1.4.2第一课时用空间向量解决距离问题作业 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学“用空间向量研究距离问题”新授课同步练，采用“基础巩固+能力进阶”分层设计，通过梯度化题型构建从单一距离求解到综合应用的知识巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点到直线、平面间、点到平面、直线到平面距离等基本类型|选择、填空、解答题结合，聚焦向量法求解距离的通性通法，如第1-8题基础计算与第9-10题简单应用| |能力进阶|复杂几何体（四棱柱、四棱锥）中的综合距离问题，关联异面直线夹角、法向量等|含多选（12题）、动态问题（14题），强调知识迁移与逻辑推理，如第13题结合菱形性质与异面直线夹角求距离|

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 【基础巩固】 1．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长为(　　) A．3　　 B．4　　　 C．5　　 D．6 解析：C　取a＝＝(4，－5，0)， u＝＝， 所以BD＝＝5. 2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　) A．a B． C． D． 解析：D　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)， 取a＝＝(－a，0，2a)， u＝＝， 则点D1到直线AC的距离为＝ a. 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 解析：A　因为两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，＝(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，所以两平面间的距离d＝.故选A. 4．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z＝(　　) A．16 B．－4 C．4或－16 D．－4或16 解析：C　由点A(－1，3，0)在平面α内，点P(－2，1，z)，可得＝(－1，－2，z)．因为平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，且点P(－2，1，z)到α的距离为， 可得，即，解得z＝4或z＝－16.故选C. 5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1，则直线AB1到平面BC1D的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：A　以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C1(1，0，1)，D，A(0，1，0)，B1(0，0，1)，所以＝(1，0，1)，＝＝(0，－1，1)．设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则n＝(1，－1，－1)．因为·n＝0×1＋(－1)×(－1)＋1×(－1)＝0，所以⊥n，又AB1⊄平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D.设直线AB1到平面BC1D的距离为d，因为＝(0，1，0)，所以d＝，所以直线AB1到平面BC1D的距离为. 6．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d＝________． 解析：d＝＝2. 答案：2 7．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 解析：如图，以D为原点，以的方向分别为x轴、 y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)， ∴＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)， ∴＝， ∴所求距离d＝ ＝ . 答案： 8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为________． 解析：由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，＝(a，－a，a)，＝(0，－a，0)，连接A1C，则A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，所以A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，则两平面间的距离d＝a. 答案：a 9．在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 解：连接AO1，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，∴＝(－2，0，2)，＝(－2，3，0)， ∴， ∴O1到直线AC的距离d＝ . 10．如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离． 解：取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD，MO⊂平面MCD. 所以MO⊥平面BCD.以O为原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝， 则O(0，0，0)，C(1，0，0)，M，BA，所以＝＝.设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)， 由得 取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝.又＝，所以点A到平面MBC的距离d＝. 【能力进阶】 11．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为(　　) A．2 B．1 C． D．3 解析：C　因为OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB.又OA⊥OB，所以以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为底面ABCD是边长为4，∠DAB＝60°的菱形，所以OA＝2，OB＝2. 则A，B(0，2，0)，C， O1(0，0，3)． 设平面O1BC的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1⊥，n1⊥， 所以 若z＝2，则x＝－，y＝3， 所以n1＝. 设点E到平面O1BC的距离为d， 因为E是O1A的中点，所以＝，则d＝. 所以点E到平面O1BC的距离等于. 12．(多选)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A．异面直线AC与BC1所成的角为 B．是平面ABC1D1的一个法向量 C．直线A1B1到平面ABC1D1的距离为 D．平面AB1C与平面A1C1D间的距离为 解析：ABD　如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，所以＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，易知，异面直线AC与BC1所成的角即为直线A1C1与BC1所成的角，设直线A1C1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝，因为θ∈，所以θ＝，故A正确；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，DA1⊂平面ADD1A1，所以DA1⊥AB，又DA1⊥AD1，AD1∩AB＝A，AD1，AB⊂平面ABC1D1，所以DA1⊥平面ABC1D1，所以是平面ABC1D1的一个法向量，故B正确；因为A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABC1D1，所以直线A1B1∥平面ABC1D1，则直线A1B1到平面ABC1D1的距离等于点B1到平面ABC1D1的距离，等于点B1到直线BC1的距离，为，故C错误；设平面A1C1D的一个法向量n＝(x，y，1)，则即⇒所以n＝(－1，－1，1)，则平面AB1C与平面A1C1D间的距离d＝，故D正确． 13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为4，∠ABC＝60°，PO⊥平面ABCD，异面直线BP与CD所成的角为60°.若E为线段OC的中点，则点E到直线BP的距离为________． 解析：如图所示，设点O在AB边上的射影为F，连接OF，PF，BE.以O为坐标原点，向量的方向分别为x轴、y轴、z轴的 正方向，建立空间直角坐标系．因为∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，点O在直线AB上的射影F在AB边上(靠近A的四等分点)．由PO⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，得PO⊥AB.又OF⊥AB，OF∩PO＝O，OF，PO⊂平面POF，所以AB⊥平面POF.因为PF⊂平面POF，所以AB⊥PF，所以∠PBA为锐角．因为AB∥CD，所以∠PBA为异面直线PB与CD所成的角，即∠PBA＝60°.在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，所以OA＝2，OB＝2. 设PO＝a，则P(0，0，a)，所以B，A(0，－2，0)，E(0，1，0)，＝＝，cos 〈〉＝，所以a＝2，所以＝＝＝12，＝＝6，所以点E到直线BP的距离为d＝＝3. 答案：3 14．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段AC上的动点． (1)证明：AC∥平面A1BC1； (2)判断点M到平面A1BC1的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC∥A1C1， 又A1C1⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1， 所以AC∥平面A1BC1. (2)点M到平面A1BC1的距离为定值． 以点B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(0，0，0)，C1(2，0，2)，A1(0，2，2)，A(0，2，0)， 所以＝(2，0，2)，＝(0，2，2)，＝(0，2，0)． 设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取z＝1，则y＝－1，x＝－1， 则n＝(－1，－1，1)为平面A1BC1的一个法向量． 又AC∥平面A1BC1，M是线段AC上的动点， 所以点M到平面A1BC1的距离即点A到平面A1BC1的距离，为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 【基础巩固】 1．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长为(　　) A．3　　 B．4　　　 C．5　　 D．6 2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　) A．a B． C． D． 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 4．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z＝(　　) A．16 B．－4 C．4或－16 D．－4或16 5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1，则直线AB1到平面BC1D的距离为(　　) A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d＝________． 7．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为________． 9．在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 10．如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离． 【能力进阶】 11．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为(　　) A．2 B．1 C． D．3 12．(多选)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A．异面直线AC与BC1所成的角为 B．是平面ABC1D1的一个法向量 C．直线A1B1到平面ABC1D1的距离为 D．平面AB1C与平面A1C1D间的距离为 13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为4，∠ABC＝60°，PO⊥平面ABCD，异面直线BP与CD所成的角为60°.若E为线段OC的中点，则点E到直线BP的距离为________． 14．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段AC上的动点． (1)证明：AC∥平面A1BC1； (2)判断点M到平面A1BC1的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $