第6讲 圆的基本性质 讲义 2026−2027学年浙教版九年级数学上册

第6讲 圆的基本性质 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆、弦、弧、圆心角等基本概念，会确定圆的对称性 · 掌握圆心角与弧、弦的关系并能灵活运用 · 掌握垂径定理及其推论，能解决有关计算与证明 · 掌握圆周角定理及其推论，会求角度与线段 · 能综合运用圆的基本性质解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.3.1 圆的有关概念 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 弦：连接圆上任意两点的线段；直径：经过圆心的弦 弧：圆上任意两点间的部分；优弧、劣弧、半圆 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 圆的对称性：圆是轴对称图形也是中心对称图形 概念辨析例题：如图，在⊙O中，弦的条数是（　　） 解析：根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段），数出图中所有弦的条数即可． ☆ 2.3.2 圆心角 圆心角：顶点在圆心的角 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 同圆或等圆中，弦相等⇔弦所对的优弧相等⇔弦所对的劣弧相等⇔弦所对的圆心角相等 应用：由圆心角相等推弧、弦相等，常用于证明与计算 概念辨析例题：如图，在⊙O中，AC=BD，弦AB与弦CD相交于点P．求证：圆心O到弦AB，CD的距离相等． 解析：由AC=BD可证弧AC=弧BD，进而弧AB=弧CD，故弦AB=弦CD，等弦的弦心距相等． ☆ 3.3.3 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 构造直角三角形：半径、弦心距、半弦长满足勾股定理 常用辅助线：作弦心距、连接圆心与弦的端点 概念辨析例题：如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE为3，求⊙O的半径． 解析：连接OA，由垂径定理AE=AB/2=4，在Rt△OAE中由勾股定理得OA=5． ☆ 4.3.4 圆周角 圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 推论：直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆（直径）所对的圆周角为90°，常用于构造直角三角形 圆内接四边形对角互补 概念辨析例题：如图，AB是⊙O的直径，∠C＝35°，求∠BAD的度数． 解析：由AB是直径得∠ACB=90°，同弧所对圆周角相等，∠BAD=∠BCD，结合已知角求解． 📋 知识总结表 名称 定义 重要性质 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是最长的弦 弧 圆上任意两点间的部分 优弧、劣弧、半圆 圆心角 顶点在圆心的角 相等圆心角→等弧、等弦 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧 结合勾股定理计算 圆周角 顶点在圆上且两边与圆相交的角 等于同弧所对圆心角的一半；直径所对圆周角为90° ⚠️ 核心考点 【考点1：圆的有关概念】 · 圆：到定点距离等于定长的点的集合。 · 弦、直径、弧、圆心角的概念辨析 · 直径是最长的弦，半圆是特殊的弧 · 圆的对称性：轴对称与中心对称 1．（2026春•巨野县期末）如图，在⊙O中，弦的条数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【考点】圆的认识． 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【解答】解：如图，在⊙O中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD．共有4条弦． 故选：C． 【点评】本题考查了圆的认识．连接圆上任意两点的线段叫弦，理解弦的定义是解决本题的关键． 2．（2026春•南海区校级同步）下列说法中正确的是（　　） A．直径是弦，半径也是弦 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．弦就是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 【考点】圆的认识． 【分析】根据圆的有关知识和概念判断即可． 【解答】解：A、直径是弦，但半径不是弦，说法错误，不符合题意； B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，说法正确，符合题意； C、弦不一定是直径，说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查圆的认识，关键是根据圆的有关知识和概念解答． 3．（2025•柳东新区校级开学）画圆时，圆规两脚间的距离是6cm，画出的圆的半径是　6cm ． 【考点】圆的认识． 【分析】根据半径的概念即可求解． 【解答】解：∵在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径， ∴画圆时，圆规两脚间的距离是6cm，画出的圆的半径是6cm， 故答案为：6cm． 【点评】本题考查了圆的有关概念，正确理解圆的有关概念是解题的关键． 4．（2025秋•云南校级期中）根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点P到定点O的距离始终等于5，则这个圆的半径为　5　 ． 【考点】圆的认识． 【分析】根据圆的定义即可解答． 【解答】解：由题意得，圆的半径为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了圆的定义，熟知在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径是解题的关键． 5．（2025秋•闽侯县期中）已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 　8　 cm． 【考点】圆的认识． 【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长． 【解答】解：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm， ∴⊙O的半径为8cm． 故答案为：8． 【点评】圆中的最长的弦就是直径，是需要熟记的． 6．（2026秋•同步）如图，在⊙O中，AD＝BC，请写出图中相等的线段、相等的弧、相等的角． 【考点】圆的认识． 【分析】利用弧，弦，圆心角之间的关系一一判断即可． 【解答】解：相等的线段有：AD＝BC，AB＝CD； 相等的弧：，； 相等的角有：∠A＝∠C，∠D＝∠B． 【点评】本题考查圆的认识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 7．（2026秋•同步）弧长相等的两段弧是等弧吗？并说明理由． 【考点】圆的认识． 【分析】根据等弧的定义判断即可． 【解答】解：弧长相等的两段弧不一定是等弧，理由：完全重合的两条弧是等弧． 【点评】本题考查圆的认识，解题的关键是理解等弧的定义． 8．（2026•石河子一模）【题目呈现】： 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拱桥形状？ 问题背景 如图，河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是圆弧．为了定量的确定拱桥形状，九年（2）班数学项目化学习小组开展了一次探究活动． 素材一 如图，有一拱桥，桥下水面宽度为24米，拱顶高出水面8米． 素材二 现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱宽10米、高7.5米（竹排与水平面持平，竹排高度忽略不计）． 问题解决 任务一 确定桥拱形状：如图所示一座拱桥，我们可以将桥洞的拱形看作是抛物线的形状，当水面宽AB为24米时，桥洞顶部离水面8米，求相应抛物线的解析式． 任务二 确定桥拱形状：如图所示一座拱桥，我们可以将桥洞的拱形看作是圆弧形，如图所示：圆弧形的拱桥是以O为圆心，AB为水面，OC⊥AB，于点D，交于点C，AB＝24米，CD＝8米．求圆弧形拱桥的半径． 任务三 如图所示一座拱桥，我们可以将桥洞的拱形看作是圆弧形，试判断该竹排顺利通过这座桥吗？ 【考点】圆的认识；二次函数的应用． 【分析】（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（﹣12，0），B（12，0），顶点F的坐标为（0，8），设顶点式为y＝ax2+8，然后把B点坐标代入求出a的值即可； （2）设⊙O的半径为r米，则OA＝r米，OD＝（r﹣8）米，根据垂径定理得到AD＝BD＝12米，在Rt△AOD中利用勾股定理得到（r﹣8）2+122＝r2，然后解方程即可； （3）连接ON、OF，如图，由（2）得ON＝13米，OD＝5（米），当EF＝MN＝10米时，根据垂径定理得到MH＝NH＝5米，在Rt△ONH中利用勾股定理计算出OH＝12米，则DH＝7米，所以MF＝7米，由于7.5＞7，则可判断该竹排不能通过这座桥． 【解答】解：（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A（﹣12，0），B（12，0），顶点F的坐标为（0，8）， 设抛物线解析式为y＝ax2+8， 把B（12，0）代入得0＝144a+8， 解得a， ∴抛物线解析式为yx2+8； （2）设⊙O的半径为r米，则OA＝r米，OD＝（r﹣8）米， ∵OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝12米， 在Rt△AOD中，（r﹣8）2+122＝r2， 解得r＝13， 即圆弧形拱桥的半径为13米； （3）连接ON、OF，如图， 由（2）得ON＝13米，OD＝5（米）， 当EF＝MN＝10米时， ∵OH⊥MN， ∴MH＝NHMN＝5米， 在Rt△ONH中，∵ON＝13米，NH＝5米， ∴OH12（米）， ∴DH＝OH﹣OD＝12﹣5＝7（米）， ∴MF＝7米， ∵7.5＞7， ∴该竹排不能通过这座桥． 【点评】本题考查了圆的认识，灵活运用垂径定理和勾股定理是解决问题的关键．也考查了待定系数法求二次函数解析式． 9．（2026春•虹口区期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛． （1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是　94.2　 米．（π取3.14） （2）如果按照方案B修，修的花坛的周长是　94.2　 米．（π取3.14） （3）按照方案B修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（π取3.14） 【考点】圆的认识；分式方程的应用． 【分析】（1）利用圆的周长公式求解； （2）利用圆的周长公式求解； （3）列方程求出甲的工作效率，然后列出算式求出钱数． 【解答】解：（1）∵一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛，分别以两条半径为直径修两个圆形花坛， ∴圆形花坛的半径为米， ∴周长为：（米）， 故答案为：94.2； （2）∵把直径分成2：3的两部分， ∴（米）， 故答案为：94.2； （3）设甲原来每小时完成x米，则乙每小时完成米，根据题意得， ， 解得x＝6.28， ∴（元） 答：甲可以得到1130.4元钱． 【点评】本题考查的是圆的认识，分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【考点2：圆心角】 · 圆心角、弧、弦的关系：等圆心角→等弧→等弦。 · 同圆或等圆中三者互相推出 · 由弧相等证弦相等、弦心距相等 · 注意前提：同圆或等圆 10．（2026•五华区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【考点】圆心角、弧、弦的关系． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 【点评】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 11．（2025秋•南湖区校级月考）如图，AB是半圆O的直径，∠BOC＝80°，D是弧AC的中点，则∠AOD的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【考点】圆心角、弧、弦的关系． 【分析】根据已知得出∠AOC＝100°，根据D是弧AC的中点，即可求得∠AOD的度数． 【解答】解：如图，连接OC、OD， ∵AB是半圆O的直径，∠BOC＝80°， ∴∠AOC＝100° ∵D是弧AC的中点， ∴∠AOD∠AOC100°＝50°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键． 12．（2026•合江县校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理． 【分析】先根据垂径定理和点C是弧BE的中点得出，从而得出CD＝BE＝8，再利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r， ∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径， ∴，CG＝DG， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴CD＝BE＝8， ∴， ∵OG＝r﹣3，OD＝r， ∴42+（r﹣3）2＝r2， 解得， ∴⊙O的半径为． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 13．（2025秋•沛县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，若∠AOC＝75°，则的度数是 　30°　 ． 【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质；三角形内角和定理． 【分析】连接OE，根据平行线的性质可得∠C＝∠AOC＝75°，由OC＝OE可得∠E＝∠C＝75°，再根据三角形内角和定理可求得∠COE的度数，即的度数． 【解答】解：连接OE， ∵CE∥AB， ∴∠C＝∠AOC＝75°． ∵OC＝OE， ∴∠E＝∠C＝75°， ∴∠COE＝180°﹣2×75°＝30°， ∴的度数是30°． 故答案为：30°． 【点评】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 14．（2025秋•湖南期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为　80°　 ． 【考点】圆心角、弧、弦的关系． 【分析】由平角的定义可得∠BOE，再根据弧与圆心角之间的关系可得，据此可得答案． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°， ∴∠BOD∠BOE120°＝80°， 故答案为：80°． 【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 15．（2026秋•同步）如图①为某酒店的圆形旋转门，可看成如图②由外围的⊙O和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心O中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心O转动，且所成的夹角∠EOF＝∠FOG＝∠GOE＝120°，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃OF，OG隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为　60　 °． 【考点】圆心角、弧、弦的关系；中心对称． 【分析】根据题意，求出所对圆心角的度数的最大值即可． 【解答】解：由题知， ∵∠EOF＝∠FOG＝∠GOE＝120°， ∴∠AOC与∠BOD的最小值的最小值为120°， ∴∠AOB与∠COD的最大值的和为120°， ∵和关于圆心O中心对称， ∴， ∴∠AOB＝∠COD且最大值为． 故答案为：60． 【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及中心对称，熟知圆心角、弧、弦的关系及中心对称的性质是解题的关键． 16．（2026•滨湖区校级二模）如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 　30°　 ． 【考点】圆心角、弧、弦的关系． 【分析】连接BD，根据AB＝BC＝DA得到，得到∠ABD＝∠ADB＝∠BAC，根据三角形的内角和列式计算即可． 【解答】解：连接BD、AC， ∵AB＝BC＝AD， ∴， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC， ∵∠ADB＝∠DBP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°， 解得，∠DBP＝15°． ∴的度数为30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 17．（2026秋•同步）如图，AD，BC是⊙O上的两条弦，AD＝BC，判断AB和CD的长是否相等，并证明你的结论． 【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质． 【分析】根据同圆或等圆中，弦、弧之间的关系即可得出结论． 【解答】解：AB＝CD， 证明：∵AD＝BC， ∴， ∴， 即， ∴AB＝CD． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 18．（2026•成安县模拟）如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 【考点】圆心角、弧、弦的关系． 【分析】（1）根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等证明； （2）根据垂径定理的推论得到OB⊥AC，再根据勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD， ∴； （2）解：∵BD＝8， ∴AC＝8， ∵E为AC的中点， ∴OB⊥AC，AEAC＝4， ∴OE3， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 19．（2026秋•同步）在航海中，常用海里（单位：nmile）作为路程的度量单位．把地球看作球体，1nmile近似等于赤道所在的圆中1′的圆心角所对的弧长．已知地球半径（也就是赤道所在圆的半径）约为6370km，1nmile约等于多少米（结果取整数）？ 【考点】圆心角、弧、弦的关系；认识立体图形． 【分析】先把1分化为度，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：1′＝（）°， 1852（m）， 答：1nmile约等于1852米． 【点评】本题考查了弧长的计算：弧长公式：熟记弧长公式是解题的关键． 20．（2025秋•张家口校级期末）如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，AB＝CD． （1）求证：AD＝BC； （2）直接写出AE与CE的数量关系． 【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由AB＝CD可知其对应的弧长同样相等，再由，推得，从而证得AD＝BC； （2）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADC＝∠ABC，再由（1）中AD＝BC，利用“AAS”证明△ADE≌△CBE，从而得到AE＝CE． 【解答】（1）证明：∵在⊙O中，弦AB、CD交于点E，AB＝CD， ∴（圆周角定理）， 又∵，， ∴， ∴AD＝BC； （2）解：∵所对的圆周角为∠ADC和∠ABC， ∴∠ADC＝∠ABC， 由（1）知，AD＝BC， 在△ADE和△CBE中， ， ∴△ADE≌△CBE（AAS）， ∴AE＝CE（全等三角形对应边相等）． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理及全等三角形的判定与性质． 【考点3：垂径定理】 · 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 · 常用辅助线：作弦心距构造直角三角形 · 半径、弦心距、半弦长满足勾股定理 · 平分弦（非直径）的直径垂直于弦 21．（2026•宁波校级开学）线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AE＝2，CD＝6，则⊙O半径长为（　　） A． B．5 C． D． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】根据垂径定理求出DE＝CE＝3，在Rt△OEC中，由勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴DE＝CECD6＝3， 在Rt△OEC中，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，CE＝3，由勾股定理可得 （r﹣2）2+32＝r2， 解得， 故选：D． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、圆的性质以及勾股定理是正确解答的关键． 22．（2026•贺州模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则CD的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】由垂径定理得到，由勾股定理求出OD的长即可得到答案． 【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D， ∴， 由圆的性质可得OA＝OC＝5， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， ∴CD＝OC﹣OD＝2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 23．（2026•碑林区校级三模）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于点E，若AB＝BC＝12，则OC的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】根据垂径定理可知，，结合圆周角定理，进而可求得∠BAD＝30°，∠COD＝60°，据此即可求得答案． 【解答】解：∵AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD， ∴，． ∴∠COD＝2∠BAD． ∴， ∴∠BAD＝30°． ∴∠COD＝60°． ∴． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是勾股定理，垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 24．（2026•南京一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD＝8，则BE＝　2　 ． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】根据圆的直径与半径的关系得出OC＝OB＝5，再根据垂径定理得CE＝4，然后根据勾股定理得出OE＝3，最后根据线段的和差即可得出答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB＝10， ∴， ∵CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，CD＝8， ∴， 在Rt△OEC中，， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理及垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键． 25．（2026秋•同步）一条弦AB把圆的直径分为3和7两部分，弦和直径相交成60°角，则AB的长为　　 ． 【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【分析】根据题意得出图形，过点O作OF⊥AB于点F，先求出OE的长，在Rt△OEF中求出EF、OF的长，再在Rt△AOF中求出AF的长，最后根据垂径定理求出AB的长即可． 【解答】解：根据题意得出图形如图所示， CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，连结OA，过点O作OF⊥AB于点F， ∵弦AB将直径分成3和7两部分， ∴CE＝3，DE＝7， ∴CD＝10， ∴OC＝5＝OA， ∴OE＝OC﹣CE＝5﹣3＝2， ∵弦和直径相交成60°角， ∴∠OEF＝60°， ∵∠OFE＝90°， ∴∠EOF＝30°， ∴EF1， 由勾股定理得OF， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF， ∵OF⊥AB， ∴AB＝2AF， 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 26．（2026秋•同步）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P，Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M，N分别是弦AB，PQ的中点，则线段MN的长度的取值范围是　7≤MN≤17　 ． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】连接OM，ON，OP，OA，根据垂径定理及勾股定理求出OM和ON的长，再据此进一步求出MN长度的取值范围即可． 【解答】解：连接OM，ON，OP，OA， ∵⊙O的直径为26， ∴OP＝13． ∵点N为PQ的中点且PQ＝10， ∴ON⊥PQ且PN＝5， ∴ON， 同理可得，OM＝5， 当AB∥PQ时，O，M，N三点共线， 当AB和PQ在点O同侧时，MN取得最小值为：12﹣5＝7， 当AB和PQ在点O异侧时，MN取得最大值为：12+5＝17， ∴MN的取值范围是7≤MN≤17． 故答案为：7≤MN≤17． 【点评】本题主要考查了勾股定理及垂径定理，熟知勾股定理及垂径定理是解题的关键． 27．（2025秋•南开区校级期末）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 　2　 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　1　 ． 【考点】垂径定理；坐标与图形性质． 【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题； 【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG． ∵GO⊥AB， ∴OA＝OB， 在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1， ∴AG＝2OG，OA， ∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2， ∴∠AGO＝60°， ∵GC＝GA， ∴∠GCA＝∠GAC， ∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC， ∴∠GCA＝∠GAC＝30°， ∴AC＝2OA＝2，MGCG＝1， ∵∠AFC＝90°， ∴点F在以AC为直径的⊙M上， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM1． 故答案为2，1． 【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 28．（2025秋•纳溪区期末）如图，点A、B、D、C都在圆上，AD是⊙O的直径，OB⊥AC交AC于点E． （1）求证：AB＝BC； （2）若AE＝4，CD＝6，求BE． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】（1）由垂径定理即可得出结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得∠C＝90°，由垂径定理可得AC，根据勾股定理可得AD，从而可得OA，OB，根据勾股定理可得OE，从而可得BE． 【解答】（1）证明：∵OB⊥AC于点E， ∴， ∴AB＝BC； （2）解：∵点C在圆上，AD是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵点E在AC上，AE＝CE， ∴AC＝2AE， ∵AE＝4， ∴AC＝4×2＝8， 又∵CD＝6， ∴， ∴， ∴， ∴OB﹣OE＝5﹣3＝2， ∴BE＝2． 【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理，熟知以上知识是解题的关键． 29．（2026秋•同步）如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？ 【考点】垂径定理． 【分析】圆周角是直角所对的弦是直径，把三角尺的直角顶点放在圆上，作出两条直径可确定圆心． 【解答】解：如图，点O即为所求． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知圆周角是直角所对的弦是直径是解答此题的关键． 30．（2026秋•同步）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE为3．求⊙O的半径． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】由弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE为3，得OE⊥AB于点E，且OE＝3，则AE＝BEAB＝4，∠AEO＝90°，求得OA5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE为3， ∴OE⊥AB于点E，且OE＝3， ∴AE＝BEAB＝4，∠AEO＝90°， ∴OA5， ∴⊙O的半径长是5． 【点评】此题重点考查点到直线的距离、垂径定理、勾股定理等知识，推导出OE⊥AB于点E，且OE＝3，AE＝BEAB＝4是解题的关键． 31．（2026•拱墅区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点P在线段OA上，A，Q两点关于点P对称，过点P作CD⊥AB交⊙O于点C，D，连结CQ并延长交⊙O于点E，连结DE，AC，AD． （1）求证：CQ＝DE； （2）若AB＝6，且OP＝OQ，求CD的长． 【考点】垂径定理；中心对称；勾股定理． 【分析】（1）连接DQ，根据垂径定理得出CP＝DP，根据轴对称的性质得出PA＝PQ，则可证明四边形ACQD是平行四边形，进而证明平行四边形ACQD是菱形，得出AD＝CQ，∠ACD＝∠QCD，根据圆周角定理得出，根据弧、弦的关系得出AD＝DE，即可得证； （2）连接CO，根据PA＝PQ并结合OP＝OQ可求出AP＝2OP，结合AB＝6可求出OP＝1，在Rt△CPO中，根据勾股定理求出，结合（1）中CP＝DP即可求解． 【解答】（1）证明：连接DQ， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD于点P， ∴CP＝DP， ∵A，Q两点关于点P对称， ∴PA＝PQ， ∴四边形ACQD是平行四边形， 又∵AQ⊥CD， ∴平行四边形ACQD是菱形， ∴AD＝CQ，∠ACD＝∠QCD， ∴， ∴AD＝DE， ∴CQ＝DE． （2）如图，连接CO， ∵AB＝6， ∴， ∵OP＝OQ，PA＝PQ＝OP+OQ， ∴AP＝2OP， 又∵AP+OP＝AO＝3， ∴OP＝1， ∴， ∴． 【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理及中心对称，熟知以上知识是解题的关键． 【考点4：圆周角】 · 圆周角等于同弧所对圆心角的一半。 · 同弧或等弧所对的圆周角相等 · 直径所对的圆周角是直角 · 圆内接四边形对角互补 32．（2026•岳塘区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠ABC＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【考点】圆周角定理． 【分析】根据直径所对的圆周角等于90度，直角三角形两锐角互余，由直径所对的圆周角等于90度可得出∠ACB＝90°，再由直角三角形两锐角互余可得出∠BAC的度数． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°， 则∠BAC的度数为50°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，关键是圆周角定理的熟练掌握． 33．（2026•西藏）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠BOC＝140°，则∠ABD的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 【分析】设CD交AB于点L，由CD⊥AB于点L，得∠BLD＝90°，而∠BOC＝140°，则∠D∠BOC＝70°，求得∠ABD＝90°﹣∠D＝20°，于是得到问题的答案． 【解答】解：设CD交AB于点L， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点L， ∴∠BLD＝90°， ∵∠BOC＝140°， ∴∠D∠BOC＝70°， ∴∠ABD＝90°﹣∠D＝20°， 故选：A． 【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，推导出∠D∠BOC＝70°是解题的关键． 34．（2025秋•桥西区期末）如图，AB是⊙O的弦，点C，D都在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠ADB＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．70° 【考点】圆周角定理． 【分析】由圆周角定理，即可得到答案． 【解答】解由圆周角定理得到：∠ADB＝∠ACB＝40°． 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理． 35．（2025秋•通化校级期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上三点，连接AD，CD，CE，EB，若∠CEB＝25°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【考点】圆周角定理． 【分析】连接AC，BC，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，再由圆周角定理得到∠CEB＝∠CAB＝25°，以及∠D＝∠CBA，然后直角三角形锐角互余求解即可． 【解答】解：连接AC，BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵， ∴∠CEB＝∠CAB＝25°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣25°＝65°， ∵， ∴∠D＝∠CBA＝65°，则∠D的度数是65°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 36．（2026•山西模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O外的一点，连接CA，CB分别交⊙O于D，E两点，连接DE，DB．若∠CAB＝50°，∠C＝60°，则∠EDB的度数为（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 【考点】圆周角定理；垂径定理． 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB的度数，由三角形内角和定理可得∠CBA的度数，由圆内接四边形对角互补可得∠ADE的度数，据此可得答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O外的一点，连接CA，CB分别交⊙O于D，E两点，连接DE，DB， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，∠CAB+∠CBA+∠C＝180°， ∴∠CBA＝70°， ∵四边形ABED是⊙O的内接四边形， ∴∠ADE+∠ABE＝180°， ∴∠ADE＝110°， ∴∠EDB＝∠ADE﹣∠ADB＝20°． 故选：C． 【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 37．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则AC的长为　5　 ． 【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质． 【分析】连接OA，OC，则OA＝OC，再证明∠AOC＝60°，可得△AOC是等边三角形，即可求解． 【解答】解：连接OA，OC， ∵∠ABC＝30° ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴OA＝OC＝AC＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，等边三角形，由圆周角定理可得∠AOC＝60° 是解答本题的关键． 38．（2026•南岗区校级三模）如图，在扇形OAB中，C为上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为 　72　 °． 【考点】圆周角定理． 【分析】连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，由四边形内角和为360°可得出∠AOB＝72°． 【解答】解：连接OC， ∵AO＝OC，OC＝OB， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝∠OAC+∠OBC， ∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB＝360°， ∴∠AOB+2∠ACB＝360°， 又∵∠ACB＝2∠AOB， ∴5∠AOB＝360°， ∴∠AOB＝72°， 故答案为：72． 【点评】本题考查了圆的性质，四边形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 39．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦AC＝6cm，弦BC＝8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BD长是　　 cm． 【考点】圆周角定理． 【分析】连接AD，利用圆周角定理结合勾股定理求得AB的长，再证明△ABD是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝6cm，BC＝8cm， ∴， ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴（角平分线的性质）， ∴AD＝BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴， 则BD长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，关键是圆周角定理的熟练掌握． 40．（2026•镇江）如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知∠BCD＝40°，则∠BOD的度数为　80°　 ． 【考点】圆周角定理． 【分析】由AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上，且∠BCD＝40°，根据圆周角定理得∠BOD＝2∠BCD＝80°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴∠BCD∠BOD， ∵∠BCD＝40°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°， 故答案为：80°． 【点评】此题重点考查圆周角定理，推导出∠BCD∠BOD是解题的关键． 41．（2026秋•玄武区校级作业）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝16，则⊙O的半径为　　 ． 【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理． 【分析】连结OC，作OH⊥CD于点H，则CH＝DH，∠CHO＝∠PHO＝90°，因为∠APC＝45°，∠APC＝∠POH＝45°，则PH＝OH，所以PC＝CH+OH，PD＝CH﹣OH，由PC2+PD2＝16，得（CH+OH）2+（CH﹣OH）2＝16，则CH2+OH2＝8，因为CH2+OH2＝OC2，所以OC2＝8，求得OC＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：连结OC，作OH⊥CD于点H， ∵CD是⊙O的弦， ∴CH＝DH， ∵⊙O的直径AB与弦CD相交于点P， ∴∠CHO＝∠PHO＝90°， ∵∠APC＝45°， ∴∠POH＝90°﹣∠APC＝45°， ∴∠APC＝∠POH， ∴PH＝OH， ∴PC＝CH+PH＝CH+OH，PD＝DH﹣PH＝CH﹣OH， ∵PC2+PD2＝16， ∴（CH+OH）2+（CH﹣OH）2＝16， 整理得CH2+OH2＝8， ∵CH2+OH2＝OC2， ∴OC2＝8， ∴OC＝2或OC＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴⊙O的半径为2， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 42．（2026秋•同步）如图，AB是⊙O的直径，∠C＝35°，求∠BAD的度数． 【考点】圆周角定理． 【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，由圆周角定理得∠B＝∠C＝35°，所以∠BAD＝90°﹣∠B＝55°． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵点C在⊙O上，且∠C＝35°， ∴∠B＝∠C＝35°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°， ∴∠BAD的度数是55°． 【点评】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确理解和应用圆周角定理及其推论是解题的关键． 43．（2026秋•同步）如图，在⊙O中，AB，CD为直径．求证：AD∥BC． 【考点】圆周角定理． 【分析】因为AB、CD都是⊙O的直径，所以OA＝OB，OD＝OC．结合对顶角相等的条件，证明△AOD和△BOC全等．由全等三角形对应角相等，得到内错角相等，根据平行线的判定定理即可证得AD∥BC． 【解答】证明：连接AD、BC． ∵AB、CD都是⊙O的直径， ∴OA＝OB，OD＝OC． 又∵∠AOD＝∠BOC， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴∠OAD＝∠OBC， ∴AD∥BC． 【点评】本题考查圆周角定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 44．（2026秋•同步）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠BAC＝36°，求∠BDC，∠BOC的度数． 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 【分析】利用同弧所对的圆周角相等，以及同弧所对圆周角是圆心角的一半求解． 【解答】解：∵点A，B，C，D在⊙O上，∠BAC＝36°， ∴∠BDC＝∠BAC＝36°， ∵∠BOC是所对的圆心角，∠BAC是所对的圆周角， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×36°＝72°． 答：∠BDC的度数为36°，∠BOC的度数为72°． 【点评】本题考查圆周角定理，正确进行计算是解题关键． 45．（2026秋•同步）判断下列各图中的∠APB是不是圆周角，并说明理由． 【考点】圆周角定理． 【分析】根据圆周角的定义作答即可． 【解答】解：（1）角的边PA与圆没有两个交点，不是圆周角，不符合圆周角定义； （2）角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义； （3）角的顶点在圆上，角的两边与圆相交，是圆周角，符合圆周角定义； （4）角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义． 【点评】本题考查圆周角定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 分清圆、弦、弧、圆心角、圆周角等基本概念 · 圆心角、弧、弦关系成立的前提是同圆或等圆 · 垂径定理常配合勾股定理构造直角三角形 · 圆周角定理注意同弧所对的圆心角与圆周角 · 直径所对圆周角为90°，圆内接四边形对角互补 【作业1】（2026•秦淮区校级模拟）过圆上一点可以作圆的最长弦有（　　）条． A．1 B．2 C．3 D．无数 【考点】圆的认识． 【分析】根据直径为最长弦求解． 【解答】解：过圆上一点的最长弦为过这点的直径． 故选：A． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【作业2】（2024秋•石狮市校级期末）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是 　6cm ． 【考点】圆的认识． 【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦， ∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）． 故答案为：6cm． 【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【作业3】（2026•青秀区校级模拟）剪纸是中国民间广为流传的非遗艺术，“风车”剪纸寓意“一帆风顺、四季平安”．如图为某同学设计的“吉祥风车”剪纸图案，风车的叶片由等腰直角三角形与半圆组合而成，半圆的直径为小的等腰直角三角形的直角边，如图，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），且点A、B分别为大的等腰直角三角形的斜边的中点，点O为风车的中心． 请回答下列问题： （1）在图中画出平面直角坐标系，并写出风车上点C的坐标； （2）求风车图案中半圆的总周长； （3）记在第一象限的风车叶片为第一片叶片，请描述风车的其他三片叶片可以由第一片叶片经过怎样的图形变化得到． 【考点】圆的认识；坐标确定位置；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形． 【分析】（1）根据点A、B的坐标建立直角坐标系即可，再根据三线合一的性质求解即可； （2）根据弧长公式求解即可； （3）根据旋转的性质说明即可． 【解答】解：（1）点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），且点A、B分别为大的等腰直角三角形的斜边的中点，点O为风车的中心． 连接CD，如图， ∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2）， ∴OD＝OB＝2， 由题意得，点D为OE中点，且OD＝OB＝OA＝2， 又∵△OCE为等腰直角三角形， ∴， ∴C（﹣2，﹣2）； （2）根据题意得，△BOF为等腰直角三角形， ∴OF2+BF2＝OB2， ∴， ∴半圆的直径，即半径， ∴半圆的总周长为C＝4×（πr+d） ； （3）第二象限的叶片：将第一片叶片绕原点O逆时针旋转90°得到； 第三象限的叶片：将第一片叶片绕原点O旋转180°得到； 第四象限的叶片：将第一片叶片绕原点O顺时针旋转90°得到． 【点评】本题考查旋转的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 【作业4】（2026•香坊区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，CD＝8，则CE为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】利用垂径定理求解． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E， ∴CE＝DECD＝4． 故选：C． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【作业5】（2025秋•昌都市期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD＝8cm，AB＝10cm，则AE＝　2cm ． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【分析】结合题意，由垂径定理可得AB垂直平分CD，然后在Rt△CEO中运用勾股定理求得OE即可求解． 【解答】解：由题意可知，AB垂直平分CD， ∴， ∵CD＝8cm， ∴， ∵，AB＝10cm， ∴， 在Rt△CEO中，， ∴AE＝OA﹣OE＝2cm． 故答案为：2cm． 【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 【作业6】（2026•泗阳县校级三模）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 　3+2　 ． 【考点】垂径定理；正比例函数的图象；勾股定理． 【分析】作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于E，连接PB，由于OC＝3，PC＝a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE，则PDPE＝2，继而可得答案． 【解答】解：作PC⊥轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图， 由条件可知OC＝3，PC＝a， 把x＝3代入y＝x得y＝3， ∴D点坐标为（3，3）， ∴CD＝3， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， ∴AE＝BEAB， ∴PE， ∴PDPE＝2， ∴a＝3+2． 故答案为：3+2． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键． 【作业7】（2026•鸠江区校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC交⊙O于点D，CE平分∠ACB交AD于点E． （1）若∠DCE＝70°，求∠ABC的度数； （2）若DE＝3，D到弦BC的距离为1，求⊙O半径的长． 【考点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；角平分线的定义；勾股定理． 【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE，结合圆周角定理可证∠CAD＝∠BCD，求出∠CAD+∠ACE＝70°，进而可求出∠ABC的度数； （2）连接OB，OD，OD交于BC点H，先证明DE＝BD＝3，设圆的半径为R，则OH＝R﹣1，BH2＝BD2﹣DH2＝8，然后根据OB2＝BH2+OH2求解即可． 【解答】解：（1）∵CE平分∠ACB，AD平分∠BAC， ∴∠BCE＝∠ACE，∠BAD＝∠CAD， ∵， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴∠CAD＝∠BCD， ∵∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝∠CAD+∠ACE＝70°， ∴∠BAC+∠ACB＝2（∠CAD+∠ACE）＝140°， ∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°； （2）如图，连接OB，OD，OD交于BC点H， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴BD＝CD． ∵∠DEC＝∠CAD+∠ACE，∠DCE＝∠BCD+∠BCE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝CD， ∴DE＝BD＝3． 设圆的半径为R， ∵， ∴OD⊥BC， ∵D到弦BC的距离为1， ∴DH＝1， ∴OH＝R﹣1， 在直角三角形BDH中，由勾股定理得：BH2＝BD2﹣DH2＝8， 在直角三角形BOH中，由勾股定理得：OB2＝BH2+OH2， ∴R2＝8+（R﹣1）2， 解得：， ∴⊙O半径的长为． 【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理与垂径定理． 【作业8】（2026•东港区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DF⊥AB于点E，交⊙O于另一点F．若AC＝12，AE＝3，则⊙O的半径是（　　） A． B． C．6 D．10 【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理． 【分析】先证，进而得出，DF＝AC＝12，由垂径定理得，再用勾股定理解Rt△OEF即可． 【解答】解：∵点D是的中点， ∴， ∵DF⊥AB， ∴， ∴， ∴， ∴DF＝AC＝12， ∵DF⊥AB， ∴， 如图，连接OF，设⊙O的半径为r，设OE＝OA﹣AE＝r﹣3， 在Rt△OEF中，由勾股定理得OE2+EF2＝OF2， ∴（r﹣3）2+62＝r2， 整理得，6r＝45， 解得， 则⊙O的半径是， 故选：A． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【作业9】（2026•滨江区校级一模）如图，⊙O的直径AC＝4，四边形ABCD内接于⊙O．若BD＝CD，AB＝2AD，则AD＝ 　　 ． 【考点】圆心角、弧、弦的关系． 【分析】根据题意，设AD＝x，据此用x分别表示出BD2和CD2，再建立方程即可解决问题． 【解答】解：连接DO并延长，交BC于点M，连接OB， ∵BD＝CD，BO＝OC， ∴DM垂直平分BC． 设AD＝x， 则AB＝2x． 在Rt△ADC中， CD2＝42﹣x2． 在Rt△ABC中， BC， ∴BM， ∴OM， ∴DM＝x+2． 在Rt△DBM中， BD2＝（）2+（x+2）2． ∵BD＝CD， ∴42﹣x2＝（）2+（x+2）2， 解得x（舍负）， ∴AD． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知圆心角、弧、弦的关系及巧用勾股定理是解题的关键． 【作业10】（2025秋•玄武区期末）如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC＝CD． 【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质． 【分析】连接OD，如图，根据平行线的性质得∠1＝∠3，∠2＝∠B，加上∠B＝∠3，则∠1＝∠2，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到，则AC＝CD． 【解答】证明：连接OD，如图， ∵OC∥BD， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴， ∴AC＝CD． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了平行线的性质． 【作业11】（2026秋•同步）已知：如图，在⊙O中，，弦AB与弦CD相交于点P．求证：圆心O到弦AB，CD的距离相等． 【考点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的性质． 【分析】连接OA、OD，作OF⊥AB于点F，OE⊥CD于点E，由推导出，则AB＝CD，由垂径定理得AF＝BFAB，CE＝DECD，则AF＝DE，而OA＝OD，可根据“HL”证明Rt△AOF≌Rt△DOE，得OF＝OE，即可证明圆心O到弦AB，CD的距离相等． 【解答】证明：连接OA、OD，作OF⊥AB于点F，OE⊥CD于点E，则∠OFA＝∠OED＝90°， ∵在⊙O中，， ∴， ∴， ∴AB＝CD， ∵AF＝BFAB，CE＝DECD， ∴AF＝DE， ∵点A、D都在⊙O上， ∴OA＝OD， 在Rt△AOF和Rt△DOE中， ， ∴Rt△AOF≌Rt△DOE（HL）， ∴OF＝OE， ∴圆心O到弦AB，CD的距离相等． 【点评】此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【作业12】（2026•盘龙区校级一模）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（　　） A．21° B．25° C．26° D．27° 【考点】圆周角定理． 【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解∠BOC的度数即可． 【解答】解：在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．连接OC， ∵∠ABC＝19°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝38°， ∵半径OA，OB互相垂直， ∴∠AOB＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°， ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 【作业13】（2026•秦州区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB＝35°，则∠CBA的度数为（　　） A．55° B．50° C．45° D．40° 【考点】圆周角定理． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDB＝∠A＝35°，然后进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CDB＝35°， ∴∠CDB＝∠A＝35°， ∴∠CBA＝90°﹣∠A＝55°， 故选：A． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【作业14】（2026•太和县模拟）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，点E为垂足，∠A＝20°，则∠OBD的度数是　70°　 ． 【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系． 【分析】先根据圆周角定理求出∠BOD的度数， 【解答】解：∵直径AB垂直于弦CD，点E为垂足，∠A＝20°， ∴， ∴∠BOD＝2∠A＝40°， ∵OB＝OD， ∴． 故答案为：70°． 【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知以上知识是解题的关键． 【作业15】（2026•南山区校级三模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，则∠BOC的度数为 　140°　 ． 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系． 【分析】先根据对顶角相等得出∠DEB的度数，再由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵∠AEC＝74°，∠ABD＝36°， ∴∠DEB＝∠AEC＝74°， ∴∠D＝180°﹣∠DEB﹣∠ABD＝180°﹣74°﹣36°＝70°， ∴∠BOC＝2∠D＝2×70°＝140°． 故答案为：140°． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 圆的基本性质 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆、弦、弧、圆心角等基本概念，会确定圆的对称性 · 掌握圆心角与弧、弦的关系并能灵活运用 · 掌握垂径定理及其推论，能解决有关计算与证明 · 掌握圆周角定理及其推论，会求角度与线段 · 能综合运用圆的基本性质解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.3.1 圆的有关概念 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 弦：连接圆上任意两点的线段；直径：经过圆心的弦 弧：圆上任意两点间的部分；优弧、劣弧、半圆 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 圆的对称性：圆是轴对称图形也是中心对称图形 概念辨析例题：如图，在⊙O中，弦的条数是（　　） 解析：根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段），数出图中所有弦的条数即可． ☆ 2.3.2 圆心角 圆心角：顶点在圆心的角 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 同圆或等圆中，弦相等⇔弦所对的优弧相等⇔弦所对的劣弧相等⇔弦所对的圆心角相等 应用：由圆心角相等推弧、弦相等，常用于证明与计算 概念辨析例题：如图，在⊙O中，AC=BD，弦AB与弦CD相交于点P．求证：圆心O到弦AB，CD的距离相等． 解析：由AC=BD可证弧AC=弧BD，进而弧AB=弧CD，故弦AB=弦CD，等弦的弦心距相等． ☆ 3.3.3 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 构造直角三角形：半径、弦心距、半弦长满足勾股定理 常用辅助线：作弦心距、连接圆心与弦的端点 概念辨析例题：如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE为3，求⊙O的半径． 解析：连接OA，由垂径定理AE=AB/2=4，在Rt△OAE中由勾股定理得OA=5． ☆ 4.3.4 圆周角 圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 推论：直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆（直径）所对的圆周角为90°，常用于构造直角三角形 圆内接四边形对角互补 概念辨析例题：如图，AB是⊙O的直径，∠C＝35°，求∠BAD的度数． 解析：由AB是直径得∠ACB=90°，同弧所对圆周角相等，∠BAD=∠BCD，结合已知角求解． 📋 知识总结表 名称 定义 重要性质 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是最长的弦 弧 圆上任意两点间的部分 优弧、劣弧、半圆 圆心角 顶点在圆心的角 相等圆心角→等弧、等弦 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧 结合勾股定理计算 圆周角 顶点在圆上且两边与圆相交的角 等于同弧所对圆心角的一半；直径所对圆周角为90° ⚠️ 核心考点 【考点1：圆的有关概念】 · 圆：到定点距离等于定长的点的集合。 · 弦、直径、弧、圆心角的概念辨析 · 直径是最长的弦，半圆是特殊的弧 · 圆的对称性：轴对称与中心对称 1．（2026春•巨野县期末）如图，在⊙O中，弦的条数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 2．（2026春•南海区校级同步）下列说法中正确的是（　　） A．直径是弦，半径也是弦 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．弦就是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 3．（2025•柳东新区校级开学）画圆时，圆规两脚间的距离是6cm，画出的圆的半径是________ ． 4．（2025秋•云南校级期中）根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点P到定点O的距离始终等于5，则这个圆的半径为_____ ． 5．（2025秋•闽侯县期中）已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 _____ cm． 6．（2026秋•同步）如图，在⊙O中，AD＝BC，请写出图中相等的线段、相等的弧、相等的角． 7．（2026秋•同步）弧长相等的两段弧是等弧吗？并说明理由． 8．（2026•石河子一模）【题目呈现】： 根据以下素材，探索完成任务． 如何确定拱桥形状？ 问题背景 如图，河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是圆弧．为了定量的确定拱桥形状，九年（2）班数学项目化学习小组开展了一次探究活动． 素材一 如图，有一拱桥，桥下水面宽度为24米，拱顶高出水面8米． 素材二 现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱宽10米、高7.5米（竹排与水平面持平，竹排高度忽略不计）． 问题解决 任务一 确定桥拱形状：如图所示一座拱桥，我们可以将桥洞的拱形看作是抛物线的形状，当水面宽AB为24米时，桥洞顶部离水面8米，求相应抛物线的解析式． 任务二 确定桥拱形状：如图所示一座拱桥，我们可以将桥洞的拱形看作是圆弧形，如图所示：圆弧形的拱桥是以O为圆心，AB为水面，OC⊥AB，于点D，交于点C，AB＝24米，CD＝8米．求圆弧形拱桥的半径． 任务三 如图所示一座拱桥，我们可以将桥洞的拱形看作是圆弧形，试判断该竹排顺利通过这座桥吗？ 9．（2026春•虹口区期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛． （1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是_________ 米．（π取3.14） （2）如果按照方案B修，修的花坛的周长是_________ 米．（π取3.14） （3）按照方案B修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（π取3.14） 【考点2：圆心角】 · 圆心角、弧、弦的关系：等圆心角→等弧→等弦。 · 同圆或等圆中三者互相推出 · 由弧相等证弦相等、弦心距相等 · 注意前提：同圆或等圆 10．（2026•五华区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 11．（2025秋•南湖区校级月考）如图，AB是半圆O的直径，∠BOC＝80°，D是弧AC的中点，则∠AOD的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 12．（2026•合江县校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 13．（2025秋•沛县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，若∠AOC＝75°，则的度数是 ________ ． 14．（2025秋•湖南期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为________ ． 15．（2026秋•同步）如图①为某酒店的圆形旋转门，可看成如图②由外围的⊙O和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心O中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心O转动，且所成的夹角∠EOF＝∠FOG＝∠GOE＝120°，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃OF，OG隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为_______ °． 16．（2026•滨湖区校级二模）如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 ________ ． 17．（2026秋•同步）如图，AD，BC是⊙O上的两条弦，AD＝BC，判断AB和CD的长是否相等，并证明你的结论． 18．（2026•成安县模拟）如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 19．（2026秋•同步）在航海中，常用海里（单位：nmile）作为路程的度量单位．把地球看作球体，1nmile近似等于赤道所在的圆中1′的圆心角所对的弧长．已知地球半径（也就是赤道所在圆的半径）约为6370km，1nmile约等于多少米（结果取整数）？ 20．（2025秋•张家口校级期末）如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，AB＝CD． （1）求证：AD＝BC； （2）直接写出AE与CE的数量关系． 【考点3：垂径定理】 · 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。 · 常用辅助线：作弦心距构造直角三角形 · 半径、弦心距、半弦长满足勾股定理 · 平分弦（非直径）的直径垂直于弦 21．（2026•宁波校级开学）线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AE＝2，CD＝6，则⊙O半径长为（　　） A． B．5 C． D． 22．（2026•贺州模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则CD的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D． 23．（2026•碑林区校级三模）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于点E，若AB＝BC＝12，则OC的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 24．（2026•南京一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若AB＝10，CD＝8，则BE＝_____ ． 25．（2026秋•同步）一条弦AB把圆的直径分为3和7两部分，弦和直径相交成60°角，则AB的长为_________________ ． 26．（2026秋•同步）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P，Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M，N分别是弦AB，PQ的中点，则线段MN的长度的取值范围是____________ ． 27．（2025秋•南开区校级期末）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ________________ ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 _________________ ． 28．（2025秋•纳溪区期末）如图，点A、B、D、C都在圆上，AD是⊙O的直径，OB⊥AC交AC于点E． （1）求证：AB＝BC； （2）若AE＝4，CD＝6，求BE． 29．（2026秋•同步）如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？ 30．（2026秋•同步）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE为3．求⊙O的半径． 31．（2026•拱墅区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点P在线段OA上，A，Q两点关于点P对称，过点P作CD⊥AB交⊙O于点C，D，连结CQ并延长交⊙O于点E，连结DE，AC，AD． （1）求证：CQ＝DE； （2）若AB＝6，且OP＝OQ，求CD的长． 【考点4：圆周角】 · 圆周角等于同弧所对圆心角的一半。 · 同弧或等弧所对的圆周角相等 · 直径所对的圆周角是直角 · 圆内接四边形对角互补 32．（2026•岳塘区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠ABC＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 33．（2026•西藏）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠BOC＝140°，则∠ABD的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 34．（2025秋•桥西区期末）如图，AB是⊙O的弦，点C，D都在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠ADB＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．70° 35．（2025秋•通化校级期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上三点，连接AD，CD，CE，EB，若∠CEB＝25°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 36．（2026•山西模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O外的一点，连接CA，CB分别交⊙O于D，E两点，连接DE，DB．若∠CAB＝50°，∠C＝60°，则∠EDB的度数为（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 37．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则AC的长为_____ ． 38．（2026•南岗区校级三模）如图，在扇形OAB中，C为上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为 _______ °． 39．（2025秋•雁塔区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦AC＝6cm，弦BC＝8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BD长是________________ cm． 40．（2026•镇江）如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知∠BCD＝40°，则∠BOD的度数为________ ． 41．（2026秋•玄武区校级作业）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝16，则⊙O的半径为________________ ． 42．（2026秋•同步）如图，AB是⊙O的直径，∠C＝35°，求∠BAD的度数． 43．（2026秋•同步）如图，在⊙O中，AB，CD为直径．求证：AD∥BC． 44．（2026秋•同步）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠BAC＝36°，求∠BDC，∠BOC的度数． 45．（2026秋•同步）判断下列各图中的∠APB是不是圆周角，并说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 分清圆、弦、弧、圆心角、圆周角等基本概念 · 圆心角、弧、弦关系成立的前提是同圆或等圆 · 垂径定理常配合勾股定理构造直角三角形 · 圆周角定理注意同弧所对的圆心角与圆周角 · 直径所对圆周角为90°，圆内接四边形对角互补 【作业1】（2026•秦淮区校级模拟）过圆上一点可以作圆的最长弦有（　　）条． A．1 B．2 C．3 D．无数 【作业2】（2024秋•石狮市校级期末）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是 ________ ． 【作业3】（2026•青秀区校级模拟）剪纸是中国民间广为流传的非遗艺术，“风车”剪纸寓意“一帆风顺、四季平安”．如图为某同学设计的“吉祥风车”剪纸图案，风车的叶片由等腰直角三角形与半圆组合而成，半圆的直径为小的等腰直角三角形的直角边，如图，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），且点A、B分别为大的等腰直角三角形的斜边的中点，点O为风车的中心． 请回答下列问题： （1）在图中画出平面直角坐标系，并写出风车上点C的坐标； （2）求风车图案中半圆的总周长； （3）记在第一象限的风车叶片为第一片叶片，请描述风车的其他三片叶片可以由第一片叶片经过怎样的图形变化得到． 【作业4】（2026•香坊区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，CD＝8，则CE为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【作业5】（2025秋•昌都市期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD＝8cm，AB＝10cm，则AE＝________ ． 【作业6】（2026•泗阳县校级三模）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 __________________ ． 【作业7】（2026•鸠江区校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC交⊙O于点D，CE平分∠ACB交AD于点E． （1）若∠DCE＝70°，求∠ABC的度数； （2）若DE＝3，D到弦BC的距离为1，求⊙O半径的长． 【作业8】（2026•东港区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DF⊥AB于点E，交⊙O于另一点F．若AC＝12，AE＝3，则⊙O的半径是（　　） A． B． C．6 D．10 【作业9】（2026•滨江区校级一模）如图，⊙O的直径AC＝4，四边形ABCD内接于⊙O．若BD＝CD，AB＝2AD，则AD＝ __________________ ． 【作业10】（2025秋•玄武区期末）如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC＝CD． 【作业11】（2026秋•同步）已知：如图，在⊙O中，，弦AB与弦CD相交于点P．求证：圆心O到弦AB，CD的距离相等． 【作业12】（2026•盘龙区校级一模）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（　　） A．21° B．25° C．26° D．27° 【作业13】（2026•秦州区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB＝35°，则∠CBA的度数为（　　） A．55° B．50° C．45° D．40° 【作业14】（2026•太和县模拟）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，点E为垂足，∠A＝20°，则∠OBD的度数是________ ． 【作业15】（2026•南山区校级三模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，∠AEC＝74°，∠ABD＝36°，则∠BOC的度数为 _________ ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $