第4章第11讲相似三角形的性质与应用（4.5～4.7）专题讲义 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第11讲　相似三角形的性质与应用(4.5~4.7)　　浙教版 · 数学九年级上册 数学 · 九年级上册 第 4 章　相似三角形 第 11 讲　相似三角形的性质与应用(4.5~4.7) (一)网格中的相似三角形 　例题精析 例1 如图，在 6×6 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 A，B，C 均在格点上. 请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上. (1)在图 1 中以线段 AB 为边画一个△ABD，使其与△ABC 相似，但不全等. (2)在图 2 中画一个△EFG，使其与△ABC 相似，且面积为 8. ▸思路点拨　(1)根据相似三角形的判定方法利用数形结合的思想解决问题. (2)画出直角边分别为 ， 的 Rt△EFG 即可. ▸过程详解　(1)如图 1，△ABD 即为所求(答案不唯一). (2)如图 2，△EFG 即为所求(答案不唯一). ▸总结升华　解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题. 　变式训练 1. 如图，在 7×4 方格纸中，点 A，B，C 都在格点上，用无刻度直尺作图. (1)在图 1 中的线段 AC 上找一个点 E，使 (2)在图 2 中作一个格点三角形 CDE，使△CDE 与△ABC 相似且 (二)相似三角形中的面积问题 　例题精析 例2 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上(不与点 C，D 重合)，连结 AE，BD 交于点 F. (1)若 E 为 CD 中点，，求 AF 的长. (2)若，求的值. (3)若点 G 在线段 BF 上，且 ，连结 AG，CG，，四边形 AGCE 的面积为 ，△ABG 的面积为 ，求的最大值. ▸思路点拨　(1)由勾股定理可求 AE 的长，通过证明△ABF∽△EDF，可得，可求 AF 的长. (2)由正方形的性质可得 ，AC⊥BD，，由 可求 ，即可求解. (3)分别求出 ，，即可求解. ▸过程详解　解：(1)∵E 为 CD 中点，，，，∴△ABF∽△EDF，，，且 ， (2)∵四边形 ABCD 是正方形，，，AC⊥BD，，，，，， (3)如图，设 ，则 ，，，，，，，∠ABG=∠CBG，，∴△ABG≅△CBG(SAS)，，，，∴当 时，有最大值，为 ▸总结升华　解决三角形的面积问题就是要把边先表示出来. 　变式训练 2. 如图，在△ABC 中，，D 是 AB 边上一点(不与点 A，B 重合)，DE∥BC，交 AC 于点 E. 设△ABC 的面积为 S，△DEC 的面积为 S′. (1)当 D 是 AB 中点时，求的值. (2)设 ，，求 y 与 x 的函数表达式，并求出 y 的最大值. 例3 课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC，它的边 ，高 . 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上. 求加工成的正方形零件的边长. 小颖解得此题的答案为 48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题： (1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图 1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算. (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长. ▸思路点拨　(1)设 ，则 ，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求解即可. (2)设 ，用 PQ 表示出 AE 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，并用 x 表示出 PQ，接着根据矩形的面积公式列式计算，最后根据二次函数的最值问题解答. ▸过程详解　解：(1)设矩形的边长 ，则 ，由条件可得△APN∽△ABC，，即，解得 ， 答：这个矩形零件的两条边长分别为， (2)设 ，矩形 PQMN 的面积为 S()，由条件可得△APN∽△ABC，，即，解得 ，，∴S 的最大值为 ，此时 ， ▸总结升华　相似三角形对应高之比等于相似比. 求矩形面积最大问题转化成二次函数的最值解决. 　变式训练 3. 课本中有一道作业题：有一块三角形余斜 ABC，它的边 ，高 . 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上. (1)求加工成的正方形零件的边长. 【探索发现】 (2)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，如图 2，求这个矩形的最大面积. 如果 ，高 ，则矩形 PQMN 面积的最大值为＿⁠＿⁠＿. (用含 a，h 的代数式表示) 【实际应用】 (3)如图 3，现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 ，，，且∠B=∠°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M，N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积. (三)三角形的重心 　例题精析 例4 如图，CD 为△ABC 的中线，E 为 AC 边上的一点，连结 CD 与 BE 交于点 G. (1)若 E 为 AC 的中点，则=＿⁠＿⁠＿. (2)若，则=＿⁠＿⁠＿. (用含 t 的代数式表示) ▸思路点拨　(1)利用重心得的值，即可求得的值. (2)过点 D 作 DF∥BE，用平行线分线段成比例求出的值，即可求得的值. ▸过程详解　解：(1)∵CD 为△ABC 的中线，E 为 AC 的中点，∴G 为△ABC 的重心， 与△BCG 是同高的， 故答案为 (2)如图，过点 D 作 DF∥BE，设 ，则 ，∥BE，，， 与△BCG 是同高的， 故答案为 ▸总结升华　三角形的重心分每一条中线成 1∶2 的两条线段. 同高的三角形面积之比等于底边之比. 　变式训练 4. (1)如图，在△ABC 中，，G 是△ABC 的重心，如果 DG∥BC，那么 DG=＿⁠＿⁠＿. (2)设 P 是△ABC 内任意一点，△PAB，△PBC，△PCA 的重心分别是 D，E，F，则△DEF 与△ABC 的面积比为＿⁠＿⁠＿. (四)相似三角形的性质解决测量问题 　例题精析 例5 如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜. 手电筒的灯泡在点 G 处，手电筒的光从平面镜上点 B 处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点 E 处. 点 E 到地面的高度 ，点 F 到地面的高度 ，灯泡到木板的水平距离 ，墙到木板的水平距离为 . 已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A，B，C，D 在同一水平面上. (1)求 BC 的长. (2)求灯泡到地面的高度 AG. ▸思路点拨　(1)直接利用相似三角形的判定与性质得出 BC 的长. (2)根据相似三角形的性质列方程进而求出 AG 的长. ▸过程详解　解：(1)由题意可得 FC∥DE，则△BFC∽△BED，故，即，解得 . (2)∵AC=5.4m，. ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC=∠GBA. 又∵∠FCB=∠°，∴△BGA∽△BFC，，，解得 . 答：灯泡到地面的高度 AG 为 1.2m. ▸总结升华　寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决测量问题. 　变式训练 5. 小明想测量电线杆 AB 的高度，他发现电线杆 AB 的影子正好落在坡面 CD 和地面 BC 上，已知 CD 和地面成 30°角，，，且此时测得 1m 高的标杆在地面的影长为 2m. (1)求电线杆 AB 的高. (结果保留根号) (2)此时，若 CG 是在坡底下 C 处的一棵大树，树尖刚好落在光线 AD 上，则 CG=＿⁠＿⁠＿m，若在山坡上有一建筑物 EF 高 2m，此时它落在坡面上的影长 FK=＿⁠＿⁠＿m. (以上结果均保留根号) (五)相似多边形的判定及性质 　例题精析 例6 矩形 ABCD 纸片的边 AB 长为 2cm，动直线 l 分别交 AD，BC 于 E，F 两点，且 EF∥AB. (1)若直线 l 是矩形 ABCD 的对称轴，且沿着直线 l 剪开后得到的矩形 EFCD 与原矩形 ABCD 相似，试求 AD 的长. (2)若使 AD=()cm，试探究：在 AD 边上是否存在点 E，使剪刀沿着直线 l 剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形 ABCD 相似的情况. 若存在，请求出 AE 的值，并判断点 E 在边 AD 上位置的特殊性；若不存在，试说明理由. ▸思路点拨　(1)先根据矩形 EFCD∽矩形 CBAD 可得出两矩形的对应边成比例，由 ，把 CD，AB 的值代入关系式，进而可求出 AD 的值. (2)假设存在矩形 EFCD 与矩形 ABCD 相似，则 DC 必与 AD 对应，ED 必与 DC 对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出 ED 的长，进而可得出 AE 的长，注意依据对称性存在矩形 EFBA 与矩形 ABCD 相似的情况，求得 AE 的另一个值，进而可得出结论. ▸过程详解　解：(1)∵矩形 EFCD∽矩形 CBAD， 又，可设 ，，则 ，故 (2)假设存在矩形 EFCD 与矩形 ABCD 相似，则 DC 必与 AD 对应，ED 必与 DC 对应，即有， 又，AD=()cm，，，而 ，依据对称性考虑，必定存在当 时，使矩形 EFBA 与矩形 ABCD 相似的情形，综上所述，当 AE=()cm 或 2cm 时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似的情况，且该两种情形中，E 刚好是边 AD 的两个黄金分割点. ▸总结升华　相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 　变式训练 6. 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等、四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形. 相似四边形对应边的比叫做相似比. (1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”). ①四条边成比例的两个凸四边形相似；(＿⁠＿⁠＿命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(＿⁠＿⁠＿命题) ③两个大小不同的正方形相似. (＿⁠＿⁠＿命题) (2)如图，在四边形 ABCD 和四边形 中，，，，求证：四边形 ABCD 与四边形 相似. 7. 一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形 ABCD∽矩形 BEFG. 设矩形 ABCD 与矩形 AHIE 的面积分别为 m 和 n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（　　） A．4m B．2m+3n C．m+3n D．3m+n (六)图形的位似 　例题精析 例7 (1)如图 1，△ABC 和△DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形. 若 OA∶∶3，则△ABC 与△DEF 的周长比是＿⁠＿⁠＿. (2)如图 2，以点 O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 A′B′C′D′，已知，若四边形 ABCD 的面积是 2，则四边形 A′B′C′D′ 的面积是＿⁠＿⁠＿. (3)《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆. ”度方知圆，感悟数学之美. 如图 3，正方形 ABCD 的面积为 4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形 A′B′C′D′，若 A′B′∶∶1，则四边形 A′B′C′D′ 的外接圆的周长为＿⁠＿⁠＿. ▸思路点拨　(1)先根据位似的性质得到△ABC 和△DEF 的位似比为 OA∶OD，再利用比例性质得到 OA∶∶5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解. (2)直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案. (3)连结 B′D′. 利用相似多边形的性质求出正方形 A′B′C′D′ 的面积，求出边长，再求出 B′D′可进一步求解. ▸过程详解　解：(1)∵△ABC 和△DEF 位似，，，，即△ABC 和△DEF 的位似比为 2∶5，△ABC 与△DEF 的周长比是 2∶5. 故答案为 2∶5. (2)∵以点 O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 A′B′C′D′，，，∴四边形 A′B′C′D′ 的面积为 18. 故答案为 18. (3)如图，连结 B′D′，易知 D′，D，B，B′共线. ∵正方形 ABCD 的面积为 4，′B′∶∶1，∴A′B′=. 易知四边形 A′B′C′D′ 的外接圆的圆心 O 在 D′B′上，∠D′A′B′=90°，∴D′B′ 为⊙ O 的直径，可得 ，∴四边形 A′B′C′D′ 的外接圆的周长为 故答案为 ▸总结升华　相似多边形的相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方. 　变式训练 8. 已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)在图中画出△ABC 沿 x 轴翻折后的 (2)以点 M(1,2)为位似中心，在 x 轴上方作出 按 2∶1 放大后的位似图形 (3)点 的坐标为＿⁠＿⁠＿；△ABC 与 的周长比是＿⁠＿⁠＿，△ABC 与 的面积比是＿⁠＿⁠＿. 　链接好题 1. 如图，点 A，B，M，E，F 依次在直线 l 上，点 A，B 固定不动，且 ，分别以 AB，EF 为边在直线 l 同侧作正方形 ABCD、正方形 EFGH，∠°，直角边 MP 恒过点 C，直角边 MN 恒过点 H. (1)如图 1，若 ，，求点 M 与点 B 之间的距离. (2)如图 1，若 ，当点 M 在点 B，E 之间运动时，求 HE 的最大值. (3)如图 2，若 ，当点 E 在点 B，F 之间运动时，点 M 随之运动，连结 CH，O 是 CH 的中点，连结 HB，MO，则 2OM+HB 的最小值为＿⁠＿⁠＿. 参考答案 【变式训练】 1. (1)如图 1(答案不唯一). (2)如图 2(答案不唯一). 2. (1)∵D 为 AB 中点，，∵DE∥BC，. ∵△ADE 的边 AE 上的高和△CED 的边 CE 上的高相等，，∴△ADE∽△ABC，， (2)∵AB=4，，△ADE∽△ABC， ① ，，，， ∵△ADE 的边 AE 上的高和△CED 的边 CE 上的高相等，，② ①÷②，得 ，，∴该函数图象开口向下，对称轴为直线 ，∴当 时，y 有最大值为 3. (1)设正方形的边长为 x(mm)，则 ，∥BC，∴△APN∽△ABC，，即，解得 . ∴加工成的正方形零件的边长是 48mm. (2)设 ，矩形 PQMN 的面积为 S()，由条件可得△APN∽△ABC，，解得 ，由 ，∴S 的最大值为 故答案为 (3)如图，延长 BA，CD 交于点 E，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H. ∵∠B=∠C，，且 EH⊥BC，，， 在 Rt△BHE 中，，，∴BE 的中点 Q 在线段 AB 上. ，，∴CE 的中点 P 在线段 CD 上，∴中位线 PQ 的两端点在线段 AB，CD 上. 由(2)知，矩形 PQMN 的最大面积为，∴该矩形的面积为 4. (1)1 5. (1)如图，延长 AD 交地面于点 M，作 DN⊥BC 于点 ，∠°，， 杆的影长为 2m，∴DN∶∶2，，∴AB 的影长 ，∴电线杆 AB 的高为()m. (2)由题意得 CG∥DN，∴△CGM∽△NDM，，即，∴CG=()m，由题意得 CG∥EF，AD∥EK，∴∠GCD=∠EFK，∠GDC=∠EKF，∴△CGD∽△FEK，，即，∴FK=()m. 故答案为()；(). 6. (1)①假 ②假 ③真 (2)证明：如图，连结 BD，，且，，，，，，，，，，，，，，，，∴四边形 ABCD 与四边形 相似. 7. D 【解析】设 ，，，，则 ，，依题意得 ，，∵矩形 ABCD∽矩形 BEFG，，，整理得 ，这个大矩形的面积为(a+d)(b+c)=ab+cd+ac+bd=ab+cd+(ac+bd)=ab+cd+2ab=3ab+cd=3m+n. 8. (1)如图所示， 即为所求作. (2)如图所示， 即为所求作. (3)(3,6) 1∶2 1∶4 【链接好题】 1. (1)由题意易得∠CBM=∠CMH=∠°，∴∠CMB+∠BCM=∠CMB+∠°，∴∠BCM=∠HME，∴△MCB∽△HME，，，，，解得 或 6，∴点 M 与点 B 之间的距离是 4 或 6. (2)由(1)知，设 ，，，，，，∴当 时，，即 HE 的最大值为 12.5. (3)∵∠°，O 是 CH 中点，，，∴求 2OM+HB 的最小值就是求 CH+BH 的最小值. 如图，连结 FH，则点 H 在∠EFG 的平分线上，作点 B 关于 FH 的对称点 B′，连结 B′C 交 FH 于点 H′，则 H′即为所求 H 位置，B′C 长度即为 CH+HB 最小值. 过点 C 作 CQ⊥B′F. ∵∠BFH=∠B′°，∴点 B′在 FG 的延长线上，∵∠CBF=∠BFQ=∠°，∴四边形 CBFQ 为矩形，′，∴B′′，在 Rt△B′CQ 中， 故答案为 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $