2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2 圆与圆的位置关系(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，涵盖外离、外切等五种关系的判断方法及公共弦、综合应用等内容。课前预习通过诊断分析衔接直线与圆知识，课中以三个探究点为支架，逐步深化知识理解。 其亮点在于结合数学思维与数学语言，通过实例如公共弦方程推导、轨迹问题求解，培养学生几何直观与推理能力。素养小结提炼方法，助力学生系统掌握，教师可借助结构化内容提升教学效率。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 1 2.5.2 圆与圆的位置关系 2 探究点一 两圆位置关系的判断及应用 探究点二 两圆公共弦问题 探究点三 圆与圆的位置关系的综合问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能描述圆与圆的位置关系. 2.能根据给定两圆的方程判断两个圆的位置关系. 4 知识点 圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系主要包括:外离、______、______、______和内含. 2.两圆的位置关系的判断： 外切 相交 内切 （1）代数法：已知圆 ，圆 ， 由 消元后得到一元二次方程（若得到的 是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断），计算判别式 的值，按下表中判断标准进行判断. （2）几何法：两圆的半径分别为，，计算两圆的圆心距 ，按 下表中判断标准进行判断. 课 前 预 习 5 （3）判断标准： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公共点个 数 0 1 2 1 0 的值 ______ ______ 与 ， 的关系 _________ ___________ ___________ _______ _______ 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两圆的方程联立,若方程组有两个不同的解,则两圆相交.( ) √ [解析] 由两圆相交的概念知结论正确. （2）若两个圆没有公共点,则两圆一定外离.( ) × [解析] 若两个圆没有公共点,则这两个圆可能外离也可能内含,故结论 不正确. 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立.( ) × [解析] 若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,但反之不成立，若两 圆有且只有一个公共点,则两圆可能外切也可能内切,故结论不正确. （4）当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆一定外离.( ) × [解析] 当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆外离或内含，故结论 不正确. 课 前 预 习 8 探究点一 两圆位置关系的判断及应用 例1（1）已知圆 ，圆 ，则圆与圆 的位置关系为( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 [解析] 由题意可得圆的圆心为,半径，圆 的圆心 为,半径，所以 ， ，所以 ，所以两圆内切，故选D. √ 课 中 探 究 9 （2）圆和圆内含，则 的取值范围是________. [解析] 圆的圆心为 ，半径为3，圆 的圆心为，半径为 ，所以两圆的圆心距为3. 因为两圆内含，所以，解得或（舍去），故 的取值范围是 . 课 中 探 究 10 变式（1）若圆与圆 外切，则实数 的值为( ) A. B.1 C.1或4 D.4 [解析] 圆的方程可化为,所以 ，则两圆的 圆心分别为,. 设圆,的半径分别为,,则 ,， 所以，可得 .故选D. √ 课 中 探 究 11 （2）已知圆 与圆 恰有两条公切线，则实数 的取值范 围是__________． [解析] 易知圆的圆心为,半径为 ，由 ，得 ，所以圆 的圆心为，半径为. 因为圆与圆 恰有两条公切线，所以圆与圆相交， 所以 ， 又，所以可得 ， 即的取值范围是 . 课 中 探 究 12 探究点二 两圆公共弦问题 例2（1）[2026·广州高二期中]圆 与圆 的公共弦的长为( ) A. B. C. D. [解析] 由 得两圆公共弦所在直线的方程为. 圆心 到直线的距离 ， 所以公共弦的长为 .故选A. √ 课 中 探 究 13 （2）已知圆与圆 的公共弦经过点 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题得 ，两圆的公共弦所在直线的方程为 ，即 ， 又公共弦经过点，所以，解得 .故选B. √ 课 中 探 究 14 变式 [2026·菏泽高二期中] 已知圆 ， 圆 . （1）证明：圆与圆 相交； 证明：圆的标准方程为 ，所以圆心为 ，半径 ； 圆的标准方程为，所以圆心为 ， 半径 . 两圆的圆心距， ， ，所以圆与圆 相交. 课 中 探 究 15 变式 [2026·菏泽高二期中] 已知圆 ， 圆 . （2）求圆与圆 的公共弦所在直线的方程； 解：由（1）知，圆与圆 相交， 所以将圆与圆 的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为 ，化简得 . 课 中 探 究 16 变式 [2026·菏泽高二期中] 已知圆 ， 圆 . （3）求公共弦长. 解：圆心到直线的距离为，圆的半径 ， 此时弦长为，即公共弦长为 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 解决两圆公共弦问题的方法如下: （1）当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程; （2）在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利 用勾股定理可求弦长; （3）根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线 的方程. 课 中 探 究 18 探究点三 圆与圆的位置关系的综合问题 例3（1）若圆与直线 相切，且与圆 相切于点，则圆 的标准方程为___________ __________________________. 或 课 中 探 究 19 [解析] 设圆的半径为，圆心到直线 的距 离为. 由题知两圆心所在的直线过点 ，因为圆的圆心 为，半径为1，所以圆的圆心在 轴上. 若两圆内切，则，由题意可得 ， 所以，所以圆的标准方程为 ； 若两圆外切，则，由题意可得， 所以 ，所以圆的标准方程为. 综上，圆 的标准方程为或 . 课 中 探 究 20 （2）已知圆与两圆, 均外 切，求圆 的圆心的轨迹方程. 解：由题意，知圆和的半径都为1，圆心分别为 , . 由题意得，可知圆心的轨迹是线段 的垂直平分线， 又因为线段的中点坐标为，直线 的斜率不存在，所 以圆的圆心的轨迹方程为 . 课 中 探 究 21 变式 已知圆，圆，求圆 与圆的公切线的交点 的坐标，并求公切线方程. 解：如图所示，因为 ， ， 所以圆和圆 相交. 因为到直线的距离为1，到直线 的 距离为3， 所以直线 为两圆的一条公切线. 课 中 探 究 22 因为，所以直线的方程为 ， 由解得即 . 易知另一条公切线的斜率存在，设另一条公切线的 方程为，即 ， 由到直线 的距离 ，解得 ， 所以另一条公切线的方程为 . 综上，，公切线方程为 和 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 1.圆与圆的位置关系的综合问题常见的类型有公切线问题、公共弦问 题、轨迹问题等,要注意利用图形的几何性质优化思路、减少运算量. 2.圆与圆的位置关系问题有时需要通过建立适当的平面直角坐标系， 求得满足条件的动点的轨迹方程，从而得到动点的轨迹，通过研究它 的轨迹方程与圆的方程的关系，判断所得的轨迹与圆的位置关系． 课 中 探 究 24 拓展 （多选题）在平面直角坐标系中，已知点, ，圆 .若圆上存在点，使得 ， 则实数 的值可能是( ) A. B.0 C.2 D.4 √ √ 课 中 探 究 25 [解析] 设，则由 得 ，整理得 ， 所以点的轨迹是以为圆心，半径 的圆. 圆的圆心为，半径，由题知圆与圆 有公共点，所以，即 ,即 ，其中 恒成立，由 得,即 ，即 ,所以，故选 . 课 中 探 究 26 课后习题 27 1.[2026·厦门一中高二期中]已知圆 ，圆 ，则两圆的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 [解析] 根据题意，圆的圆心为，半径 ， 圆的标准方程为 ，其圆心 为，半径，则 ， ， ， 因为 ，所以两圆相交.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 2.圆与圆 的公切 线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 由可得 ， 所以两圆的圆心分别为,. 设两圆的半径分别为, ，则 ，又圆心距 ，所以两圆外切，则公 切线的条数为3，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 3.已知圆的方程为，圆的方程为 ， 如果这两个圆有且只有一个公共点，那么 的所有取值构成的集合是 ( ) A.， B.， C.，，3， D.，，3， [解析] 因为两圆有且只有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆内切时，，当两圆外切时， ， 所以实数的取值集合是，，3， ．故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 4.已知半径为1的动圆与圆 相切，则动圆圆 心的轨迹方程是( ) A. B.或 C. D.或 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 [解析] 设动圆圆心的坐标为 ，若动圆与圆 外切，则 ，所 以； 若动圆与圆 内切，则 ，所以 . 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 5.圆 和圆 的公共弦长是( ) A.4 B.5 C.8 D.10 [解析] 由得 ， 则圆心为，半径 ， 由圆 和圆 的方程相减可得公共弦所在直线 的方程为，即，由圆心 到公共弦的距离 ，可得公共弦长为 ，故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 6.（多选题）点在圆上，点 在圆 上，则( ) A.两个圆的公切线有2条 B.的取值范围为 C.两个圆上任意一点关于直线 的对称点仍在该圆上 D.两个圆的公共弦所在直线的方程为 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 易知圆的圆心为，半径 ，将 化为，可知圆 的圆心为，半径 . 对于A，两圆的圆心距 ，所以两圆外离，所以两个 圆的公切线有4条,故A错误； 对于B，易知的最小值为 ，最大值为 ，所以的取值范围为 ，故B正确； 对于C，显然两圆的圆心，都在直线 上， 因此直线为圆的对称轴，也为圆 的对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 7.写出一个同时满足条件①②的圆的方程： ______________________________________. ①与圆相切；②与 轴相切. （答案不唯一） [解析] 由条件②可设圆的方程为 ， 由条件①可得，整理可得，令 , ，则圆的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 8.[2026·河北强基联盟高二期中] 已知圆 与圆 没有公共点，则 的取值范围是_______ ________. [解析] 圆的圆心为，半径为，圆 的圆心为 ，半径为1，则 . 因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含. 若外离，则解得；若内含，则解得 .综上，的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 9.（13分）已知圆 ，圆 . 解：将两圆的方程化为标准方程,得圆 ， 圆 ， 则圆的圆心为，半径，圆的圆心为 ，半径 . （1）当取何值时，圆和圆 外切？ 若两圆外切，则 ， 即，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 9.（13分）已知圆 ，圆 . （2）当取何值时，圆和圆 内切？ 解： 若两圆内切，则 ， 即，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 10.[2026·南京高二期中]若圆上存在点 ， 其关于轴的对称点在圆上，则 的取值 范围为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 [解析] 由题意知，圆关于 轴的对称圆为圆 ，根据题意，圆与圆有交点， 又圆 与圆的圆心距，所以 ，解得 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在平面直角坐标系中，与点距离为1，且与点 距 离为2的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 [解析] 与点距离为1的直线可看作以 为圆心，1为半 径的圆的切线，与点距离为2的直线可看作以 为圆心， 2为半径的圆的切线，故所求直线为两圆的公切线， 又 ，故两圆外离，所以公切线有4条， 故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 12.（多选题）已知圆 ，圆 ，则下列说法正确的是( ) A.圆， 恒有公共点 B.圆， 至多有三条公切线 C.若圆平分圆的周长，则 D.若圆平分圆的周长，则 的最小值为9 [解析] 圆的圆心为，半径 ， 圆的圆心为 ，半径 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 对于A，圆和圆都一定过原点，则圆， 恒有公共点， 故A正确； 对于B，由选项A可得两圆一定不外离，所以至多有三条公切线， 故B正确; 对于C，若圆平分圆 的周长，则两圆的公共弦必过， 由 两式作差可得， 所以 ，即，故C不正确; 对于D，由C可得 ，即，所以 ，当且仅当时取等号，故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知圆 的圆心在第一象限，且圆心到两坐标轴的距离相等，若 圆经过坐标原点且与圆相交于 ， 两点，，则圆 的方程为_____________________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 由题可设，，因为圆经过坐标原点，所以圆 的半径为，则圆的方程为 ，即 ，与圆的方程相减，化简可得直线 的 方程为. 圆 的标准方程为，则其圆心为， 半径 . 设到直线的距离为 ，则 ，可得 . 由点到直线的距离公式得，整理得 ，可得，故圆的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 14.（15分）[2026·盐城六校联盟高二联考] 已知圆 与圆 . （1）若，且圆与圆有两个不同的交点，，求直线 的 方程； 解：当时，因为圆心距，且 ，所 以圆与圆相交，由 两式相减得，所以直线 的方程是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 14.（15分）[2026·盐城六校联盟高二联考] 已知圆 与圆 . （2）若，求圆与圆 的公切线方程. 解：当时，，即圆与圆 外 切，则圆与圆有3条公切线，, ，如图， 显然公切线的斜率存在，设公切线方程为 ，则 整理得 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 或 解得 解得或 因此公切线的方程为 ， 即 ， 公切线的方程为， 公切线的方程为 ，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.点是圆上任意一点， 为圆 的弦，且，为的中点，则 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 [解析] 圆的圆心为，半径 ，圆 的圆心为,半径 . 由弦长公式知，，可得， 所以点在以 为圆心，1为半径的圆上，易知 的最小值为 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 16.（15分）已知点为圆上的动点，点 ， 点是线段的中点，点的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； 解：设，由点，点是线段 的中点可得 ， 因为点在圆上，所以 ， 整理可得 ， 即曲线的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 16.（15分）已知点为圆上的动点，点 ， 点是线段的中点，点的轨迹为曲线 . （2）若，且曲线上存在点，使得，求 的取 值范围. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 解：设，因为 ，所以 ，整理得 . 由题意知圆与圆 有公共点，所以 ，解得 ， 所以的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 $