山东省滕州市第一中学2026-2027学年高二四部9月周考数学试题二

高二四部复盘材料二 1．已知向量与共线，则（     ） A． B． C． D． 2．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 4．直线与直线的交点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 5．若直线与平行，则与之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 6.已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时， 实数（    ） A． B． C． D． 7．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 8．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 9（多选）．已知四面体满足，则（    ） A．直线与垂直 B．二面角平面角的余弦值为 C．向量在向量上的投影为D．四面体的体积为 10（多选）．下列四个命题中正确的有（    ） A．过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D．若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 11（多选）．如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（   ） A． B．点E到直线的距离为 C．直线AE与所成角的范围为 D．二面角的大小为 12．经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量为的直线方程为————. 13．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则————． 14．如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为————．    15．如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 16．在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点． (1)求证：平面； (2)若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为. 18．如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19．（1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； （3）已知直线，是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 高二四部复盘材料二一参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D D A C A D C AD BD ABD 7．D【详解】已知的顶点分别为，，， 因为重心为三个顶点对应坐标的平均数，即重心坐标为，即， 因为，则边上的高线斜率为， 因边上的高线过点，故其方程为，即①. 同理，则边上的高线斜率， 因边上的高线过点，故其方程为，即②. 由①，②联立，解得，，即的垂心坐标为. 由题意，欧拉线过重心和垂心，则的欧拉线方程为 即. 8．C  如图所示，为的中点，则， ，又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为．故选：C 11．ABD【详解】如图建立空间直角坐标系，则，对于C：， 设直线AE与所成角为， 显然在中，随的变大而变小，当时，最大等于，此时最小为，当时，最小等于0，此时最大为，所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角，平面平面，所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 12． 13． 14．. 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．令正方体棱长为2，设，则，， 所以． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为．故为：. 15．解：（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，， 因为，分别为的中点，所以，，则，，， 设平面的法向量为，则，即，令，则有，，即， 因为，所以，又平面，所以平面； （2）由（1）可知，， ，所以与平面所成角的正弦值为. 16．(1)(2) 17．（1）略（2）以为原点，以为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 令，则，，，，，， ，，，则， ，则，设平面的法向量， 则，故可取， 设平面的法向量， 则故可取， 所以，解得． 18．【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． （2）（ⅰ）如图，连接．因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心．因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上．又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心．因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，，所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为，则.令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 19（1）或；（2）.（3）存在，由，得． 由，得时，则直线恒过定点，如图， 直线与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交. 而 ， 当且仅当，即时，的面积取得最小值8． 答案第2页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $高二年级数学学科10月复盘材料 参考答案 一，单项选择题 1-4:CAAC 5-8:BABB 二.多项选择题 9.AB 10.ABD 11.BC 三.填空题 12.18 13.2或4 14.1 8 四.解答题 15.(本小题满分13分) (1)d/1a,存在实数m,使得d=md,即a=m(-2-1,2)=(-2-m2m H1'(网0-帮9m-写 当1时， 百1时， m=3 m=- 3 a=21.2 333 2)由=3，c=(x,2,2),得√x+22+22=3,解得x=±1， 又向量ā=（-2，-1,2)，b=(-1,1,2),则ka+b=（-2k-1,1-k,2k+2) 由向量a+6与c垂直，得(ka+b)c=0,则x(-2k-1)+2(1-k)+2(2k+2)=0 当x=1时，有5=0，矛盾：当x=-1时，有4+7=0，解得k=-7 41 所以实数x和大的值分别为-1和-子 16.(本小题满分15分) (1)因为边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0, 设直线4C的斜率为k,则2k=1,解得k) x-3y+8=0 A(3,2)9 2x-y-9=0 又因为直线AC过点A(3,2), 第1页共4页 则直线4C的方程为y-2=之c-3),x+2-7=0 x-3y+8=0 又边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,且该直线过点C,联立 (x+2y-7=0’解得 x=1 y=3’ 所以C的坐标为(1,3) (2)设B(a,b),因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0, a+3 b+2 所以AB的中点 22 在直线x-3y+8=0上，且边AC上的高所在直线2x-y-9=0过顶 2a-b-9=0 a=8 点B,所以a+3-3x b+2 2 2 +8=0'解得 b=7’ 即B的坐标为(8,7).由(1)知C1,3),由两 点式方程得)-3--，化简得4x-7y+17=0.即直线BC的方程为r-y+17=0. 7-38-1 17.(本小题满分15分) (I)证明：.四边形ABCD是矩形，∴.AB⊥AD ,·平面ADFE⊥平面ABCD,平面ADFE∩平面ABCD=AD, .AB⊥平面ADFE,DFC平面ADFE,∴.AB⊥DF (2)建立如图所示的空间直角坐标系， 则0(0,0,0)，A(0,-3,0),B(3,-3,0),D(0,5,0),F(0,2,4),E(0,0,4),C(3,5,0), AB=(3,0,0),AE=(0,3,4),CD=（-3,0,0),C℉=(-3，-3,4) 设平面ABE的法向量为下=(x,y,2),则 D.AB=0m「3x=0 .aE=0'即 3y+4z=0' 不妨取y=4,则=(0,4,3)，设平面CDF的法向量为i=(a,b,c),则 。即 -3a=0 -3a-3b+4c=0 v.u 0×0+(-4)×4+3×3 7 不妨取b=4,则i=(0,4,3),所以cos正，i= 团 5×5 25 第2页共4页 7 平面ABE与平面CDF的夹角的余弦值为 25 18.(本小题满分17分) (1)证明：连接BD∩AC=F,连接EF因为底面ABCD为平行四边形， 所以F为BD中点，又E为PB中点，所以PD/EF, 又PD￠平面ACE,EFC平面ACE,所以直线PD/I平面ACE; (2)因为AB=2,BC=4,∠ABC=60°，所以AC=V4+16-2×2×4×c0s60°=2V3, 所以AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC,又PA⊥平面ABCD,所以建系如图： B C 设AP=2t,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2V3,0),D(-2,2W30),P(0,0,2t),E(1,0,t), 所以A正=(1,0，t),PD=(-2,2W3,-2),所以异面直线AE与PD所成的角余弦值为： lCos<AE,PD>|=A西 =2t2+2 AE1PD√t2+1x√4t2+1 =c0s45=号，解得t=V2, 所以P(0,0,2V2),E(1,0,2),所以PD=(-2,2V3,-2V②)， 易知平面PAC的一个法向量为元=(1,0,0)，所以直线PD与平面PAC所成角的正弦值为： 1s<网，i≥1融9 19.(本小题满分17分) (1)FG=,1,1),FH=(-L,2,0),设m=(a,b,G)是平面FGH的一个法向量，则 m-FG=a++9=0令4=2，得么=l9=-3,所以m=21,-3刃， m-Fi=-a+2b=0, 第3页共4页 设点I(x,y,z)是平面FGH内任意一点，由m⊥Fi,得mF1=2(x-1)+y-3z=0, 所以平面FGH的方程为2x+y-3z-2=0. (2).对于Q={(x,y,z)x++=2},当x,y,z>0时，x+y+z=2表示经过（2,0,0)， (0,2,0),(0,0,2)的空间直角坐标系在第一卦限的部分， 由对称性可知U表示（士2,0,0），(0，士2,0)，(0,0，±2)这六个顶点形成的正八 面体，设内切球的半径为，则r即为原点O到平面x+y叶z=2的距离， 则，-0+0+0-2_25，所以内切球的表面积为S=4r2=4z 2W3 16π V12+12+123 3 3 (3)RS=(L,0,1),RT=(2,1,2),设p=(位，，r)为平面BCCB的一个法向量，则 R.p=i+r=0, RT.p=2i+j+2r=0, 、。令i=1,得j=0,r=-1,所以p=(0,0,-).因为平面ABB4的方程为 2x-y+2z+1=0,所以由(2)知平面ABB,A的一个法向量为g=(2,-1,2), 设直线BB,的一个方向向量为=(：，3)，则 fp=5-23=0, 7-9=2x-y+2,=0.令 3=1, 得y3=4,23=1,所以1=(1,4,1).因为BB11平面ACCA,所以平面ACCA的一个法向量 s=(化，-3,2k)与直线BB的方向向量1=1,4,1)垂直.所以si=k-12+2k=0,解得k=4, 所以8=(4，-3,8). 所以平面BB,4与平面ACC4夹角的余弦值为9-8=，27-989 |9lsl3×V8989 第4页共4页