2.5.2圆与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与圆的五种位置关系，通过“远远相望”等生活化情境引入，结合温故直线与圆位置关系，搭建从直观到抽象的学习支架，帮助学生理解外离、外切等概念及几何与代数判定方法。 其特色在于以数学眼光观察现实情境，用“相处方式”比喻降低抽象难度，通过几何与代数判定对比培养数学思维，例3求公共弦方程及表格总结体现数学语言的精确。学生能提升直观想象与逻辑推理能力，教师可借助分层例题与练习高效教学。

圆与圆的位置关系 2.5.2 圆与圆的位置关系 · 新授课 人教A版 选择性必修第一册 · 第二章 直线和圆的方程 手拉手、碰指尖、相拥抱——两个圆的五种相处方式 外离 · 外切 · 相交 · 内切 · 内含 开场：由两个圆小人的趣味插画引入圆与圆的五种位置关系。 学习目标 第 2 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 1 理解圆与圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含 2 掌握几何判定：圆心距 d 与 +、|−| 比较 3 掌握代数判定：两圆方程联立，用判别式判断公共点个数 4 会求两圆的公共弦所在直线方程及公共弦长 明确本课四个学习目标，课堂小结与这里呼应。 情境引入 · 两个圆的相处之道 第 3 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 两个圆放在一起，会“相处”出几种关系？ 远远相望、指尖轻碰、热情相拥、 大圆护着小圆、小圆藏进大圆怀里…… 想一想 这些“相处状态”对应圆与圆的 哪些位置关系？公共点个数如何？ 图：两个圆小人的五种相处状态 由趣味插画引入圆与圆的五种位置关系，贴近生活、激发兴趣。 温故 · 圆与圆的五种位置关系 第 4 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 两个圆的位置关系，由圆心距 d 与半径 、 的关系决定： 外离 没有公共点 外切 1 个公共点 相交 2 个公共点 内切 1 个公共点 内含 没有公共点 公共点个数：外离 0、外切 1、相交 2、内切 1、内含 0。 想一想：怎么用“数”精确区分这五种关系？ 温故：从公共点个数直观认识五种位置关系，追问引出定量判定。 新知一 · 几何判定（d 与半径和差） 第 5 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 设两圆圆心距为 d，半径分别为 、（不妨 ≥ ）： 外离 d > + 外切 d = + 相交 | − | < d < + 内切 d = | − | 内含 0 ≤ d < | − | 几何判定：圆心距与两半径之和、差的比较，是判断两圆位置关系的主要方法。 新知二 · 代数判定与公共弦 第 6 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 联立两圆方程，消去 、（两式相减）得一条直线方程， 再代入一个圆方程，用判别式判断公共点个数。 Δ > 0 两圆相交，有两个公共点 Δ = 0 两圆相切（外切或内切），有一个公共点 Δ < 0 两圆无公共点（外离或内含） 两圆方程相减所得直线，恰为两圆公共弦所在直线（相交时）。 代数判定：两式相减消去二次项得到公共弦方程，再用判别式定公共点个数。 位置关系一览 第 7 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 圆心距 d 与半径 ≥ 的关系一览： 外离 d > + 公共点：0 个 外切 d = + 公共点：1 个 相交 | − | < d < + 公共点：2 个 内切 d = | − | 公共点：1 个 内含 0 ≤ d < | − | 公共点：0 个 一览表：五种位置关系、判定条件与公共点个数对照，便于记忆。 例 1 · 判断两圆的位置关系 第 8 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 例 1 已知圆 ： + + 2x + 8y − 8 = 0 和圆 ： + − 4x − 4y − 2 = 0， 试判断圆 与圆 的位置关系。 答案：圆 与圆 相交。 两圆相交示意 例1：教材例题。化标准方程求圆心半径，比较圆心距与半径和差。 例 1 · 解析（几何判定） 第 9 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 ：(x + 1 + (y + 4 = 25，圆心 (−1, −4)， = 5； ：(x − 2 + (y − 2 = 10，圆心 (2, 2)， = √10； 圆心距 d = = √45 = 3√5； + = 5 + √10 ≈ 8.16，| − | = 5 − √10 ≈ 1.84； 因为 | − | < d < + ， 所以圆 与圆 相交。 解析：标准方程求圆心半径，用 |r₁−r₂| < d < r₁+r₂ 判断相交。 例 2 · 判断两圆的位置关系 第 10 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 例 2 已知圆 ： + − 6x + 4y + 12 = 0 和圆 ： + − 14x − 2y + 14 = 0， 试判断圆 与圆 的位置关系。 答案：圆 与圆 内切。 两圆内切示意 例2：教材例题。两圆内切，圆心距等于半径之差。 例 2 · 解析（几何判定） 第 11 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 ：(x − 3 + (y + 2 = 1，圆心 (3, −2)， = 1； ：(x − 7 + (y − 1 = 36，圆心 (7, 1)， = 6； 圆心距 d = = √25 = 5； | − | = 6 − 1 = 5。 因为 d = | − |， 所以圆 与圆 内切。 解析：圆心距等于两半径之差，两圆内切（小圆在大圆内部相切）。 例 3 · 公共弦方程与公共弦长 第 12 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 例 3 已知圆 ： + − 10x − 10y = 0 与圆 ： + + 6x + 2y − 40 = 0 相交于 A、B 两点， 求直线 AB 的方程，并求公共弦长 |AB|。 答案：AB：4x + 3y − 10 = 0，公共弦长 |AB| = 10。 两圆相交与公共弦 例3：两圆方程相减得公共弦方程，再用弦长公式求公共弦长。 例 3 · 解析（公共弦） 第 13 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 两圆方程相减：16x + 12y − 40 = 0，即 4x + 3y − 10 = 0； 直线 AB 的方程为 4x + 3y − 10 = 0； ：(x − 5 + (y − 5 = 50，圆心 (5, 5)，r = 5√2； 圆心到 AB 的距离 d = = 5； 公共弦长 |AB| = 2 = 2 = 10。 答案：AB：4x + 3y − 10 = 0，|AB| = 10。 解析：相减得公共弦方程，取一圆求圆心到弦距离，用弦长公式求解。 思考 · 代数法的局限 第 14 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 思考 联立两圆方程消元，用判别式 Δ 能区分“外切与内切”“外离与内含”吗？ 答案：不能。Δ = 0 时可能外切也可能内切，Δ < 0 时可能外离也可能内含， 必须再结合圆心距与半径和差的关系进一步判断。 思考：代数法只能判断公共点个数，不能区分相切类型，需几何判定补充。 练习 1 第 15 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 练习 1 判断圆 (x + 2 + (y − 2 = 1 与圆 (x − 2 + (y − 5 = 16 的位置关系。 答案：外切。（d = 5 = + = 1 + 4） 练习1：圆心距等于两半径之和，两圆外切。 练习 2 第 16 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 练习 2 判断圆 + = 1 与圆 + − 6x + 8y = 0 的位置关系。 答案：相交。（d = 5，| − | = 4 < 5 < 6 = + ） 练习2：圆心距介于半径差与和之间，两圆相交。 练习 3 第 17 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 练习 3 判断圆 + − 2x = 0 与圆 + − 2y = 0 的位置关系。 答案：相交。（d = √2，0 < √2 < 2 = + ） 练习3：两等圆圆心距小于直径，相交。 练习 4 第 18 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 练习 4 圆 + = （r > 0）与圆 (x − 3 + = 1 外切，求 r 的值。 答案：r = 2。（d = 3 = r + 1） 练习4：外切条件 d = r₁ + r₂，解方程求 r。 思考 1 第 19 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 思考 1 两圆相交时，公共弦所在直线方程如何快速求出？ 答案：两圆方程直接相减，消去 、 项，所得一次方程即为公共弦所在直线方程。 思考1：公共弦方程由两圆方程相减得到，是“两圆相减”技巧的核心。 思考 2 第 20 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 思考 2 内含与同心圆有何关系？内含时圆心距 d 的取值范围是什么？ 答案：内含时 0 ≤ d < | − |；当 d = 0 时两圆同心，是内含的特殊情形。 思考2：内含包含同心圆情形，圆心距范围 0 ≤ d < |r₁−r₂|。 拓展思维 1 第 21 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 拓展 1 圆 ： + = 1 与圆 ：(x − a + = 4 相交，求实数 a 的取值范围。 答案：1 < |a| < 3，即 −3 < a < −1 或 1 < a < 3。 （相交：| − | = 1 < d = |a| < + = 3） 拓展1：相交条件转化为关于参数 a 的不等式组，注意绝对值。 拓展思维 2 第 22 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 拓展 2 圆 ： + = 4 与圆 ：(x − 1 + (y − 1 = （r > 0）内切，求 r 的值。 答案：r = 2 + √2 或 r = 2 − √2。 （内切：d = √2 = |r − 2|） 拓展2：内切条件 |r₁−r₂| = d，注意 r > 0 的取舍，两种内切位置均成立。 方法总结 第 23 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 1 几何判定 比较 d 与 +、|−| 五类位置关系一目了然 2 代数判定 两圆方程联立看 Δ 只判公共点个数 3 公共弦 两圆方程相减得直线方程 弦长公式求公共弦长 核心思想：几何法为主、代数法为辅，两法结合、灵活运用。 总结三种工具，强调几何判定为主，代数与公共弦方法为辅。 课堂小结 第 24 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 1 五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含 2 几何判定：d 与 + 、| − | 比较 3 代数判定：联立方程组，看判别式 Δ（不能区分切与含） 4 公共弦：两圆方程相减，得公共弦所在直线方程 两个圆，五种关系，一段距离说清——解析几何的“距离智慧”。 课堂小结：梳理五种位置关系与判定方法，为后续圆锥曲线学习作铺垫。 课后作业 第 25 页 选择性必修第一册 · 2.5.2 圆与圆的位置关系 1 判断圆 + − 2x + 2y − 2 = 0 与圆 + + 2x − 6y + 6 = 0 的位置关系 2 判断圆 + = 4 与圆 + − 6x + 8y = 0 的位置关系 3 圆 ： + = 1 与圆 ：(x − 2 + = （r > 0）相切，求 r 的值 4 求圆 + − 2x − 4y = 0 与圆 + − 4x − 2y = 0 的公共弦所在直线方程 5 圆 + = 1 与圆 (x − 3 + (y − 4 = （r > 0）外离，求 r 的取值范围 6 圆 ：(x + 1 + (y − 1 = 4 与圆 ：(x − 2 + (y − 1 = （r > 0）内切，求 r 的值 答案 1. 外离 2. 相交 3. r = 1 或 r = 3 4. x − y = 0 5. 0 < r < 4 6. r = 5 作业：位置判断、相切参数、公共弦方程，难度递进；答案逐题附上。 圆与圆的位置关系 一“距”看尽五态：外离、外切、相交、内切、内含； 两圆相减出弦方程，公共弦长一线牵。 结束页：总结本课核心，呼应开场两个圆小人的情境。 $