专题10比例线段及相似三角形的初步认识精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦比例线段及相似三角形初步认识，以比例基本性质为计算基础，通过平行线分线段成比例定理（含A型、X型模型）搭建桥梁，过渡到相似三角形定义、相似比及平行线判定相似，构建从运算到几何模型的完整学习支架。 资料知识体系条理清晰，教师可直接备课板书，学生能背诵解题套用。通过易错点分析（如比例线段顺序、相似顶点对应）培养推理意识，结合黄金分割在人体、建筑中的实例发展几何直观与应用意识，课中提升教学效率，课后助力学生查漏补缺强化理解。

专题10比例线段及相似三角形的初步认识精讲学案 课堂核心立意 以比例运算为计算基础，由平行线产生线段比例关系，过渡到相似三角形定义与平行线证相似模型，搭建相似几何入门完整知识体系，知识点条理清晰，教师可直接用于备课板书、课堂小结，学生可直接用于背诵、解题套用。 比例基本性质： 若a:b=c:d，则ad=bc，乘积式和比例式可互相转换；合比性质用于比例式分子加减变形，等比性质用于多组相等比值的连比化简计算。 成比例线段判定： 四条线段保持固定顺序，前两条线段的比值等于后两条线段比值，则四条线段为成比例线段，线段顺序不可随意调换。 黄金分割： 一点将线段分成两段，较长线段的平方等于整条线段与较短线段的乘积，黄金比固定为，计算时分清长线段、短线段，防止公式颠倒。 平行线分线段成比例定理： 一组平行线截取两条直线，所得对应线段成比例，列式必须匹配对应线段，不可交叉列式。 三角形平行线推论： 平行于三角形一边的直线，与三角形另外两边或者两边延长线相交，截得的对应线段成比例，分为A型、X型两种基础几何模型。 平行线逆向判定： 直线截取三角形两条边，形成的对应线段成比例，可直接判定该直线平行于三角形第三条边，用于平行线证明题。 辅助线解题技巧： 原图缺少平行线时，作平行线构造A型、X型模型，列出比例方程求解线段长度。 相似三角形定义： 两个三角形对应角全部相等、对应边成比例，则两个三角形相似，书写相似三角形时对应顶点必须一一对应书写。 相似比定义： 相似三角形对应边的比值为相似比，互换两个三角形的前后顺序，二者相似比互为倒数。 平行线判定三角形相似： 平行于三角形底边的直线截三角形，得到的小三角形与原三角形直接相似，是相似三角形首个判定定理。 相似三角形基础应用：依靠对应角相等计算角度，依靠对应边成比例列等式求解线段长度。 1、随意调换成比例线段的顺序，造成比例列式错误。 2、使用平行线比例定理时选取非对应线段列式，计算结果出错。 3、相似三角形顶点书写错位，对应边、对应角匹配全部出错。 4、黄金分割长短边区分错误，公式代入错误。 5、直接用线段成比例证明平行，忽略线段截取于三角形两边的前提，证明逻辑不成立。 题型 考察方向 难度 题型一 比例线段 ★★ 题型二 比例的性质 ★ 题型三 成比例线段 ★★ 题型四 黄金分割 ★★★ 题型五 由平行判断成比例的线段 ★★★ 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★★★ 题型七 证明三角形的对应线段成比例 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点题 题型一：比例线段 解题思路 ①根据题干条件列出线段比例式； ②利用比例交叉相乘性质转化为整式方程； ③解方程求出未知线段长度，检验线段长度为正值。 易错提醒：线段长度不能为负数，舍去负根。 1．已知线段，线段c是a，b的比例中项，那么c的值为___． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段的长度是正数， ． 故答案为：． 2．在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例线段实际应用，核心知识点是比例尺的定义：比例尺图上距离实际距离．先根据比例尺公式列等式求出实际距离的厘米数，再将单位换算为千米，从而得到最终结果． 【详解】解：设、两地的实际距离为， ∵已知比例尺为，图上距离为， ∴， 解得； ， 故选：C． 3．已知，则：____． 【答案】 【分析】根据比例关系假设，，代入即可求值． 【详解】∵， ∴， ∴设，， ∴ 【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是熟练掌握有关比例关系的数量关系． 4．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 题型二：比例的性质 解题思路 ①已知比例式，选用合比性质、等比性质做变形化简； ②连比题型统一中间量，实现比例换算求值； ③乘积形式条件反向转化为比例式进行推导。 易错提醒：等比性质使用时，分母之和不能为0。 5．已知，那么_________． 【答案】 【详解】解： 将代入得：． 6．如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例基本性质，内项之积等于外项之积，计算判断即可； 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求；     D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； 7．若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 8．若，且，则的值是（   ） A．4 B．8 C．32 D．2 【答案】A 【分析】根据给出的条件得出，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， ． 题型三：成比例线段 解题思路 ①统一四条线段单位长度； ②按照题干给出的线段顺序，两两求比值； ③对比比值是否相等，判断是否为成比例线段。 易错提醒：线段顺序固定，调换顺序大概率不再成比例。 9．已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 【答案】12 【分析】根据比例中项的定义可得，代入，的值计算，结合线段长度为正，即可得到的值． 【详解】解：线段是，的比例中项 将，代入得 线段长度为正数 10．如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】设卧佛的身长为米，根据肩宽与身长的比为，结合肩宽为米，列出比例式求解即可． 【详解】解：设卧佛的身长为米， 卧佛的肩宽身长，且肩宽为米， ， ， 解得， 即卧佛的身长为米． 11．如图，在中，于点D，点E在线段上，连接并延长交于点F，设． （1）若E为的中点，则___________； （2）若，则___________．（用含m、n的代数式表示） 【答案】 【分析】过点D作交于M，利用平行线分线段成比例解题即可． 【详解】解：（1）过点D作交于M， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∴， （2）过点D作交于M， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，作辅助线构造平行线是解题的关键． 12．如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意设和，则和，根据平行线的性质得和，可求得，则即可解得答案． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 即，化简得， 整理得， 得，解得（负值舍去）， ∴， 故选：B． 题型四：黄金分割 解题思路 ①找准被分割线段总长、较长线段、较短线段； ②套用关系式：较长线段²=整条线段×较短线段； ③黄金比直接取值代入计算边长。 易错提醒：混淆长边与短边，公式左右写反直接计算错误。 13．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高约是_________厘米．（精确到） 【答案】162 【分析】根据黄金分割的比例关系，设未知数列等式求解头顶至肚脐的长度，再计算总身高即可． 【详解】解：设头顶至肚脐的长度为 ． 由题意得 ． 解得 ． 身高为 ． 14．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则下列高度最接近水面高度的是（    ） A． B．9 C．7 D．5.7 【答案】A 【分析】根据题目中给出的黄金比关系（水面高度与瓶高之比约为），结合已知的长度，通过乘法计算得出的长度即可． 【详解】解：根据题意，可知 ∵， ∴， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 15．在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 【答案】 【分析】根据题意列式为，由此即可求解． 【详解】解：车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：50 ． 16．如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：∵长为，且点为的黄金分割点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的黄金分割点，四边形是正方形， ∴点为的黄金分割点， ∴， 即的长为． 题型五：由平行判断成比例的线段 解题思路 ①识别图形A型、X型平行线基础模型； ②依据平行线分线段成比例定理，锁定上下对应线段； ③直接写出对应线段比例式。 易错提醒：禁止将不对应的斜线线段搭配列比例。 17．如图，交于点，，，，当______时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 18．如图，，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理． 根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 19．如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为___． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，如图，过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，证明，设，证明；设，则，求出，可得结论 【详解】解：过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，如图， ∵平分 ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴, 设，则， ∵, ∴, ∴ ∴的周长， 故答案为：． 20．如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为______； （2）的值为_____． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质． （1）根据线段的中点定义可得，在中，利用勾股定理可得，然后利用面积法进行计算即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行线分线段成比例定理进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）点为的中点，， ， ，， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）过点作，交的延长线于点， ，， ， ∴， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：． 题型六：由平行截线求相关线段的长或比值 解题思路 ①过一点作平行线构造A型、X型基本图形； ②根据平行线线段比例关系列等式； ③设未知数建立方程求解线段长或者线段比值。 易错提醒：平行延长线构成的X型图形容易看错对应边。 21．如图，，则的长度是_____． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例得到，继而解得，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：， ∴. 22．如图所示，，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 23．如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（     ） A． B． C．80 D．30 【答案】C 【分析】根据，得，继而得到求解即可； 【详解】解：， ， ， ，，， 解得； 24．如图，点、分别在轴、轴的正半轴上，双曲线与直线相交于、两点，若．则的面积是________． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为和，先根据和，推出，设，，即可推出，，再求出直线的解析式，求出点的坐标，最后根据即可求解． 【详解】如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为和， 则， ∴， ∵， ∴， ∴设，， ∵、两点在上， ∴，， ∵设直线的解析式为：， 将，代入中， ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴， ∴． 题型七：证明三角形的对应线段成比例 解题思路 ①在三角形内部或外部作辅助平行线； ②利用平行线得到两组比例线段； ③等量代换完成线段比例证明。 易错提醒：缺少平行线条件，不可直接直接得出线段成比例结论。 25．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 26．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 27．如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，数形结合写出线段比例关系是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， 由平行线分线段成比例定理可知， A选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ， B选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ，即， D选项是正确的，不符合题意， C选项是错误的，符合题意； 故选：C． 28．《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 解答题 1．已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 【答案】(1) (2)2或8或18 (3)18 【分析】（1）设，得到，代入求出，即可得到a、b、c的值； （2）根据a、b、c、m四个数能构成比例式得到或或，分别求解即可； （3）根据“成比例线段”的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵a、b、c、m四个数能构成比例式，且比例式两内项之积等于两外项之积， ∴或或， 即或或， 解得：或或； （3）解：∵四条线段a，b，c，d为成比例线段， ∴， ∴， 即， 解得：． 2．如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段的应用，解题的关键是根据已知比例关系建立方程求解． 先根据线段的和差关系表示出，再结合已知的比例关系建立方程． 【详解】解：由图可知，， ，，， ， 解得， 经检验，是原方程的根，即． 3．【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 (1)化简：； (2)根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 根据作图可知，， 在中，， ， ， 长方形也是黄金矩形． 【分析】（1）根据素材1平方差公式及素材2分母有理化的技巧化简即可； （2）根据黄金矩形的定义及已知条件找到与的长，再求比值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：略． 4．已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 【答案】 解：如图，过点作，交于点． 是边上的中线， ， ， ， ． ， ，即， ． 【分析】过点作，交于点，先根据中线的定义得到， 再根据平行线分线段成比例得到，然后再次根据平行线分线段成比例求证即可． 【详解】略 5．如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，交于点．求证：为的中点． 【答案】证明：，E分别是，边的中点， 为的中位线，   ． 为的中点，   为的中位线，为的中位线．   ，．   是边的中点，       为的中点 【分析】由中位线的性质可知为的中点，进而可得为的中位线，为的中位线，再利用中位线的性质即可证明． 【详解】略 6．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可； （2）连接，交于，先证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，再证明，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】（1）， ， ，，， ， 解得：； （2）连接，交于， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10比例线段及相似三角形的初步认识精讲学案 课堂核心立意 以比例运算为计算基础，由平行线产生线段比例关系，过渡到相似三角形定义与平行线证相似模型，搭建相似几何入门完整知识体系，知识点条理清晰，教师可直接用于备课板书、课堂小结，学生可直接用于背诵、解题套用。 比例基本性质： 若a:b=c:d，则ad=bc，乘积式和比例式可互相转换；合比性质用于比例式分子加减变形，等比性质用于多组相等比值的连比化简计算。 成比例线段判定： 四条线段保持固定顺序，前两条线段的比值等于后两条线段比值，则四条线段为成比例线段，线段顺序不可随意调换。 黄金分割： 一点将线段分成两段，较长线段的平方等于整条线段与较短线段的乘积，黄金比固定为，计算时分清长线段、短线段，防止公式颠倒。 平行线分线段成比例定理： 一组平行线截取两条直线，所得对应线段成比例，列式必须匹配对应线段，不可交叉列式。 三角形平行线推论： 平行于三角形一边的直线，与三角形另外两边或者两边延长线相交，截得的对应线段成比例，分为A型、X型两种基础几何模型。 平行线逆向判定： 直线截取三角形两条边，形成的对应线段成比例，可直接判定该直线平行于三角形第三条边，用于平行线证明题。 辅助线解题技巧： 原图缺少平行线时，作平行线构造A型、X型模型，列出比例方程求解线段长度。 相似三角形定义： 两个三角形对应角全部相等、对应边成比例，则两个三角形相似，书写相似三角形时对应顶点必须一一对应书写。 相似比定义： 相似三角形对应边的比值为相似比，互换两个三角形的前后顺序，二者相似比互为倒数。 平行线判定三角形相似： 平行于三角形底边的直线截三角形，得到的小三角形与原三角形直接相似，是相似三角形首个判定定理。 相似三角形基础应用：依靠对应角相等计算角度，依靠对应边成比例列等式求解线段长度。 1、随意调换成比例线段的顺序，造成比例列式错误。 2、使用平行线比例定理时选取非对应线段列式，计算结果出错。 3、相似三角形顶点书写错位，对应边、对应角匹配全部出错。 4、黄金分割长短边区分错误，公式代入错误。 5、直接用线段成比例证明平行，忽略线段截取于三角形两边的前提，证明逻辑不成立。 题型 考察方向 难度 题型一 比例线段 ★★ 题型二 比例的性质 ★ 题型三 成比例线段 ★★ 题型四 黄金分割 ★★★ 题型五 由平行判断成比例的线段 ★★★ 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★★★ 题型七 证明三角形的对应线段成比例 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点题 题型一：比例线段 解题思路 ①根据题干条件列出线段比例式； ②利用比例交叉相乘性质转化为整式方程； ③解方程求出未知线段长度，检验线段长度为正值。 易错提醒：线段长度不能为负数，舍去负根。 1．已知线段，线段c是a，b的比例中项，那么c的值为___． 2．在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 3．已知，则：____． 4．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 题型二：比例的性质 解题思路 ①已知比例式，选用合比性质、等比性质做变形化简； ②连比题型统一中间量，实现比例换算求值； ③乘积形式条件反向转化为比例式进行推导。 易错提醒：等比性质使用时，分母之和不能为0。 5．已知，那么_________． 6．如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 7．若，则_______． 8．若，且，则的值是（   ） A．4 B．8 C．32 D．2 题型三：成比例线段 解题思路 ①统一四条线段单位长度； ②按照题干给出的线段顺序，两两求比值； ③对比比值是否相等，判断是否为成比例线段。 易错提醒：线段顺序固定，调换顺序大概率不再成比例。 9．已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 10．如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 11．如图，在中，于点D，点E在线段上，连接并延长交于点F，设． （1）若E为的中点，则___________； （2）若，则___________．（用含m、n的代数式表示） 12．如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 题型四：黄金分割 解题思路 ①找准被分割线段总长、较长线段、较短线段； ②套用关系式：较长线段²=整条线段×较短线段； ③黄金比直接取值代入计算边长。 易错提醒：混淆长边与短边，公式左右写反直接计算错误。 13．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高约是_________厘米．（精确到） 14．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则下列高度最接近水面高度的是（    ） A． B．9 C．7 D．5.7 15．在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 16．如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型五：由平行判断成比例的线段 解题思路 ①识别图形A型、X型平行线基础模型； ②依据平行线分线段成比例定理，锁定上下对应线段； ③直接写出对应线段比例式。 易错提醒：禁止将不对应的斜线线段搭配列比例。 17．如图，交于点，，，，当______时，可与平行． 18．如图，，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 19．如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为___． 20．如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为______； （2）的值为_____． 题型六：由平行截线求相关线段的长或比值 解题思路 ①过一点作平行线构造A型、X型基本图形； ②根据平行线线段比例关系列等式； ③设未知数建立方程求解线段长或者线段比值。 易错提醒：平行延长线构成的X型图形容易看错对应边。 21．如图，，则的长度是_____． 22．如图所示，，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 23．如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（     ） A． B． C．80 D．30 24．如图，点、分别在轴、轴的正半轴上，双曲线与直线相交于、两点，若．则的面积是________． 题型七：证明三角形的对应线段成比例 解题思路 ①在三角形内部或外部作辅助平行线； ②利用平行线得到两组比例线段； ③等量代换完成线段比例证明。 易错提醒：缺少平行线条件，不可直接直接得出线段成比例结论。 25．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 26．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 27．如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 28．《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 解答题 1．已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 2．如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 3．【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 (1)化简：； (2)根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． 4．已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 5．如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，交于点．求证：为的中点． 6．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $