专题1.2 空间向量的数量积运算（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，系统梳理空间向量夹角的定义与范围，数量积的概念、性质及运算律，构建从基础概念到求数量积、夹角、模、垂直应用及投影向量的递进式学习支架。 资料以7大题型分类呈现，含例题与变式题，通过正方体、四面体等几何模型引导学生用数学眼光观察空间形式，在概念辨析与推理运算中培养数学思维，以向量语言表达几何关系。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.2 空间向量的数量积运算（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 2 【题型2 求空间向量的数量积】 4 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 7 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 9 【题型5 空间向量垂直的应用】 12 【题型6 空间向量数量积的应用】 15 【题型7 投影向量的求解】 19 考点1 空间向量的夹角与数量积 知识点1 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 知识点2 空间向量数量积的应用 1．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·江西·阶段检测）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【解答过程】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可． 【解答过程】由向量加法的结合律知A项正确； 由向量数量积的运算律知B项、D项正确； 对于C项：若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确． 故选：C. 【题型2 求空间向量的数量积】 【例2】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知正方体的棱长为1，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】根据数量积的运算律和定义即可. 【解答过程】由题意可知，两两垂直，且其模长均为， . 故选：B.    【变式2-1】（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【解答过程】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 【变式2-3】（25-26高二上·山东临沂·期中）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. (1)试用向量，，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算化简即可得解； （2）用，，表示出向量，再由空间向量数量积公式计算即可. 【解答过程】（1） ； （2）， ， . 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 【例3】（25-26高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【解答过程】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据模长公式即可代入求解. 【解答过程】由可得， 故，故， 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【解题思路】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【解答过程】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设向量，根据向量的运算法则，求得和，且，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以. 故选：B. 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助投影向量定义、数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【解答过程】， ， 则 ， ， 故. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·湖南株洲·期末）在正四棱台中，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量法求. 【解答过程】在正四棱台中，过点向作垂线，垂足为点， 则，所以， . 故选：A. 【变式4-3】（25-26高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【解答过程】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B. 【题型5 空间向量垂直的应用】 【例5】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【解答过程】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期末）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积的运算律计算可得，即可判断得出结论. 【解答过程】因为M为的中点，所以， 可得， 所以，即， 可得是直角三角形. 故选：C. 【变式5-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【解题思路】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【解答过程】（1）正方体中，， 故. （2）由题意，， ， 故与垂直. 【变式5-3】（25-26高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【答案】(1)证明见解析 (2)时， 【解题思路】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的夹角公式可得答案. 【解答过程】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则，即 ， 即， 解得或舍去， 即时，. 【题型6 空间向量数量积的应用】 【例6】（25-26高二上·山东济宁·期中）如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可知，，，，，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长. 【解答过程】由题意可知，，，，，， 则， 因为， 所以， ， 因此，. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在菱形中，，线段的中点分别为，现将沿对角线翻折到的位置，在翻折过程中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】不妨设菱形的边长为1，则，由空间向量的线性运算得，，由数量积运算得，再结合充分必要条件进行判断即可． 【解答过程】不妨设菱形的边长为1，则， 在翻折后的图形中，， ， 则 ， 当时，得，得，充分性成立， 当时，则，必要性成立， 故“”是“”的充要条件， 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求向量和向量所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由向量的线性运算，再结合模的计算公式即可求解； （2）只需分别求出，再结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【解答过程】（1）， 因为，，，， 所以； （2），所以， ， 所以. 【变式6-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）首先写出，再根据向量数量积的运算律即可得到答案； （2）利用基底法得，再计算数量积为0即可； （3）首先写出，再求出相关数量积和模长，最后根据数量积的夹角公式即可得到答案. 【解答过程】（1）设，， ，，， 则 . （2）， 则，则. （3）， 则， 而， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 考点2 向量的投影 知识点3 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型7 投影向量的求解】 【例7】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用投影向量公式求解即可. 【解答过程】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下， 为，故C正确. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【解答过程】，，， ，， ，，. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【解答过程】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【解答过程】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D.    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 空间向量的数量积运算（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 2 【题型2 求空间向量的数量积】 3 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 4 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 5 【题型5 空间向量垂直的应用】 5 【题型6 空间向量数量积的应用】 7 【题型7 投影向量的求解】 9 考点1 空间向量的夹角与数量积 知识点1 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 知识点2 空间向量数量积的应用 1．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【变式1-1】（25-26高二上·江西·阶段检测）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【变式1-3】（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求空间向量的数量积】 【例2】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知正方体的棱长为1，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式2-1】（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【变式2-3】（25-26高二上·山东临沂·期中）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. (1)试用向量，，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 【例3】（25-26高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【变式3-3】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·湖南株洲·期末）在正四棱台中，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式4-3】（25-26高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 空间向量垂直的应用】 【例5】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期末）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【变式5-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【变式5-3】（25-26高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【题型6 空间向量数量积的应用】 【例6】（25-26高二上·山东济宁·期中）如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在菱形中，，线段的中点分别为，现将沿对角线翻折到的位置，在翻折过程中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求向量和向量所成角的余弦值. 【变式6-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 考点2 向量的投影 知识点3 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型7 投影向量的求解】 【例7】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $