山东淄博市张店区龙凤苑中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段学情检测数学试卷

【2026.10.8】初四上月考数学试卷-龙凤苑中学 一。 选择题（共10小题，每题4分) 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sim4A= ,则tanA=() 5 4 A:3 B.3 D. 3 2.对于抛物线y=(x-1)?-1,下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.有最大值，最大值是-1 C.抛物线的顶点坐标是(1,1) D.当x>3时，y随x的增大而增大 3.直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间 的距离是() A.2000米 B.2000V5米 C.4000米 D.4000V3米 4.抛物线y=5(x-2)2-3是由抛物线y=5x2经过怎样的平移得到的() A.向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度B.向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 C.向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度D.向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 5.已知某抛物线上有三点，分别为A（-2,y1),B(1,y2),C(3,y3),当x>1时，y随x的增大而增大， 当x<1时，y随x的增大而减小，则y1,y2,y3由小到大的顺序排列的是() A.y2<3<y1 B.y3<y1<V2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 6. 一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 7. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上：如图，此时测得地面上的影长为8米， 坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的 影长为2米，则树的高度为() 7777777777777777777777777777 30- A.(6+5)米 B.12米 C.(4+23)米D.6米 8.如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A,B,C在格点上，则tm ∠CAB的值为() 1-2 3 3 23 A.1 B.2 C.3 D. 3 1(1,n) B t-t > -2-1 ↓2 3 45 x=1 9.如图所示是抛物线y=2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，)，且与x轴的一个交点在点(3,0) 和(4,0)之间，则下列结论：①a-b+c>0:②3什c<0:③b2=4a(c-n);④一元二次方程m+bx+c= +1没有实数根.其中正确的结论个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 y 10.己知二次函数y=x2-,当-1≤x≤2时，y的最小值为-2，则a的值为( (2,1) A.2V2或-3 B.3或-3 C.2W2或-2V2 D.22或3 a 二.填空题（共5小题，每题4分) 11.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2,1)，则cosa的值是 y A (6,5) B 2 0 图1 图2 图3 12.在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图 所示)，如果这个男同学出手处A点的坐标是(0,2)，铅球路线的最高处B点的坐标是(6,5)，则这名男 同学比赛时的成绩 13.在△ABC中，∠A=30°，AC=16,BC=4W7,则△ABC的面积为 14.红酒具有软化血管，催进血液循环的功能功能，中国人的生活提高以后，喝红酒成为一种时尚，如图1所示是 一种喝红酒的高脚杯，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，己知杯口AB=8c, 杯深CD=12C.如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜45°（即AB与液面FG所在直线相交，所夹较小角 为45°)，液面FG与CD交于点E,且点E距杯口AB的距离ED=7C,则此时液面宽FG为 cnL. 15.将二次函数y=-x+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分)， 当直线y=2x+b与新函数的图象（实线部分）恰有4个公共点时，则b的取值范围为 三.解答题（共9小题） 16.计算：(1)1-3到+V27+()1-2sin30. (2)已知a是锐角，且sm(at15°）-复，计算V6-4osa-(m-314)4amr宁1的值. 17.如图，△ABC中，AB=AC=5,sin-ABC=-多 (1)求BC的长： (2)BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长， 18.如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节BA与CB的仰角a与β的大小来达成个人舒 适的高度，已知调节杆CB=11c,AB=20cm,AB的最大仰角a为53°. (1)当点B离桌面高度大约5c时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在(1)的条件下，求点A到桌面的最大高度.（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°=1.33， sin27°≈0.45，cos27°≈0.89) BQa.…E D 19.某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1,左、右门洞L2,L3均呈抛物线型，水平横梁AC=16, L1的最高点B到AC的距离BO=4L,L2,L3关于BO所在直线对称.MN,MP,NQ为框架，点M,N在L1上， 点P,Q分别在L2,L3上，MN∥AC,MP⊥AC,NO LAC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在 直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L1的函数表达式： (2)已知抛物线的函数表达式为y=亮(x-9,NQ=多m,求y的长. y↑ B M L 20.小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）·在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水 杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如图. 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度1（单位：cm)和2号杯的水面高度h2 (单位：c),部分数据如下： VmL 0 40 100 200 300 400 500 h/cm 0 a 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 h2/cm 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格：a= (结果保留小数点后一位)： (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画1与V,2与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两 个函数的图象： (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320L水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 cm(结果 保留小数点后一位)； ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 cm(结果保留小数点后一位). h/cmt :13 12 11 10 -9 8 7 6 5 4 3 -2 100 200:300:400500V/ml 21.某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件.市场调查反映：如果调整价格，一件商 品每涨价1元，每天要少卖出10件. (1)求出每天所得的销售利润（元）与每件涨价x(元)之间的函数关系式： (2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大： (3)商场的营销部在调控价格方面，提出了A,B两种营销方案. 方案A:每件商品涨价不超过5元： 方案B:每件商品的利润至少为16元. 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由， 22. 阅读下列材料， 在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,可以得到：SA-absin C=-2 acsin B=2csiA. 证明：如图I,过点A作AD LBC,垂足为D 在R△ABD中，sinB=A,∴AD=c*sinB, SA-AB 同理，SABc=zabsinC,SABc=2csin4, in C-csin B-bcsind. 1 (1)通过上述材料证明： a b C sinA sinB sinC (2)运用(1)中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20W5,求AC的长度， (3)如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A,B,C三个测量点，在B点测得A在北偏东75 方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A,B, C三点围成的三角形的面积.(sim15°≈0.3，sin120°≈0.9，√2≈1.4.结果取整数) 北 北 A 75 ⊙ 东 B a D CB 图1 图2 图3 23.如图1，抛物线y=-x+bx+c的顶点为D,与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C,直线y=-x+3与抛物 线交于点B及点C. y D E 图1 图2 (1)求抛物线解析式： (2)在直线BC上方（不和点B、C重合）抛物线上有一动点P. ①点P的纵坐标2的取值范围为 ②过点P作x轴的平行线，交直线BC于点Q,求PQ的最大值： (3)如图2当P在抛物线上运动时（不和点A、B、C重合），过点P作x轴的垂线，交直线BC于点E,交x 轴于点F,当PE=2EF时，求点P的坐标. 【2026.10.8】初四上月考数学试卷-龙凤苑中学 参考答案与试题解析 选择题（共10小题） 题号 2 3 4 6 8 10 答案 B D C D A D A B C A 选择题（共10小题) 1.在Rt△4BC中，∠C=90°，si4=青则aM=（） 4 5 A.3 B c 3-4 D 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= sinA=A是=亏 BC 4 .设BC=4a,AB=5a, ∴.AC=VAB2-BC2=√(5a)2-(4a2=3a, m影-毅-专 故选：B 2.对于抛物线y=(x-1)2-1,下列说法正确的是（) A.抛物线的开口向下 B.有最大值，最大值是-1 C.抛物线的顶点坐标是（1,1) D.当x>3时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解答】解：，a=1>0, ∴.抛物线开口向上， 故A不正确： .二次函数y=(x-1)2-1,的图象的顶点坐标是(1，-1)， .抛物线有最小值，且最小值是-1， 故B和C不正确； ,1>0, ∴.当x>1时，y随x的增大而增大， ∴.当x>3时，y随x的增大而增大， 故D正确， 故选：D 3.直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间 的距离是() A.2000米 B.2000V3米 C.4000米 D.4000V3米 【答案】C 2000 2000 【解答】解：根据题意得：直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是 1 =4000米. sin30° 2 故选：C 4.抛物线y=5(x-2)2-3是由抛物线y=5x2经过怎样的平移得到的() A.向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B.向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 C.向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 D.向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 【答案】D 【解答】解：，抛物线y=5(x-2)2-3的顶点坐标为（2，-3)，抛物线y=5x2的顶点坐标为(0,0)， .将抛物线y=5x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可得到抛物线y=5(x-2)2-3. 即平移方法为：向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度， 故选：D 5.已知某抛物线上有三点，分别为A（-2,y1),B(1,y2),C(3,3),当x>1时，y随x的增大而增大， 当x<1时，y随x的增大而减小，则y1,y2,y3由小到大的顺序排列的是() A.y2<3<y1 B.y3<y1<2 C.y3<y2<y1 D.v<v1<v3 【答案】A 【解答】解：由题意可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x=1, .（-2,y1)关于直线x=1的对称点为(4，y1), ,抛物线上有三点，分别为A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3),且1<3<4， .y3<y3<y1, 故选：A. 6.一次函数y=x+b(a≠0)与二次函数y=+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（) 【答案】D 【解答】解：在A中，由一次函数图象可知a>0,b>0,二次函数图象可知，a<0,b<0,故选项A错误； 在B中，由一次函数图象可知a>0,b>0,二次函数图象可知，>0，b<0,故选项B错误： 在C中，由一次函数图象可知a<0,b>0,二次函数图象可知，α<0，b<0,故选项C错误： 在D中，由一次函数图象可知a<0,b<0,二次函数图象可知，a<0,b<0,故选项D正确： 故选：D 7.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米， 坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的 影长为2米，则树的高度为() 30° 77777777777777777777777 A.(6+3)米 B.12米 C.(4+25)米D.6米 【答案】A 【解答】解：延长AC交BF延长线于D点， 则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E, 在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m, .CE=2(米)，EF=4cos30°=2W3(米)， 在Rt△CED中， ,同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2,CE:DE=1:2, .DE=4（米)， ∴.BD=BF+EF+ED=8+2V3+4=12+2V3(米)， 在Rt△ABD中，AB=BD=7(12+2V3)=(6+V3)(米)， 故选：A. 8.如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A,B,C在格点上，则tan ∠CAB的值为() B A.2 B.3 3 25 2 C.3 D. 3 【答案】B 【解答】解：如图所示，连接BE,交AC于点D 7- 设菱形的边长为a, .BD=3a,DE=2a,AE=4a,AD=V(4a)2-(2a)2=2V3a. tam4La8=tam0aB8器=2器号 故选：B。 9.如图所示是抛物线y=+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n),且与x轴的一个交点在点(3,0) 和(4,0)之间，则下列结论：①a-b+c>0;②3atc<0:③b2=4a(c-n);④一元二次方程x+bx+c= +1没有实数根.其中正确的结论个数是() (1,n) -2-10 2 3 5 x x=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解答】解：，抛物线顶点坐标为（1，n), ∴.抛物线对称轴为直线x=1, ,图象与x轴的一个交点在（3,0)，(4,0)之间， .图象与x轴另一交点在（-1,0)，（-2,0)之间， x=-1时，y>0, 即a-b+c>0, 故①正确，符合题意. :抛物线对称销为直线x=一会1， .b=-2a, .y=ax2-2+c, .x=-1时，y=3a+c>0, 故②错误，不符合题意. .抛物线顶点坐标为（1，)， ∴.ax2+bx+c=n有两个相等实数根， .△=b2-4a(c-n)=0, .b2=4a(c-n), 故③正确，符合题意. ,y=ax+bx+c的最大函数值为y=, .直线y=什1与抛物线没有交点， ∴.一元二次方程2+bx+c=什1没有实数根， 故④正确，符合题意. 故选：C 10.已知二次函数y=x2-,当-1≤x≤2时，y的最小值为-2，则a的值为() A.2V2或-3 B.3或-3 C.2W2或-2V2 D.22或3 【答案】A 【解答】解：，y=x2-, .对称轴为直线x=2开口向上， ①当<-1时，a≤-2， 2 此时函数在x=-1处取得最小值为-2， .1+a=-2, 解得a=-3, ②当-1<号2时，-2<a<4, 此时函数的最小值在项点处，即x=号y=2, a -a2 4 解得a=2W2或-2W2(舍去)， ®号≥2时，a≥4 此时函数在x=2处取得最小值为-2， .4-2a=-2, 解得a=3(舍去). 综上a的值为-3或2v2, 故选：A. 二.填空题（共4小题） 1.如图。在平面直角坠标系中，宜线Q1过点(2,1D,则co的位是三V厅 A (2,1) a 【答案1VG 【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B, A 2,1) ,点A的坐标为（2,1)， .OB=2,AB=1, ∴.OA=V0B2+ABz=√22+12=V5, 在Rt△AOB中，cosC= 8后-号v5, 故等案为：VG 12.在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，己知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图 所示)·如果这个男同学出手处A点的坐标是(0,2)，铅球路线的最高处B点的坐标是(6,5)，则这名男同学 比赛时的成绩 (6.5) 5 2 【答案】2W15+6 【解答】解：如图所示.A(0,2),B(6,5). 设抛物线解析式为y=a(x-6)2+5(a≠0)， .A(0,2)在抛物线上， 代入得a=立 “抛物线的解析式为=-立x6)+5 令y=0得，x=2W15+6(舍负) (65) 5 2 故答案为：215+6. 13. 在△ABC中，∠A=30°，AC=16,BC=4V7,则△ABC的面积为_16V3或48V5. 【答案】16v5或48v5. 【解答】解：如图，CD⊥AB, C B2 D B .CD-TAC-8.AD-AC 8V3. ..BD=VBC2-CD2=43, ①当点B在B1位置时， ∴.AB1=AD-BD=43, ∴SABc=7×AB1×CD=3×4W3×8=16V3; ②当点B在B2位置时， .AB2 AD+BD =12v3, S6ABC=2×AB2×CD=3×12V3×8=48V3, 综上所述，△ABC的面积为16V3或48V3, 故答案为：16V3或48V5. 14.红酒具有软化血管，催进血液循环的功能功能，中国人的生活提高以后，喝红酒成为一种时尚，如图1所示是 一种喝红酒的高脚杯，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，己知杯口AB=8C, 杯深CD=12C.如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜45°（即AB与液面FG所在直线相交，所夹较小角 16V2 为45°)，液面FG与CD交于点B,且点E距杯口AB的距离BD=7c,则此时液面宽G为_3 cn. D B 图1 图2 图3 16V2 【答案】故答案为： 3 【解答】解：若将盛有部分液体的高脚杯倾斜45°（即AB与液面FG所在直线相交，所夹较小角为45°）， 液面FG与CD交于点E,且点E距杯口AB的距离ED=7cm, 建立如图所示平面直角坐标系，作HLAB于点H,作GO⊥FH于点Q, 则∠QGF=45°， 则各点坐标为：A(-4,12),B(4,12),C(0,0),D(0,12),E(0,5). HD B 设抛物线的表达式为y=m, 把点A坐标代入解析式，得12=a(-4)2, 解得a=圣 y=. ,∠QGF=45°，E点坐标为(0,5)， .直线G与x轴的交点为(-5,0)· 设FG所在直线解析式为y=kx+b, 把点(0,5)，(-5,0)代入解析式，得y=x+5. 令=xt5 得3x2-4x-20=0, 解得x1=92=-2. 60--(-2)-5 G-VicQ -192cm. 故答案为： 16V2 3 15.将二次函数y=-x+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）， 当直线y=2x+b与新函数的图象（实线部分）恰有4个公共点时，则b的取值范围为-7≤b≤-6· 【答案】-7<b<-6. 【解答】解：二次函数解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.抛物线y=-x2+2x+3的顶点坐标为(1,4)， 当y=0时，x2-2x-3=0, 解得x1=-1,2=3 则抛物线y=-x2+2+3与x轴的交点为A(-1,0),B(3,0), 把抛物线y=-x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方， ∴开口方向相反，开口大小一样 二次项系数互为相反数，顶点坐标关于x轴对称 ∴.翻折部分的抛物线解析式为y=(x-1)2-4(-1≤x≤3)，顶点坐标M（1,-4), 如图，当直线y=2x+b过点B时，直线y=2x+b与该新图象恰好有三个公共点， v=2x+b y=2x+b .0=2×3+b,解得b=-6: 当直线y=2x+b与抛物线y=(x-1)2-4(-1≤x≤3)只有1个交点时，直线y=2x+b与该新图象恰好有三个 公共点， 即(x-1)2-4=2x+b有相等的实数解，整理得x2-4x-b-3=0,△=(-4)2-4(-b-3)=0,解得b= -7, .当直线y=2x+b与新函数的图象（实线部分）恰有4个公共点时，-7<b<-6. 故答案为：-7<b<-6. 三.解答题（共9小题） 16.计算：(1)|-3到+V27+()1-2sin30. (2)已知a是锐角，且sm(c15°)-要，计算V8-4csm-(m-3.4)4ma+令1的值. 【答案】(1)4+3V5.(2)3. 【解答】(1)解：原式=3+33+2-2×2 =3+3V5+2-1 =4+3V3. (2),是锐角，且sin(a+15°)= 3 ∴.0叶15°=60°， .a=45°， -cov-()m =2V2-4×cos45°-1+tan45°+3 =2V2-2W2-1+1+3 =3. 17.如图，△ABC中，AB=AC=5,sin-ABC-是 (1)求BC的长： (2)BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长. B 【答案】(1)8：(2)24 【解答】解：(I)过点A作AD⊥BC于D, .sintABC=AD .AD=AB·Sin∠ABC=5X 3， 3 ∴.BD=√52-32=4. .AB=AC, .BC=2BD=8. (2)补全图形， .AB=AC, .∠ACB=∠ABC, .sin4ACB=sinLABC=亏 BE⊥AC于E,sintECB= BE 324 .BE=BC.sin.∠ECD=8X 5 A D 18.如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节BA与CB的仰角a与β的大小来达成个人舒 适的高度，已知调节杆CB=11c,AB=20c,AB的最大仰角a为53°. (1)当点B离桌面高度大约5cm时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在(1)的条件下，求点A到桌面的最大高度.（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°=1.33， sin27°≈0.45，cos27°≈0.89) B<.....a D 【答案】(1)应该调整β的大小，调整约为27度； (2)点A到桌面的最大高度约为21cL. 【解答】解：(1)过点B作BG⊥CD于G, 在Rt△BCG中，CB=11c,BG=5c, ∴smg8-品045， .B≈27°， 答：应该调整β的大小，调整约为27度； (2)过点A作AF⊥BE于点F, 在Rt△ABF中，AF=ABsina=20sin53°≈20X0.8=16(cm), ,∴.点A到桌面的最大高度=BG+AF=21cm. B<a --.E D G 19.某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1,左、右门洞L2,L3均呈抛物线型，水平横梁AC=16, L1的最高点B到AC的距离BO=4,L2,L3关于BO所在直线对称.N,MP,NQ为框架，点M,N在L1上， 点P,Q分别在L2,L3上，N∥AC,MP⊥AC,VO LAC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在 直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L1的函数表达式： (2)已知抛物线L3的函数表达式为y=-是c-4到，NQ-多m,求N的长。 y个 B L M A 【答案】(1)y=-2+4:(2)12(m). 【解答】解：(1)，BO=4m, ∴，抛物线L1的顶点B坐标为(0,4)， 设抛物线L1的函数表达式为y=a(x-0)2+4, .AC=16m, 结合二次函数的对称性得A(-8,0),C(8,0), 将C(8,0)代入y=a(x-0)2+4, 得0=64+4， 则a=-6 1 ∴y=- 62+4: 1 (2)由(1)得抛物线L1的函数表达式y=-石2+4， :W/AC,MPLAC,VQLAc.N0=2m,且抛物线L的函数表达式为y=-是x-4, 5 y=yw-yg=2+4-[-c-④]= 整理得x2-3(x-4)2=24, .x2-3x2+24x-48=24, .x2-12x+36=（x-6)2=0, 解得x1=x2=6, ∴.N=2×6=12(m). 20.小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）·在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水 杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如图， 当1号杯和2号杯中都有L水时，小云分别记录了1号杯的水面高度1（单位：cm)和2号杯的水面高度2 (单位：cm),部分数据如下： L 0 40 100 200 300 400 500 h/cn 0 a 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 h/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格：a=1.0(结果保留小数点后一位)： (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与V,2与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两 个函数的图象： (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320L水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为_1.2c(结果保 留小数点后一位)： ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为8.6 h/cm :13 210987654321 0 100 200:300 400 500：V/ml cm(结果保留小数点后一位). 【答案】(1)1.0；（2)详见解析；（3)①1.2，( ②8.6. 【解答】解：(1)由题意，设h1=kV,将(100,2.5)代入得：2.5=100k, 品 加=0 .V=40, .h1=1.0, 故答案为：1.0. (2)由题意，通过描点连线可以作图， h/cm :13 12 98765432. L, 1 100 :200:300:400:500V7ml (3) ①当V=320ml时，hm=8.0cm,由图象可知相差约为1.2cl,如图所示. h/cmt :13 12 10 765 2 -1 100:200300: 400500V/ml 故答案为：1.2. ②解法一：在①的条件下两杯相差1.2cm,此时h1大约是8.0，加上0.6约为8.6cm. 解法二：观察图象可知，当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为8.6c. 故答案为：8.6 21.某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件.市场调查反映：如果调整价格，一件商 品每涨价1元，每天要少卖出10件」 (1)求出每天所得的销售利润p(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式： (2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大： (3)商场的营销部在调控价格方面，提出了A,B两种营销方案. 方案A:每件商品涨价不超过5元： 方案B:每件商品的利润至少为16元. 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：(1)根据题意得：1w=(25+x-20)(250-10x) 即：m=-10x2+200x+1250或1=-10(x-10)2+2250(0≤x≤25) (2)-10<0,∴.抛物线开口向下，二次函数有最大值， 当x=一名-一2x290=10时，销告利润最大 200 此时销售单价为：10叶25=35（元) 答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大 (3)由(2)可知，抛物线对称轴是直线x=10,开口向下，对称轴左侧w随x 的增大而增大，对称轴右侧随x的增大而减小 方案A:根据题意得，x≤5，则0≤x≤5 当x=5时，利润最大 最大利润为=-10×52+200×5+1250=2000（元）， 方案B:根据题意得，25+x-20≥16， 解得：x≥11 则11≤x≤25， 故当x=11时，利润最大， 最大利润为1=-10×112+200×11+1250=2240（元)， ,2240>2000, .综上所述，方案B最大利润更高。 22.阅读下列材料. 在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,可以得：到SABC-absin C-acsinB=csn4. 证明：如图1，过点A作AD⊥BC,垂足为D. 在R△ABD中，SmB=A0,∴AD=CsnB, ∴SA8c2AD-csinB. 同理，SA8c-zabsinC,SABC=-2csin4, Sabsin C-csin B-bcsinA. (1)通过上述材料证明：a b sinA sinB sinc' (2)运用(1)中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20W5,求AC的长度. (3)如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A,B,C三个测量点，在B点测得A在北偏东75° 方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A,B, C三点围成的三角形的面积.(sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，V2≈1.4.结果取整数) 北 北 A 75 45 B 东 B a D C B 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析：(2)AC的长度是12：(3)A、B、C三点围成的三角形的面积是38k. 1 【解答】解：(1)：与bsinC-acsinB, .'bsinC=csinB, 6 sinB sinC :同理得： 、 c sinA sinc' 6 sinA sinB sinc (2)由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20W3, .:48 Ac 20W3 AC 即 sinc sinB sim60° sin150 :2034c 0.3 2 ∴.AC≈40×0.3=12： 答：AC的长度是12. (3)由题意得：∠ABC=90°-75°=15°，∠ACB=90°-45°=45°， ∠A=180°-15°-45°=120°， 由 a b 18 AC sinA sinB sinc得： sin120°sin15o1 ∴AC≈6kal, 1 SAABC=-1 CX BCX sin.∠ACB≈7×6X18X0.7≈38(hamP). 答：A、B、C三点围成的三角形的面积是38k. 23.如图1，抛物线y=-x+bx+c的顶点为D,与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C,直线y=-x+3与抛物 线交于点B及点C. D ④ A B 图1 图2 (1)求抛物线解析式： (2)在直线BC上方（不和点B、C重合）抛物线上有一动点P. ①点P的纵坐标z的取值范围为0≤P≤4_： ②过点P作x轴的平行线，交直线BC于点Q,求PO的最大值： (3)如图2当P在抛物线上运动时（不和点A、B、C重合），过点P作x轴的垂线，交直线BC于点E,交x 轴于点F,当PE=2EF时，求点P的坐标. 【答案】(1)y=-x2+2x+3; 9 (2)①0<p≤4，②PO的最大值为： (3)点P的坐标为：(2,3)或(-2，-5) 【解答】解：(1)，直线y=-x+3与抛物线交于点B及点C, 则点B、C的坐标分别为：(3,0)、(0,3)， 由思意得：93动+3=0解得：-子 则抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3: (2)由抛物线的表达式知，点D(1,4), ①当点P在BC上方时，则点P的纵坐标y2的取值范围为：0<p≤4， 故答案为：0<p≤4； ②如图，设点P(m,-2+2+3),则点Q(2-2,-12+2+3), D A 则P9=m-（2-2m)=-2+3, ,-1<0,故P9有最大值， 9 当m=时，PO的最大值为： （3)如图2，设P(,-+2+3),则点E(m,-+3), 则PE=-2+3m,EF=|-+3, PE=2EF, 即-m2+3m=2-+3引， 解得：=3（舍去）或2或-2， 故点P的坐标为：（2,3)或(-2，-5).