精品解析：北京市第一六六中学2026-2027学年高三第一学期9月阶段性测试数学试卷

北京市第一六六中学2026-2027学年度第一学期阶段性测试 高三数学学科 （考试时长：120分钟） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合或， ，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 设，，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆截直线所得弦的长度为1，那么k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，则下列不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，,，如图A，B是直线与曲线的交点，若，，则（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x），则此函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的展开式中的系数______.（用数字作答） 12. 能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 13. 地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 疏散乘客时间（） 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________. 14. 我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体中，，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且到平面的距离为，和的距离为，若，，，，，则该“羡除”的体积为______. 15. 给出下列四个结论： ①存在定义域为且单调递增的函数使得恒成立； ②存在定义域为且单调递减的函数使得恒成立； ③使得，恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得，恒成立的函数存在且有无穷多个. 其中所有正确结论的序号为______. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在锐角中，． （1）求． （2）再从条件①、条件②、条件③这三组条件中选一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：，；条件②：，；条件③：，． 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，． （1）若为的中点，求证：平面； （2）若平面，． （i）求直线与平面所成角的余弦值； （ii）求点到平面的距离． 18. 在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图： （1）求样本中患病者的人数和图中，的值； （2）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率； （3）某研究机构提出，可以选取常数（），若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论）. 19. 已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 20. 已知函数. （1）求在区间上的最大值； （2）若函数，求证：在区间上有且只有一个极大值点； （3）若，写出的取值范围.（只需写出结论） 21. ，从中选出个有序数对构成一列：．相邻两项满足：或，称为列． （1）若列的第一项为，求第二项． （2）若为列，且满足为奇数时，：为偶数时，；判断：与能否同时在中，并说明； （3）证明：中所有元素都不构成列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六六中学2026-2027学年度第一学期阶段性测试 高三数学学科 （考试时长：120分钟） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合或， ，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集概念进行求解. 【详解】或. 故选：C 2. 设，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质结合反例判定选项即可 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由不等式的可乘性得，，故B错误； 对于C，由可知，又，则，故C错误； 对于D，易知， 由可知，故D正确. 3. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 4. 已知圆截直线所得弦的长度为1，那么k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理可求得结果. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 由得，得， 又因为，所以. 故选：D 5. 已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角函数的单调性、平方关系，并根据充分、必要条件的知识判断即可. 【详解】由题意，因为均为第二象限角，若，所以， 所以，即，所以， 且均为第二象限角，所以，所以，即充分性成立. 若，因为均为第二象限角，所以，即， 所以，即， 因为均为第二象限角，所以，所以，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 已知，，则下列不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件可得，，故可判断B的正误，结合基本不等式可判断AC的正误，利用不等式的性质结合指数函数的单调性可判断D的正误. 【详解】因为，故，同理. 由题设有，故， 而，故即，故B必成立， 对于A，由基本不等式可得， 而，故等号不可取，故，故A必成立； 对于C，，故C必成立； 对于D，因为，故，， 故不成立，故D不成立. 故选：D. 7. 已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知曲线在点处的切线方程为，则， ，则， ，则， 故切线斜率为0，过点，切线方程为． 8. 已知函数，,，如图A，B是直线与曲线的交点，若，，则（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，，可求出，再由，可求出. 【详解】由题意，令， 则由图可知，. 所以，解得. 又，结合图象可知，则， 又，解得. 故选：C. 9. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，和三种情况讨论的值域即可求解. 【详解】当时，， 时，， 时，，则，所以在上单调递增，， 此时的值域为，值域不是，舍去， 当时， 当时，，开口向上，对称轴为， 所以， 趋向时趋向，故段取值范围为； 当时，，则，所以在上单调递增，， 此时的值域为，缺少部分，值域不是，舍去， 当时， 当时，，开口向下，对称轴为，所以 当时，，则，令，解得：， 令，解得 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以要使函数的值域为，则， 即，解得：， 综上，实数的取值范围是. 10. 如图为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x），则此函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可知点M沿着运动，设点P为B1C的中点，分析当M从B1到P时，在平面A1B1CD内，作点A1关于B1B的对称点A′，由MA1+MD＝MA′+MD，MC1，分析排除即得解 【详解】由于点M与平面A1DC1的距离保持不变，且从B1点出发，因此点M沿着运动. 设点P为B1C的中点，当M从B1到P时，如图所示 在平面A1B1CD内，作点A1关于B1B的对称点A′， 则MA1+MD＝MA′+MD， 由图象可知，当M从B1到P时，MA1+MD是减小的，MC1是由大变小的， 所以当M从B1到P时，l＝MA1+MC1+MD是逐渐减小的，故排除B，D； 因为PC1是定值，MC1，函数是减函数，类似双曲线形式，所以C正确； 故选：C 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 的展开式中的系数______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项有，令，解出，进而即得. 【详解】由题意有：，令，解得, 所以的系数为:, 故答案为:. 12. 能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 【答案】 ①. 1 ②. 0 ③. 1 【解析】 【分析】根据奇函数的定义得出即可求解． 【详解】因为是上奇函数，所以， 当时，，， 则， 由得， 所以满足的即为奇函数， 所以可取． 13. 地铁某换乘站设有编号为的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 疏散乘客时间（） 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对疏散时间的比较，判断出疏散乘客最快的一个安全出口的编号. 【详解】同时开放，需要秒；同时开放，需要秒；所以疏散比快. 同时开放，需要秒；同时开放，需要秒；所以疏散比快. 同时开放，需要秒；同时开放，需要秒，所以疏散比快. 同时开放，需要秒；同时开放，需要秒，所以疏散比快. 综上所述，D疏散最快. 故答案为：D 【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题. 14. 我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体中，，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且到平面的距离为，和的距离为，若，，，，，则该“羡除”的体积为______. 【答案】40 【解析】 【分析】将“羡除”分割为两个四棱锥和一个直棱柱求体积. 【详解】如图，平面内，过分别作的垂线，垂足分别为， 平面内，过分别作的垂线，与分别交于， 将“羡除”分割为两个四棱锥，和直棱柱， 由，四边形，，为等腰梯形，且平面平面. 则，，， 故所求几何体的体积为 ． 故答案为：40 15. 给出下列四个结论： ①存在定义域为且单调递增的函数使得恒成立； ②存在定义域为且单调递减的函数使得恒成立； ③使得，恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得，恒成立的函数存在且有无穷多个. 其中所有正确结论的序号为______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】借助复合函数单调性及指数函数单调性判断可得①；构造符合要求的函数可得②；利用偶函数定义判断可得③；构造符合要求的函数可得④. 【详解】对①：若在上单调递增，由也在上单调递增， 则也在上单调递增，故也在上单调递增， 又在上单调递减，故不能恒成立，故①错误； 对②：例如，该函数在上单调递减， 有恒成立，故②正确； 对③：令，则， 又定义域为，故为偶函数， 由为奇函数， 故不存在函数，使得恒成立，故③错误； 对④：令，其中为任意偶函数， 则 ， 由偶函数可有无数种选择，故存在无穷多个，故④正确. 故答案为：②④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在锐角中，． （1）求． （2）再从条件①、条件②、条件③这三组条件中选一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：，；条件②：，；条件③：，． 【答案】（1） （2）条件①：不存在，无面积；条件②：不存在，无面积；条件③： 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把边化成角求解即可； （2）条件①：利用同角关系式及和差公式求出，由，可得不存在；条件②：利用余弦定理可得，由可得方程无解，即不存在；条件③：利用余弦定理求出，当时，，所以为钝角，与题意不符，所以不存在. 当时，符合题意，根据面积公式求解即可. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， 因为为锐角，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 条件①：因为为锐角，所以， 所以， 所以为钝角，与题意不符，所以不存在. 条件②：由余弦定理可得， 即，， 所以方程无解，所以不存在. 条件③：由余弦定理可得， 即，即，解得或8， 当时，， 所以，所以为钝角，与题意不符，所以不存在. 当时，，所以为锐角，符合题意， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，． （1）若为的中点，求证：平面； （2）若平面，． （i）求直线与平面所成角的余弦值； （ii）求点到平面的距离． 【答案】（1）如图取的中点，连接， 由题意不妨设， 则，且， 可知， 由中位线的性质可知，所以， 即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的特征判定底面中，再借助中位线判定线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面夹角的向量法计算即可；利用点到面的距离公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取中点G，由上可知， 因为平面，平面，故， 可以以为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的一个法向量为，则有， 取，则，即， 设直线与平面所成角为，则， 则； （ii）点到平面的距离. 18. 在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图： （1）求样本中患病者的人数和图中，的值； （2）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率； （3）某研究机构提出，可以选取常数（），若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论）. 【答案】（1）样本患病人数为人，，； （2）； （3），误判概率为. 【解析】 【分析】（1）根据等比例原则求患者人数，由频率和为1，列方程求a、b的值； （2）分别求出样本中指标检测值为4的未患病者、患病者人数，应用对立事件概率求法求概率； （3）判断且对应的误判率，即可得结果. 【小问1详解】 由题设，患病者与未患病者的比例为，故患者人数为人； 由直方图知：，可得， ，可得. 【小问2详解】 由题意，指标检测值为4的未患病者有人， 指标检测值为4的患病者有人； 所以指标检测值为4的样本中随机选取2人，这2人中有患病者的概率的概率. 【小问3详解】 若为未患病者，为患病者，为体指标检测值为者， 所以100名样本中，，， 未患病者 6 21 15 9 6 3 患病者 0 0 4 8 12 16 当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、54，误判率为； 当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、33，误判率为； 当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为4、18，误判率为； 当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为12、9，误判率为； 当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为3、24，误判率为； 综上，当时误判概率最小为. 19. 已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，列出的表达式即可求解. 【小问1详解】 已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. 【小问2详解】 解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i） 由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率， 设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 20. 已知函数. （1）求在区间上的最大值； （2）若函数，求证：在区间上有且只有一个极大值点； （3）若，写出的取值范围.（只需写出结论） 【答案】（1） （2） 因为，. 所以，. 设，， 则 . 因为，所以，，所以. 所以即在上单调递减. 且，. 所以，使得，且唯一. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以：在区间上有且只有一个极大值点. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大值. （2）利用导数分析函数的单调性，可得函数的极值的情况. （3）利用换元思想，设，将转化成，再确定的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，. 由，所以；由，所以. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 设，则. 对，， 因为，，所以. 设，， 则， 令则， 当时，；当时，， 所以单调递减，，即在上恒成立. 所以在上单调递减.所以. 即， 又，所以，即. 综上：，所以，即. 21. ，从中选出个有序数对构成一列：．相邻两项满足：或，称为列． （1）若列的第一项为，求第二项． （2）若为列，且满足为奇数时，：为偶数时，；判断：与能否同时在中，并说明； （3）证明：中所有元素都不构成列． 【答案】（1）或； （2）不能，理由如下： 假设二者同时出现在中，由于列取反序后仍是列， 故可以不妨设在之前. 显然，在列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， ，奇偶性相反， 所以从必定要走奇数次到. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在为偶数时，中， 所以从必定要走偶数次到. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）证明： 法1：若中的所有元素构成列， 考虑列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而， 因为6只能由2得来，3只能由7得来， 但横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，M中所有元素都无法构成列． 法2：全体元素构成一个列，则. 设，， 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于， 那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项， 那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在， 使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反， 故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点， 所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以全体元素不能构成一个列. 【解析】 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）法1：假设全体元素构成一个列，考虑列中形如的项，这样的项共有个，而，只能有12个点，矛盾． 法2：设，，推出，同理再设，，推出，从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 【小问1详解】 根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中）， 所以下一项是或； 【小问2详解】 不能，理由略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $