广东高二数学上学期课时作业（人教A版选择性必修第一册第一章第一节空间向量及其线性运算）

高中数学同步作业设计专题：空间向量及其运算 专题信息 学校名称 广东汕头华侨中学 设计者 黄婕娜 学段学科 高中数学 章节主题 选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 教材版本 2019年新课标人教A版 预估课时 2课时 适用年级 高二 作业类型 课后作业 内容与学情分析 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2025年修订）》，本节内容的核心是通过已学过的平面向量利用类比来学习空间向量的概念和运算，初步运用空间向量的方法研究空间几何图形的位置关系和度量关系，如长度，垂直关系和异面直线所成的角.体会向量方法和综合几何方法的共性与差异，感悟向量是研究几何问题的有效工具.在教学过程中，将空间点线面的位置关系转化为向量关系，渗透数形结合、转化与化归等数学思想. 学生在高一已经学习平面向量和立体几何初步，掌握平面向量线性运算、数量积、坐标运算；理解空间中点线面位置关系，会用几何法证明平行、垂直，了解异面直线所成的角、二面角等概念；具备一定几何识图能力，能进行基础代数运算，有几何法证明立体几何题的解题经验. 部分学生在接下来的学习中可能会出现以下的问题：第一，缺乏迁移能力，在平面向量到空间向量的类比学习中会出现障碍；第二，运算能力较弱，容易在向量运算中出现错误. 作业目标 1.巩固学生对空间向量基本概念和运算规则的掌握，夯实向量工具基础，提升学生数学运算的核心素养； 2.培养学生运用空间向量解决常规立体几何综合题的能力，落实向量工具性.能把空间几何中的模长、垂直、异面直线所成的角等问题转化为向量运算，提升学生的空间想象和逻辑推理的核心素养； 3.引导学生对比几何法与向量法各自优劣，选择合适解题路径，发展学生的批判性思维； 4.对接新高考立体几何综合题，结合动点问题或翻折问题，培养学生综合探究能力和发展创新思维. 设计理念 本次作业落实新课标 “单元整体教学” 理念，紧扣新高考立体几何命题特点，以几何直观为基础，向量运算为工具，多方法融合，重视思维与运算双重考查.设计理念具体有以下几个方面: 第一，深耕教材习题，摒弃教辅盲从.作业题多数选自教材习题和高考真题，并结合本课时学习目标对题目进行改编，控制作业量和完成时长； 第二，落实作业分层，实现减负提质.采用基础巩固—综合应用—拓展提升三级模块，基础巩固适合全体学生完成，综合应用适合中上层学生（界定标准即考试成绩在全级平均分之上），拓展提升适合尖子生（界定标准即考试成绩在全级前50名）.分层作业给出各层次界定标准，避免一些学生自我认识不足导致作业的不适配，控制作业总时长，减少重复机械计算，精选典型题，实现少而精. 第三，对标高考趋势，融合一题多解.新高考立体几何解答题常 “一题两法”，几何推理或空间向量.作业设计有意识兼顾两种思路，引导学生对比方法优劣，强化“先直观分析，再代数运算”的解题习惯. 第四，梳理解答思路，做好解题示范.命题教师会先将题目答案手写再利用扫描全能王转化为word，严格按照答题格式来表述，并且与授课教师的思维表述同步，学生在阅读答案更容易找出错因. 第五，强化过程评价，融合自评师评.通过学生自评，教师能了解学生完成作业的情况，并督促学生对错题复盘，形成“解题—反思—归纳”闭环，实现从解题训练走向素养发展.（每个课时附有评价表） 第1课时 1.1.1空间向量及其线性运算 作业预估总时长 20-35分钟 命题人 黄婕娜 【基础巩固】 1．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A．3　 　　B．2　　 　C．　 　　D．1 【进阶要求】试画出平行六面体，标出题目中所涉及的向量。 【答案】C　[＝x＋y＋z＝x()＋y()＋z() ＝(x＋y)＋(y＋z)＋(z＋x)，而＝， 所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，所以x＋y＋z＝．故选C．] 【评价】重点检查学生平行六面体中的虚实线，培优学生的空间感 2．如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式， 并在图中标出化简结果的向量； （1） ；        （2）；（3）． 【答案】（1）； （2）； （3）. 3．如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求 下列各式中x，y的值： （1）     （2） （3） 【答案】（1），所以； （2），所以； （3）,所以. 【变式】在正方体中找出的相等向量，在图中标出并说明起点终点的位置。 【设计意图】第1题改编自教材P10习题1.1第5题，意在让学生巩固对平行六面体的认识，而第2题和第3题选自教材P5第4，5题，意在学生熟悉空间向量线性运算，为接下来空间向量基本定理的学习做铺垫. 作业对象 预计时长 预估难度 全体学生 20分钟 0.8 【综合应用】 4.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， 用向量法证明：E，F，G，H四点共面. 【答案】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA、 的中点，，于是得：，即共面，它们有公共点E，所以E，F，G，H四点共面. 【设计意图】第4题选自教材P10第6题，意在让学生回顾高一学习的四点共面的证明方法，结合所学向量知识区证明.本题有两种解法，法1：利用平面向量基本定理证明（见上），法2：:利用向量证明EF与GH平行，再利用基本事实2的推论来证明四点共面. 作业对象 预计时长 预估难度 中上层学生 5分钟 0.6 【拓展提升】 5.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时,的周长为定值 B．当时,三棱锥的体积为定值 C．当时,有且仅有一个点，使得 D．当时,有且仅有一个点,使得平面 【提示】试画出正三棱柱并标出对应的向量，结合图象并找出所给参数和的点P对应的位置 【答案】BD 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，因为均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．因为平面,根据图象的变化趋势，只有点N满足，故D正确． 【变身命题人】尝试给出不同的参数，研究点P的位置和满足的几何关系，如体积，平行关系，垂直关系 给这道高考题设计选项E,并附上解析。 工具1：可利用GeoGebra软件感受点P的轨迹 工具2：可利用国家中小学智慧平台中的“九章数学举一反三”的功能 【设计意图】第5题选自2021年新高考全国Ⅰ卷高考真题，旨在让有能力的学生感受满足的动点P的轨迹，想象动态的变化过程，拓宽他们的空间想象能力，提升数学抽象与空间想象的核心素养.设置“变身命题人”环节引导尖子生利用GeoGebra软件和AI工具对这道题进行二次创作，通过角色转换，由做题人转变为命题人，更好地体会这道题的情境，在此过程中提升学生的信息素养和创新能力。 作业对象 预计时长 预估难度 尖子培优生 10分钟 0.4 作业评价 学生自评 教师评价 题号 等级 评价原则 A:自主完成题目，答案正确； B:自主完成题目，答案错误，阅读答案已明白错误点并更正； C:自主完成题目，答案错误，阅读答案仍找不出错因； D:完全看不懂题目. 题号 等级 评价原则 A:答案正确； B:答案错误，但错误点已更正并写明错因； C:答案错误，只有更正； D:没有更正. 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 第2课时 1.1.2空间向量的数量积运算 作业预估总时长 30-45分钟 命题人 黄婕娜 【基础巩固】 1．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB， AD，DC的中点．求： （1） ；（2） ； （3） （4）；（5）； （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） （1）；（2）；（3）； （4），则BD与BC所成角就是EF与BC所成角，又，； （5），则AC与AB所成角就是FG与BA所成角，； （6）取BD中点M，连接AM，CM，则，，平面ACM， 又平面ACM，，，，又，，， 可知， 2．如图，在平行六面体中，，， ，，．求： （1）；    （2）的长；    （3）的长． 【答案】（1）； （2）， ，； （3）， ，. 3.如图，正方体（1）求和的夹角；（2）求证． 试利用向量法解决这道题.除了向量法，想想还有没有其他方法？ 【思考】比较两种方法，哪种方法更适合解决这道题？ 【答案】【解法1】在正方体中，设棱长为a，则， （1） ，故和的夹角为 （2）因为，所以. 所以 【解法2】（1）联结，，则，和的夹角即和的夹角， 在正方体中，设棱长为a，则， 则是等边三角形，即，故和的夹角为 （2）联结，则，又平面，平面， 则，又故平面，又平面， 所以 【设计意图】3道题有意识地选取三个不同的空间几何体：第1题选自教材P9习题1.1第4题，意在让学生巩固对四面体的认识，熟悉数量积的求解过程，重点引导学生意识到两向量的夹角需要同起点，而第2，3题分别选自教材P9练习3和P10习题1.1第7题，意在学生能利用所学向量的数量积元素去解决模长，异面直线所成的角，垂直的问题，所选的几何体分别是平行六面体和正方体.第3题在利用向量法的同时，拓展学生思维，回顾上学期学习的立体几何定理，尝试一题多解. 作业对象 预计时长 预估难度 全体学生 30分钟 0.7 【综合应用】 4.【一题多解】在正三棱柱中，若，求与所成的角的大小. 【思考】比较两种方法，哪种方法更适合解决这道题？ 【答案】【解法1】在正三棱柱中，设，则， 因为，则；，则； 故和的夹角为 【解法2】如图：取BC的中点M，连接AM，B1M，设，则，， 在中，，在中，， 所以，所以，所以， 因为三棱柱是正三棱柱，所以面，面， 所以，因为是等边三角形，所以， 因为，所以面，因为面，所以， 因为，所以面，因为面，所以， 所以与所成的角的大小是， 5.【一题多解】如图，线段AB，BD在平面内，，，且，， ．求C，D两点间的距离． 【思考】比较两种方法，哪种方法更适合解决这道题？ 【答案】【解法1】如图，因为，所以，, 则所以. 因为, 则 即C，D两点间的距离为. 【解法2】连接，，， ，，，，， 即C，D两点间的距离为. 【设计意图】第4题改编自教材P8练习1，原题是选择题，改编意在巩固用向量法解决问题的规范解答，本题没有给出图形，意在让学生通过画图提升空间想象能力，培养直观想象的核心素养.本题有两种解法，利用向量法或异面直线的角的定义来解决问题.第5题改编自教材P9练习4，培养学生在不同情境下解决问题的迁移能力. 作业对象 预计时长 预估难度 中上层学生 10分钟 0.6 【拓展提升】 6.（课本第10页习题1.1第9题） 如图，空间四边形中，.求证：. 【答案】∵，∴.∵，∴. ∴①同理:由得② 由①－②得∴，∴，∴. 【设计意图】第6题选自教材P10习题1.1第9题，旨在让学生在不同的几何体中尝试利用向量法解决问题，体会向量法的实用性，拓宽他们的空间想象能力，提升数学抽象与空间想象的核心素养. 作业对象 预计时长 预估难度 尖子培优生 5分钟 0.5 作业评价 学生自评 教师评价 题号 等级 评价原则 A:自主完成题目，答案正确； B:自主完成题目，答案错误， 阅读答案已明白错误点并更正； C:自主完成题目，答案错误， 阅读答案仍找不出错因； D:完全看不懂题目. 题号 等级 评价原则 A:答案正确； B:答案错误，但错误点已更正并写明错因； C:答案错误，只有更正； D:没有更正. 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学同步作业设计专题：空间向量及其运算 第1课时 1.1.1空间向量及其线性运算 作业预估总时长 20-35分钟 命题人 黄婕娜 【基础巩固】 作业对象 全体学生 预计时长 20分钟 1．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A．3　 　　B．2　　 　C．　 　　D．1 【进阶要求】试画出平行六面体，标出题目中所涉及的向量。 2．如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式， 并在图中标出化简结果的向量； （1）；        （2）； （3）． 3．如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求 下列各式中x，y的值： （1）  （2） （3） 【变式】在正方体中找出的相等向量，在图中标出并说明起点终点的位置。 【综合应用】 作业对象 中上层学生 预计时长 5分钟 4.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， 用向量法证明：E，F，G，H四点共面. 【拓展提升】 作业对象 尖子培优生 预计时长 10分钟 5.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时,的周长为定值 B．当时,三棱锥的体积为定值 C．当时,有且仅有一个点，使得 D．当时,有且仅有一个点,使得平面 【提示】试画出正三棱柱并标出对应的向量，结合图象并找出所给参数和的点P对应的位置 【变身命题人】尝试给出不同的参数，研究点P的位置和满足的几何关系，如体积，平行关系，垂直关系 给这道高考题设计选项E,并附上解析。 工具1：可利用GeoGebra软件感受点P的轨迹 工具2：可利用国家中小学智慧平台中的“九章数学举一反三”的功能 作业评价 学生自评 教师评价 题号 等级 评价原则 A:自主完成题目，答案正确； B:自主完成题目，答案错误，阅读答案已明白错误点并更正； C:自主完成题目，答案错误，阅读答案仍找不出错因； D:完全看不懂题目. 题号 等级 评价原则 A:答案正确； B:答案错误，但错误点已更正并写明错因； C:答案错误，只有更正； D:没有更正. 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 第2课时 1.1.2空间向量的数量积运算 作业预估总时长 30-45分钟 命题人 黄婕娜 【基础巩固】 作业对象 全体学生 预计时长 30分钟 1．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB， AD，DC的中点．求： （1） ；（2） ； （3） （4）；（5）； （6） 2．如图，在平行六面体中，，， ，，．求： （1）；    （2）的长；    （3）的长． 3.如图，正方体（1）求和的夹角；（2）求证． 试利用向量法解决这道题.除了向量法，想想还有没有其他方法？ 【思考】比较两种方法，哪种方法更适合解决这道题？ 【综合应用】 作业对象 中上层学生 预计时长 10分钟 4.【一题多解】在正三棱柱中，若，求与所成的角的大小. 要求：先画出满足要求的正三棱柱. 【思考】比较两种方法，哪种方法更适合解决这道题？ 5.【一题多解】如图，线段AB，BD在平面内，，，且，， ．求C，D两点间的距离． 【思考】比较两种方法，哪种方法更适合解决这道题？ 【拓展提升】 作业对象 尖子培优生 预计时长 5分钟 6.（课本第10页习题1.1第9题） 如图，空间四边形中，.求证：. 作业评价 学生自评 教师评价 题号 等级 评价原则 A:自主完成题目，答案正确； B:自主完成题目，答案错误， 阅读答案已明白错误点并更正； C:自主完成题目，答案错误， 阅读答案仍找不出错因； D:完全看不懂题目. 题号 等级 评价原则 A:答案正确； B:答案错误，但错误点已更正并写明错因； C:答案错误，只有更正； D:没有更正. 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 学科网（北京）股份有限公司 $