第8讲 比例线段及相似三角形定义 讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册

第8讲 比例线段及相似三角形定义 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解比例线段、比例中项、成比例线段等基本概念 · 掌握平行线分线段成比例定理及其推论 · 理解相似图形、相似三角形的定义与相似比 · 能运用比例性质进行线段计算与证明 · 能识别相似图形并利用相似比求线段长 📚 知识梳理 ☆ 1.4.1 比例线段 两条线段的比：选用同一长度单位，量得两线段长度之比 成比例线段：四条线段a、b、c、d中，若a:b=c:d，则称这四条线段成比例 比例中项：若a:b=b:c，则b叫做a、c的比例中项，b²=ac 比例的基本性质：a:b=c:d ⇔ ad=bc 黄金分割：点C把线段AB分成AC和BC（AC>BC），若AC/AB=BC/AC，则称AB被C黄金分割，AC≈0.618AB 概念辨析例题：已知线段a=4，b=9，则a、b的比例中项线段等于（　　） 解析：设比例中项为x，则x²=ab=36，线段长为正，故x=6 ☆ 2.4.2 由平行线截得的比例线段 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例 A型与X型基本图形：注意对应线段的位置关系，上/上=下/下=全/全 常见应用：梯子问题、五线谱、刻度尺等平行线模型 判定线段成比例时先找平行线，再确定对应线段 概念辨析例题：如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于A、B、C和D、E、F，若AC:BC=5:2，DF=9，求DE的长 解析：由平行线分线段成比例，AB/BC=DE/EF，先求AB:BC=3:2，再由DE:EF=3:2及DE+EF=9求DE ☆ 3.4.3 认识相似三角形 相似图形：形状相同的图形，对应角相等、对应边成比例 相似三角形：三个角分别相等、三条边对应成比例的两个三角形 相似比：相似三角形对应边的比，注意顺序性 相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形 概念辨析例题：下列图形一定相似的是（　　）A．两个直角三角形 B．两个矩形 C．两个等边三角形 D．两个菱形 解析：等边三角形三个角都是60°，任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似 📋 知识总结表 名称 定义 关键性质 成比例线段 a:b=c:d ad=bc，可交换内项/外项 比例中项 a:b=b:c b²=ac 平行线分线段成比例 两直线被一组平行线所截 对应线段成比例 相似图形 形状相同 对应角相等、对应边成比例 相似三角形 三角对应相等、三边对应成比例 相似比=对应边之比 ⚠️ 核心考点 【考点1：比例线段】 · 比例的基本性质：a:b=c:d ⇔ ad=bc，用于求未知线段 · 比例中项b²=ac，线段长取正值 · 判断成比例线段：排序后验证两内项积=两外项积 · 黄金分割比约为0.618，注意较长段与全长之比 1．（2026•邯郸校级一模）上课时，李老师将一张长为8cm，宽为6cm的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为80cm，则其宽为（　　） A．60cm B．80cm C．100cm D．120cm 【考点】比例线段． 【分析】设幕上的照片宽为xcm，根据相似的性质得到，然后解方程即可． 【解答】解：设幕上的照片宽为xcm， 根据题意得， 解得x＝60， 即幕上的照片宽为60cm． 故选：A． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段成比例． 2．（2025秋•金华期末）已知线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段等于（　　） A．36 B．5 C．2 D．6 【考点】比例线段． 【分析】利用比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可． 【解答】解：设a，b的比例中项线段为c， 则：c2＝ab＝4×9＝36， ∵c＞0， ∴c＝6 故选：D． 【点评】本题考查比例中项．熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积是解题的关键． 3．（2026春•锦江区校级期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（　　） A．a＝4，b＝5，c＝6，d＝10 B．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 C． D．a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝10 【考点】比例线段． 【分析】根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A．4×10≠5×6，则a、b、c、d不成比例，所以A选项不符合题意； B．2×6＝3×4，则a、b、c、d成比例，所以B选项符合题意； C．2×102，则a、b、c、d不成比例，所以C选项不符合题意； D．0.8×10≠1×3，则a、b、c、d不成比例，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 4．（2026春•虹口区期中）下列各比中，能与2：1组成比例的是（　　） A．2：4 B．0.4：0.02 C．0.2：0.04 D．1：0.5 【考点】比例线段． 【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．所以先求出各选项中的比的比值，哪个比的比值与已知的比值相等即为答案． 【解答】解：A.2：4＝1：2，不能与2：1组成比例； B.0.4：0.02＝20：1，不能与2：1组成比例； C.0.2：0.04＝5：1，不能与2：1组成比例； D.1：0.5＝2：1，能与2：1组成比例； 故选：D． 【点评】本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的方法，求出比值，比值相等两个比就能组成比例． 5．（2025秋•瑞安市期末）下面四组线段中不能成比例线段的是（　　） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【考点】比例线段． 【分析】根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【解答】解：A．2×6＝3×4，能成比例，不符合题意； B．4×10≠6×8，不能成比例，符合题意； C．，能成比例，不符合题意； D．，能成比例，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 6．（2025秋•桂林期末）下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（　　） A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4 【考点】比例线段． 【分析】分别计算各选项的比值即可判断． 【解答】解：根据成比例线段的定义逐项分析判断如下： 对于选项A：，不符合题意； 对于选项B：，不符合题意； 对于选项C：，符合题意； 对于选项D：，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了成比例线段的定义，若四条线段a、b、c、d满足，则它们成比例，准确分析判断是解题的关键． 7．（2026•拱墅区模拟）已知线段a＝1，b＝9，则线段a，b的比例中项是 　3　 ． 【考点】比例线段． 【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案． 【解答】解：设线段a、b的比例中项为x， 则x2＝ab， 即x2＝1×9， 解得x＝3或x＝﹣3＜0（舍去）． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查比例线段，掌握比例中项的性质是解题的关键． 8．（2026•温州校级模拟）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：　2　 ． 【考点】比例线段． 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 【解答】解：由条件可知， ∴， 故答案为：2． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 9．（2025秋•宝山区期末）已知线段a＝3，b＝5，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为　　 ． 【考点】比例线段． 【分析】根据线段比例中项的概念，得c2＝ab，即可得到答案． 【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项， ∴c2＝ab＝3×5＝15， 解得c＝±， ∵线段的长是正数， ∴c． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例线段，正确记忆如果a：b＝b：c，那么b叫做a，c的比例中项是本题关键． 10．（2026秋•同步）已知三条线段的长分别是4cm，6cm和10cm，则再加一条　15或或2.4　 cm的线段，才能使这四条线段成比例． 【考点】比例线段． 【分析】设所加的线段是xcm，则得到：或或，即可求得． 【解答】解：设所加的线段是xcm， 则得到：或或， 解得：x＝15或x或x＝2.4． 故答案为：15或或2.4． 【点评】本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条． 11．（2026秋•同步）如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC＝OA，以点A为圆心，AC为半径画圆弧交AB于点P，则线段AP与AB的比是 　：2　 ． 【考点】比例线段；线段垂直平分线的性质． 【分析】连接AC，如图所示：设AO＝a，则BO＝a，CO＝a，求出AC，可得结论． 【解答】解：连接AC，如图所示： 则可知OA＝OB＝OC． 设AO＝a，则BO＝a，CO＝a， 故AC＝APa， ∴线段AP与AB的比是a：2a：2． 故答案为：：2． 【点评】本题考查比例线段，解题的关键是掌握比例的性质，属于中考常考题型． 12．（2026•石家庄二模）如图，M、N分别是数轴上的两点，M点表示的数是﹣15，N点表示的数是5．定义：已知点C是线段AB上的一个点，若点C到线段两个端点的距离之比为1：4，则称点C为线段的“理想点”．则线段MN的“理想点”P表示的数为　﹣11或1　 ． 【考点】比例线段；数轴． 【分析】根据“理想点”定义及P到M、N距离的比例关系，分情况讨论P对应数轴上的数即可． 【解答】解：设“理想点”P表示的数为x， 分两种情况： 当PM：PN＝1：4时， x﹣（﹣15）， x+15＝4， x＝﹣11； 当PN：PM＝1：4时， 5﹣x， 5﹣x＝4， x＝1， 综上，P表示的数为﹣11或1． 故答案为：﹣11或1． 【点评】此题考查了数轴上任意两点之间的距离，结合分类讨论数学思想进行求解，要做到不重不漏． 13．（2026•新城区校级四模）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段AB，腹部看作线段BC，且满足，若蜻蜓的全身长AB为8cm，则蜻蜓的腹部长BC为　（44）　 cm．（结果保留根号） 【考点】比例线段． 【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可． 【解答】解：∵AB＝8cm，蜻蜓的腹部长BC与全身长AB之比等于头部、胸腹总长AC与腹部长BC之比，即， ∴BC， 故答案为：（44）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 14．（2026秋•同步）如图，已知线段AB长度为a，点P是AB上一点，且AB：AP＝AP：PB．求线段AP的长和的值． 【考点】比例线段． 【分析】由题意得点P是线段AB的黄金分割点，再列式计算即可． 【解答】解：∵点P是AB上一点，且AB：AP＝AP：PB， ∴点P是线段AB的黄金分割点， ∴， ∵线段AB的长度为a， ∴APa． 【点评】本题考查了比例线段，黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值． 15．（2026秋•同步）求证：如果，那么，． 【考点】比例线段；比例的性质． 【分析】运用等式性质求解即可． 【解答】证明：∵， ∴11，即， 11，即． 【点评】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是运用等式性质求解． 16．（2026秋•同步）已知线段a、b、c、d成比例，且a＝12cm，b＝3cm，c＝4cm．求线段d的长． 【考点】比例线段． 【分析】由成比例线段的定义，列出比例式求解即可． 【解答】解：∵线段a、b、c、d成比例，a＝12cm，b＝3cm，c＝4cm， ∴a：b＝c：d，即12：3＝4：d， 解得d＝1． 故线段d的长为1cm． 【点评】本题主要考查了成比例线段，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc）． 17．（2026秋•同步）延长线段AB到点C，使BC＝AB．求： （1）AC：AB； （2）AB：BC； （3）BC：AC． 【考点】比例线段． 【分析】根据题意可得AC＝2BC＝2AB，依此即可求解． 【解答】解：∵延长线段AB到点C，使BC＝AB， ∴AC＝2BC＝2AB， ∴（1）AC：AB＝2AB：AB＝2； （2）AB：BC＝BC：BC＝1； （3）BC：AC＝BC：2BC． 【点评】本题考查了比例线段，关键是得到AC＝2BC＝2AB． 18．（2026秋•同步）如图，你能用无刻度的直尺在线段AB上找到点C，使得AC：CB＝1：2吗？如果改为AC：CB＝1：3呢？假如方格纸足够大，任意两格点连线记为线段AB，你能用无刻度的直尺在线段AB上找到点C，使得AC：CB＝1：k（k为正整数）吗？ 【考点】比例线段． 【分析】如图1，在过A点且不与AB平行的格线上（AB水平时取竖直格线）取格点D、E，使AE：ED＝1：2，连接BD，接着取格点F使EF∥BD，则EF与AB的交点为C点，根据平行线分线段成比例定理得到AC：CB＝AE：ED＝1：2，利用同样方法得到 点C，使得AC：CB＝1：3和AC：CB＝1：k（k为正整数）． 【解答】解：能用无刻度的直尺在线段AB上找到点C，使得AC：CB＝1：2，如图1， 在过A点且不与AB平行的格线上（AB水平时取竖直格线）取格点D、E，使AE：ED＝1：2，连接BD，接着取格点F使EF∥BD，则EF与AB的交点为C点； 能用无刻度的直尺在线段AB上找到点C，使得AC：CB＝1：3，如图2， 在过A点的水平格线上取格点D、E，使AE：ED＝1：3，连接BD，接着取格点F使EF∥BD，则EF与AB的交点为C点； 能用无刻度的直尺在线段AB上找到点C，使得AC：CB＝1：k（k为正整数）． 在过A点的水平格线上取格点D、E，使AE：ED＝1：k，连接BD，接着取格点F使EF∥BD，则EF与AB的交点为C点． 【点评】本题考查了比例线段，灵活运用平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 19．（2026秋•同步）如图，正方形ABDC的边长为4，点E是边AB的中点，点F是边BD上靠近点B的四等分点． （1）求出下列线段的长度：EF，CE，CF； （2）写出图中的三组比例线段．（与第（1）题的三条线段有关） 【考点】比例线段；正方形的性质． 【分析】（1）根据正方形的性质和比例线段得出EB，BF，进而利用勾股定理得出EF，CF，CE即可； （2）根据比例线段的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BD＝CD＝AC＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵点E是边AB的中点，点F是边BD上靠近点B的四等分点， ∴AE＝BE＝2，BF＝1，DF＝3， 由勾股定理可得，EF，CF，CE； （2）∵2×5，1×22，BF＝1，BE＝AE＝2，EF，CF＝5，CE＝2， ∴BE：CE＝EF：CF，AE：CE＝EF：CF，BF：BE＝EF：CE． 【点评】此题考查正方形的性质和比例线段，关键是根据正方形的性质和勾股定理得出EF，CF，CE解答． 20．（2026秋•单元）（1）四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝6cm，求线段a的长； （2）已知，且a+b﹣2c＝3，求a的值． 【考点】比例线段． 【分析】（1）根据成比例的定义得到a：3＝2：6，然后根据比例的性质可求出a； （2）设k，根据比例性质得到a＝6k，b＝5k，c＝4k，再把它们分别代入a+b﹣2c＝3中得到6k+5k﹣8k＝3，然后解方程求出k，从而得到a的值． 【解答】解：（1）根据题意得a：b＝c：d， 即a：3＝2：6， 解得a＝1， 即线段a的长为1cm； （2）设k，则a＝6k，b＝5k，c＝4k， ∵a+b﹣2c＝3， ∴6k+5k﹣8k＝3， 解得k＝1， ∴a＝6k＝6． 【点评】本题考查了比例线段，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 21．（2026秋•同步）a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，求线段d的长． 【考点】比例线段． 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d． 【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得：ad＝cb， 代入a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm， 解得：d＝4， 则d＝4cm． 【点评】此题考查比例线段，关键是根据比例线段得出比例式解答． 【考点2：由平行线截得的比例线段】 · 平行线分线段成比例：对应线段成比例，找准对应关系 · A型图：平行于三角形一边截两边，上/下=上/下 · X型图：两直线相交于平行线间，注意线段和差 · 常见模型：梯子、五线谱、刻度尺、凸透镜 22．（2026秋•道里区校级月考）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AC：BC＝5：2，DE＝6，则EF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．1 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题． 【解答】解：∵AC：BC＝5：2， ∴AB：BC＝3：2， ∵直线a∥b∥c， ∴， ∴， ∴EF＝4． 故选：A． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 23．（2026•道里区模拟）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】先根据平行线等分线段定理列比例式求得DF＝27cm．BF＝BD+DF＝72cm，再运用线段的和差求解即可． 【解答】解：已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm， ∴， ∴， 解得：DF＝27cm． ∴BF＝BD+DF＝72cm， ∴BF＝BD+DF＝72cm， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 24．（2025秋•莲池区期末）如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝3.6cm，则线段BC的长为（　　） A．6.4cm B．8cm C．9.6cm D．10.8cm 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】过点A作AH⊥CH于点H，交BD于点D，再根据平行线分线段成比例定理可得AB：BC＝AD：DH，即可求出BC的长． 【解答】解：如图，如图：过点A作AH⊥CH于点H，交BD于点D， ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴AB：BC＝AD：DH， ∴3.6：BC＝2：6， ∴BC＝10.8（cm）． 故选：D． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，关键是平行线分线段成比例定理推出AB：BC＝AD：DH． 25．（2025秋•龙湖区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，则的值是（　　） A． B． C． D． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例进行i计算即可． 【解答】解：由题知， 因为DE∥BC， 所以 又因为AD＝3，DB＝2， 所以． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． 26．（2025秋•青龙县期末）如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2，已知最上层与中间层的垂直距离为BD＝30cm，中间层与最下层的垂直距离为DF＝45cm，BC∥DE∥FG，CE＝50cm，则线段CG的长为（　　） A．75cm B．105cm C．120cm D．125cm 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解答】解：∵BC∥DE∥FG， ∴， ∵BD＝30cm，DF＝45cm，CE＝50cm， ∴， ∴CG＝125cm． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 27．（2025秋•苍南县校级期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：BF等于（　　） A．3：2 B．3：8 C．5：3 D．8：3 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． 【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：5， ∴， ∴． 故选：C． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键． 28．（2026•茂南区模拟）在音乐课上某同学发现：音乐也可以有数学问题！如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝9，则线段BC的长是　3　 ． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∵AB＝9， ∴BC＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 29．（2026•海淀区校级二模）如图，BD＝CD，AE：DE＝1：2，延长BE交AC于F，且AF＝4cm，则AC的长＝　20　 cm． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】过D作BF的平行线交AC于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：如图，过点D作DG∥BF，交AC于G， ∵BD＝CD，DG∥BF， ∴1， ∴CG＝GF， ∵DG∥BF， ∴AF：FG＝AE：ED＝1：2， ∵AF＝4cm， ∴FG＝2AF＝CG＝8（cm）， ∴AC＝4+8+8＝20（cm）． 故答案为：20． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线是解题关键． 30．（2026•山西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，BD是AC边上的中线，点E是BD边上的一点，连接CE并延长，交AB于点F．若，，则BF的长为　　 ． 【考点】平行线分线段成比例；等腰三角形的性质；勾股定理． 【分析】过点D作DN∥CF交AB于点N，过点A作AG⊥BC于点G，交BD于点H，根据平行线分线段成比例可得，，设AN＝NF＝7x，则BF＝10x，则，然后证明DG为△ABC的中位线，则△DGH∽△BAH，求出，，则，，那么，，即可求解BF． 【解答】解：过点D作DN∥CF交AB于点N，过点A作AG⊥BC于点G，交BD于点H， ∵DN∥CF，BD是AC边上的中线， ∴，， ∴设AN＝NF＝7x，则BF＝10x， ∴AB＝AN+NF+BF＝24x， ∴， 由条件可知， ∵AD＝DC， ∴DG为△ABC的中位线， ∴， ∴△DGH∽△BAH， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握该知识点是关键． 31．（2026秋•小店区校级月考）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段AC＝6，则线段AB的长是　4　 ． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【解答】解：由条件可知， ∴， 故答案为：4． 【点评】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 32．（2026•丛台区校级一模）已知：如图，BC∥DE，AD＝3，AE＝4，AB＝9，则AC＝　12　 ． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例求出AC即可． 【解答】解：∵BC∥DE， ∴， 即， ∴AC＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线得出正确的比例式是解题的关键． 33．（2025秋•广阳区期末）如图，l1∥l2∥l3，若AB＝4，BC＝6，AD＝2，CF＝8，则BE的长为　　 ． 【考点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质． 【分析】过点A作AH∥DF交BE于点G，交CF于点H，则四边形ADEG、GEFH、ADFH都是平行四边形，则EG＝FH＝AD＝2，则CH＝CF﹣FH＝6，由BG∥CH，则有，可求出BG，则可求出BE． 【解答】解：过点A作AH∥DF交BE于点G，交CF于点H，如图， 由条件可知四边形ADEG、GEFH、ADFH都是平行四边形， ∴EG＝FH＝AD＝2， ∴CH＝CF﹣FH＝6， ∵BG∥CH， ∴△ABG∽△ACH， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅助线构造平行四边形，熟练运用相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 34．（2025秋•浦东新区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E．如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝　14　 ． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解答】解：∵AD：DF＝3：2， ∴， ∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AF＝AD+DF ∴， ∵BC＝21， ∴， ∴BE＝35， ∴如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝BE﹣BC＝35﹣21＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键 35．（2025秋•鹿城区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．已知，DF＝7，则DE的长为　4　 ． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据l1∥l2∥l3，则，据此求解即可． 【解答】解：设DE的长为x，则EF＝7﹣x， ∵l1∥l2∥l3，， ∴， 即， 整理得，7x＝28， 解得：x＝4， 则DE的长为4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 36．（2026春•闵行区校级单元）如图，是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，将A，D1间加一条安全绳（线段AD1），AD1分别交BB1，CC1于点E，F，量得AE＝0.4m．则AD1的长为　1.2m ． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可． 【解答】解：∵BB1∥CC1， ∴， ∵AB＝BC， ∴AE＝EF， 同理可得：AE＝EF＝FD1， ∵AE＝0.4m， ∴AD1＝0.4×3＝1.2（m）， 故答案为：1.2m． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 37．（2026秋•青岛同步）如图，在△ABC中，DE∥BC，FE∥DC，AF＝3，AD＝5，AE＝4．求CE和AB的长． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】由FE∥DC，利用平行线分线段成比例，可求出AC的长，结合CE＝AC﹣AE，可求出CE的长；由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可求出AB的长． 【解答】解：∵FE∥DC，AF＝3，AD＝5，AE＝4， ∴，即， ∴AC， ∴CE＝AC﹣AE4． ∵DE∥BC，AE＝4，AD＝5，AC， ∴，即， ∴AB． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键． 38．（2026秋•同步）给定线段AB，请通过尺规作图作出线段AB的三等分点． 【考点】平行线分线段成比例；作图—复杂作图． 【分析】在射线AP上依次截取AE＝EF＝FG，再连接BG，接着作∠AEC＝∠AGB交AB于C点，作∠AFD＝∠AGB交AB于D点，则根据平行线分线段成比例定理得到C、D为线段AB的三等分点． 【解答】解：如图，C、D为线段AB的三等分点． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了复杂作图． 39．（2026秋•同步）如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，DE＝2.4，求DF的长． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴EF＝4， ∴DF＝DE+EF＝2.4+4＝6.4． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 40．（2026秋•同步）如图，一组平行直线l1，l2，l3与直线AC，DF分别交于点A，B，C和D，E，F，AB＝a，BC＝b，EF＝c，求DE的长． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴DE． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 41．（2026秋•同步）如图，一组平行直线l1，l2，l3与直线AC，DF分别交于点A，B，C和D，E，F，，DE＝6，求DF的长． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴，即∴EF＝4，∴DF＝DE+EF＝10． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 42．（2026•岳西县模拟）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若，DF＝6，求DE的长． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】（1）由a∥b∥c得到，然后代数求解； （2）由a∥b∥c得到，然后结合得到，进而求解即可． 【解答】解：（1）∵a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F，AB＝3，BC＝5，DE＝4， ∴，即， ∴； （2）∵a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 【考点3：认识相似三角形】 · 相似图形判断：对应角相等+对应边成比例 · 一定相似：任意两个等边三角形、任意两个正方形 · 相似比的顺序性：△ABC∽△A'B'C'，相似比=AB/A'B' · 周长比=相似比，面积比=相似比的平方 43．（2026秋•同步）你能根据相似形知识证明勾股定理吗？ 【考点】相似图形；勾股定理的证明． 【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过C作 CD⊥AB 于D．证明△ACD∽△ABC，推出，得 AC2＝AD•AB．同理 BC2＝BD•AB，可得AC2+BC2＝AD⋅AB+BD⋅AB＝（AD+BD）•AB＝AB2． 【解答】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，求证：AC2+BC2＝AB2． 证明：过C作 CD⊥AB 于D． ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴，得 AC2＝AD•AB． 同理 BC2＝BD•AB， ∴AC2+BC2＝AD⋅AB+BD⋅AB＝（AD+BD）•AB＝AB2． 【点评】本题考查相似图形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题． 44．（2026秋•单元）如图，BC与EF在一条直线上，AC∥DF．将图（2）的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形． 【考点】相似图形． 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【解答】解：∵AC∥DF， ∴∠C＝∠F， 过E作EH∥AB交DF于H， ∵EH∥AB， ∴∠HEF＝∠B， ∴△ABC∽△HEF． 【点评】此题考查相似图形，关键是根据相似三角形的判定解答． 45．（2026秋•同步）在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值． 【考点】相似图形． 【分析】如图1中，根据两个相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值； 如图2中，由相似三角形的对应边成比例，对应角相等，即可求得答案． 【解答】解：如图1中，∵△ABC∽△A′B′C′， ∴，α＝40°， ∴x＝9； 如图2中，∵∠D＝180°﹣65°﹣70°＝45°， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴α＝∠D＝45°． 【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，对应角相等定理的应用是解此题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 比例性质ad=bc是计算与证明的基础 · 比例中项b²=ac，注意线段取正值 · 平行线分线段成比例先找平行线再定对应线段 · 相似图形必须对应角相等且对应边成比例 · 相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比平方 【作业1】（2026春•浦东新区校级期中）如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8． （1）求AC的长； （2）当DE∥BC时，求AB的长． 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，求出AB即可． 【解答】解：（1）∵EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8， ∴， ∴， ∴； （2）∵DE∥BC，，AE＝8， ∴， ∵AD＝10， ∴， 解得：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【作业2】（2026秋•同步）如图是凸透镜成像的原理，AH⊥HG于点H，BD⊥HG于点O，CG⊥HG于点G，AD∥HG∥BC．若焦点F1到物体的距离HF1与到凸透镜中心线DB的距离OF1的比为2：1，求的值．（注：F2是另一个焦点） 【考点】平行线分线段成比例；点到直线的距离． 【分析】先证四边形OBCG为矩形，得到OB＝CG，再根据△AHF1∽△BOF1，即可求出． 【解答】解：由题意知AH⊥GH，BD⊥GH，CG⊥GH，， ∴AH∥BD∥CG，∠BOG＝90°， ∵HG∥BC，BD∥CG， ∴四边形OBCG是平行四边形， ∵∠BOG＝90°， ∴四边形OBCG是矩形， ∴OB＝CG， ∵AH∥BD， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业3】（2026•余杭区校级模拟）下列图形中，一定是相似图形的是（　　） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【考点】相似图形． 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形是相似图形逐一判断即可． 【解答】解：A、两个矩形对应角都为直角相等，但对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合题意； B、两个菱形对应边一定成比例，但对应角不一定相等，因此不一定是相似图形，不符合题意； C、两个三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合题意； D、两个正方形的所有内角都是90°，对应角相等，且所有对应边的比值相等，即对应边成比例，因此一定是相似图形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是相似图形，熟知相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同是解题的关键． 【作业4】（2025秋•宜兴市期末）下列图形一定相似的是（　　） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 【考点】相似图形． 【分析】由相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、由三边对应成比例的两个三角形相似判定两个等边三角形相似，故A符合题意； B、两个直角三角形只有一直角对应相等，不能判定两个直角三角形相似，故B不符合题意； C、两个矩形的长和宽不一定对应成比例，不能判定两个矩形相似，故C不符合题意； D、两个菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，不能判定两个菱形相似，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查相似图形，关键是掌握相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法． 【作业5】（2025秋•东台市期末）下列各组图形一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 【考点】相似图形． 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 【作业6】（2025秋•市北区期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【考点】相似图形． 【分析】根据相似图形需对应角相等且对应边成比例逐项判断即可得． 【解答】解：根据相似图形的性质逐项分析判断如下： A、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； B、两个正五边形的所有对应角相等（每个内角均为108°），且所有对应边成比例（边长比相同），则两个正五边形一定相似，符合题意； C、两个矩形的所有对应角相等（每个内角均为90°），但对应边不一定成比例，则两个矩形不一定相似，不符合题意； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个平行四边形不一定相似，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了相似图形：相似图形需对应角相等且对应边成比例，熟练掌握相似图形的定义是解题关键． 【作业7】（2025秋•徐汇区期末）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【考点】相似图形． 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【解答】解：观察可得：甲和丙对应角相等，对应边成比例， 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键． 【作业8】（2026•海州区校级二模）下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．等边三角形都是相似三角形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 【考点】相似图形． 【分析】各边对应成比例，各角对应相等的多边形是相似多边形，由此即可判断． 【解答】解：A、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故A不符合题意； B、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故B符合题意； C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故C不符合题意； D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查相似图形，关键是掌握相似多边形的判定方法． 【作业9】（2025秋•南京月考）一条直线将矩形分为两个四边形，若这两个四边形是相似形，且均相似于原矩形，则原矩形较长边与较短边的比值为　：1　 ． 【考点】相似图形；比例线段． 【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解． 【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴x：y＝y：， 解得x：y：1． 【点评】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握． 【作业10】（2025秋•虹口区月考）已知一个梯形的一条对角线把它分割成两个相似比不为1的相似三角形，这个梯形的四条边中有且只有两条边相等，下底的长是上底的长的3倍，那么该梯形最小内角的余弦值是　或　 ． 【考点】相似图形；解直角三角形；梯形． 【分析】分类讨论 情况1：设AD＝AB＝x，BC＝3AD＝3x，AD∥BC，得到△ABD∽△DCB，过点A作AE⊥BD于点E，根据cos∠C＝cos∠ABD即可求解； 情况2： 设AD＝1，AB＝BD，BC＝CD＝3AD＝3，AD∥BC，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 【解答】解：情况1： 在梯形ABCD中，设AD＝AB＝x，BC＝3AD＝3x，AD∥BC，△ABD∽△DCB， ∴，即， ∴BD＝CDx， 过点A作AE⊥BD于点E，则BEBDx， ∴cos∠C＝cos∠ABD， ∴该梯形最小内角的余弦值为， 情况2： 设AD＝1，AB＝BD，BC＝CD＝3AD＝3，AD∥BC， 过点D作DE⊥CB，E为垂足，设CE＝x，BE＝3﹣x， 根据勾股定理得9﹣x2＝3﹣（3﹣x）2， 解得x＝2.5， ∴cosC， 故答案为：或． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，梯形，相似图形及解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识． 【作业11】（2024秋•娄底校级期末）若两个相似图形的周长比为2：1，则它们的面积比为 　4：1　 ． 【考点】相似图形． 【分析】根据两个相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：1， ∴两个相似三角形的相似比为2：1， ∴两个相似三角形的面积比为4：1， 故答案为：4：1． 【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握两个相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方这一性质是解答的关键． 【作业12】（2024秋•太原期末）在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段AD的黄金分割点（DE＞AE），以DE为边在正方形ABCD内作正方形DEPQ．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若AB的长为10cm，则P，D两点之间的距离为　　 cm． 【考点】相似图形；全等三角形的判定与性质；黄金分割． 【分析】先由正方形的性质得AD＝AB＝10cm，再由黄金分割求出cm，再根据正方形的性质得到PE＝DE，∠PED＝90°，即可由勾股定理求解． 【解答】解：在正方形ABCD中，AB的长为10cm，如图，连接PD， ∴AD＝AB＝10cm， ∵点E是线段AD的黄金分割点（DE＞AE）， ∴DE（cm）， ∵四边形DEPQ是正方形， ∴PE＝DE，∠PED＝90°， ∴PD（cm）． 故答案为：． 【点评】本题考查相似图形，全等三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【作业13】（2025秋•浦东新区校级期中）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于3，下底等于6，那么它的周长为　12+3　 ． 【考点】相似图形；直角梯形． 【分析】过D作DH⊥BC于H，判定四边形ABHD是矩形，推出BH＝AD＝3，AB＝DH，求出CH＝3，得到BH＝CH，判定DH垂直平分BC，推出BD＝CD，由△ADB∽△DBC，推出∠BDC＝∠A＝90°，得到△DBC是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质推出DHBC＝3，得到AB＝3，由等腰直角三角形的性质求出DCBC＝3，即可得到梯形的周长． 【解答】解：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，BC＝6， 过D作DH⊥BC于H， ∵AD∥BC， ∴DH⊥AD， ∴∠ADH＝∠BHD＝∠A＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴BH＝AD＝3，AB＝DH， ∴CH＝BC﹣BH＝6﹣3＝3， ∴BH＝CH， ∴DH垂直平分BC， ∴BD＝CD， ∵梯形ABCD是“优美梯形”， ∴△ADB∽△DBC， ∴∠BDC＝∠A＝90°， ∴△DBC是等腰直角三角形， ∵BH＝CH， ∴DHBC＝3， ∴AB＝DH＝3， ∵△DBC是等腰直角三角形， DCBC＝3， ∴梯形ABCD的周长＝AD+AB+BC+CD＝3+3+6+312+3． 故答案为：12+3． 【点评】本题考查相似三角形的性质，直角梯形，矩形的判定和性质，关键是由相似三角形的性质推出△DBC是等腰直角三角形． 【作业14】（2024秋•长宁区校级期中）如图，已知一个梯形被一条对角线分成两个相似的三角形，且两腰之比为，则上底和下底之比为 　　 ． 【考点】相似图形；梯形． 【分析】根据题意可得△ABD∽△DCB，则，即可求出答案． 【解答】解：由题意可知，AD∥BC，△ABD∽△DCB， ∴， ∵两腰之比为， ∴， ∴， 即上底和下底之比为， 答：上底和下底之比为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了相似图形和梯形，关键是相似三角形性质的熟练应用． 【作业15】（2026秋•同步）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C′D'是相似的图形，点A与点A'、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知BC＝3，CD＝2.4，A'B'＝2.2，B′C′＝2，∠B＝70°，∠C＝110°，∠D＝90°，求边AB、C′D'的长和∠A'的度数． 【考点】相似图形． 【分析】利用相似多边形的性质解决问题即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'， ∴， ∴，∠A＝∠A′， ∴AB＝3.3，C′D′＝1.6， ∵∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣70°﹣110°﹣90°＝90°． ∴∠A′＝∠A＝90°． 【点评】本题考查相似图形，解题的关键是掌握相似形的性质，属于中考常考题型． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 比例线段及相似三角形定义 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解比例线段、比例中项、成比例线段等基本概念 · 掌握平行线分线段成比例定理及其推论 · 理解相似图形、相似三角形的定义与相似比 · 能运用比例性质进行线段计算与证明 · 能识别相似图形并利用相似比求线段长 📚 知识梳理 ☆ 1.4.1 比例线段 两条线段的比：选用同一长度单位，量得两线段长度之比 成比例线段：四条线段a、b、c、d中，若a:b=c:d，则称这四条线段成比例 比例中项：若a:b=b:c，则b叫做a、c的比例中项，b²=ac 比例的基本性质：a:b=c:d ⇔ ad=bc 黄金分割：点C把线段AB分成AC和BC（AC>BC），若AC/AB=BC/AC，则称AB被C黄金分割，AC≈0.618AB 概念辨析例题：已知线段a=4，b=9，则a、b的比例中项线段等于（　　） 解析：设比例中项为x，则x²=ab=36，线段长为正，故x=6 ☆ 2.4.2 由平行线截得的比例线段 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例 A型与X型基本图形：注意对应线段的位置关系，上/上=下/下=全/全 常见应用：梯子问题、五线谱、刻度尺等平行线模型 判定线段成比例时先找平行线，再确定对应线段 概念辨析例题：如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于A、B、C和D、E、F，若AC:BC=5:2，DF=9，求DE的长 解析：由平行线分线段成比例，AB/BC=DE/EF，先求AB:BC=3:2，再由DE:EF=3:2及DE+EF=9求DE ☆ 3.4.3 认识相似三角形 相似图形：形状相同的图形，对应角相等、对应边成比例 相似三角形：三个角分别相等、三条边对应成比例的两个三角形 相似比：相似三角形对应边的比，注意顺序性 相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形 概念辨析例题：下列图形一定相似的是（　　）A．两个直角三角形 B．两个矩形 C．两个等边三角形 D．两个菱形 解析：等边三角形三个角都是60°，任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似 📋 知识总结表 名称 定义 关键性质 成比例线段 a:b=c:d ad=bc，可交换内项/外项 比例中项 a:b=b:c b²=ac 平行线分线段成比例 两直线被一组平行线所截 对应线段成比例 相似图形 形状相同 对应角相等、对应边成比例 相似三角形 三角对应相等、三边对应成比例 相似比=对应边之比 ⚠️ 核心考点 【考点1：比例线段】 · 比例的基本性质：a:b=c:d ⇔ ad=bc，用于求未知线段 · 比例中项b²=ac，线段长取正值 · 判断成比例线段：排序后验证两内项积=两外项积 · 黄金分割比约为0.618，注意较长段与全长之比 1．（2026•邯郸校级一模）上课时，李老师将一张长为8cm，宽为6cm的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为80cm，则其宽为（　　） A．60cm B．80cm C．100cm D．120cm 2．（2025秋•金华期末）已知线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段等于（　　） A．36 B．5 C．2 D．6 3．（2026春•锦江区校级期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（　　） A．a＝4，b＝5，c＝6，d＝10 B．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 C． D．a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝10 4．（2026春•虹口区期中）下列各比中，能与2：1组成比例的是（　　） A．2：4 B．0.4：0.02 C．0.2：0.04 D．1：0.5 5．（2025秋•瑞安市期末）下面四组线段中不能成比例线段的是（　　） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 6．（2025秋•桂林期末）下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（　　） A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4 7．（2026•拱墅区模拟）已知线段a＝1，b＝9，则线段a，b的比例中项是 _____ ． 8．（2026•温州校级模拟）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：_____ ． 9．（2025秋•宝山区期末）已知线段a＝3，b＝5，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为________________ ． 10．（2026秋•同步）已知三条线段的长分别是4cm，6cm和10cm，则再加一条____________________ cm的线段，才能使这四条线段成比例． 11．（2026秋•同步）如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC＝OA，以点A为圆心，AC为半径画圆弧交AB于点P，则线段AP与AB的比是 _________________ ． 12．（2026•石家庄二模）如图，M、N分别是数轴上的两点，M点表示的数是﹣15，N点表示的数是5．定义：已知点C是线段AB上的一个点，若点C到线段两个端点的距离之比为1：4，则称点C为线段的“理想点”．则线段MN的“理想点”P表示的数为__________ ． 13．（2026•新城区校级四模）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段AB，腹部看作线段BC，且满足，若蜻蜓的全身长AB为8cm，则蜻蜓的腹部长BC为____________________ cm．（结果保留根号） 14．（2026秋•同步）如图，已知线段AB长度为a，点P是AB上一点，且AB：AP＝AP：PB．求线段AP的长和的值． 15．（2026秋•同步）求证：如果，那么，． 16．（2026秋•同步）已知线段a、b、c、d成比例，且a＝12cm，b＝3cm，c＝4cm．求线段d的长． 17．（2026秋•同步）延长线段AB到点C，使BC＝AB．求： （1）AC：AB； （2）AB：BC； （3）BC：AC． 18．（2026秋•同步）如图，你能用无刻度的直尺在线段AB上找到点C，使得AC：CB＝1：2吗？如果改为AC：CB＝1：3呢？假如方格纸足够大，任意两格点连线记为线段AB，你能用无刻度的直尺在线段AB上找到点C，使得AC：CB＝1：k（k为正整数）吗？ 19．（2026秋•同步）如图，正方形ABDC的边长为4，点E是边AB的中点，点F是边BD上靠近点B的四等分点． （1）求出下列线段的长度：EF，CE，CF； （2）写出图中的三组比例线段．（与第（1）题的三条线段有关） 20．（2026秋•单元）（1）四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝6cm，求线段a的长； （2）已知，且a+b﹣2c＝3，求a的值． 21．（2026秋•同步）a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，求线段d的长． 【考点2：由平行线截得的比例线段】 · 平行线分线段成比例：对应线段成比例，找准对应关系 · A型图：平行于三角形一边截两边，上/下=上/下 · X型图：两直线相交于平行线间，注意线段和差 · 常见模型：梯子、五线谱、刻度尺、凸透镜 22．（2026秋•道里区校级月考）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AC：BC＝5：2，DE＝6，则EF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．1 23．（2026•道里区模拟）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 24．（2025秋•莲池区期末）如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝3.6cm，则线段BC的长为（　　） A．6.4cm B．8cm C．9.6cm D．10.8cm 25．（2025秋•龙湖区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，则的值是（　　） A． B． C． D． 26．（2025秋•青龙县期末）如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2，已知最上层与中间层的垂直距离为BD＝30cm，中间层与最下层的垂直距离为DF＝45cm，BC∥DE∥FG，CE＝50cm，则线段CG的长为（　　） A．75cm B．105cm C．120cm D．125cm 27．（2025秋•苍南县校级期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：BF等于（　　） A．3：2 B．3：8 C．5：3 D．8：3 28．（2026•茂南区模拟）在音乐课上某同学发现：音乐也可以有数学问题！如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝9，则线段BC的长是_____ ． 29．（2026•海淀区校级二模）如图，BD＝CD，AE：DE＝1：2，延长BE交AC于F，且AF＝4cm，则AC的长＝_______ cm． 30．（2026•山西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，BD是AC边上的中线，点E是BD边上的一点，连接CE并延长，交AB于点F．若，，则BF的长为__________________ ． 31．（2026秋•小店区校级月考）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段AC＝6，则线段AB的长是_____ ． 32．（2026•丛台区校级一模）已知：如图，BC∥DE，AD＝3，AE＝4，AB＝9，则AC＝_______ ． 33．（2025秋•广阳区期末）如图，l1∥l2∥l3，若AB＝4，BC＝6，AD＝2，CF＝8，则BE的长为___________________ ． 34．（2025秋•浦东新区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E．如果AD：DF＝3：2，BC＝21，那么CE＝_______ ． 35．（2025秋•鹿城区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．已知，DF＝7，则DE的长为_____ ． 36．（2026春•闵行区校级单元）如图，是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，将A，D1间加一条安全绳（线段AD1），AD1分别交BB1，CC1于点E，F，量得AE＝0.4m．则AD1的长为_________ ． 37．（2026秋•青岛同步）如图，在△ABC中，DE∥BC，FE∥DC，AF＝3，AD＝5，AE＝4．求CE和AB的长． 38．（2026秋•同步）给定线段AB，请通过尺规作图作出线段AB的三等分点． 39．（2026秋•同步）如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，DE＝2.4，求DF的长． 40．（2026秋•同步）如图，一组平行直线l1，l2，l3与直线AC，DF分别交于点A，B，C和D，E，F，AB＝a，BC＝b，EF＝c，求DE的长． 41．（2026秋•同步）如图，一组平行直线l1，l2，l3与直线AC，DF分别交于点A，B，C和D，E，F，，DE＝6，求DF的长． 42．（2026•岳西县模拟）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若，DF＝6，求DE的长． 【考点3：认识相似三角形】 · 相似图形判断：对应角相等+对应边成比例 · 一定相似：任意两个等边三角形、任意两个正方形 · 相似比的顺序性：△ABC∽△A'B'C'，相似比=AB/A'B' · 周长比=相似比，面积比=相似比的平方 43．（2026秋•同步）你能根据相似形知识证明勾股定理吗？ 44．（2026秋•单元）如图，BC与EF在一条直线上，AC∥DF．将图（2）的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形． 45．（2026秋•同步）在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 比例性质ad=bc是计算与证明的基础 · 比例中项b²=ac，注意线段取正值 · 平行线分线段成比例先找平行线再定对应线段 · 相似图形必须对应角相等且对应边成比例 · 相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比平方 【作业1】（2026春•浦东新区校级期中）如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝6，AD＝10，AE＝8． （1）求AC的长； （2）当DE∥BC时，求AB的长． 【作业2】（2026秋•同步）如图是凸透镜成像的原理，AH⊥HG于点H，BD⊥HG于点O，CG⊥HG于点G，AD∥HG∥BC．若焦点F1到物体的距离HF1与到凸透镜中心线DB的距离OF1的比为2：1，求的值．（注：F2是另一个焦点） 【作业3】（2026•余杭区校级模拟）下列图形中，一定是相似图形的是（　　） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【作业4】（2025秋•宜兴市期末）下列图形一定相似的是（　　） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 【作业5】（2025秋•东台市期末）下列各组图形一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 【作业6】（2025秋•市北区期末）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【作业7】（2025秋•徐汇区期末）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【作业8】（2026•海州区校级二模）下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．等边三角形都是相似三角形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 【作业9】（2025秋•南京月考）一条直线将矩形分为两个四边形，若这两个四边形是相似形，且均相似于原矩形，则原矩形较长边与较短边的比值为_________________ ． 【作业10】（2025秋•虹口区月考）已知一个梯形的一条对角线把它分割成两个相似比不为1的相似三角形，这个梯形的四条边中有且只有两条边相等，下底的长是上底的长的3倍，那么该梯形最小内角的余弦值是____________________ ． 【作业11】（2024秋•娄底校级期末）若两个相似图形的周长比为2：1，则它们的面积比为 ________ ． 【作业12】（2024秋•太原期末）在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段AD的黄金分割点（DE＞AE），以DE为边在正方形ABCD内作正方形DEPQ．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若AB的长为10cm，则P，D两点之间的距离为____________________ cm． 【作业13】（2025秋•浦东新区校级期中）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于3，下底等于6，那么它的周长为___________________ ． 【作业14】（2024秋•长宁区校级期中）如图，已知一个梯形被一条对角线分成两个相似的三角形，且两腰之比为，则上底和下底之比为 __________________ ． 【作业15】（2026秋•同步）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C′D'是相似的图形，点A与点A'、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知BC＝3，CD＝2.4，A'B'＝2.2，B′C′＝2，∠B＝70°，∠C＝110°，∠D＝90°，求边AB、C′D'的长和∠A'的度数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $