精品解析：山东临沂启航中学2026－2027学年九年级上学期10月数学阶段学情自测试题

临沂启航中学九年级2026年10月数学学科测试题 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ 　） A. B. C. 且 D. 5. 一家机床厂2020年生产机床10000台，由于疫情原因，使得连续两年减产，到2022年生产机床8100台，若平均每年机床产量比前一年产量的减少率为，则下列求减少率的方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线与x轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定 7. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 在同一坐标系内，函数和的图象大致为（ ） A. B. C. D. 11. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共20分． 13. 方程的根是___________． 14. 如果抛物线经过，那么m的值是_____． 15. 若是二次函数，则________． 16. 如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 ______________． 17. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为__________． 三、解答题：共52分． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 20. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为． （1）用含有x的代数式表示平行于墙长一边使用的篱笆的长度； （2）求x的值． 21. 如何将函数变形为的形式，并且画出图象？配方，可得 顶点式 ，因此抛物线的开口_____，对称轴是直线______________，顶点坐标是_________．利用其对称性，列表： x … 3 4 5 6 7 8 9 … … … 描点、连线： 22. 如图，直线与抛物线交于，两点（点在点的左侧）． （1）求，两点的坐标； （2）直接写出时，的取值范围； （3）若抛物线的顶点为，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂启航中学九年级2026年10月数学学科测试题 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、，是一元一次方程，不符合题意； B、，方程中含有两个未知数，不符合题意； C、，符合一元二次方程的定义，符合题意； D、，当时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 2. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握相关定义即可． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，利用配方法解出方程即可，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：A． 4. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ 　） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数非零与判别式大于0两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 5. 一家机床厂2020年生产机床10000台，由于疫情原因，使得连续两年减产，到2022年生产机床8100台，若平均每年机床产量比前一年产量的减少率为，则下列求减少率的方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可直接列出方程． 【详解】解：根据题意可列方程， 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意． 6. 抛物线与x轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】令，根据一元二次方程的根的判别式的符号进行判断方程的根的情况即可得出结论． 【详解】解：令，则方程中， ，，， 由得方程有两个不相等的实数解， 则对应抛物线与x轴有两个交点， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，解答的关键是转化为对应一元二次方程的根的判别式与根的关系：当时，抛物线与轴交点有2个；当时，抛物线与轴交点有1个；当时，抛物线与轴没有交点． 7. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 8. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 9. 函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，观察所给图象可直接得出答案． 【详解】解：观察图象可知，当或时，对应的y值大于等于1， 因此使成立的x的取值范围是或， 故选D． 10. 在同一坐标系内，函数和的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象的性质，牢记解析式的系数与图象的关系是解题的关键；分别分析当时和当时，函数图象的开口方向和顶点位置，函数的图象所经过的象限，从而可得出答案． 【详解】解：根据题意， 当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限； 分析选项可得，只有D选项符合题意． 11. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵函数的解析式是，如图， ∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴点A关于对称轴的点A′是， 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小， ∴于是， 故选A． 12. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论；④根据时，可得结论． 【详解】解：∵函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，，即，故②正确， ∵函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，为函数的最大值， 当时，， ∴， 即，故③正确； 由图象知，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的个数是3个． 二、填空题：每小题4分，共20分． 13. 方程的根是___________． 【答案】，． 【解析】 【分析】通过提取公因式对方程左边因式分解，用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：原方程为， ， 或 ， 解得 ，． 14. 如果抛物线经过，那么m的值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点A，B的坐标代入得，，两式相减即可． 【详解】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性解答． 解：∵抛物线经过， ∴， 得，， ∴． 故答案为：4． 15. 若是二次函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 16. 如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 ______________． 【答案】x＜1或x＞3 【解析】 【分析】利用函数图象与不等式的关系可以求得不等式的解集. 【详解】数形结合知，二次函数比一次函数高的部分是x＜1或x＞3. 【点睛】利用一次函数图象和二次函数图象性质数形结合解不等式： 形如式不等式，构造函数=，，如果,找出比,高的部分对应的x的值,,找出比,低的部分对应的x的值. 17. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为__________． 【答案】4或 【解析】 【分析】由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 三、解答题：共52分． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键． （1）根据因式分解法解方程即可； （2）整理后根据因式分解法解方程即可； 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得． 【小问2详解】 解：原方程可变形为：， 因式分解得， ∴或， 解得． 19. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 【答案】（1） 证明：， ， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）另一个根为，k的值为1 【解析】 【分析】本题考查二次方程根的判别式，二次方程根和系数的关系． （1）根据一元二次方程，即可判断该方程有两个不相等的实数根； （2）设的另一个根为x，根据根与系数的关系列方程计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的另一个根为x， 则，， 解得：，， ∴方程的另一个根为，k的值为1． 20. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为． （1）用含有x的代数式表示平行于墙长一边使用的篱笆的长度； （2）求x的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）由花圃面积为，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一边长为， 则平行于墙长一边使用的篱笆的长度为，即； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即， 判别式， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，， 答：x的值为8． 21. 如何将函数变形为的形式，并且画出图象？配方，可得 顶点式 ，因此抛物线的开口_____，对称轴是直线______________，顶点坐标是_________．利用其对称性，列表： x … 3 4 5 6 7 8 9 … … … 描点、连线： 【答案】，向上，，；表格内依次填：，，，，，，；描点、连线如下： 【解析】 【分析】先对二次函数一般式配方，转化成顶点式；根据顶点式中的符号判断开口方向，写出对称轴与顶点坐标；再代入表格中的值计算对应值，最后利用描点法画出抛物线． 【详解】解：∵ ， 且， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标． 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． 表格内依次填：，，，，，，； 描点、连线略． 22. 如图，直线与抛物线交于，两点（点在点的左侧）． （1）求，两点的坐标； （2）直接写出时，的取值范围； （3）若抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）本题主要考查求直线和抛物线交点坐标，直接把一次函数解析式和二次函数解析式联立组成方程组，最后解一元二次方程即可． （2）本题主要考查利用数形结合解不等式，其中和点横坐标是解决问题的关键，直线在二次函数上方的自变量的范围是满足条件的解集． （3）本题考查在平面直角坐标系中，求固定个点的三角形的面积，方法很多，直接利用三角形面积的和差来求解即可． 【小问1详解】 由题可知，联立得 解得或； ，． 【小问2详解】 由题可知，过点和点分别作轴的垂线，垂足为，； ∴，； ∵只有线段是在抛物线的上方； ∴对应的解集为：． 【小问3详解】 将代入得； ； ∴对称轴为：， ； ∴ ； 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $