专题05 一元二次方程的概念与解法 （期中真题汇编，上海专用）八年级数学上学期

专题05 一元二次方程的概念与解法 7大高频考点概览 考点01概念辨析（选择，期中必考第 1-4 题） 考点02 含参数，根据定义求字母的值（填空 / 选择高频） 考点03 因式分解法解一元二次方程 考点04 直接开平方法解方程 考点05 配方法解方程（期中解答必考） 考点06公式法解方程（万能法，步骤规范） 考点07 换元法解一元二次方程 地 城 考点01 概念辨析（选择，期中必考第 1-4 题） 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是(   ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是________． 5．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 7．（24-25八年级上·上海·期中）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为________． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是_____． 地 城 考点02 含参数，根据定义求字母的值（填空 / 选择高频） 9．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程是一元二次方程，则（  ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·上海·期中）若是方程 的根 ， 则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 11．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若是方程的根，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D． 12．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 14．（25-26八年级上·上海·期中）如果m是方程的一个根，则________； 15．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知是方程的根，则代数式的值为_________． 16．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则_______． 地 城 考点03 因式分解法解一元二次方程 17．（24-25八年级上·上海静安·期中）方程的解是（　　） A． B． C．或 D． 18．（24-25八年级上·上海闵行·期中）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 19．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知是一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．或1 B．0 C．0或1 D．0或 20．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知是关于的方程的一个根，那么的值是______． 21．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 22．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 23．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：． 24．（24-25八年级上·上海金山·期中）解方程：． 25．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 26．（25-26八年级上·上海·期中）（1）解不等式：． （2）解方程：． 地 城 考点04 直接开平方法解方程 27．（24-25八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值（   ） A．1或 B． C．1 D． 28．（25-26八年级上·上海青浦·期中）方程的根是_______． 29．（25-26八年级上·上海普陀·期末）方程的根是______． 30．（24-25八年级上·上海·期末）的根为________． 31．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为_____． 32．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 33．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：： 34．（2024八年级上·上海青浦·期中）解一元二次方程． 35．（24-25八年级下·上海·期中）解关于x的方程：． 地 城 考点05 配方法解方程（期中解答必考） 36．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）关于的一元二次方程经过配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·上海普陀·期中）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 39．（25-26八年级上·上海·期中）将一元二次方程配方成的形式，则的值为___________． 40．（25-26八年级上·上海闵行·期中）配方法解方程时，将方程化为的形式，则____________________． 41．（25-26八年级上·上海闵行·期中）我们知道，一元二次方程的解法有因式分解法、配方法、公式法．在各类方法中，配方法是核心，是公式法的引线．请把方程配方成的形式：____________________． 42．（25-26八年级上·上海虹口·期中）用配方法解方程． 43．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）用配方法解方程：． 44．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（配方法）． 45．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（配方法） 46．（25-26八年级上·上海·期中）解方程： 47．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 地 城 考点06 公式法解方程（万能法，步骤规范） 48．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程的根为________． 49．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为__________． 50．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____； 51．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：； 52．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（公式法）． 53．（24-25八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 54．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 地 城 考点07 换元法解一元二次方程 55．（25-26八年级上·上海·期中）方程的解为___________． 56．（25-26八年级上·上海崇明·期中）若x、y为实数，且，则的平方根是__________． 57．（25-26八年级上·上海·期中）如果实数满足，则代数式 的值为_____． 58．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 59．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 60．（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 61．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 62．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 63．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解下列方程： (1) (2) (3)解关于的方程：（用配方法） (4)； 64．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程的概念与解法 7大高频考点概览 考点01概念辨析（选择，期中必考第 1-4 题） 考点02 含参数，根据定义求字母的值（填空 / 选择高频） 考点03 因式分解法解一元二次方程 考点04 直接开平方法解方程 考点05 配方法解方程（期中解答必考） 考点06公式法解方程（万能法，步骤规范） 考点07 换元法解一元二次方程 地 城 考点01 概念辨析（选择，期中必考第 1-4 题） 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义：①等号两边是整式，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 直接根据一元二次方程的定义逐个判定即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A．是一元一次方程，不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需明确一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程这几个条件，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：∵一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程 ∴对各选项分析如下： A选项：代入后方程为，含有两个未知数和，不符合一元二次方程定义； B选项：代入后方程为，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； C选项：代入后方程为，整理得，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程定义，符合题意； D选项：代入后方程为，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程，只含一个未知数，且最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程化简为，是一元二次方程，该选项符合题意； 、当时，方程为，是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 4．（24-25八年级上·上海·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键． 方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∵是关于的一元二次方程， ， 则， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式后，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海·期中）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为________． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为0． 将代入方程得到，求出，然后由得到，求出． 【详解】解：将代入， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：2． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是_____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程中二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的定义，需满足未知数的最高次数为2且二次项系数不为零；由此只需保证方程中二次项系数，即可求出的取值条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 故答案为：． 地 城 考点02 含参数，根据定义求字母的值（填空 / 选择高频） 9．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程是一元二次方程，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 方程为一元二次方程，需满足最高次项为二次且二次项系数非零，据此计算求解即可． 【详解】解：由于方程是一元二次方程， 则最高次项次数：，且二次项系数， 方程，解得或， 不等式，解得， 因此， 故答案为：D． 10．（25-26八年级上·上海·期中）若是方程 的根 ， 则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 11．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若是方程的根，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根以及代数式求值， 把代入方程可得出，结合已知可得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵， ∴， 则， 故选：C． 12．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 13．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 14．（25-26八年级上·上海·期中）如果m是方程的一个根，则________； 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】该题考查了一元二次方程的解，由于是方程的一个根，代入方程可得，即．所求表达式可变形为，代入已知值计算即可． 【详解】解：因为是方程的一个根， 所以， 即． 则． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知是方程的根，则代数式的值为_________． 【答案】25 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，而，据此代入数值计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ，即， ∴ ， 故答案为：25． 16．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则_______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出k即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴，， 因此， 故答案为：． 地 城 考点03 因式分解法解一元二次方程 17．（24-25八年级上·上海静安·期中）方程的解是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程变形得：， 分解因式得：， 解得：， 故选：C． 18．（24-25八年级上·上海闵行·期中）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法求解是解题关键．先去括号化简，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 故选C． 19．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）已知是一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．或1 B．0 C．0或1 D．0或 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意可得：把代入方程中得：，从而整理得：，然后解方程即可． 【详解】解：把代入方程中得： ， 整理得：， ， 解得：或， 故选：A． 20．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知是关于的方程的一个根，那么的值是______． 【答案】2或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，因式分解法解一元二次方程．将代入方程，得到关于m的一元二次方程，再进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入方程， 得，即，整理得， ∴， 解得或． 故答案为：2或． 21．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 【答案】5 【知识点】因式分解法解一元二次方程、同类二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，解一元二次方程因式分解法，掌握同类二次根式的定义，最简二次根式的定义，解一元二次方程的方法是解题的关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得：，再根据解一元二次方程的方法解方程即可． 【详解】解；最简二次根式与是同类二次根式， ，即， ， 或， 解得：，， 当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 的值为5． 故答案为：5． 22．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，根据“同伴方程”的定义，两个方程有且只有一个相同的实数根．先求解方程的根，再分析方程 的根，再根据新定义进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得，； 方程的根为，． 由题意，，得或，得； 故的值为或； 故答案为：或． 23．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解：移项，得： 或 解得或 所以，原方程的根是， 24．（24-25八年级上·上海金山·期中）解方程：． 【答案】 或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】先去括号移项，把一元二次方程转换为一般式，再用因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程－因式分解法． 【详解】解： 解得：或 25．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，先去括号，移项，合并同类项，再用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 即 解得， 解得， ∴原方程的解为，． 26．（25-26八年级上·上海·期中）（1）解不等式：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求一元一次不等式的解集 【分析】此题主要考查不等式与一元二次方程的求解，分母有理化，因式分解，解题的关键是熟知其解法． （1）先根据不等式的性质得出，再进行分母有理化即可； （2）移项，因式分解求解方程即可． 【详解】（1）移项， ， ， 分母有理化， 所以不等式的解为； （2）移项， 即， 或， 解得或． 地 城 考点04 直接开平方法解方程 27．（24-25八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值（   ） A．1或 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的概念与根的概念以及解一元二次方程，关键是掌握以上概念，本题要注意二次项系数不为零，将根代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得， ∴， ∵， ∴ 故选：D ． 28．（25-26八年级上·上海青浦·期中）方程的根是_______． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程． 【详解】解：方程 两边开平方，得 ， 解得：，． 29．（25-26八年级上·上海普陀·期末）方程的根是______． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 即或， 解，得，， 解，得，， ∴方程的根是， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·上海·期末）的根为________． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程左边正好是一个完全平方式，利用直接开平方的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 31．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为_____． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】该题考查了一元二次方程的解，将根代入方程，得到关于的方程，解出的值，并确保二次项系数不为0． 【详解】解：因为方程有一个根为0， 所以代入，得：， 即， 解得：或． 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数，即． 因此． 故答案为：． 32．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，利用直接开平方法将方程两边开平方可得，再将此分解为两个方程分别求解即可． 【详解】解：将方程两边开平方得： ， 或， 解得：，． 33．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：： 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 34．（2024八年级上·上海青浦·期中）解一元二次方程． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】运用直接开平方法进行解一元二次方程． 【详解】解： 两边同时开方，得， 则或， 解得， 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握直接开平方法是解题的关键． 35．（24-25八年级下·上海·期中）解关于x的方程：． 【答案】当时，，当时，方程无实数根 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先变形，再利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：， 整理得：，即， 当时，， 当时，方程无实数根． 地 城 考点05 配方法解方程（期中解答必考） 36．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：∵配方法需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程为，一次项系数为，一半的平方为 ， ∴方程两边同时加，得， 整理得. 37．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）关于的一元二次方程经过配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟知做法是正确解答此题的关键． 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，比较选项得出答案． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 移项得 ． ∵ 一次项系数为4，一半为2，平方为4， ∴ 两边加4得 ， 即 ． 与选项对比，D正确． 故答案为：D． 38．（25-26八年级上·上海普陀·期中）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程左边化为完全平方式，比较系数确定a和b的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得，， 故选：A． 39．（25-26八年级上·上海·期中）将一元二次方程配方成的形式，则的值为___________． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和配方，将方程化为完全平方形式，从而确定和的值，再计算它们的和．取一次项系数一半的平方，再添加到方程两边形成完全平方式即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边加上一次项系数一半的平方；（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：， 即， ∴方程可配方成， 又∵一元二次方程可配方成的形式， ∴，， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 40．（25-26八年级上·上海闵行·期中）配方法解方程时，将方程化为的形式，则____________________． 【答案】5 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程为解题的关键． 通过配方法将方程化为完全平方形式，与比较得出n的值即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， 则， 与对比，得． 故答案为：． 41．（25-26八年级上·上海闵行·期中）我们知道，一元二次方程的解法有因式分解法、配方法、公式法．在各类方法中，配方法是核心，是公式法的引线．请把方程配方成的形式：____________________． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法．先移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左边形成完全平方式，右边为常数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 得， 即， 故答案为：． 42．（25-26八年级上·上海虹口·期中）用配方法解方程． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】此题考查了一元二次方程的解法．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 43．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，关键是先将二次项系数化为，然后移项、配方，最后求解． 【详解】解：原方程为， 两边同除以得， 移项，得， 配方，两边加上，得， 即， 开平方，得， 解得； 所以原方程的根为：，． 44．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（配方法）． 【答案】, 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解方程．首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解． 【详解】移项， 化系数为1，， 同时加上一次项系数一半的平方，， 即， ， 解得, ． 45．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（配方法） 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先将常数项移到右边，再将二次项系数化为1，两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方公式，再直接开平方求解即可． 本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 方程两边同除以得， 两边同时加，得， 配方，得， 两边同时开方，得， 解得，． 46．（25-26八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程，先将方程进行化简，再利用配方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 解得，． 47．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 【答案】(1)③，配方出错； (2) ， 移项，得， 将二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 所以， 即． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）根据配方法的步骤，进行作答即可． 【详解】（1）解：第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）略 地 城 考点06 公式法解方程（万能法，步骤规范） 48．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程的根为________． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，， 故答案为：，． 49．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为__________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，，，即可得到答案． 【详解】解：设关于的一元二次方程为， 一元二次方程的根为， ，，， 该一元二次方程可以为， 故答案为：． 50．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____； 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程求根公式的推导，解题的关键是掌握配方法推导求根公式的步骤． 按照配方法的步骤，移项，系数化为1，同时加上一次项系数一半的平方，求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 （其中 ）， 移项得，， 系数化为1得，， 两边加上 得，， 则， 开平方得，， 移项得，， 故答案为： ． 51．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：； 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【详解】解： ，，， ， ∴， 解得，． 52．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（公式法）． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．方程整理为一般形式，找出，，的值，代入求根公式计算即可求出解． 【详解】解：方程整理得：， 这里，，， ， ， 解得：． 53．（24-25八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键． （）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴小海的求解过程从第步开始出现错误， 故答案为：； （2）解：， ， ，，， ， ， ∴，． 54．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 【答案】(1)一 (2) 原方程可变形为：， 方程中，，，，， ∴， ∴方程的解为, ． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键； （1）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （2）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴上述解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）略 地 城 考点07 换元法解一元二次方程 55．（25-26八年级上·上海·期中）方程的解为___________． 【答案】，， 【知识点】换元法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查高次方程的解法，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．观察到方程系数对称，通过除以 （）进行代换，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解后再解关于 的方程． 【详解】解：原方程为 ， 由于 ，两边除以 ，得：， 整理得：． 设 ，则 ， 代入得：， 化简得：． 解该二次方程：判别式 ， ， 所以 ，． 当 时，即，两边乘以 得：， 即 ，判别式 ， ， 所以 或 ； 当 时，即，得：， 即 ，所以 ， 综上，原方程的解为 ，，． 56．（25-26八年级上·上海崇明·期中）若x、y为实数，且，则的平方根是__________． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、换元法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，换元法，平方的非负性，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为二次方程求解，根据非负性确定 的值，再求表达式的平方根即可． 【详解】解：设 ，则原方程化为 ，即 ． ， 得 或 ． 由于 ，故 ． ∴，其平方根为 ． 故答案为：． 57．（25-26八年级上·上海·期中）如果实数满足，则代数式 的值为_____． 【答案】2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、换元法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解的应用，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于的二次方程，解出的值．再将所求代数式用表示，代入的值求解．由于时对应方程无实数解，故只取，得到代数式的值为2． 【详解】解：设，则原方程化为． 解方程， 判别式， 所以， 得，． 所求代数式． 当 时，； 当时，． 但， 即，整理得， 判别式，无实数解． 故只有符合题意，代数式的值为2． 故答案为：2． 58．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 【答案】，，， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式，因此采用换元法，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后再代回求解． 【详解】解：设，则原方程可化为． 展开得，即． 因式分解得，解得，． 当时，，即，解得，． 当时，，即，判别式，解得，即，． 经检验，所有解均满足原方程． 故答案为：，，，． 59．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 60．（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 61．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【答案】(1)的算术平方根等于 (2)①；②或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求一个数的算术平方根、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查算术平方根的定义，绝对值，解一元二次方程． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）①将文字语言转化为数学语言即可；②利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：“”的等式含义为的算术平方根等于， 故答案为：的算术平方根等于； （2）解：①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值” 设这个数为， 则可以用数学符号语言描述为， 故答案为：； ②解：， 令， 由①得，， 则原方程为：，即， 或， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴或． 62．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】换元法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 63．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解下列方程： (1) (2) (3)解关于的方程：（用配方法） (4)； 【答案】(1)， (2)， (3)当时，，；当时，方程无实数根 (4)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法、换元法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常见方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 令，则， ∴， 解得，， ∴或， 解得，； （3）解： ①当，即， 则， ∴，； ②当，即， 则方程无实数根； ∴综上所述，当时，，；当时，方程无实数根； （4）解： ，，， ， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴， ∴，． 64．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 【答案】(1) ， (2) ， (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、运用平方差公式进行运算、换元法解一元二次方程 【分析】（1）将方程变形为平方差形式后，通过计算求出的值，进而得到t的解，再代回换元式求出x的解； （2）通过换元将原方程变形，再取两个因式的平均值换元，转化为平方差形式求解，最后代回换元式得到x的解； （3）归纳出当一元二次方程可化成形如（m、n、p为常数）的形式时，可采用材料中的方法求解． 【详解】（1）解：∵ 第二步得到方程， 根据平方差公式， ∴ 可变形为， 即， 计算得，则， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得，． （2）∵ 原方程为，令，则方程变形为， 进一步整理为， 取两个多项式的平均值，令，设，， ∴ 原方程可化为， ∵ ， ∴ ，即，解得， 当时，，得； 当时，，得； 又∵ ， ∴ 或 ， 解得，． （3）∵ 材料中的方法本质是平方根法的推广，通过对两个一次因式取平均值换元，转化为平方差形式求解， ∴ 当一元二次方程可化成形如（其中、、为常数）的方程时，可用材料中的方法求解． 【点睛】本题主要考查平方差公式、换元法在一元二次方程求解中的应用，以及一元二次方程的结构归纳，掌握通过换元将复杂方程转化为平方差形式的技巧，和对特定形式方程的识别及对应解法的应用是解题的关键. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $