专题11 比例线段、由平行线截得的比例线段同步培优讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题11 比例线段、由平行线截得的比例线段同步培优讲义 ✺知识框架 板块一：比例线段基础 基础概念：线段的比、比例线段、比例中项、黄金分割 核心性质：比例基本性质、合比性质、等比性质 基础应用：判断成比例线段、线段长度计算、黄金分割求值 板块二：由平行线截得的比例线段 核心定理：平行线分线段成比例基本事实 重要推论：三角形平行线分线段成比例推论 定理应用：线段求值、比例式证明、等分线段作图 ✅本节核心为线段比例关系的建立与应用。先依托线段的比，梳理比例线段、比例中项、黄金分割的概念与比例三大性质；再借助平行线的几何特征，得出线段比例的通用定理与三角形推论。本节所有内容是初中几何比例计算、线段转化、相似题型解题的核心依据。 ✺学习目标 1.理解线段的比与比例线段的定义，掌握比例基本性质，能够准确判别四条线段是否成比例。 2.掌握比例中项、黄金分割的概念，熟记黄金比近似值，熟练完成基础求值运算。 3.掌握平行线分线段成比例基本事实及三角形推论，明确定理适用条件，熟练识别几何基本模型。 4.灵活运用比例性质与平行线定理，完成线段求值、比例式变形与简单几何证明。 5.规范几何解题书写，精准识别平行线截线段模型，规避常见解题误区。 ✺题型归纳 题型1.比例线段 题型2.比例的性质 题型3.成比例线段 题型4.黄金分割 题型5.由平行判断成比例的线段 题型6.由平行截线求相关线段的长或比值 题型7.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、比例线段 线段的比：在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作或a∶b,其中a叫做比的前项，b叫做比的后项。 特别提醒：计算两条线段的比时，必须使用统一的长度单位。单位不统一时，要先换算再计算。线段的比是一个正数，没有单位。 比例线段：在四条线段a,b,c,d中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，即=(或a∶b=c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段。 特别提醒：比例线段是有顺序的，顺序改变含义也会改变；在比例式=中，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。若=,则b叫做a,c的比例中项。此时满足=ac. 知识点二、比例的性质 比例的基本性质：若=，则ad=bc;反过来，若ad=bc,则（b≠0,d≠0），则= 合比性质：若=，则=. 等比性质：若==…=,且b＋d+…＋n≠0，则=. 特别提醒：由比例基本性质可知，所有比例式都可以转化为等积式，反之，非零的等积式也可以转化为不同的比例式，变形时交叉相乘即可验证正确性。 ▲合比性质可以推广，若=，则=(k为常数)，推导的核心是在等式两边同时加或减常数k后整理得到。 知识点三、黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，即=AB·PB，就称点P把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点。一般来说，一条线段的黄金分割点有两个。 称为黄金分割数（简称黄金数),黄金分割数是一个无理数，在应用时取其近似值0.618 知识点四、平行线截得的比例线段 ▲平行线分线段成比例定理 内容：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 ▲三角形中的特殊结论 平行于三角形一边，且与其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边（可用于证明两直线平行） ✺题型精讲 题型1.比例线段 1．在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C．D． 2．如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 3．如图所示，已知，且．求的长． 题型2.比例的性质 1．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C．D． 2．若，则________． 3．已知，求的值． 题型3.成比例线段 1．已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 2．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 3．已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 题型4.黄金分割 1．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 2．地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 3．一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 题型5.由平行判断成比例的线段 1．如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 2．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 3．已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． (1)求证：； (2)是否与平行？若能，此时与有什么关系？ 题型6.由平行截线求相关线段的长或比值 1．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 2．如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 3．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． ✺课堂小练 一、单选题 1．已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 二、填空题 4．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 5．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 6．如图，直线，已知，，，___________． 三、解答题 7．已知，满足，求、、的值． 8．已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 9．如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 比例线段、由平行线截得的比例线段同步培优讲义 ✺知识框架 板块一：比例线段基础 基础概念：线段的比、比例线段、比例中项、黄金分割 核心性质：比例基本性质、合比性质、等比性质 基础应用：判断成比例线段、线段长度计算、黄金分割求值 板块二：由平行线截得的比例线段 核心定理：平行线分线段成比例基本事实 重要推论：三角形平行线分线段成比例推论 定理应用：线段求值、比例式证明、等分线段作图 ✅本节核心为线段比例关系的建立与应用。先依托线段的比，梳理比例线段、比例中项、黄金分割的概念与比例三大性质；再借助平行线的几何特征，得出线段比例的通用定理与三角形推论。本节所有内容是初中几何比例计算、线段转化、相似题型解题的核心依据。 ✺学习目标 1.理解线段的比与比例线段的定义，掌握比例基本性质，能够准确判别四条线段是否成比例。 2.掌握比例中项、黄金分割的概念，熟记黄金比近似值，熟练完成基础求值运算。 3.掌握平行线分线段成比例基本事实及三角形推论，明确定理适用条件，熟练识别几何基本模型。 4.灵活运用比例性质与平行线定理，完成线段求值、比例式变形与简单几何证明。 5.规范几何解题书写，精准识别平行线截线段模型，规避常见解题误区。 ✺题型归纳 题型1.比例线段 题型2.比例的性质 题型3.成比例线段 题型4.黄金分割 题型5.由平行判断成比例的线段 题型6.由平行截线求相关线段的长或比值 题型7.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、比例线段 线段的比：在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作或a∶b,其中a叫做比的前项，b叫做比的后项。 特别提醒：计算两条线段的比时，必须使用统一的长度单位。单位不统一时，要先换算再计算。线段的比是一个正数，没有单位。 比例线段：在四条线段a,b,c,d中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，即=(或a∶b=c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段。 特别提醒：比例线段是有顺序的，顺序改变含义也会改变；在比例式=中，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。若=,则b叫做a,c的比例中项。此时满足=ac. 知识点二、比例的性质 比例的基本性质：若=，则ad=bc;反过来，若ad=bc,则（b≠0,d≠0），则= 合比性质：若=，则=. 等比性质：若==…=,且b＋d+…＋n≠0，则=. 特别提醒：由比例基本性质可知，所有比例式都可以转化为等积式，反之，非零的等积式也可以转化为不同的比例式，变形时交叉相乘即可验证正确性。 ▲合比性质可以推广，若=，则=(k为常数)，推导的核心是在等式两边同时加或减常数k后整理得到。 知识点三、黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，即=AB·PB，就称点P把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点。一般来说，一条线段的黄金分割点有两个。 称为黄金分割数（简称黄金数),黄金分割数是一个无理数，在应用时取其近似值0.618 知识点四、平行线截得的比例线段 ▲平行线分线段成比例定理 内容：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 ▲三角形中的特殊结论 平行于三角形一边，且与其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边（可用于证明两直线平行） ✺题型精讲 题型1.比例线段 1．在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是先统一长度单位. 【详解】解：，该地图比例尺为. 2．如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 【答案】9 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴． 3．如图所示，已知，且．求的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了比例线段的计算，熟练掌握线段的加减计算是解题的关键． 先利用可得，由可得，再根据即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 题型2.比例的性质 1．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． 2．若，则________． 【答案】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 3．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质． 由比例关系设参数，代入代数式计算即可求解． 【详解】解：设，则，，， ． 故答案为：． 题型3.成比例线段 1．已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 2．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 3．已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 题型4.黄金分割 1．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 2．地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【答案】 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论． 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 3．一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 题型5.由平行判断成比例的线段 1．如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. 2．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，设，则，，代入比例式中求解即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ， 设，则，， ，， ，解得， 即． 故答案为：． 3．已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． (1)求证：； (2)是否与平行？若能，此时与有什么关系？ 【答案】(1) 证明：， ． ， ． ； (2)能平行， 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据问题选择合适的比例式． （1）由和分别写出对应的比例式，即可求解问题； （2）假设，则，再根据和求得比例式，三个比例式综合考虑即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：能平行． 若，则． ， ． ， ． ，即， 所以． 题型6.由平行截线求相关线段的长或比值 1．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 2．如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 3．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． ✺课堂小练 一、单选题 1．已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∴． 2．如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例基本性质，内项之积等于外项之积，计算判断即可； 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求；     D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； 3．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 二、填空题 4．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段的定义，若按顺序为成比例线段，则满足，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 5．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据比例关系列式计算即可． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为， 由题意得，， 解得， ∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为． 6．如图，直线，已知，，，___________． 【答案】 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 7．已知，满足，求、、的值． 【答案】，， 【分析】设，则，，，求出的值，即可求出、、的值． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 8．已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 9．如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $