专题12相似多边形与图形的位似精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本初中数学讲义以“相似多边形一般规律→位似特殊相似模型”为主线，系统梳理多边形相似的判定条件、周长与面积比例性质，衔接三角形相似知识，进而学习位似图形的特征、尺规作图及坐标系中的坐标变换，构建完整知识闭环。 该资料亮点在于知识点层次分明，突出易错点与高频考点，通过正多边形相似判定、坐标系位似坐标计算等实例，培养学生几何直观与推理意识，分层题型设计助力学生掌握作图与运算技能，课中辅助教师授课，课后帮助学生查漏补缺。

专题12相似多边形与图形的位似精讲学案 课堂核心立意 以「相似多边形一般规律→位似特殊相似模型」为主线，先掌握多边形相似判定、周长与面积比例规律，再学习位似图形特征、尺规位似作图、坐标系位似坐标变换，衔接前面三角形相似知识，实现多边形相似整体知识闭环，适配课堂授课、例题讲解、考前整体复习，知识点层次分明、考点突出。 相似多边形判定核心条件【基础必记★常考】 ①判定多边形相似需要同时满足两个条件：所有对应角分别相等，所有对应边的比值全部相等，缺少任意一个条件都不能判定多边形相似。 ②矩形仅内角全部相等，边长比例不一定相等，矩形之间不一定相似；菱形仅边长全部等比例，内角不统一，菱形之间不一定相似。 ③全部正多边形（正四边形、正五边形等），对应角相等、对应边成比例，任意两个边数相同的正多边形一定相似。 ④全等多边形是相似比为1的特殊相似多边形。 相似多边形比例性质【计算核心★高频考点】 ①相似多边形对应角大小完全相等，对应边的比值定义为相似比，相似比具备前后顺序，前后图形颠倒后相似比互为倒数。 ②相似多边形周长的比值等于图形的相似比，直接利用相似比换算整体周长长度。 ③相似多边形面积的比值等于相似比的平方，已知面积比值需要先开平方算出相似比，再求解边长、周长数值。 位似图形基础定义【概念辨析★常考】 ①位似图形属于特殊的相似图形，满足两大独有特征：各组对应顶点连线相交于同一个位似中心，对应边互相平行或者在同一条直线上。 ②可逆结论：位似图形一定是相似图形，但是普通相似图形不满足连线共点、边平行条件，不属于位似图形。 位似图形专属性质【解题核心★高频考点】 ①继承全部相似多边形性质：对应角相等，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 ②位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比，等于位似比，依靠该比例完成线段长度换算。 ③对应顶点连线全部经过位似中心，作图、找点时可依靠该特征定位对应顶点。 位似图形尺规作图步骤【实操考点★常考】 ①确定位似中心位置，位似中心可在图形外部、内部、边上、顶点处。 ②将位似中心与原图每一个顶点依次连接，得到射线或者线段。 ③按照题目给定的位似比，在连线之上截取对应顶点，位似比大于1做放大图，小于1做缩小图。 ④顺着截取得到的顶点依次连接，形成位似图形；位似中心两侧可分别作图，题目无限制时存在两组位似图形。 平面直角坐标系原点位似变换【计算重难点★高频】 ①以坐标原点作为位似中心，位似比为k，原图顶点(x,y)经过位似变换后坐标为(kx,ky)或者(-kx,-ky)。 ②(kx,ky)：新图形与原图在位似中心同一侧；(-kx,-ky)：新图形与原图分布在位似中心两侧。 ③易错限制：只有位似中心为坐标原点时可以直接对横纵坐标同乘k，位似中心为其他点不能直接套用坐标缩放公式。 1. 判断多边形相似只看角相等或者只看边成比例，单一条件直接判定相似，结论错误。 2. 相似多边形面积计算直接套用相似比，忽略平方关系，计算结果偏差。 3. 坐标系中原点位似只写出(kx,ky)一组坐标，漏掉(-kx,-ky)的反向位似图形，出现漏解。 4. 位似作图时顶点没有和位似中心三点共线，画出的图形不符合位似要求。 5. 混淆相似比前后顺序，放大、缩小图形比例颠倒。 题型 考察方向 难度 题型一 相似多边形 ★★ 题型二 相似图形 ★★ 题型三 相似多边形的性质 ★★★ 题型四 1. 位似图形的识别 ★★ 题型五 判断位似中心 ★★ 题型六 2. 位似图形相关概念辨析 ★★ 题型七 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型八 3. 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★ 题型九 4. 求位似图形的对应坐标 ★★★ 题型十 5. 坐标系中求两个位似图形的比值 ★★★ 题型十一 6. 在坐标系中画位似图形 ★★★ 题型十二 在坐标系中画位似中心 ★★ 题型十三 7. 坐标与图形综合 ★★★ 题型十四 相似三角形的综合问题 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★常考；★★★中考高频 8. 题型一：相似多边形 解题思路：①多边形相似需同时满足对应角全部相等、对应边全部成比例两个条件；②边数相同的正多边形一定相似。 1．下列图形一定相似的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形相似），结合各选项图形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：相似图形需满足对应角相等且对应边成比例， A选项：∵等边三角形的三个内角均为，且各边长度相等， ∴任意两个等边三角形对应角相等，对应边的比值为定值， ∴两个等边三角形一定相似，该项正确； B选项：∵两个直角三角形仅直角相等，另外两个锐角不一定相等，对应边也未必成比例， ∴两个直角三角形不一定相似，该项错误； C选项：∵两个矩形的对应角均为，但对应边的比值不一定相等， ∴两个矩形不一定相似，该项错误； D选项：∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴两个菱形不一定相似，该项错误； 故选A． 2．下列各组多边形中，一定相似的是___________（填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 【答案】①④/④① 【分析】根据相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，它们的各角对应相等，且各边对应成比例．对各选项分析判断后利用排除法解答．本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的定义，从而完成求解． 【详解】解：①两个正方形的四个角对应相等，四条边也对应成比例，故一定相似； ②两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似； ③两个矩形的对应边不一定成比例，故不一定相似； ④两个正五边形的每个角都为，各边长度也都对应成比例，故一定相似； ⑤两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故答案为：①④ 3．下列图形中，不一定相似的是（   ） A．两条对角线的比相等的两个平行四边形 B．邻边之比相等的两个矩形 C．有一组角对应相等的两个菱形 D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形 【答案】A 【分析】相似多边形要求各边对应成比例，各角对应相等，按照定义逐一判断即可． 【详解】A.两条对角线的比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意； B. 邻边之比相等的两个矩形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意； C.有一组角对应相等的两个菱形各边对应成比例，各角对应相等，一定相似，故此选项不符合题意； D. 四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形一定相似，故此选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查相似形，解题的关键熟悉四边形的性质． 题型二：相似图形 解题思路：①图形外形保持一致，尺寸可放大或缩小；②对应角相等、对应线段成比例；③全等图形为相似比等于1的特殊 4．下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】此题考查了相似图形的定义．根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形），对各选项逐一分析，利用排除法确定正确选项． 【详解】解：相似图形的定义是对应角相等、对应边成比例的图形， A选项：两个等腰三角形的顶角与底角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； B选项：两个直角三角形只有直角相等，另外两个锐角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； C选项：两个正方形的所有内角均为，各角都相等，且各边均相等，对应边的比值一定相等， ∴一定相似； D选项：两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； 故选：C． 5．下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义．根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解． 【详解】解：、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意， 故选：． 6．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 【答案】甲和丙 【分析】本题主要考查相似图形的判断，特别是矩形的相似条件． 根据题干信息，分别计算每个矩形长与宽的比值，若比值相等，则矩形相似． 【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形， 每个内角都为． 甲和乙不相似． 甲和丙相似． 乙和丙不相似 故答案为：甲和丙． 9. 题型三：相似多边形的性质 解题思路：①对应角相等，对应边成比例；②图形周长之比等于相似比；③图形面积之比等于相似比的平方；④已知面积比值求边长，先对面积比开平方算出相似比。 7．如图，以点为位似中心的与的相似比为．若的长为6，则的长为（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是利用位似比等于对应点到位似中心的距离比． 根据位似比得到，代入求解的长度． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 8．如图，四边形四边形，则的度数是 ______． 【答案】 【分析】根据相似多边形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和求出即可． 【详解】解：四边形四边形， ， ． 9．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 题型四：位似图形的识别 解题思路：①位似属于特殊的相似图形；②满足图形整体相似；③各组对应顶点连线交汇于同一位似中心，对应边相互平行或在同一直线上；④两项条件全部成立才可判定为位似图形。 10．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 11．如图所示是利用图形变换设计的一个美术字图案，这样设计的美术字更富有立体感，则该图案在设计的过程中用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义，即可解决问题． 【详解】解：根据位似的定义可知：该图案在设计的过程中用到的图形变换是位似． 故选：D． 【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似图形的定义． 12．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 题型五：判断位似中心 解题思路：①选取两组相互对应的顶点；②分别连线两组顶点得到两条直线；③两条直线交点就是位似中心；④位似中心可落在图形内部、外部、边上或是顶点位置。 13．如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 【答案】C 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵对应点的连线交于点， 点为位似中心， 故选：C． 14．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 15．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 10. 题型六：位似图形相关概念辨析 解题思路：①位似图形必然相似，相似图形不一定构成位似；②单个位似图形仅有唯一的位似中心；③对应点到位似中心的距离比值等于位似比；④依托核心结论判断命题对错。 16．如图，与是位似图形，位似比为1：4，若，则的长为(　　)    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据对应点到位似中心距离之比等于位似比即可解答． 【详解】∵与是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形中“对应点到位似中心距离之比等于位似比”是解答本题的关键． 17．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 18．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 11. 题型七：求两个位似图形的相似比 解题思路：①选取一组对应边计算长度比值得到相似比；②也可通过对应点到位似中心的距离之比求解；③依照题干图形前后顺序计算比值。 19．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，，的周长为，则的周长为（    ） A． B．8 C．24 D． 【答案】B 【分析】由位似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴和周长的比为， ∵， ∴的周长为． 20．如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 21．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知与相似，由得出相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与关于原点位似， ∴， ∵， ∴和的相似比是2， ∴， ∵的周长为2， ∴的周长为4． 12. 题型八：画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 解题思路：①确定位似中心位置；②连接位似中心与图形全部顶点作射线；③按照缩放倍数在射线上截取对应顶点；④顺次连接截取点完成位似图形绘制。 22．如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的放大，三角形放大时，各角的度数不变，各边的长度变大，则周长和面积也变大，据此可得答案． 【详解】解：用放大镜观察一个三角形，看到的三角形的各边的长度扩大，各角的度数不变，则三角形的周长扩大，面积也扩大， ∴只有A选项的说法错误， 故选：A． 23．如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 【答案】C 【分析】本题考查了位似，位似比，根据位似中心位似比，结合勾股定理确定即可． 【详解】∵以A为位似中心，把放大到原来的2倍，且， ， ∴， 故， 故选C． 24．将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的缩放变换，根据横纵坐标同乘正数的变换性质判断图形变化即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将图形上各点的横、纵坐标都乘，是对原图形进行以原点为位似中心，位似比为的位似变换， ∴所得图形与原图形相似，且对应线段的长度缩小为原来的， 故选：C． 13. 题型九：求位似图形的对应坐标 解题思路：①位似中心为坐标原点时，原始坐标(x,y)，位似比k；②对应点位似坐标为(kx,ky)或是(-kx,-ky)；③位似中心非原点，不可直接将坐标数值乘以位似比。 25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，在第三象限内作的位似图形，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据关于以原点为位似中心的点的坐标关系，点的坐标就是把点的坐标乘以，据此计算即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，的位似图形为，且， 即位似比为， 而， ∴，即． 故选：B． 26．如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标为，且以原点为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点在第一象限的对应点的坐标为，即为． 27．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， 点的坐标为，即． 题型十：在坐标系中求两个位似图形的比值 解题思路：①选取一组对应点计算线段长度，求出图形相似比；②周长比值直接等同于相似比；③面积比值等于相似比的平方。 28．如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点O为位似中心的位似图形，．若的周长为4，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形 ∴ 的周长为4， 故选B． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△FED关于原点O位似，若，△AOB的面积为4，则△FOE的面积为___________. 【答案】1 【分析】根据位似图形的定义可确定，再根据相似三角形的判定定理和性质即可求出△OEF的面积． 【详解】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE， ∴． ∵∠AOB=∠FOE， ∴． ∴△AOB和△FOE的相似比是2． ∴△AOB面积和△FOE面积的比值是4． ∵△AOB的面积是4． ∴△FOE的面积是1． 故答案为：1 【点睛】本题考查位似图形的定义，相似三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 30．如图，与是位似图形，位似中心为点O．若的面积为m，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质． 根据位似图形面积比等于位似比的平方求出面积比，进而求的面积即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O，， ∴， ∵的面积为m， ∴． 故选：C． 题型十一：在坐标系中画位似图形 解题思路：①明确位似中心坐标；②算出原图所有顶点位似变换后的新坐标；③在坐标系中标注出新顶点；④依次连线绘制完整位似图形。 31．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ______．    【答案】（-2,0）或（2,0） 【分析】由位似比求出对应点坐标有两种情况，分别求出两组对应点坐标，然后在平面直角坐标系描点连接即可． 【详解】解：由位似比为求得：A(−2，4)，B(−4，0)对应点坐标分别为A′(−1，2)，B′(−2，0)， 或者A′′(1，−2)，B′′(2，0)， O点是位似中心，所以位置不变， 所以，下图△A′B′O或△A′′B′′O都为满足题意的位似图形, ∴此时点B关于对称中心的对应点的坐标为（-2,0）或（2,0）.    【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应点的坐标． 32．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 33．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：． 14. 题型十二：在坐标系中画位似中心 解题思路：①找出两组图形对应顶点；②分别过两组对应顶点绘制直线；③读取两条直线交点坐标，该交点即为位似中心。 34．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，这个点叫做位似中心，找到位似中心的位置，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 连接与，与，找出直线与直线的交点即可得到答案． 【详解】解：由图可知与是一组对应点，与是一组对应点，连接与，与, 观察图像可以发现直线与直线相交于点，这个交点就是位似中心 故选：C． 35．如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，求一次函数解析式，根据点B和点E的坐标可得直线即为直线，利用待定系数法求出直线解析式，再根据位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴直线即为直线， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心， ∴点H即为直线和直线的交点， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 36．如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，那么位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．， B．， C．，2 D．， 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 故选：D． 题型十三：坐标与图形综合 解题思路：①依托坐标系确定关键点坐标；②借助勾股定理算出线段长度；③结合相似、位似知识点求解相似比、周长、面积；④根据题意分类讨论多解情况。 37．在平面直角坐标系中有三点：A，B，O，则的面积为（    ）平方单位． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，割补法求图形面积；求面积有以下两种方法：（1）补形法：计算某个图形的面积，如果它的面积难以直接求出，那么就设法把它补成面积较容易计算的图形；（2）分割法：把所求部分的图形分割成若干份规则的图形，求它们的面积和．过A作轴，过B作轴，两直线交于点E，根据求解即可． 【详解】解：如图，过A作轴，过B作轴，两直线交于点E， ， ， （平方单位）， 故选：． 38．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，点的坐标为，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据圆的定义，，结合在轴上，可知轴是过圆心且垂直于弦的直线，直接利用垂径定理，得到轴平分弦，即，再由点的坐标求出的长度，得到的值． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴． 由题意可得点、在上，是的弦． ∵点在轴上，且轴轴， ∴由垂径定理可知，轴平分弦，即． ∵， ∴． ∵点在轴正半轴上，坐标为， ∴． 39．如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】画出平面直角坐标系，把点标出来，找到符合条件的点P，通过相似三角形的判定去证明是否成立．本题考查相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的时候把情况考虑全面． 【详解】解：设, ∵，，，， ∴，，，． ①如图，P点在B、D之间，此时， ∴， ∴， 解得， ∴； ②如图，P点在B点上方时，此时， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴； ③P点在B点下方时，有两种情况； （ⅰ）时， 则， ∴， 解得（舍去），或， ∴； （ⅱ）时， 则， ∴， 解得， ∴． 综上，所有符合条件的点P点有4个 ． 故选：C． 40．如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求点的坐标等知识，掌握勾股定理是关键；由勾股定理得，则，则求得的长，从而得点C的横坐标． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得， 由题意知， ∴， ∵点C在x轴正半轴上， ∴点C的横坐标为． 故选：A． 题型十四：相似三角形的综合问题 解题思路：①找寻等角条件证明三角形相似；②结合勾股定理、动点、几何模型梳理已知条件；③设定未知量，依靠相似关系列出比例方程；④求解方程结合题意确定最终答案。 41．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 【答案】C 【分析】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：与是位似图形，点为位似中心， 且 又 故选：C． 【点睛】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题． 42．如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 43．如图，中，点分别是边上的点，连接交于点．若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作，根据平行线性质能证明出，，根据相似比求出和的关系，和的关系，进而求出． 【详解】过点作， ， ， ， 设， ， 又， ， ， ， ， ， ∴， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形相似，相似比，解题的关键是画出辅助线，利用相似比找出所求线段之间的关系． 解答题 1．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【答案】(1)不相似 (2) 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)； (3)14 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出； (2)以点为位似中心，将放大至原来的3倍，得到，请在网格内画出； (3)直接写出的面积与四边形的面积之比为：___________． 【答案】(1) 如图， 为所求作； (2) 如图， 为所求作； (3) 【分析】本题考查了网格平移作图，位似图形作图，位似图形的性质，相似三角形的性质； （1）按平移的要求作图，即可求解； （2）按位似图形的作法作图，即可求解； （3）由位似图形的性质得，，由相似三角形的性质即可求解； 能熟练在网格中平移作图及作位似图形，并能由位似图形的性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4如图，在正方形的网格中，已知． (1)①以点为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且位似比为2； ②若的面积为6，则的面积为______； (2)若建立如图所示的平面直角坐标系．点，，，则的外心的坐标为______． 【答案】(1) ①如图，即为所求； ②24 (2) 【分析】本题考查位似图形的性质、三角形外心的定义，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似比为2，作出即可； （2）根据面积比等于位似比的平方，进行解答即可； （3）根据两点间距离公式得到、、，根据外心的定义得到，据此列方程求解即可． 【详解】（1）①略 ②解：由于与位似比为2， 则， 因此， 故答案为：24； （2）解；设的坐标为， 则、、， 由于点M是的外心， 则， 即， 解得， 则点的坐标为， 故答案为：． 5．我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． (1)如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； (2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； (3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 【答案】(1) (2)见详解；见详解 (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，根据等边对等角得出，再结合已知条件进一步即可解决问题； （2）在线段上取一点P，使得，则即为所求，然后证明即可． （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【详解】（1）解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴ 故答案为：． （2）解：如下图：在线段上取一点P，使得，即等腰邻相似三角形， 证明∶∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是一个边上的“等腰邻相似三角形”， （3）解：由题意是等腰直角三角形， ∵与，与相似， ∴，都是等腰直角三角形； 如图4中，当点P在线段上，时， ∵，，都是等腰直角三角形； ∴，，，，, ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 如图5中，当点P在线段上，时， 作交的延长线于E． 则， 又∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，四边形不存在，不符合题意； 如图6中，如图7中，的长度与图4，图5类似． 综上所述，满足条件的的长度为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 6．小潘和小智在学习了平面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系xOy中任意两点与的两种新的距离： ＊小潘定义了，的“分解距离”，如下： 若，则为点与点的“分解距离”，即； 若，则为点与点的“分解距离”，即． ＊小智定义了，的“和距离”，如下： 点，的“和距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系xOy中，已知点，． (1)________；________； (2)若点C的坐标为． ①当时，若，直接写出点C的坐标； ②将点C向左平移一个单位长度得到点D，点E满足，点F满足，若线段CD上存在点E或点F，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)4,7 (2)①或，②或 【分析】此题考查了新定义问题，坐标与图形． （1）根据“分解距离”和“和距离”的概念求解即可； （2）根据和画出点和点的轨迹，再利用的范围分 别算出线段与点轨迹和点轨迹相交时的范围，最后将范围合并即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，, ∵， ∴， ∴． （2）解：①当 时，点，点 ， ，， 分两种情况讨论： （ⅰ），此时 ， 解得或，即或． 时，， ，，； 时，，，，，舍去． （ⅱ），此时， 解得或，即或． 时，，，，； 时，，，，，舍去． 综上，点的坐标为：或． ②设，，则： 当时，，即或，且，即 ； 当时，，即或，且 ，即． 点的轨迹为以，，，为顶点的正方形的四条边， ∴； 设,,则， ∴点的轨迹为以，，，为顶点的正方形的四条边， ∴． 如图，正方形的四边为点的轨迹，正方形的四边为点的轨迹． 点，向左平移1个单位得， 线段上的点：， （ⅰ）与的轨迹相交： 且，解得； （ⅱ）与的轨迹相交： 且，解得； 综上：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12相似多边形与图形的位似精讲学案 课堂核心立意 以「相似多边形一般规律→位似特殊相似模型」为主线，先掌握多边形相似判定、周长与面积比例规律，再学习位似图形特征、尺规位似作图、坐标系位似坐标变换，衔接前面三角形相似知识，实现多边形相似整体知识闭环，适配课堂授课、例题讲解、考前整体复习，知识点层次分明、考点突出。 相似多边形判定核心条件【基础必记★常考】 ①判定多边形相似需要同时满足两个条件：所有对应角分别相等，所有对应边的比值全部相等，缺少任意一个条件都不能判定多边形相似。 ②矩形仅内角全部相等，边长比例不一定相等，矩形之间不一定相似；菱形仅边长全部等比例，内角不统一，菱形之间不一定相似。 ③全部正多边形（正四边形、正五边形等），对应角相等、对应边成比例，任意两个边数相同的正多边形一定相似。 ④全等多边形是相似比为1的特殊相似多边形。 相似多边形比例性质【计算核心★高频考点】 ①相似多边形对应角大小完全相等，对应边的比值定义为相似比，相似比具备前后顺序，前后图形颠倒后相似比互为倒数。 ②相似多边形周长的比值等于图形的相似比，直接利用相似比换算整体周长长度。 ③相似多边形面积的比值等于相似比的平方，已知面积比值需要先开平方算出相似比，再求解边长、周长数值。 位似图形基础定义【概念辨析★常考】 ①位似图形属于特殊的相似图形，满足两大独有特征：各组对应顶点连线相交于同一个位似中心，对应边互相平行或者在同一条直线上。 ②可逆结论：位似图形一定是相似图形，但是普通相似图形不满足连线共点、边平行条件，不属于位似图形。 位似图形专属性质【解题核心★高频考点】 ①继承全部相似多边形性质：对应角相等，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 ②位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比，等于位似比，依靠该比例完成线段长度换算。 ③对应顶点连线全部经过位似中心，作图、找点时可依靠该特征定位对应顶点。 位似图形尺规作图步骤【实操考点★常考】 ①确定位似中心位置，位似中心可在图形外部、内部、边上、顶点处。 ②将位似中心与原图每一个顶点依次连接，得到射线或者线段。 ③按照题目给定的位似比，在连线之上截取对应顶点，位似比大于1做放大图，小于1做缩小图。 ④顺着截取得到的顶点依次连接，形成位似图形；位似中心两侧可分别作图，题目无限制时存在两组位似图形。 平面直角坐标系原点位似变换【计算重难点★高频】 ①以坐标原点作为位似中心，位似比为k，原图顶点(x,y)经过位似变换后坐标为(kx,ky)或者(-kx,-ky)。 ②(kx,ky)：新图形与原图在位似中心同一侧；(-kx,-ky)：新图形与原图分布在位似中心两侧。 ③易错限制：只有位似中心为坐标原点时可以直接对横纵坐标同乘k，位似中心为其他点不能直接套用坐标缩放公式。 1. 判断多边形相似只看角相等或者只看边成比例，单一条件直接判定相似，结论错误。 2. 相似多边形面积计算直接套用相似比，忽略平方关系，计算结果偏差。 3. 坐标系中原点位似只写出(kx,ky)一组坐标，漏掉(-kx,-ky)的反向位似图形，出现漏解。 4. 位似作图时顶点没有和位似中心三点共线，画出的图形不符合位似要求。 5. 混淆相似比前后顺序，放大、缩小图形比例颠倒。 题型 考察方向 难度 题型一 相似多边形 ★★ 题型二 相似图形 ★★ 题型三 相似多边形的性质 ★★★ 题型四 1. 位似图形的识别 ★★ 题型五 判断位似中心 ★★ 题型六 2. 位似图形相关概念辨析 ★★ 题型七 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型八 3. 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★ 题型九 4. 求位似图形的对应坐标 ★★★ 题型十 5. 坐标系中求两个位似图形的比值 ★★★ 题型十一 6. 在坐标系中画位似图形 ★★★ 题型十二 在坐标系中画位似中心 ★★ 题型十三 7. 坐标与图形综合 ★★★ 题型十四 相似三角形的综合问题 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★常考；★★★中考高频 8. 题型一：相似多边形 解题思路：①多边形相似需同时满足对应角全部相等、对应边全部成比例两个条件；②边数相同的正多边形一定相似。 1．下列图形一定相似的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 2．下列各组多边形中，一定相似的是___________（填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 3．下列图形中，不一定相似的是（   ） A．两条对角线的比相等的两个平行四边形 B．邻边之比相等的两个矩形 C．有一组角对应相等的两个菱形 D．四条边对应成比例且对应角相等的两个平行四边形 题型二：相似图形 解题思路：①图形外形保持一致，尺寸可放大或缩小；②对应角相等、对应线段成比例；③全等图形为相似比等于1的特殊 4．下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 5．下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 6．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 9. 题型三：相似多边形的性质 解题思路：①对应角相等，对应边成比例；②图形周长之比等于相似比；③图形面积之比等于相似比的平方；④已知面积比值求边长，先对面积比开平方算出相似比。 7．如图，以点为位似中心的与的相似比为．若的长为6，则的长为（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 8．如图，四边形四边形，则的度数是 ______． 9．如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：位似图形的识别 解题思路：①位似属于特殊的相似图形；②满足图形整体相似；③各组对应顶点连线交汇于同一位似中心，对应边相互平行或在同一直线上；④两项条件全部成立才可判定为位似图形。 10．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 11．如图所示是利用图形变换设计的一个美术字图案，这样设计的美术字更富有立体感，则该图案在设计的过程中用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 12．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：判断位似中心 解题思路：①选取两组相互对应的顶点；②分别连线两组顶点得到两条直线；③两条直线交点就是位似中心；④位似中心可落在图形内部、外部、边上或是顶点位置。 13．如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 14．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 15．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 10. 题型六：位似图形相关概念辨析 解题思路：①位似图形必然相似，相似图形不一定构成位似；②单个位似图形仅有唯一的位似中心；③对应点到位似中心的距离比值等于位似比；④依托核心结论判断命题对错。 16．如图，与是位似图形，位似比为1：4，若，则的长为(　　)    A．4 B．6 C．8 D．10 17．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 11. 题型七：求两个位似图形的相似比 解题思路：①选取一组对应边计算长度比值得到相似比；②也可通过对应点到位似中心的距离之比求解；③依照题干图形前后顺序计算比值。 19．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，，的周长为，则的周长为（    ） A． B．8 C．24 D． 20．如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 21．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 12. 题型八：画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 解题思路：①确定位似中心位置；②连接位似中心与图形全部顶点作射线；③按照缩放倍数在射线上截取对应顶点；④顺次连接截取点完成位似图形绘制。 22．如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 23．如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 24．将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 13. 题型九：求位似图形的对应坐标 解题思路：①位似中心为坐标原点时，原始坐标(x,y)，位似比k；②对应点位似坐标为(kx,ky)或是(-kx,-ky)；③位似中心非原点，不可直接将坐标数值乘以位似比。 25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，在第三象限内作的位似图形，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 26．如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 27．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型十：在坐标系中求两个位似图形的比值 解题思路：①选取一组对应点计算线段长度，求出图形相似比；②周长比值直接等同于相似比；③面积比值等于相似比的平方。 28．如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点O为位似中心的位似图形，．若的周长为4，则的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 29．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△FED关于原点O位似，若，△AOB的面积为4，则△FOE的面积为___________. 30．如图，与是位似图形，位似中心为点O．若的面积为m，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 题型十一：在坐标系中画位似图形 解题思路：①明确位似中心坐标；②算出原图所有顶点位似变换后的新坐标；③在坐标系中标注出新顶点；④依次连线绘制完整位似图形。 31．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ______．    32．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    33．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 14. 题型十二：在坐标系中画位似中心 解题思路：①找出两组图形对应顶点；②分别过两组对应顶点绘制直线；③读取两条直线交点坐标，该交点即为位似中心。 34．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 35．如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为______． 36．如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，那么位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．， B．， C．，2 D．， 题型十三：坐标与图形综合 解题思路：①依托坐标系确定关键点坐标；②借助勾股定理算出线段长度；③结合相似、位似知识点求解相似比、周长、面积；④根据题意分类讨论多解情况。 37．在平面直角坐标系中有三点：A，B，O，则的面积为（    ）平方单位． A．3 B．4 C．5 D．6 38．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，点的坐标为，则的值为___________． 39．如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 40．如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 题型十四：相似三角形的综合问题 解题思路：①找寻等角条件证明三角形相似；②结合勾股定理、动点、几何模型梳理已知条件；③设定未知量，依靠相似关系列出比例方程；④求解方程结合题意确定最终答案。 41．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 42．如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是_____． 43．如图，中，点分别是边上的点，连接交于点．若，则（    ）． A． B． C． D． 解答题 1．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出； (2)以点为位似中心，将放大至原来的3倍，得到，请在网格内画出； (3)直接写出的面积与四边形的面积之比为：___________． 4如图，在正方形的网格中，已知． (1)①以点为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且位似比为2； ②若的面积为6，则的面积为______； (2)若建立如图所示的平面直角坐标系．点，，，则的外心的坐标为______． 5．我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． (1)如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； (2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； (3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 6．小潘和小智在学习了平面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系xOy中任意两点与的两种新的距离： ＊小潘定义了，的“分解距离”，如下： 若，则为点与点的“分解距离”，即； 若，则为点与点的“分解距离”，即． ＊小智定义了，的“和距离”，如下： 点，的“和距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系xOy中，已知点，． (1)________；________； (2)若点C的坐标为． ①当时，若，直接写出点C的坐标； ②将点C向左平移一个单位长度得到点D，点E满足，点F满足，若线段CD上存在点E或点F，请直接写出t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $