专题02 实数17大题型87题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题02 实数 （温馨提醒：按住CTRL并单击鼠标左键以跟踪链接） 基础·固本强基 题型一、无理数 题型二、有理数的小数形式 题型三、无理数的大小估算（重点） 题型四、求一个数的近似数 题型五、求近似数的精确度 题型六、实数的性质（重点） 题型七、用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型八、用科学记数法表示绝对值小于1的数 提升·进阶突破 题型九、实数与数轴（难点） 题型十、将用科学记数法表示的数变回原数（难点） 题型十一、还原用科学记数法表示的小数 题型十二、实数的大小比较 题型十三、程序设计与实数运算（难点） 拔高·压轴破难 题型十四、实数运算的实际应用（难点） 题型十五、无理数整数部分的有关计算 题型十六、定义新运算（重难点） 题型十七、新方法（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、无理数 1．[25-26八年级上·上海奉贤·期中]下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．[25-26八年级上·上海黄浦·期中]已知下列各数：，，，，0.010010001，其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．[25-26八年级上·上海·期中]下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．[25-26八年级上·上海黄浦·期中]已知是无理数，但是有理数，则下列各式是有理数的是（    ） A． B． C． D． 5．[25-26八年级上·上海·期中]在实数、、0、、、、、、（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）．无理数有________个． 6．[25-26八年级上·上海奉贤·期中]写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 题型二、有理数的小数形式 7．我们知道，任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数 为例进行说明：设=x．由=0.3333…，可知10x＝3.333…，所以10x－x＝3，解方程得：x＝=．所以0.3= ．请你将写成分数的形式是___________________． 8．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解(p⩽q)称为正整数的最佳分解，并定义一个新运算：F(n)=.例如：12=1×12=2×6=3×4，这时就有F(12)=.则F(24)=______. 9．设三个互不相等的有理数，既可以表示成1、、的形式，又可以表示成、0、的形式，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 题型三、无理数的大小估算 10．[25-26八年级上·上海宝山·期中]比较大小（用、、、中的一个符号）：_______________2． 11．[25-26八年级上·上海·阶段检测]如果，那么整数___________． 12．估算的值是在（    ） A．0和1之间 B． 和0之间 C． 和之间 D． 和之间 13．[25-26八年级上·上海奉贤·期中]小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 题型四、求一个数的近似数 14．[25-26八年级上·江苏南京·期中]用四舍五入法，把31415926精确到千位，取得的近似数是______． 15．[25-26八年级上·江苏无锡·期中]把5.03086按四舍五入法精确到0.001的近似值是______． 16．[25-26八年级上·江苏泰州·期中]长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将该数据精确到约为____． 题型五、求近似数的精确度 17．[25-26八年级上·江苏盐城·期中]我们知道地球半径大约为千米，下列对近似数描述正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位 18．[25-26八年级上·江苏扬州·期中]近似数精确到____位． 19．小亮的体重为，精确到所得近似值为______ ． 题型六、实数的性质 20．下列各组数中互为相反数的是( ) A．与 B．与 C．与 D．与 21．下列说法中错误的是（      ） A．任何实数的绝对值都是非负数 B．不带根号的数是有理数 C．实数包括有理数和无理数 D．实数与数轴上的点之间是一一对应的 22．已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 23．的绝对值为___________． 24．的倒数是______，的相反数是______． 25．数轴上A点表示，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是8，若M是的中点，则________． 26．已知，，且，则的值为_______． 27．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 题型七、用科学记数法表示绝对值大于1的数 28．若整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（　　） A．4 B．6 C．7 D．10 29．某种福利彩票特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 30．现有一列式子：；；则第个式子的计算结果用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 31．[25-26八年级上·上海宝山·期中]我国的嫦娥六号探测器成功执行了月球背面采样返回任务，这是人类首次从月球背面采集样品并带回地球．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为________________． 32．[25-26八年级上·上海奉贤·期中]为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理_______个基本数据单元．（用科学记数法表示） 33．[25-26八年级上·上海·期中]如果平均每人每天食用粮食，那么按照2020年我国人口普查的数据：全国约有亿人，那么上述人口一天约食用________千克的粮食（用科学记数法表示）． 题型八、用科学记数法表示绝对值小于1的数 34．[25-26八年级上·上海青浦·期中]用科学记数法表示：______． 35．[25-26八年级上·上海·期中]在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为___________． 36．[25-26八年级上·上海松江·期中]水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有_____个0． 提升·进阶突破 题型九、实数与数轴 37．[25-26八年级上·上海·期中]实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 38．如图，四个有理数在数轴上的对应点分别是，若点表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 39．[25-26八年级上·上海闵行·期中]如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是____________________． 40．[25-26八年级上·上海·期中]数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 41．如图所示，直径为单位1的硬币从1处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是______．（取3.14） 42．如图，若数轴上的绝对值是的绝对值的3倍，则数轴的原点在点________或点________处．（填“”“”“”或“”）    43．如图所示，数轴上表示1，的对应点分别为，，则以点为圆心，为半径的圆交数轴于点，则点表示的数是______． 44．如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 题型十、将用科学记数法表示的数变回原数 45．一个数用科学记数法表示为a×10n，若a＝n，则a的值可以是（　　） A．﹣2 B．0.2 C．1.2 D．12 46．2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 47．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为米小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（    ）米/小时 A． B．2764800 C．27648000 D．276480000 48．[25-26八年级上·上海·期中]用科学记数法表示的数有______个整数位． 题型十一、还原用科学记数法表示的小数 49．将用小数表示为（     ） A．0.0628 B．0.00628 C．0.000628 D．0.0000628 50．下列各数用科学记数法可记为的是（    ） A． B．2025 C．0.002025 D． 51．中研普华产业研究院在《2026—2030年国内石墨烯行业发展趋势及发展策略研究报告》中指出，石墨烯技术突破正推动行业从“经验制造”向“数字制造”跨越．据了解，单层石墨烯的厚度仅为，是迄今为止发现的最薄的二维材料．将还原成小数是________． 题型十二、实数的大小比较 52．[25-26八年级上·上海浦东新·期中]将下列各数、、用“”连接：________． 53．[25-26八年级上·上海金山·期中]比较大小：_____． 54．[25-26八年级上·上海松江·期中]比较大小：_____3（填“”，“”或者“”）． 55．对于任意一个小于的有理数x，比较大小、、（由小到大的顺序）：______． 题型十三、程序设计与实数运算 56．在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 57．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 58．如图是一个数值转换器，当输入的值是时，输出的值是______． 59．如为实数，在“□”的“□”中添上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则不可能是（　　　） A． B． C． D． 60．在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中M代表的实数为（    ） 2 1 6 M 3 A． B． C． D． 61．已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 拔高·压轴破难 题型十四、实数运算的实际应用 62．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 63．[25-26八年级上·福建泉州·期中]如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 64．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 65．（1）如图，计划在空地上设计3块并排的正方形基地做厂房存放生产物资，基地总面积为，则每块正方形基地的边长为______． （2）计划在厂房的东边围一个面积为的长方形基地，做仓库存放设备，仓库一边靠在正方形的边上（计划与厂房共一面墙，且共用部分不超过正方形的边长，不考虑门窗），另外三边用材料围成，并且它的长与宽之比为．若可以围成，请通过计算设计出方案，并简要画出设计图；若不能围成，请通过计算说明理由． 66．在刘慈欣的作品《三体》中，详细描述了一个来自三体星的文明．这个文明所在的行星拥有三颗恒星，它们互相纠缠，做着无规则运动．在地球的光年之外，三体星真实的存在着，是由比邻星和半人马座双星（半人马座A星和半人马座B星）共同组成的三星系统，它也是小说中的三体星系原型．已知，比邻星的质量约为，半人马座A星的质量约为．任意两个物体都是相互吸引的，且万有引力（单位：N）的计算公式为，其中，为万有引力常数；M和m分别表示两个星球的质量（单位：）；r表示两个星球间的距离（单位：m）． (1)半人马座A 星的质量约为比邻星的几倍？ (2)为探究此三星系统是否适合生存，在《三体》发表整整十年后，科学家在比邻星的三星系统中发现了其行星的踪迹：比邻星b，其质量约为，距离比邻星约．请根据万有引力公式计算比邻星与其行星比邻星b之间的万有引力．（计算结果用科学记数法表示） 题型十五、无理数整数部分的有关计算 67．若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 68．已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 69．若的整数部分是，小数部分是，则的值为 ________． 70．[25-26八年级上·上海·期中]已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 71．估算的整数部分______． 72．[25-26八年级上·上海闵行·期中]已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 73．对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十六、定义新运算 74．对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 75．在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“”如下：当时，；当时，，则的值为______． 76．对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为______． 77．新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请解答下列问题： (1)的“青一区间”是______；的“青一区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：．求m的算术平方根的“青一区间”． 78．[25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测]对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 79．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 80．阅读下列材料，并回答问题： 把形如与（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：______和______； (2)和是共轭实数吗？若是，请指出a、b的值； (3)若两个共轭实数与的和是10，请求出这两个共轭实数差的绝对值及这两个共轭实数的积． 题型十七、新方法 81．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为______． 82．阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 83．在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（为正整数）的近似值（为正整数），并通过迭代逐渐减小的值来提高的精确度，以求的近似值为例，迭代过程如下： ① 先估计的范围并确定迭代的初始值． ， ，取． ② 通过计算和得到精确度更高的近似值． 请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记，以下结果都要求写成小数形式）： (1)当时，____，________，______； (2)当时，求（精确到 0.001）、的值． 84．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得： ， ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值． (3)化简：． 85．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 我们知道，是无限不循环小数，． (1)已知，根据“调日法”的规则，求出第一次使用“调日法”后的近似分数，判断该分数是的不足近似值还是过剩近似值？ (2)在（1）的条件下，再使用几次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； (3)请说明使用“调日法”估计大小的有效性． 86．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 【提出问题】已知，是有理数，且满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，则． 因为，都是有理数，所以，也是有理数． 因为是无理数，所以，，即，，所以． 【探究】根据上面的解答思路解答下面的问题： (1)已知，是有理数，且满足，，求的值． (2)已知，都是有理数，且满足，求的值． 87．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 试卷第1页（共3页） 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 （温馨提醒：按住CTRL并单击鼠标左键以跟踪链接） 基础·固本强基 题型一、无理数 题型二、有理数的小数形式 题型三、无理数的大小估算（重点） 题型四、求一个数的近似数 题型五、求近似数的精确度 题型六、实数的性质（重点） 题型七、用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型八、用科学记数法表示绝对值小于1的数 提升·进阶突破 题型九、实数与数轴（难点） 题型十、将用科学记数法表示的数变回原数（难点） 题型十一、还原用科学记数法表示的小数 题型十二、实数的大小比较 题型十三、程序设计与实数运算（难点） 拔高·压轴破难 题型十四、实数运算的实际应用（难点） 题型十五、无理数整数部分的有关计算 题型十六、定义新运算（重难点） 题型十七、新方法（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、无理数 1．[25-26八年级上·上海奉贤·期中]下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：，，，中，只有是无理数，其余均为有理数， 故选A． 2．[25-26八年级上·上海黄浦·期中]已知下列各数：，，，，0.010010001，其中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，算术平方根与立方根，注意带根号的要开方开不尽的才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：， 在实数中，无理数有，，共2个． 故选：． 3．[25-26八年级上·上海·期中]下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类和性质，掌握实数的基本概念是解题关键． 实数包括有理数和无理数；数轴上的点与实数一一对应，并非仅与有理数对应；带根号的数不一定都是无理数；两个实数的和为无理数时，至少有一个是无理数，据此判断即可． 【详解】解：∵实数分为有理数和无理数， ∴如果不是有理数，则一定是无理数，①正确； ∵数轴上的点与实数一一对应，但有理数不能覆盖所有点， ∴②错误； ∵无理数是无限不循环小数， ∴都是无限小数，③正确； ∵带根号的数可能是有理数（如）， ∴④错误； ∵两个有理数的和是有理数， ∴如果和为无理数，则至少有一个是无理数，⑤正确． ∴错误的有②和④，共2个． 故选B． 4．[25-26八年级上·上海黄浦·期中]已知是无理数，但是有理数，则下列各式是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的化简，将多项式化简后，得出带有字母的多项式，再将选项整理观察与已知相同的部分．去括号，合并同类项，或通过多项式乘法展开可得是有理数． 【详解】解： ， 是无理数，但是有理数， 是有理数，是有理数， ．，因和5为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，因和为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，因和1为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，是有理数，是有理数，故选项正确； 故选：． 5．[25-26八年级上·上海·期中]在实数、、0、、、、、、（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）．无理数有________个． 【答案】3 【分析】该题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断每个实数． 【详解】解：是无理数；是整数，是有理数；0是整数，是有理数；π是无理数；是循环小数，是有理数；是分数，是有理数；是有限小数，是有理数；，是有理数；（位数无限，每两个2之间依次增加一个0）是无限不循环小数，是无理数．因此无理数有3个． 故答案为：3． 6．[25-26八年级上·上海奉贤·期中]写出一个介于3和4之间的一个无理数：_____．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义和取值范围，掌握知识点是解题的关键． 考虑无理数的定义和取值范围，选择3和4之间的平方根或圆周率等常见无理数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数． 故答案为：（答案不唯一）． 题型二、有理数的小数形式 7．我们知道，任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数 为例进行说明：设=x．由=0.3333…，可知10x＝3.333…，所以10x－x＝3，解方程得：x＝=．所以0.3= ．请你将写成分数的形式是___________________． 【答案】 【分析】根据题意设，则，然后进一步列出方程，最后直接求解即可. 【详解】设，则， ∴， ∴， 即写成分数的形式是， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的运用，根据题意正确找出规律并列出方程是解题关键. 8．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解(p⩽q)称为正整数的最佳分解，并定义一个新运算：F(n)=.例如：12=1×12=2×6=3×4，这时就有F(12)=.则F(24)=______. 【答案】 【分析】根据题意中指定的新运算的法则可以得出 ,其中两个乘数的差的绝对值最小的是，就可以得出结论. 【详解】解: ∵ ∴ 故答案为: 【点睛】本题考查了有理数的混合运算及新型定义运算的运用，在解答时找出新运算法则是关键. 9．设三个互不相等的有理数，既可以表示成1、、的形式，又可以表示成、0、的形式，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了求代数式的值，有理数的运算，利用已知条件分别求出m，n的值是解题的关键．根据题意可得，则，可求得，，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵三个互不相等的有理数可表示为1、、，又可以表示为、0、， ∴（否则无意义），且三个数中包含0， ∴在1、、中，必有一个为0， ∵，， ∴， ∴， 此时，第一种形式为：1、0、， 第二种形式为：、0、， ∴，， ∴， 故选：B． 题型三、无理数的大小估算 10．[25-26八年级上·上海宝山·期中]比较大小（用、、、中的一个符号）：_______________2． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，解题的关键是掌握实数的大小的比较方法．通过比较平方数的大小关系推断平方根的大小． 【详解】解：因为，且， 所以，即 ； 故答案为． 11．[25-26八年级上·上海·阶段检测]如果，那么整数___________． 【答案】3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义，比较与相邻的完全平方数，确定其取值范围，从而得到答案． 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ． 又∵a为正整数， ∴． 故答案为3． 12．估算的值是在（    ） A．0和1之间 B． 和0之间 C． 和之间 D． 和之间 【答案】C 【分析】先估算出的值，再求解、辨别． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根的知识进行估算、求解． 13．[25-26八年级上·上海奉贤·期中]小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）． (1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间． (2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________； (3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等面积法得大的正方形的面积，结合算术平方根的性质，得大的正方形的边长，然后运用无理数的估算，得出边长介于两个连续整数2和3之间； （2）由（1）得，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，列式表达出点在数轴上表示的数为或； （3）先整理得点在数轴上表示的数为，根据数轴上的两点间的距离进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为 ∴大的正方形的边长为， 即 ∵， ∴， 即边长介于两个连续整数2和3之间； （2）解：由（1）得， 把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合， 则点在数轴上表示的数为或； （3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为， ∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处， 设点所表示的数为， ∴， ∴， 解得， 即点所表示的数为． 题型四、求一个数的近似数 14．[25-26八年级上·江苏南京·期中]用四舍五入法，把31415926精确到千位，取得的近似数是______． 【答案】31416000 【分析】本题考查了求近似数，精确到千位，需看百位数字，百位数字为9，大于等于5，故向千位进位，由此即可得解． 【详解】解：31415926精确到千位，千位是5，百位是9，， 因此千位加1变为6，百位及以后各位均变为0，故近似数为31416000， 故答案为：31416000． 15．[25-26八年级上·江苏无锡·期中]把5.03086按四舍五入法精确到0.001的近似值是______． 【答案】5.031 【分析】本题考查了近似数，精确到0.001即保留三位小数，需根据第四位小数进行四舍五入． 【详解】解：数字5.03086精确到0.001时，需看第四位小数（万分位）上的数字8，，故第三位小数（千分位）上的0进位1，得到5.031， 故答案为5.031． 16．[25-26八年级上·江苏泰州·期中]长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将该数据精确到约为____． 【答案】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，掌握近似数的概念、四舍五入的方法是解题的关键． 精确到个位，需看十分位数字，再四舍五入即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 题型五、求近似数的精确度 17．[25-26八年级上·江苏盐城·期中]我们知道地球半径大约为千米，下列对近似数描述正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数精确度，由 ，数字在百位上即可求解，掌握科学记数法的精确度由的最后一位数字所在数位乘以决定． 【详解】解：∵，数字在百位上， ∴精确到百位， 故选：． 18．[25-26八年级上·江苏扬州·期中]近似数精确到____位． 【答案】百 【分析】本题考查了科学记数法，近似数，用科学记数法表示的数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 要确定精确到哪一位，首先要把这个数还原，然后看末尾的数字在还原的数中的数位即为所求，据此求解即可． 【详解】解：， 故近似数精确到百位， 故答案为：百． 19．小亮的体重为，精确到所得近似值为______ ． 【答案】43.8 【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：根据四舍五入可知：，精确到所得近似值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是看清题目要求，掌握相关知识点． 题型六、实数的性质 20．下列各组数中互为相反数的是( ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了求立方根与算术平方根，相反数，实数的性质；通过计算每组数的值，判断其和是否为零，只有选项C中的两个数互为相反数． 【详解】解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数． B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数． C：∵=，∵=．∴与互为相反数， D：∵，∴不互为相反数． 故选：C． 21．下列说法中错误的是（      ） A．任何实数的绝对值都是非负数 B．不带根号的数是有理数 C．实数包括有理数和无理数 D．实数与数轴上的点之间是一一对应的 【答案】B 【分析】根据实数的知识，无理数的定义，立方根的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A，任何实数的绝对值都是非负数，说法正确，故此选项不符合题意． B，不带根号的数不一定是有理数，如，说法错误，故此选项符合题意． C，实数包括有理数和无理数，说法正确，故此选项不符合题意． D，实数与数轴上的点之间是一一对应的，说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，实数的定义，平方根立方根等知识，熟知实数和数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键． 22．已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 23．的绝对值为___________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 24．的倒数是______，的相反数是______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的算术平方根、立方根，倒数和相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键，根据求一个数的算术平方根、立方根，倒数和相反数的定义进行求解． 【详解】解：的倒数是， 的相反数是， 故答案为：，． 25．数轴上A点表示，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是8，若M是的中点，则________． 【答案】1或9/9或1 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，相反数的定义和中点的定义，先表示出点B表示的数，再根据相反数的定义表示出点C表示的数，再根据数轴上两点间的距离求出的长度，最后根据中点的定义求解即可． 【详解】∵A点表示，点B到点A的距离是8， ∴点B表示的数为或， ∵B、C两点表示的数互为相反数， ∴点C表示的数为或13， ∴或， ∵M是的中点， ∴或9， 故答案为：1或9． 26．已知，，且，则的值为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了化简绝对值求代数式的值．熟练掌握绝对值，求代数式的值，是解题的关键． 根据，， ，得，分与两种情况代入计算即可． 【详解】，，，，，， 当时，，当时，， 故答案为：或． 27．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 题型七、用科学记数法表示绝对值大于1的数 28．若整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（　　） A．4 B．6 C．7 D．10 【答案】C 【分析】把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】∵表示的原数为， ∴原数中“0”的个数为7， 故选C． 【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，科学记数法的表示的数还成成原数时，时，小数点就向右移动n位得到原数；时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 29．某种福利彩票特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法表示方法直接求解即可． 【详解】． 故选：C 【点睛】此题考查科学记数法，解题关键是表示方法为． 30．现有一列式子：；；则第个式子的计算结果用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出一般性规律，写出第8个等式，利用平方差公式计算，将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：根据题意得：第个式子为． 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解运用公式法，以及科学记数法表示较大的数，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 31．[25-26八年级上·上海宝山·期中]我国的嫦娥六号探测器成功执行了月球背面采样返回任务，这是人类首次从月球背面采集样品并带回地球．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为________________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值较大的数时，形式为，其中，为整数． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 32．[25-26八年级上·上海奉贤·期中]为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理_______个基本数据单元．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．根据芯片处理一个基本数据单元的时间，计算一秒内处理的数量，需用总时间除以每个单元的时间，并将结果用科学记数法表示，即可作答． 【详解】解：∵处理一个基本数据单元的时间为纳秒，已知一纳秒等于秒， 因此处理一个单元的时间为秒， 设一秒内处理的基本数据单元个数为n， 则． 故答案为：． 33．[25-26八年级上·上海·期中]如果平均每人每天食用粮食，那么按照2020年我国人口普查的数据：全国约有亿人，那么上述人口一天约食用________千克的粮食（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，有理数的乘法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，要正确确定的值以及的值是解决此题的关键．先根据题意计算，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵平均每人每天食用粮食，全国人口约亿人， ∴总粮食食用量为：粮食， 故答案为：． 题型八、用科学记数法表示绝对值小于1的数 34．[25-26八年级上·上海青浦·期中]用科学记数法表示：______． 【答案】 【分析】为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：． 35．[25-26八年级上·上海·期中]在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键． 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 36．[25-26八年级上·上海松江·期中]水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为．用科学记数法表示的数的小数点与左起第一个非零数字之间有_____个0． 【答案】25 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当时，为正整数，的值为小数点移动的位数；当时，为负整数，的值为小数点移动位数的相反数；由此即可求解，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴小数点与左起第一个非零数字之间有个零． 故答案为：25． 提升·进阶突破 题型九、实数与数轴 37．[25-26八年级上·上海·期中]实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握． 先根据数轴得到，则，然后利用二次根式的性质将原式化简为，再化简绝对值，进行合并即可． 【详解】解：由数轴可得，则 ， 故选：B． 38．如图，四个有理数在数轴上的对应点分别是，若点表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值以及用数轴上的点比较有理数，理解并掌握相反数的定义和性质是解题关键．首先根据相反数的定义可知点的中点即是原点，再结合图示，可得点和点之间的距离大于点和点之间的距离，易得点离原点最近，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵点表示的有理数互为相反数， ∴点的中点即是原点， 又∵点和点之间的距离大于点和点之间的距离， ∴点离原点最近， ∴图中表示绝对值最小的数的点是． 故选：B． 39．[25-26八年级上·上海闵行·期中]如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是____________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，以及对称性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据数轴上两点之间的距离和对称性质，得到，进而求出数轴上点A表示的数即可． 【详解】解：点B，C在数轴上表示的数分别是4，， ， 点C关于点B的对称点为A， ， 数轴上点A表示的数是； 故答案为：． 40．[25-26八年级上·上海·期中]数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题． [素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足 (1)在“灵动数轴”中，________，________，________． (2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，非负数的应用，算术平方根的性质，理解题意是解题的关键． （1）利用非负数的性质解答即可； （2）利用对称性求得折痕处对应的数为，则利用点A对应的数与点重合的点距离的长度相等解答即可； 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵点与点重合， ∴折痕处对应的数为， ∴与点重合的点所表示的数为． 41．如图所示，直径为单位1的硬币从1处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是______．（取3.14） 【答案】-3.14 【分析】由题意可知点A到原点的距离为π，点A在原点的左侧，因此所表示的数为-π． 【详解】解：∵点A到原点的距离就是直径为1的圆的周长π，且点A在原点的左侧， ∴点A所表示的数为-π=-3.14， 故答案为：-3.14． 【点睛】此题主要考查了数轴，正确得出圆的周长是解题关键． 42．如图，若数轴上的绝对值是的绝对值的3倍，则数轴的原点在点________或点________处．（填“”“”“”或“”）    【答案】 C D 【分析】根据数轴的特点及绝对值的定义，分三种情况进行讨论． 【详解】解：由图示知，， ①当，时，由题意可得，即，解得，，舍去； ②当，时，由题意可得，即，解得，，故数轴的原点在点； ③当，时，由题意可得，即，解得，，故数轴的原点在点； 综上可得，数轴的原点在点或点． 故答案为：、． 【点睛】本题考查的是数轴的特点及绝对值的定义，注意不要漏解． 43．如图所示，数轴上表示1，的对应点分别为，，则以点为圆心，为半径的圆交数轴于点，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系．关键是根据点的坐标求半径，根据线段之间的关系求C点坐标．先求，根据，求C点坐标． 【详解】解：依题意，， ∵半径, ∴ ， 故答案为： ． 44．如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 【答案】(1)，无理数 (2)C、D之间的距离为 (3)点D表示的数为或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，无理数，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案； （2）圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，可得，再得出，整体代入即可； （3）根据“圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈”，因此分两种情况进行解答，即为1圈，为2圈，或为2圈，为1圈． 【详解】（1）解：圆形纸片的直径为1，因此周长为，滚动n圈的距离为， 而， 所以， 即， 是无理数， 故答案为：，无理数； （2）解：圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，所以有， 所以， 答：C、D之间的距离为； （3）解：由（2）得： ， 由于圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈， 因此有①当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， ②当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， 答：点D表示的数为或． 题型十、将用科学记数法表示的数变回原数 45．一个数用科学记数法表示为a×10n，若a＝n，则a的值可以是（　　） A．﹣2 B．0.2 C．1.2 D．12 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示方法可得，结合选项即可求解． 【详解】解：一个数用科学记数法表示为a×10n，若a＝n，则,为整数． 的值可以是 故选A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 46．2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 【答案】C 【分析】将科学记数法表示的数，换算为以亿为单位的数，利用亿的换算关系即可得到结果。 【详解】解：∵亿， 又， ∴元可表示为951亿元． 47．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为米小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（    ）米/小时 A． B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法还原原数，掌握科学记数法中10的指数与小数点移动位数的关系是解题关键，将科学记数法表示的数还原，只需把a的小数点向右移动n位即可（n为10 的正指数）． 【详解】解：∵科学记数法（，n为正整数）还原原数时，需将a的小数点向右移动n位， ∴将中2.7648的小数点向右移动7位，得到27648000， 故选：C． 48．[25-26八年级上·上海·期中]用科学记数法表示的数有______个整数位． 【答案】7 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法表示的数的整数位数比指数多1，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示的数的原数的整数位数是位． 故答案为：7． 题型十一、还原用科学记数法表示的小数 49．将用小数表示为（     ） A．0.0628 B．0.00628 C．0.000628 D．0.0000628 【答案】D 【详解】解： 50．下列各数用科学记数法可记为的是（    ） A． B．2025 C．0.002025 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法与原数的互化，掌握负整数指数幂的性质及小数点移动规律是解题的关键．当用科学记数法表示的数的绝对值较小时，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键．根据负整数指数幂的性质，将科学记数法表示的数还原为原数即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 51．中研普华产业研究院在《2026—2030年国内石墨烯行业发展趋势及发展策略研究报告》中指出，石墨烯技术突破正推动行业从“经验制造”向“数字制造”跨越．据了解，单层石墨烯的厚度仅为，是迄今为止发现的最薄的二维材料．将还原成小数是________． 【答案】0.000000000335 【详解】解：． 题型十二、实数的大小比较 52．[25-26八年级上·上海浦东新·期中]将下列各数、、用“”连接：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 53．[25-26八年级上·上海金山·期中]比较大小：_____． 【答案】 【分析】本题考查分数比大小，熟练掌握无理数的估算和分数比大小是解题的关键，同分母分数比大小，通过比较两个分数的分子大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 54．[25-26八年级上·上海松江·期中]比较大小：_____3（填“”，“”或者“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较和的大小关系，根据立方根的定义进行判断即可． 【详解】∵ ，且 ， ∴ ，即， 故答案为：． 55．对于任意一个小于的有理数x，比较大小、、（由小到大的顺序）：______． 【答案】 【分析】此题考查了实数比较大小，根据对于任意一个小于的有理数x，则，得到，又由即可得到答案． 【详解】解：，， 对于任意一个小于的有理数x，则， ∴， ∵ ∴， 故答案为： 题型十三、程序设计与实数运算 56．在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 故选：A． 57．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 58．如图是一个数值转换器，当输入的值是时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了与流程图有关的实数计算，计算出的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是有理数， 的算术平方根是，是无理数， ∴输出的值是， 故答案为：． 59．如为实数，在“□”的“□”中添上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则不可能是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答本题的关键． 60．在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中M代表的实数为（    ） 2 1 6 M 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设方格中间的数为x，根据斜对角的3个实数相乘得到同样的结果得：，即可求解. 【详解】设方格中间的数为x，根据题意得：， 解得：， 即M代表的实数为； 故选：B. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确理解题意、得出关于M的等式是解题关键. 61．已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，解题的关键是将等式进行适当的变形，根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解： ， a，b是有理数， ， ，则， ， 故选：B． 拔高·压轴破难 题型十四、实数运算的实际应用 62．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 63．[25-26八年级上·福建泉州·期中]如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 64．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 65．（1）如图，计划在空地上设计3块并排的正方形基地做厂房存放生产物资，基地总面积为，则每块正方形基地的边长为______． （2）计划在厂房的东边围一个面积为的长方形基地，做仓库存放设备，仓库一边靠在正方形的边上（计划与厂房共一面墙，且共用部分不超过正方形的边长，不考虑门窗），另外三边用材料围成，并且它的长与宽之比为．若可以围成，请通过计算设计出方案，并简要画出设计图；若不能围成，请通过计算说明理由． 【答案】（1）20； （2）解：若可以围成，设长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得或(舍去)， 则长方形的长为，宽为， ， ， ∴可以围成． 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据正方形的面积公式进行解答即可； （2）设长方形的长，宽，利用面积求出长，宽，再进行检验即可． 【详解】解：（1）每个正方形的面积为， 所以正方形的边长为， 故答案为：20； （2）略 66．在刘慈欣的作品《三体》中，详细描述了一个来自三体星的文明．这个文明所在的行星拥有三颗恒星，它们互相纠缠，做着无规则运动．在地球的光年之外，三体星真实的存在着，是由比邻星和半人马座双星（半人马座A星和半人马座B星）共同组成的三星系统，它也是小说中的三体星系原型．已知，比邻星的质量约为，半人马座A星的质量约为．任意两个物体都是相互吸引的，且万有引力（单位：N）的计算公式为，其中，为万有引力常数；M和m分别表示两个星球的质量（单位：）；r表示两个星球间的距离（单位：m）． (1)半人马座A 星的质量约为比邻星的几倍？ (2)为探究此三星系统是否适合生存，在《三体》发表整整十年后，科学家在比邻星的三星系统中发现了其行星的踪迹：比邻星b，其质量约为，距离比邻星约．请根据万有引力公式计算比邻星与其行星比邻星b之间的万有引力．（计算结果用科学记数法表示） 【答案】(1)9倍 (2) 【分析】（1）根据题意利用有理数的除法运算求解即可； （2）将各值代入代入公式求解即可． 【详解】（1）解： （倍） 答：半人马座星的质量约为比邻星的9倍． （2）解：        答：比邻星与行星比邻星b之间的万有引力约为． 【点睛】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算的应用，理解题意是解题关键． 题型十五、无理数整数部分的有关计算 67．若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 68．已知5≤≤7，4≤≤6，则的整数部分可以是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分． 【详解】解：∵5≤≤7，4≤≤6， ∴25≤a≤49，16≤b≤36， ∴41≤a+b≤85， 则的整数部分可以是6，7，8，9． 故选：A． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算的方法． 69．若的整数部分是，小数部分是，则的值为 ________． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算．先估算出的范围，根据可得，的值，最后代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； 70．[25-26八年级上·上海·期中]已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出各无理数的整数部分成为解题的关键． 先确定 的整数部分，得到小数部分 ，再求不大于 的最大整数 ，最后计算 ． 【详解】解：， 的整数部分为， ． 又 ， 不大于 的最大整数为 ， 即 ． ． 故答案为：． 71．估算的整数部分______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是5， 故答案为：5． 72．[25-26八年级上·上海闵行·期中]已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根和立方根的意义． 根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出 ；根据立方根等于本身的数且大于 0，求出 ；估算 的整数部分得到 ；代入求值后求算术平方根即可． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根等于本身，且， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∵的整数部分为 ， ∴， ∴ 18的算术平方根为． 73．对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，计算，再逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴所有可能的值为6和7，③正确； 若， 那么， ． ，故④不正确； 故选：B． 题型十六、定义新运算 74．对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，以及实数运算，直接利用已知运算公式进而分析得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 75．在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“”如下：当时，；当时，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，根据新运算列式计算即可,根据新运算列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴原式 ， 故答案为：． 76．对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 根据的含义得到：由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值． 【详解】解： 又a和b为两个连续正整数， 的立方根为． 故答案为：． 77．新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请解答下列问题： (1)的“青一区间”是______；的“青一区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：．求m的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)； (2)2或 (3) 【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出的取值范围，再根据为正整数求出的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或， 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解：， ∴，， ， ∴， ， ， 的算术平方根为， ， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 78．[25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测]对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）4，45；（2）1，2，3；（3）3；（4）． 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知,即，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对200进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是，根据操作过程进行解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ，； 故答案为： （2），，且， ，2，3； 故答案为：，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴对200连续求根整数，3次之后结果为1； 故答案为：3 （4）最大的正整数是， 理由是：∵，，，，， ∴，，，， 对只需进行4次操作后变为1， 只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是． 79．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 【答案】(1)①②④⑤ (2)或 【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． （1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案； （2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得，再进行分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解： ，故①正确； ，由于，，故②正确； 表示的小数部分，，故③错误； 表示的整数部分，，故④正确； 为整数），，故⑤正确， 故五个命题中为真命题的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤； （2）解：， ， ， ， 是的小数部分， 当时，； 当时，， ， 可得， ， 综上可得或． 80．阅读下列材料，并回答问题： 把形如与（a、b为有理数且，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：______和______； (2)和是共轭实数吗？若是，请指出a、b的值； (3)若两个共轭实数与的和是10，请求出这两个共轭实数差的绝对值及这两个共轭实数的积． 【答案】(1)与，（答案不唯一） (2)和是共轭实数， (3)，13 【分析】（1）根据定义举例即可； （2）根据定义进行变形，得出，，即可求解； （3）根据共轭实数的和求出的值，然后求解即可． 【详解】（1）解： 与，（答案不唯一）； （2）解：和是共轭实数， ∵，， ∴； （3）解：根据题意得，， ∴， 解得， ∴两个共轭实数为与， ∴， ． 题型十七、新方法 81．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为______． 【答案】 【分析】本题考查新定义，无理数的估算，理解题中“调日法”的算法是解题的关键． 根据题中“调日法”的算法，进行两次“调日法”的计算，得到更为精确的近似分数． 【详解】解：已知，则利用一次“调日法”得：， 由于， ，再次使用“调日法”得：， 由于：， ，再次使用“调日法”得：． 故答案为：． 82．阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 83．在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（为正整数）的近似值（为正整数），并通过迭代逐渐减小的值来提高的精确度，以求的近似值为例，迭代过程如下： ① 先估计的范围并确定迭代的初始值． ， ，取． ② 通过计算和得到精确度更高的近似值． 请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记，以下结果都要求写成小数形式）： (1)当时，____，________，______； (2)当时，求（精确到 0.001）、的值． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，正确理解题干所给信息是解此题的关键． （1）将带入即可求得，再将、代入求出的值，然后将代入计算即可； （2）参照（1）中的方法将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题干所给的信息分析可得： 当时，将带入得， ∴，； （2）解：当时，将代入得， ∴，． 84．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得： ， ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值． (3)化简：． 【答案】(1)， (2)11或29 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）利用完全平方公式可得，由此即可得； （2）利用完全平方公式可得，从而可得，，再根据均为正整数求解即可得； （3）设，其中均为正整数，先求出，，再根据均为正整数可求出的值，然后利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】（1）解：， ∵（均为整数）， ∴（均为整数）， ∴，， 故答案为：，． （2）解：， ∵（均为正整数）， ∴（均为正整数）， ∴，， ∴当时，， 当时，， 综上，的值为11或29． （3）解：设，其中均为正整数， ∵， ∴， ∴，， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴． 85．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 我们知道，是无限不循环小数，． (1)已知，根据“调日法”的规则，求出第一次使用“调日法”后的近似分数，判断该分数是的不足近似值还是过剩近似值？ (2)在（1）的条件下，再使用几次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； (3)请说明使用“调日法”估计大小的有效性． 【答案】(1)，是的过剩近似值 (2)再使用次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； (3) 解：∵，， 又 ∴使用“调日法”估计的大小是有效的． 【分析】本题考查简单的推理与证明，实数的运算，读懂题意，掌握“调日法”的计算方法是解题的关键． （1）先利用一次“调日法”得到的一个更为精确的近似分数是，与比较大小，即可得到答案； （2）利用“调日法”得到的近似分数，即可得到答案； （3）由，，，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴第一次使用“调日法”后的近似分数为， ∵， ∴是的过剩近似值， （2）解：∵ ∴第二次使用“调日法”后的近似分数为， ∵， ∴， ∴第三次使用“调日法”后的近似分数为； 再使用次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； （3）略 86．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 【提出问题】已知，是有理数，且满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，则． 因为，都是有理数，所以，也是有理数． 因为是无理数，所以，，即，，所以． 【探究】根据上面的解答思路解答下面的问题： (1)已知，是有理数，且满足，，求的值． (2)已知，都是有理数，且满足，求的值． 【答案】(1)1 (2)7或 【分析】本题主要考查了有理数与无理数的性质及二次根式相关运算，熟练掌握“有理数部分和含无理数部分分别满足等式（有理数部分为、含无理数部分系数为）”是解题的关键． （1）将等式变形为有理数部分与含无理数部分分别组合，利用有理数和无理数的性质，让有理数部分、无理数部分系数分别为求解、； （2）同样把等式整理为有理数部分与含无理数部分，依据有理数和无理数性质列方程求、，进而算． 本题主要考查有理数与无理数的性质及二次根式相关运算，熟练掌握“有理数部分和含无理数部分分别满足等式（有理数部分为、含无理数部分系数为 ）”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得，则 因为，都是有理数，所以，也是有理数 因为是无理数，所以，，即，， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以 因为，都是有理数， 所以，也是有理数， 因为是无理数， 所以，， 解得，， 当，时，， 当，时， 综上所述，的值为7或 87．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 【答案】(1)①表示的代数式；②表示的代数式 (2) 设，a与b是互质的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为7的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴b也是7的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． （2）略 试卷第1页（共3页） 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $