2026秋•碑林区校级月考）如图，AD、CE分别是△ABC的边BC、AB上的高，那么图中相似三角形的对数为（　　） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 2．（2026•高新区模拟）如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 3．（2026秋•同步）在等腰三角形ABC和等腰三角形A'B'C'中，∠A，∠A'分别是顶角．下列条件不能判定△ABC和△A'B'C'相似的是（　　） A．∠A＝∠A' B．∠B＝∠B' C． D． 4．（2025秋•永州期末）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（　　） A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D． 5．（2025秋•山阳县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，补充下列条件后，仍不能判定△ADE和△ACB相似的是（　　） A．∠B＝∠C B．∠ADE＝∠C C． D． 6．（2025秋•渭源县期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 8．（2026秋•同步）已知三角形的三条边长分别为1，，，请写出另外三条线段长，使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似．这三条线段的长依次可以是：_____ ，________________ ，________________ ． 9．（2026秋•同步）如图，在方格纸上有六个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK．三角形②～⑥中，与三角形①相似的有________ （只填序号）． 10．（2026秋•同步）如图，当AC＝_______ 时，△ACB∽△DCE；当AC＝_______ 时，△ACB∽△ECD． 11．（2025秋•济南期末）如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是 ___________________ ．（只写一个） 12．（2026秋•同步）已知：如图，在△ABC中，DE分别交AB，AC于点D，E，∠ADE＝∠B．求证：△ADE∽△ABC． 13．（2026秋•同步）如图，在△OAB中，点C，E在边OA上、点D，F在边OB上，EF∥CD∥AB，写出图中的相似三角形． 14．（2026秋•同步）已知：如图，在正方形网格图中，有两个格点△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF． 15．（2026秋•同步）如图，已知：在△ABC与△A1B1C1中，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，垂足分别为D、D1，且，求证：△ABC∽△A1B1C1． 16．（2026秋•同步）已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边（或它们的延长线）上的点，且DE∥BC．求证：△ADE∽△ABC． 17．（2026秋•同步）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，CD与BE相交于点O．图中有哪几对三角形是相似三角形？ 18．（2026秋•同步）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D． （1）△ABC与△DBA相似吗？为什么？ （2）图中还有哪几对相似三角形？请说明理由． 19．（2026秋•单元）如图，已知∠ACB＝∠DAC＝90°，BC＝a，AC＝b．当AD与a，b之间满足怎样的关系时，△ACB∽△DAC？ 【考点2：相似三角形的性质】 · 对应线段比=相似比：高、中线、角平分线都适用 · 周长比=相似比，面积比=相似比的平方（注意不要颠倒） · 已知面积比求相似比：开平方；已知相似比求面积比：平方 · 同高三角形面积比=底之比，同底三角形面积比=高之比 · 面积比问题中注意区分两个三角形和四边形面积 20．（2026秋•同步）有两个三角形相似，它们的对应边的比是5：7，那么下列结论错误的是（　　） A．这两个相似三角形对应高的比为5：7 B．这两个相似三角形对应中线的比为5：7 C．这两个相似三角形对应角平分线的比为5：7 D．这两个相似三角形对应角的比为5：7 21．（2025秋•科左中旗期末）学习了重心并研究确定重心位置后，小明知道了在平面直角坐标系中，若△ABC三个顶点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则△ABC的重心的坐标为．如图，在平面直角坐标系中，点D，E，F的坐标分别为（﹣1，4），（﹣1，﹣2），（4，﹣2），对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（　　） 嘉嘉；如图，P是DE的中点，连接PF．△DEF的重心在线段PF上； 淇淇：△DEF的重心的坐标为． A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．嘉嘉、淇淇的都正确 D．嘉嘉、淇淇的都不正确 22．（2026秋•杭州月考）两个相似三角形的对应边之比为3：5，若较小三角形的周长为18cm，则较大三角形的周长为（　　） A．24cm B．30cm C．36cm D．54cm 23．（2026•中山市二模）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为（　　） A．113° B．92° C．113°或92° D．92°或134° 24．（2026秋•雁塔区校级同步）如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 25．（2025秋•右玉县期末）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的周长比为（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：9 26．（2026•南岗区校级四模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 27．（2026•封开县二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE交BD于点F，若DE：EC＝3：1，BD＝14，则线段DF的长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．4.8 28．（2026•凉州区模拟）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝3.5，则平行四边形ABCD的周长为 _______ ． 29．（2026•郊区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为CD延长线上一点，连接BE交AC于点F．连接DF．若DE＝3，则DF的长为____________________ ． 30．（2026•临洮县二模）如图，在矩形ABCD中，E是边CD的延长线上一点，连接BE交边AD于点F，若AB＝6，BC＝9，DE＝3，则AF的长为_____ ． 31．（2026秋•同步）两个相似三角形的相似比是1：5，则这两个相似三角形周长的比为________ ，面积的比为_________ ． 32．（2026•沛县模拟）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 __________________ ． 33．（2026•德阳）如图，在矩形ABCD中，DC＝10，点E在边CD上，且CE＝2，F为BC边上一动点（含端点），连接EF，过点E作EF的垂线，交矩形的边于点G，当点F在边BC上运动时，为了使点G能落在边AD上（含端点），则AD的长度可以是_____________ （答案不唯一，只需写出一个整数即可）． 34．（2026•武威二模）如图，在△ABC和△DEF中，，∠B＝∠E，若AC＝6，则DF的长为___________________ ． 35．（2026•长兴县校级模拟）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为 _____ ． 36．（2026秋•香坊区校级月考）如图，在边长为9的等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，BD＝3，∠ADE＝60°，则CE的长为_____ ． 37．（2026•邯山区校级二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在网格的格点上，AB与CD相交于点O，则OC＝___________________ ． 38．（2026•罗湖区校级开学）已知△ABC∽△DEF，面积比为1：4，AC＝2，则DF的长为_____ ． 39．（2026秋•单元）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3BD，S△ABC＝48，求S△ADE． 40．（2026秋•单元）如图，O为矩形ABCD的中心，三角板的直角顶点与点O重合．当三角板绕点O旋转时，直角边始终与边BC，AB相交，交点分别为M，N．已知AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y，用含x的代数式表示y． 41．（2026秋•单元）如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝3cm，BO＝2cm，CD＝10cm，求CO和DO的长． 42．（2026秋•同步）已知：△ABC∽△A1B1C1，BD、B1D1分别是∠ABC、∠A1B1C1的平分线，且点D、D1分别在边AC、A1C1上，E、E1分别是边BC、B1C1的中点．求证：． 43．（2026春•肥城市期末）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD，若AB＝8，AC＝6，求AD的长． 44．（2026秋•同步）如果两个相似三角形的面积比是9：4，那么它们的周长比是多少？ 45．（2026秋•同步）已知△ABC的三边AB，BC，AC与△A'B'C'的三边A'B'，B'C'，A'C'对应成比例．若△ABC的周长为48cm，且A'B'＝3cm，B'C'＝4cm，A'C'＝5cm，求△ABC的三边的长． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记四种判定方法的条件，选择最简便的方法判定 · 判定相似后，对应高/中线/角平分线/周长/面积的比例关系要熟练 · 面积比=相似比的平方，这是高频考点 · 多做网格题和动点题，提高在复杂图形中识别相似的能力 · 证明题先找等角，再找边的比例关系 【作业1】（2025秋•蓝山县期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E 【作业2】（2025秋•永定区期末）如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（　　） A．∠A＝∠A B．∠ADE＝∠AED C． D． 【作业3】（2026秋•南关区校级月考）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△QPO相似，那么这个三角形是（　　） A．△ACD B．△BCD C．△CDE D．△ADE 【作业4】（2025秋•蕉岭县期末）若△ABC∽△DEF，且，△DEF的面积为12，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．6 C．24 D．48 【作业5】（2026•玄武区一模）若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B′的度数为（　　） A．30° B．50° C．40° D．70° 【作业6】（2025秋•市中区期末）如图，DE∥BC，且AD：AB＝1：3，则S△ADE：S四边形BDEC＝（　　） A．1：8 B．1：4 C．1：9 D．1：3 【作业7】（2026秋•同步）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，连接BE，BF，则当CF＝________ 时，△CBF∽△ABE． 【作业8】（2026春•江北区校级月考）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C在⊙O上，点A为弧BAC的中点，DC交⊙O于点E，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF，若⊙O的直径为20，BC＝16，则AB＝________________ ，DF＝_________________ ． 【作业9】（2026秋•同步）两个相似三角形对应边的比为0.4，那么这两个相似三角形的周长比为________ ，面积比为_________ ． 【作业10】（2026秋•同步）已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 5 __________________ __________________ 周长的比 __________________ _____ __________________ 面积的比 __________________ _______ ____________________ 【作业11】（2025秋•渠县校级期末）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m，由物理知识可知∠FBC＝∠GBA，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度AG． 【作业12】（2026秋•单元）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，DE∥BC，连接CD，BE，CD与BE相交于点O，△DOE与△BOC的面积比为1：4．求的值． 【作业13】（2026秋•单元）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点N在边AC上，MN⊥AB于点M，AM＝8cm，ACAB，求AN的长． 【作业14】（2026秋•同步）已知：如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点．求证：△ABC∽△AEF． 【作业15】（2026秋•单元）如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端点在CD，AD上滑动．当DM为多长时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似？试说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $